2025年高考数学一轮复习：函数与方程（十一大题型）（练习）解析版

第07讲函数与方程

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：求函数的零点或零点所在区间............................................................2

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围.....................................................3

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题...................................................5

题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................7

题型五：函数的对称问题.......................................................................10

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型......................................................14

题型七：唯一零点求值问题.....................................................................16

题型八：分段函数的零点问题...................................................................18

题型九：零点嵌套问题.........................................................................21

题型十：等高线问题...........................................................................24

题型十一：二分法..............................................................................28

重难创新练....................................................................31

真题实战练....................................................................45

//

题型一：求函数的零点或零点所在区间

丫2।丫_2丫<

।।一‘二’则函数/⑺的零点为

｛-1+lnx,x>0,

【答案】-2,e

【解析】当时，由/（x）=x?+x-2=0,即（x-l）（x+2）=0,解得％=—2或x=l（舍），

当x>0时，由/（x）=-l+Inx=0,解得X=e,

综上可得，函数/（无）的零点为-2,e.

故答案为：-2,e.

2.（2024・高三・浙江宁波・期末）函数/（彳）=2，+彳3一9的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由已知，可知/（X）为增函数，

且7（1）=2+1-9=-6<0,

/（2）=4+8-9=3>0,

根据零点存在定理，函数/（X）在（1,2）有零点，且零点是唯一的.

故选：B

3.函数/（司=以-工的零点所在的大致区间是（）

X

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】〃耳=1门-：的定义域为（0,+8）,

又y=Inx与y=-：在（0,+e）上单调递增，

所以〃x）=lnx-：在（0,+力）上单调递增，

又/⑴=-l<0,/(2)=ln2-1>0,

所以〃1卜〃2)<0,

根据函数零点存在性定理可得函数/■(x)=lnx-J的零点所在的大致区间为(1,2),

故选：B.

log3x,x>0

4.(2024・高三・江苏常州・开学考试)已知函数/(%)=1八则函数依%)=/(/(%))-1的所有零点构成

的集合为.

【答案】{。，27}

【解析】函数4x)=/(〃x))-1的零点，即方程了(/(力)=1的所有根，

log3>0

令/=/(x)，根据函数/(x)=Jc,方程/⑺=1的解是r=3,

则方程/(〃力)=1的根，即为方程/(x)=3的根，

当x>0时，/(x)=log3x,由logs尤=3,,-.%=27,

当x<0时，由白■=3,:.x=0,

综上，函数可力所有零点构成的集合是{0,27}.

故答案为：{0,27}.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

5.(2024•高三.广东深圳•期末)已知函数在(-1,1)内有零点，则。的取值范围是()

A.(-5,5)B.(^o,—5)U(5,+<c)C.[—5,5]D.(―e,—5]u[5,+«?)

【答案】A

【解析】>=彳5是增函数，y=4无+。也是增函数，所以“X)是R上的增函数.

因为〃x)在(-L1)内有零点，

所以l八।,,解得-5<”5.

/(1)=1+4+〃>0

故选：A

6.(2024咛夏银川三模)函数〃力=1鸣》+/+m在区间(2,4)上存在零点，则实数机的取值范围是()

A.(-oo,-18)B.(5,+co)

C.(5,18)D.(-18,-5)

【答案】D

【解析】若函数“力=摩2%+/+机在区间(2,4)上存在零点，

由函数/(x)在(2,4)的图象连续不断，且为增函数，

则根据零点存在定理可知，只需满足/(2)-/(4)<0,

即(根+5)(根+18)<0,

解得一18〈根〈一5,

所以实数，"的取值范围是(-18,-5).

故选：D.

7.(2024.高三.内蒙古呼和浩特.开学考试)若函数〃刈=2，-；-。存在1个零点位于(1,2)内，则。的取值

范围是()

A.(0,3)B.(-3,3)C.[-3,3]D.(-3,0)

【答案】A

【解析】若函数/(可=？一：-。存在1个零点位于(1,2)内，

f(x)=r---a单调递增，又因为零点存在定理，

X

29

.-./(l)=21-y-a<0,/(2)=22---a>0,

.\0<a<3.

故选：A.

