2025年高考数学重难点复习：解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】特训（学生版+解析）

重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1两次使用余弦定理】...................................................................3

【题型2等面积法】...........................................................................3

【题型3解三角形中的中线模型】..............................................................4

【题型4解三角形中的倍角模型】..............................................................5

【题型5解三角中的角平分线模型】............................................................6

【题型6解三角中的高模型】...................................................................8

【题型7解三角形中的等分点模型】............................................................9

【题型8三角形的重心问题】..................................................................10

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】........................................................11

►命题规律

1、解三角形的图形类问题和重要模型

解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三

角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查

的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活

求解.

►方法技巧总结

【知识点1三角形图形类问题的解题策略】

1.解决三角形图形类问题的常用方法：

(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理

的性质解题；

(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问

题，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的

不错选择；

(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法

则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

【知识点2解三角形中的重要模型】

1.中线模型

(1)中线长定理：在AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,AD是BC边上的中线，则

AB2+AC2=2{BD-+AD1}.

(2)向量法：AD2=^b2+c2A-1bccosA).

2.倍角模型

B=2Aob?=〃(a+c)

C=2B^c2=bCb+a),这样的三角形称为“倍角三角形

A=2Coa?=c(c+b)

+a'A,or>abc,cic

sin2BsinBsin3B2cos53-4sin2B

推论2：A=23O£=1+2COSAO/?+C=2QCOSB.

b

3.角平分线模型

14r)

角平分线张角定理：如图，AO为4L4C平分线，贝！JcosZBAD=▲(丝+把)

2bc

斯库顿定理：如图，是人针。的角平分线，贝—可记忆：中方二上积-下积.

4.等分点模型

如图，若尸在边5。上，且满足定=%旃，\AP\=m,则延长AP至。，使力=4屈，连接CD.

易知AB〃DC,且OC=2c,|AD|=(1+A)|AP|,

ZBAC+ZACD=1SQ0.

A举一反三

【题型1两次使用余弦定理】

【例1】（2024•河南•三模）在AaBC中，AB=3VxeOSNBAC=1XC,且2。交8C于点。，AD=3,

贝UsinC=（）

A.iB.更C.渔D.这

3333

【变式1-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知A4BC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,且a=g,BC边上中

线AD长为1,则be最大值为（）

A.-B.-C.V3D.2V3

42

【变式1-2］（2024•浙江台州•二模）在△力BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若acosC=2ccosA,则

筲的最大值为（）

a2

A.V3B.-C.—D.3

22

【变式1-3］（2024•陕西咸阳•三模）在△48C中，a、6、c分别为△48C的内角4B、C的对边，M为边4C上

一点，满足MC=34M,若a?+c?-七2+ac=0,c=2,a=4,则忸M=（）

A.立B.立C.三D.包

2772

【题型2等面积法】

【例2】（2024•海南•模拟预测）在△ABC中，乙4cB的平分线与对边4B交于点D,若△C4D的面积为△CBD的

2倍，且CD=2/ACB=120°,则BC=（）

A.3B.4C.6D.8

【变式2-1］（2024•辽宁丹东・二模）在△力BC中，点。在BC边上，4D平分ABAC,NB4C=120°,AB=28,

AD=誓，则AC=（）

A.2B.V3C.3D.2V3

【变式2-2］（2024•湖南长沙•三模）记△ABC的内角的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=4.

（1）若cosB+2cosA=ccosC,求C的值；

（2）若。是边AB上的一点，且CD平分乙4c8,COSN4CB=—3求CD的长.

【变式2-3](2024•山东泰安・模拟预测)已知△ZBC内角48(的对边分别为见仇c,b(sinB+sinC)=(a-

c)(sin/+sinC).

⑴求A;

(2)A的平分线AD交BC于。点，9b+c=64,求力。的最大值.

【题型3解三角形中的中线模型】

[例3](2024・全国•模拟预测)记△ABC的内角NBAC/B,NC的对边分别为a,6,c,已知2bcosBcos2c=a-

2ccosCcos2B.

⑴求乙BZC.

(2)若b+c=8,且边BC上的中线4。=季求AABC的面积.

【变式3-1](2024•湖南长沙•三模)如图，在AABC中，已知AB=3,4C=6,力为锐角，BC,4C边上的两条

中线AM,BN相交于点P,A4BC的面积为

(1)求BC的长度；

⑵求乙4PB的余弦值.