2

8.函数/(%)=2尤-一-〃的一个零点在区间(1,2)内，则实数，的取值范围是()

x

A.0<«<3B.l<a<3

C.l<a<2D.a>2

【答案】A

2

【解析】因为函数y=2",y=-一在(0,+s)上单调递增，

x

2

所以函数/(X)=2"——a在(0,+⑹上单调递增，

x

由函数/。)=2，一彳-”的一个零点在区间(1,2)内得/⑴=-a(0,〃2)=3-a)0,

解得0<a<3,

故选：A

x—3

9.已知函数〃无）=8Hnx-I-80的零点位于区间化左+1）内，则整数%=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为函数y=811nx与>=一心）-80在（0,+8）上均为增函数,

所以函数“X）在（0,+oo）上为增函数，

因为〃2）=8Hn2—83<0,/（3）=811n3-81>0,/（2）-/（3）<0,

所以函数“X）的零点位于区间（2,3）内，故左=2.

故选：B.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

10.函数y=lg|x|-sinx的零点个数为

【答案】6

【解析】lg|x|-sinx=0,故lgW=sinx,

画出/（x）=lg|x|和g（x）=sinx,两函数交点个数即为y=lg|H—sinx的零点个数,

由图象可得，共6个交点，所以y=lgW-sinx的零点个数为6.

故答案为：6

2x,0V尤V，

2

11.已知函数=<则方程/（〃x））=x的解的个数是.

【答案】4

4x,0<x<^

2（l-2x）,：<xwg

【解析】依题意可得，/（/（%））=<

i3

2（2x-l）,—<x<—

3

4（l-x）,-<x<l

当OVxW；时，由/(/(x))=x得x=O；

ii2

当时,由〃/(x))=x,BP2(l-2x)=x,得尤=不

ia7

当时,由〃/(x))=x,即2(2x-l)=x,得尤=§;

当时，由〃/(x))=x,即4(1一x)=x,得尤=+

综上可得，方程/(〃x))=x有4个实数根，

故答案为：4

12.(2024.青海西宁•二模)记r(x)是不小于尤的最小整数，例如r(1.2)=2,r(2)=2,r(-1.3)=-1,则函数

f(x)=T(尤)-x-+：的零点个数为.

O

【答案】3

【解析】令/(力=0,贝1"(尤)一%=2——：，

O

令g(无)=r(x)_x17(尤)=

O

则g(x)与"(X)的交点个数即为了(X)的零点个数，

当一1<XV0时,g(x)=O—x=-xe[o,l),

又g(x+l)=T(尤+l)_(x+l)=r(x)__x=g(x),

所以g(x)是周期为1的函数，

7

h(x)在R上单调递减，且〃(-1)>l,A(0)=-,/z(3)=0,

8

所以可作出g(x)与/2(x)的图象如图，

所以g⑺与/i(x)有3个交点，故/(x)的零点个数为3,

故答案为：3.

13.函数〃x)=2alog2x+a⑷+3在区间、,1)上有零点，则实数。的取值范围是()

c3

A.a<——

22

c3

D.a＜——

4

【答案】D

【解析】当“=0时，/(力=3,不合乎题意.

当时，由于函数y=2alog2X、y=。・4*+3在[■』)上均为增函数,

此时函数在[J上为增函数.

当。＜0时，由于函数y=2alog2X、＞=4-4*+3在[3，1)上均为减函数,

此时函数“X)在(别上为减函数.

因为函数/(x)在区间上有零点，则

即3(4。+3)＜0,解得。＜-彳.

故选：D.

题型四：嵌套函数的零点问题

4sinTLX,0<X<1

14.已知函数/(%)=，若关于元的方程[/(X)]2-(2-m)/(%)+1-m=0恰有5个不同的实数解,

2X-1+x,x>l

则实数机的取值集合为()

A.(3,5)B.[3,5]C.(―3,—1)D.[―3,—1]

【答案】C

【解析】作出函数“X)的大致图象，如图所示，

令f=贝(2—m)/(x)+l—租=0可化为

贝U%=1或L=1-m，

则关于X的方程［/(切2-(2-m)”x)+l-m=0恰有5个不同的实数解等价于f=〃x)的图象与直线"4,

的交点个数之和为5个，

由图可得函数f=/(x)的图象与直线r=4=1的交点个数为2,

所以f=/(x)的图象与直线f=G=l-机的交点个数为3个，

即止匕时2<1—用<4,

角军得-3<m<-1,

故选：C.

2%+l,x<0

15.已知函数/(x)=，L?_2X+I］>0，方程产(%)-4⑺-。+3=0有6个不同的实数解，则实数。的取

2X一尤+"一

值范围是()

A.(1,2)B.(2,3)C.(2,3D.利

【答案】C

令f=/(x),要使原方程有6个不同的实数解，则产-勿-。+3=0有两个不同实根4名且％<4,

若％=。，贝!］一。+3=0,贝!Ja=3,止匕时/2一3,=0,t?=3,显然止匕时不合题意，

故由图知：。<4<1<弓<2,即g(f)=at-a+3的两个零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，

g(0)=3-a>0

7

而g⑺开口向上，故jg⑴=4一2a<0

方(2)=7-3a>0'

故选:C

2cos2x,-7i<x<0

16.(2024・高三・天津滨海新•开学考试)已知函数/(%)=16八，关于x的方程

x+---8o,x>0

、%

2产(%)+(5-2。)/(工)一5〃=0在［一兀,+8)上有四个不同的解罚,尤2，兀3，％4，且石<兀2<兀3<%4，若

x+x112

-12+a--—20恒成立，则实数上的取值范围是()

/V44

A.［-7T,-H»)B.c.(-co,0)Um,+GO)D.鬼一。

【答案】B

【解析】2/2(x)+(5-2a)/(x)-5a=0整理可得：(/(x)-a)(2/(x)+5)=0,故/(幻=。或/(无)=一|,由于

2|cos2x|<2,故2cos2尤=—无解，由基本不等式，x>0时，尤H———8>2.x--——8=0,故XH----8=—

112xVxx2

无解，依题意，于是在［-71,+8)上有四个解，由余弦函数，对勾函数的图像，可作出了(X)的图像如

下：

结合图像可知，当0<。<2时，/(x)=a在［一兀,依)上有四个解如图所示，由于x=-］是y=2cos2x

1616

的一条对称轴，根据对称性，%+%=-兀，由/(%)=/(匕)，即W+—-8o=%+—-o8,整理可得

*3%

/16、16

(七一%)1-----=°，由于％3<%4，故1------=°，即％3%4=16.

I入3%4J*3工4

%+x1127L7］6

于是^~~+a2-20可以整理为一7+〃-0,又/(%3)=〃=退+----8e(0,2),解得2<退<8,结合

kx3x4kx3x3

Ti99I9-

图像可知2<w<4,,即-7+七+--8>0,故W+―>2色——=6,当％=3$(2,4)时取得等号，为使

X

化工3%3V3

得一%W十?八°恒成立,只需->640,即当

40，解得左£一

故选：B

F尤一?**2,若关于龙的方程「(x)+"(x)+C=0恰有5个不同的实数解4,

17.定义域为R的函数〃x)=

1,x—2

巧，x3,x4,x5,贝！|/(&+*2+*3+匕+内)等于()

A.1B.21g2C.31g2D.0

【答案】C

【解析】令"=/(力，作出函数"=/(%)的大致图象，

当XW2时，/(4-x)=lg|4-j;-2|=lg|2-x|=lg|x-2|=/(x),

故函数f(x)的图象关于直线x=2对称，

因为关于x的方程严(力+h(力+。=0恰有5个不同的实数根，

则关于比的方程"2+6a+c=0恰有两根，设为小、的，且必有一根为1，设出=1，

设方程4=/(x)的两根分别为耳、巧，且玉<%，则4+N="

所以，X3+X4+X5=6,%+%2+%3+%4+%5=10，

因此，/(10)=lg8=31g2.

故选：C.