【变式3-2](2024・陕西西安・三模)在44B斐中，角2,B,C的对边是a,b,c,已知b(l+cos力)=c(l-cos2B).

(1)证明:b=c;

⑵若BC边上的高力D为2,AC边上的中线BE为2V7,求△ABC的面积.

【变式3-3](2024•新疆乌鲁木齐.二模)在△ABC中，点M,N分别为8C,4C的中点，2M与BN交于点G,AM=

3/M4B=45°.

(1)若AC=5近，求中线BN的长；

(2)若A4BC是锐角三角形，求四边形GMCN面积的取值范围.

【题型4解三角形中的倍角模型】

【例4】(2024•陕西安康.模拟预测)已知锐角△ABC中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,其中a=8,

ay,siMa—sin2c口

-=1H----------;------，且QWC.

csinzB

(1)求证：B=2C；

(2)已知点M在线段4C上，且乙4BM=NCBM,求BM的取值范围.

【变式4-1](2024•内蒙古.三模)在△ABC中，内角力㈤。的对边分别为a,4以且(a—&6)cosC=

c(V2cosB-cos4).

(2)若B=2C,证明：AABC为直角三角形.

【变式4-2]（2024.陕西商洛•模拟预测）在锐角AABC中.内角4,B,C所对的边分别是a,b,c,己知a-

2ccosB=c.

(1)求证：B=2C；

(2)求sinB+2Bcos2c的取值范围.

【变式4-3]（2024•天津河北•二模）在△ABC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,已知c=4,b=3.

（1）若cosC=—3求a的值和△ABC的面积；

⑵在（1）的条件下，求cosQc+f的值；

（3）若A=2B,求a的值.

【题型5解三角中的角平分线模型】

【例5】（2024•河北张家口•三模）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,点。为边BC上一点,

且满足（前+XC）-BC=0.

（1）证明：AD=b；

（2）若4D为内角A的平分线，且砺=：荏+|前，求sin力.

【变式5-1](2024•四川攀枝花•三模)请在①2a-6=2ccosB,②且匕=tanC+tanB,

ccosB

③V5sin(2+8)=3-2cos2m三个条件中选择一个，补充在下面的问题中，B,C所对的边分别是a,6,c,E1

知.

(1)求角C；

(2)若b=4,点。在边4B上，CD为NACB的平分线，求边长a的值.

【变式5-2X2024•广东深圳•模拟预测汜知△力BC中内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且满足百c+bsinA=

V3acosB.

(1)求角A的大小；

(2)若。是边BC上一点，且是角A的角平分线，求器的最小值.

【变式5-3](2024.山东•模拟预测)从①=四=色空0,②也里更=土£,③2asin2g=b6sin4这三个条

bcosBsinB+sinCa2

件中任选一个，补充在下面的问题中.

已知AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c且______.

(1)求角B的大小；

(2)若4的角平分线交边BC于点D,且4。=旄，c=2,求边b.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【题型6解三角中的高模型】

【例6】(2024.四川.模拟预测)在AIBC中,内角4B,C的对边分别为a,6,c,且百csinB+6cosQ4+列)=b.

(1)求角C的大小;

(2)若a=8,△ABC的面积为4H，求4B边上的高.

【变式6-1](2024•福建泉州•模拟预测)设小ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且有2bcos(力一f=

a+c,

⑴求角8：

(2)若AC边上的高h=fb,求cosAcosC.

【变式6-2](2024.河北秦皇岛.三模)在△ABC中，内角2,8,C所对的边分别为a,6,c,C=g且a+6=7,

△4BC的外接圆半径为竽.

(1)求ANBC的面积；

(2)求44BC边力B上的高儿

[变式6-3](2024•全国.模拟预测)已知△ABC的内角2,8,C所对的边分别为a,b,c,a=1,sinB+V3bcosA=

0.

⑴求角4；

(2)设AM是△力BC的高，求AM的最大值.

【题型7解三角形中的等分点模型】

【例7】(23-24高二上・云南・期末)在AABC中，点。为线段BC的四等分点且靠近点B/B4D与ABAC互补.

⑴求票的值;

(2)若NBA。=30°,AB=4,求4。的长.