题型五：函数的对称问题

18.(2024・河南洛阳•一模)已知函数y=a-21nx,dw尤We)的图象上存在点函数y=Y+1的图象上存

e

在点N,且/,N关于x轴对称，则。的取值范围是()

【答案】A

【解析】因为函数y=/+l与函数-1的图象关于x轴对称,

根据已知得函数了=。-21!1瓶(工4工46)的图象与函数y=-/-1的图象有交点，

e

即方程〃一2111%=-%2-1在不£一,e上有解，

e_

即a=21nx-炉一1在龙£-,e上有解.

e

令g(x)=21nx-x2-i,xe-,e,

则g'(x)=2-2x==2(13),

XXX

可知g(x)在1,1上单调递增，在[l,e]上单调递减，

故当x=l时，g(>0m„=义⑴=-2，

由于g[J=-3-J,g(e)=l-e2,且一3-\>l-e2,

所以l-e?VaV-2.

故选：A.

19.(2024•内蒙古赤峰•二模)已知函数y=l+21nx(xe:e]]的图象上存在点V,函数,=-无2+。的图象上

存在点N,且点M,N关于原点对称，则实数。的取值范围是()

A.0/+'B.[0,e2-3]C.1+^,«2-3D.1+^,+^

【答案】B

【解析】原题等价于函数y=l+21nx[eJe]的图象与函数y=/-a的图象有交点，即方程

l+2kix=x2-a^x&」,e])有解，即a=V-l-21n_(尤e，,e][有解，/(x)=x2-l-21nx,利用导数法求

出函数的值域，即可求得答案函数>=-炉+。的图象与函数>=/-a的图象关于原点对称，

则原题等价于函数y=l+21n,xe的图象与函数y=f-。的图象有交点，

即方程l+21nx=f-a]尤e有解，

即a=x?-l-21nx]xeLe]]有解，

令"X)=”2—1—21nJxe—,e|,

则f'(x)=2X—2=2(XT),

XX

当xej,l时，/(x)<0,

当f\x)>0,故〃”*=〃1)=0,

由y(j=7+i,/(^)=^2-3,

故当x=e时，〃x)1mx=e?-3

故。的取值范围为[04-3].

故选：B.

20.(2024・高三.湖北鄂州•期末)若不同两点尸、。均在函数y=〃x)的图象上，且点P、。关于原点对称,

则称(RQ)是函数y=〃x)的一个“匹配点对”(点对(RQ)与x=0视为同一个'匹配点对").已知

*x>0

〃x)=e、’一恰有两个'匹配点对"，则。的取值范围是()

2ax2,x<0

【答案】B

【解析】函数y=(尤<0)的图象关于原点对称的图象所对应的函数为>=-2ax2(尤>0),

/(x)的图象上恰好有两个'匹配点对”等价于函数y=E(x20)与函数y=-2/(X>0)有两个交点,

e

即方程-2以2=二(x>0)有两个不等式的正实数根，

ex

X

即-2〃==。>0)有两个不等式的正实数根，

e

X

即转化为函数g(%)=-7(%>0)图象与函数y=-2〃图象有2个交点.

e

当0<彳<1时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

当x>l时，g<x)<0,g(x)单调递减.且xfO时，g(x)fO,xf+8时，g(x)3o

所以g(x)4g6=」

e

Y

所以gQ)=土(x>0)图象与函数y=-2a图象有2个交点.

贝（J0<—la<—,解得---<iz<0.

e2e

故选：B

21.(2024•江西・一模)己知函数=与函数g")=FJ,若“力与g(x)的图象上分别存

在点M,N,使得MN关于直线y=x对称，则实数左的取值范围是

-11「2](2、「3一

A.一,eB.——,2eC.一,2eD.一,3e

LeJ\_eJVe)\_e]

【答案】B

【解析】由题设问题可化为函数y=g(x)的反函数y=-2历X的图像与“X)=区在区间1,e2上有解的问题.

"14??

即方程履=-2加x在区间上有解，由此可得即--4左4—,所以-一〃42e.

_eJxxe

22.(2024•江西.模拟预测)函数/(x)=履，g(x)=21nx+6(l<x<4),若与g(x)的图象上分别

存在点M,N关于直线y=3对称，则实数上的取值范围是()

<21「2一

A.——,-ln2B.——,0

Ie」e」

C.[-In2,0]D.-1,-ln2

【答案】B

【解析】设M(r,Q)为函数〃x)="上一点，则”&公)关于片3对称的点为N(r,6-股)，

且在函数g(x)=21n%+6(14x44)图象上，所以21n,+6=6—H,

得人一手(14V4),当iw时，k'<0,左⑺单调递减，

2

当e</W4时，k'>0,所以左⑺单调递增，所以上⑺在ye有最小值为-工，

%(1)=0,可4)=一个，所以-：vMr)wo,故-：VkV0.

故选：B.

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

23.(2024•浙江宁波•高三统考期末)若函数=一？"?+〃zx-ln.三至少存在一个零点,则用的取值范

X

围为()

(211

A.[-8,£+-B,e2+-,+ooC.-oo,e+—D.e+—,+oo

eee

【答案】A

【解析】因为函数/(X)=X：2ex-+〃?x]nx至少存在一个零点

X

所以V—2夕2+如一如“=0有解

x

即m=-x2+2ex+电二有解

x

人，/、7Inx

hyXj——x+2ex------,

贝I]//(%)=-2x+2e+--

“("_2x+2e+、[="3x+*n_3x2lnx13…「向因为x>0,且由图

IX)XXX

象可知V>如X,所以川(x)<0

所以“(X)在(0,+8)上单调递减，令〃(x)=0得X=e

当0<x<e时〃(x)>0,/z(x)单调递增

当x>e时〃(%)<0,/?(%)单调递减

所以MHmax=〃("="+-

且当L+CO时力⑴―>-00

所以加的取值范围为函数人⑺的值域，即,双/+1

故选：A

24.已知函数/(x)=2x-4+】的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数

e

85)=(-尤2一2》+°)^的图象上，其中e为自然对数的底数，则实数。的取值范围为()

A.(F,3)B.(3,2e-2)C.(2e-2,+co)D.(3,+co)

【答案】B

【解析】4/Z(x)=-g(-X)=-[-(-x)2-2(-x)+«]e-=x2~^~a,则由题意可得函数/(x)的图象与函数

力⑺的图象有三个交点，即方程〃x)=Mx)有三个不同的实数根.由/(x)=Mx)可得

2x-4+—BPo=x2-2x-(2x-4)e'-l,令。(尤)=Y—2尤一(2x—4)e'-l,贝U直线'与函

exe》

数P(X)的图象有三个交点，易得p'(x)=2(x-l)(l-e)当x<0或X>1时"(x)<0,当0<x<l时//(x)>0,

所以函数p(x)在(3,0)上单调递减，在(0」)上单调递增，在。,内)上单调递减，所以函数p(x)的极小值

为0(。)=3,极大值为p(l)=2e-2.又p(-i)=2+?>p⑴，p(2)=-l<p(0),所以当3<a<2e_2时，

直线y与函数p(x)的图象有三个交点，故实数。的取值范围为(3,2e-2).故选B.

25.(2024・全国•高三假期作业)若存在两个正实数无、使得等式3*+。(2，-44)(111丫-1113=0成立，

其中e为自然对数的底数，则实数。的取值范围是().

A.(-co,0)

3

B.(—8,0)U[—,+8)

2e

3

C.(0,—]

2e

_3

D.[—,+oo)

2e

【答案】B

【解析】由3x+a(2y-4e%)(lny-ln%)=。得3+2〃("-2e)ln)=。,设？=z>0,

xxx

3

则3+a(24e)ln"0,则«-2e)ln£=-----有解，设g«)=Q-2e)ln/,

2a

g'«)=Inr+1-1为增函数,gr(e)=lne+l--=0,

te

当"e时g'«)>0,g«)递增，当0</<e时g'«)<0,g«)递减，

所以当1=e时函数g⑺取极小值，g(e)=(e-2e)lne=-ef即g(t)>g(e)=-e,

333

若«_26)1!1.=一丁有解，则一丁之一6,即hWe,

2a2a2a

3

所以a<0或〃之——,

2e

故选：B.