【变式7-1](2023•湖北•模拟预测)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知小(1+cosA)=

2bcsin2A.

(1)判断△ABC的形状;

⑵已知。为BC上一点，则当4=拳a=3V3,时，。为BC的几等分点？

【变式7-2](2024•湖南衡阳•模拟预测)在△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcosC-

V3.

—csinBD

3

(1)求角8

(2)过B作BD1B4交线段AC于。，S.AD=2DC,求角C.

【变式7-3](23-24高三上•湖南长沙•期中)设a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边，AD为BC

边上的中线，c=l,Z.BAC=y,2csinXcosB=asinX-bsinB+|bsinC.

(1)求AD的长度；

(2)若E为48上靠近8的四等分点，G为AABC的重心，连接EG并延长与AC交于点R求AF的长度.

【题型8三角形的重心问题】

【例8】(2024•江苏苏州•二模)记AABC的内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知竺=妥当

csinA-sinB

(1)求角力;

(2)若a=6,点M为A4BC的重心，且4M=2B，求△48C的面积.

【变式8-1](2023•四川内江•一模)△4BC的内角4、8、C所对的边分别为a、b、c,a=6,bsin^=asinB.

(1)求角4的大小；

(2)M为△力BC的重心，4M的延长线交BC于点D,且AM=2百，求△ABC的面积.

【变式8-2](2023•江西景德镇•一模)如图，已知△A3。的重心为C,AABC三内角A、B、C的对边分别

为a,b,c.且cos24=^i^

22c

D

⑴求/AC8的大小；

(2)若NCAB=E,求sin/CDA的大小.

6

【变式8-3](2023•广东佛山•模拟预测)在AdBC中，角4B,C的对边为a,hc,c•sin4=a•cosC,设△4BC

的面积为S,S=¥bc.

(1)求角B的大小;

(2)若a=3,过A/IBC的重心点G的直线I与边a,c的交点分别为E,凡丽=4丽，BA=f^BF,请计算2+〃的

值.

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】

【例9】(2024•云南曲靖•二模)在A4BC中，角4B,C的对边分别为a,b,c,且acosC+V^csinA=b+c.

(1)求角8的取值范围；

(2)已知△ABC内切圆的半径等于求△力BC周长的取值范围.

【变式9-1](2023•河南•模拟预测)已知AABC的外心为。，点M,N分别在线段4B,4C上，且。恰为MN的中

点.

(1)若BC=百,04=1,求AaBC面积的最大值;

(2)证明：AM-MB=AN-NC.

【变式9-2](2024•浙江•模拟预测)如图，在平面内的四个动点力，B,C,D构成的四边形4BCD中，4B=1,

BC=2,CD=3,AD=4.

(1)求△47。面积的取值范围；

(2)若四边形ABCD存在外接圆，求外接圆面积.

【变式9-3](2024•全国•模拟预测)已知△ABC中，角4,B,C的对边分别是a,b,c,y/3b-csinA=y/3acosC.

(1)求角4的大小；

(2)若a=7,△48C外接圆的半径为R,内切圆半径为r,求f的最小值.

►过关测试

一、单选题

1.（2024.贵州六盘水.三模）在△ABC中，AB=2,AC=3,乙4=泉则△ABC外接圆的半径为（）

V7V212V7n2信

3333

2.（2024•新疆喀什•三模）在△4BC中，AB=2,BC=^7,^BAC=120°,。是BC边一点，4D是NB4C的

角平分线，贝以。=（）

A.-B.1C.2D.V3

3

3.（2024・陕西・模拟预测）在AaBC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c（sin2-sinC）=

（a-b）（sinA+sinB）,若△力BC的面积为近，周长为3b,则AC边上的高为（）

4

A.—B.—C.V3D.2V3

32

4.（2024•福建福州•模拟预测）在△ABC中，角所对应的边分别为a,b,c,点M为边的中点，若AM=

AC,cos2B=COS（T4+C）,则sin/BAC=（）

V3V6V21n2a

AA.—n15.—C.D.