题型七：唯一零点求值问题

，X_1_x+l、

26.已知函数“x)=〃2+d-x有唯一零点，则加的值为()

\7

A.--B.-C.-D.-

2328

【答案】D

【解析】，(x)有零点，则加[26+2*[=-犬+彳=一卜一£|+；,

11

令;X-5,则上式可化为加(2'+2一。=-r+"

—f2-I----1-

因为2+2T>0恒成立，所以4，

m=-----

2+2一，

212121

一,+4，则H+--r+-

令2)=4______4=/#)'

2'+2To=2-'+2'2'+2T

故耳⑺为偶函数，

因为f(x)有唯一零点，所以函数〃⑺的图象与、=加有唯一交点,

结合〃⑺为偶函数，可得此交点的横坐标为0,

故加=Mo)=j=(

/十/O

故选：D

27.(2024.全国.模拟预测)若函数7'(x)=|x-3|+/-3+e3T+/n有唯一零点，则实数加的值为()

A.0B.-2C.2D.-1

【答案】B

【解析】设g(x)=/(x+3)=|x|+e*+er+〃z,

g(-x)=|-xI+e^x+ex+m=\x|+ex+ex+m=g(x)

故函数g(x)为偶函数，则函数/(尤+3)的图像关于y轴对称，故函数/(X)的图像关于直线x=3对称,

,/〃幻有唯一零点

/./(3)=0,即祖=-2,

经检验，/(x)=|x-31+eL3+e3T-2仅有1个零点x=3.

故选：B.

28.已知函数/。)=/一2工+。("7+""|)+<：0$0—1)一1有唯一零点，贝!|。=()

A.1B.—C.—D.—

332

【答案】D

【解析】把函数等价转化为偶函数且")=*+〃(3+97)+以)51-2,利用偶函数性质，g«)有唯一零点，由

g(0)=0得角军.因为/(x)=(x—I)?+Q(e*1+e口)+cos(x—1)—2,

令％—1=1则g(t)=t2+a(e'+e-z)+cost-2,

因为函数/(%)=%2-2x+a(e"T+eT+i)+cos(x-l)-1有唯一零点，

所以g⑺也有唯一零点，且g⑺为偶函数，图象关于V轴对称，由偶函数对称性得g(0)=0,所以2a+l-2=0,

解得。=:,

故选：D.

29.(2024.广东茂名二模)已知函数8(6，力(力分别是定义在区上的偶函数和奇函数,且8(力+/2(司=炉+了,

若函数〃0=尹"+公(彳-1)-2万有唯一零点，则正实数几的值为()

A.-B.士C.1D.2

32

【答案】C

xxx

£(x)+/z(x)=e+xe+e-

【解析】由题设，\\tZ.,ZV可得：gX=3^^,

g(-x)+h[-x)=e-x=g(x)-h(x)v72

由〃尤)=」曰+.(%一1)一2万，易知：/(尤)关于x=l对称.

当X21时，/(尤)=e~+((产+e1-v)-222,则/'(x)=——e』)>0,

所以单调递增，故x<l时/(x)单调递减，且当x趋向于正负无穷大时Ax)都趋向于正无穷大，

所以Ax)仅有一个极小值点1，则要使函数只有一个零点，即/。)=0,解得2=1.

故选：C

30.已知关于x的函数/(力=加一22式+|工一1|+炉+6-4有唯一零点x=。，贝｝|a+b=()

A.-1B.3C.-1或3D.4

【答案】B

【解析】/(X)=^(X-1)2+|X-1|+^2-4,令仁尤-I,

则有g(/)=/+M+从-4是偶函数,

若只有唯一零点，则必过原点，即g(0)=0,从而b=攵.

当b=-2时，有3个零点，舍去.

故b=2,止匕时♦=a—1=0,贝!Ja=l,故a+Z?=3.

故选：B

题型八：分段函数的零点问题

d+3%2-2,九<0,

31.(2024.河南开封.模拟预测)已知〃%)=inx若函数g(%)=〃%)-小有两个零点，贝奥的

----,x>0,

、x

取值范围为()

A.[JB.(-2,0)C.(-»,-2)UQ,2^|D.gd]

【答案】C

【解析】当xWO时，““=丁+3/_2,

则/(%)=3f+6x=3x(x+2),

当2)时，函数〃x)单调递增；

当xe(-2,0)时,/(力<0,函数“X)单调递减.

32

所以xWO时，1MX=/(-2)=(-2)+3X(-2)-2=2.

当x>。时，〃x)=T^,

贝八)=w^,

当xe(O,e)时,r(x)>0,函数/(%)单调递增；

当xe(e,+8)时，/'(x)<0,函数/(x)单调递减.

所以x>0时,=〃e)=『=]

画出函数/(x)的图象如图所示：

-2

I-勺

因为函数8(力=/(力-加、有两个零点，

所以>=机与y=/(x)的图象有两个交点,

由图可知机<-2或工<加<2.

e

所以机的取值范围为(-双-2)U[J,2].

故选:C.

"2

.一，/、ax+lax+1,x<0、

32.(2024・全国•模拟预测)若函数=1、八恰有2个零点，则实数。的取值范围为()

'ln(x+l)+<7,x>0

A.(-oo,0)u(l,+co)B.(0,1)C.(-oo,l)D.(0,+oo)

【答案】A

l,x<0

【解析】①当a=0时，〃司=1111(尤+1)彳>()则〃》)只有一个零点°，不符合题意；

②当a<0时，作出函数“X)的大致图象，如图1,在(-甩0)和[0,”)上各有一个零点，符合题意；

③当。>0时，作出函数“X)的大致图象，如图2,“X)在[(),+◎上没有零点.

则〃x)在(-8,0)上有两个零点，此时必须满足了(-1)=1-。<0,解得

综上，得a<0或a>l.

33.函数=="+4”2。的零点个数为()

\2'-3,x<0

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】当时，令2*+4-3=0，MW^=-4+log23；

当x>0时，令2尤2-7x+4—lnx=0,贝U2炉—7x+4=lnx,

在同一直角坐标系中分别作出y=2/-7工+4,y=lnx的大致图像如图所示，

观察可知，它们有2个交点，即函数/(x)有2个零点；

综上所述，函数f(x)的零点个数为3.

故选：C.

e"x20

34.(2024.高三.陕西西安.期末)已知函数"X='一若函数g(x)=〃f)-〃x),则函数g(x)

-3x,x<0

的零点个数为()

A.1B.3C.4D.5

【答案】D

【解析】当x>0时，-x<0,f[-x)=3x

当xvO时，一%>0,f（-%）=e-x

3x-e%,x>0

g（尤）=/（一元）一/（尤）=<o,X=o

e-x+3x,x<0

g(-x)=f(x)-f(-x)=-g(x),且定义域为R,关于原点对称，故g(x)为奇函数,

所以我们求出尤>0时零点个数即可,

g（x）=3x-e*,x>0,g'（尤）=3-e*>0,令g'（尤）=3-e*>0,解得0<x<ln3,

故g(x)在(0,ln3)上单调递增，在也13,一)单调递减,

且g（ln3）=3如3—3>0,而g（2）=6—e?<0,故g（x）在（ln3,2）有1零点,

,图像大致如图所示:

故g(x)在(0,+动上有2个零点，又因为其为奇函数，则其在(一”,0)上也有2个零点，且g(0)=0,故g(x)

共5个零点,

故选：D.

Inx-2x,x>0

35.若函数〃x）=,0/八有且只有2个零点，则实数a的取值范围为()

x+2x+tz,x<0

A.0<«<1B.0<«<1C.0<«<1D.Q<a<\

【答案】D

【解析】根据题意，x>。时，/(x)=lnx-2x(x>0),止匕时尸(x)=5一2

尸(彳)=4一2>0时，0<%<工；—(无)=!一2<0时，x>~,

x2%2

所以“X）在上单调递增，在6,+j上单调递减

》>0时，"XL"1卜-也2-1<0

所以“可在（0,+。）上无零点

从而无<。时，〃%）有2个零点，根据二次函数的性质可得

[△=4-4。>0

《[*八0/、）20/.0<tz<l

故选：D.

题型九：零点嵌套问题

36.（2024•辽宁•二模）已知函数〃尤）=9（ln尤y+（a-3）xln尤+3（3-〃）/有三个不同的零点七，玛，/，

【解析】把/（x）的零点转化为a-3=9（mx）一令=3-g,?e（0,4w）,可得方程

3x-x\nxX

9/_（51+ak+81=0有两实根％,%由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得

%+芍=51：°>513=6,不2=9,进一步得至1">3,芍=1<3,结合百<1</<X3,可得31>3,

99%为

3_皿<3,3-^0,则可知