3377

5.（2024•山西•三模）在△ABC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,已知力=g/2+02=24,AABC的外

接圆半径R=2g,D是边AC的中点，贝ijBD长为（）

A.V2+1B.2V3C.6V2D.V21

6.（2024•山东泰安•三模）在△ABC中，内角4B,C所对的边分别为a,b,c,且2一。==警，延长

sin/sinA

BC至点、D,使得BC=CD,若4。=2百,48=2,则&=（）

A.1B.V3C.2D.3

7.（2024•广东广州•模拟预测）在△4BC中，角4、B、C的对边分别为a、b、c,若c=3,b=2,ABAC的

平分线4。的长为?，则BC边上的中线力”的长等于（）

A.旦B.叱C.旦D.迪

2343

8.（2024•全国•模拟预测）已知在△ABC中，角的对边分别为见仇c,2sin/=acosCfc=2.若G为工ABC

的重心，贝IG/2+GB2—GC2的最小值为（）

「企

A..-1-2--4--V-2-o.-8-+-4-V--2-C.-4-7-2----2-L）.4-+--2----

9933

二、多选题

9.（2024・广西•二模）已知AABC内角4,B,C的对边分别为a,瓦c,。为△ABC的重心，cosa=1,4O=2,则

（）

A.AO=-AB+-ACB.AB-AC<3

44

C.△ABC的面积的最大值为3份D.a的最小值为2小

10.（2024•福建泉州•模拟预测）AABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=2,AABC的

面积S=?宿・尼，则以下说法正确的是（）

A.2=30°

B.△ABC的周长的最大值为6

C.若be=4,则△ABC为正三角形

D.若力B边上的中线长等于手，贝

11.（2024.云南曲靖・模拟预测）在△A8C中，AB=4,AC=6,4=或。为边BC上一动点，则（）

A.BC=2V7

B.当4。为角4的角平分线时，力。=，^

C.当。为边BC中点时，AD=3A/2

D.若点P为△ABC内任一点，同・（而+而）的最小值为—节

三、填空题

12.（2024•陕西西安・模拟预测）已知AaBC的内角4B,C所对的边分别为a,b,c,C=135。，且AABC的外接

圆半径R=l,则△48C面积的最大值为.

13.（2024・四川自贡•三模）如图，。为ATlBC的边AC上一点，|4。|=2\DC\,/.ABC=60°,\AB\+2\BC\=4,

则|BD|的最小值为.

14.（2024•四川绵阳•模拟预测）在钝角△力BC中，a,b,c分别是△4BC的内角4,B,C所对的边，点G是

△4BC的重心，若4G1BG,则cosC的取值范围是.

四、解答题

15.(2024•浙江杭州•模拟预测)已知AABC的周长为20,角4B,C所对的边分别为a,b,c

(1)若C=%c—7,求△ABC的面积；

(2)若△ABC的内切圆半径为旧，a=7,求tan4的值.

16.(2024•内蒙古呼和浩特二模)在AABC中，记角力、B、C的对边分别为a、6、c,已知百a=V3ccosB+csinB.

⑴求角C；

(2)已知点。在2C边上，且2D=2DC,BC=6,BD=2®求△48C的面积.

17.(2024•山东青岛•三模)设三角形2BC的内角力、B、C的对边分别为a、b、c且sin(B+C)=2BsiM*

(1)求角4的大小;

(2)若b=3,BC边上的高为竽，求三角形4BC的周长.

18.(2024•西藏・模拟预测)已知△力BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且26sin(4+]-2a=c.

⑴求5

⑵若乙4BC的平分线交AC于点D,且BD=2,a=3,求AABC的面积.

19.(2024・四川绵阳•模拟预测)三角形三内角4,B,C的对边分别为a,b,c,已知逊=0当

asmA

(1)求角B的大小；

⑵若A4BC的面积等于遮，。为8c边的中点，当中线4。的长最短时，求AC边的长.

重难点11解三角形的图形类问题和重要模型【九大题型】

【新高考专用】

►题型归纳

【题型1两次使用余弦定理】...................................................................3

【题型2等面积法】...........................................................................3

【题型3解三角形中的中线模型】..............................................................4

【题型4解三角形中的倍角模型】..............................................................5

【题型5解三角中的角平分线模型】............................................................6

【题型6解三角中的高模型】...................................................................8

【题型7解三角形中的等分点模型】............................................................9

【题型8三角形的重心问题】..................................................................10

【题型9三角形的外接圆、内切圆问题】........................................................11

►命题规律

1、解三角形的图形类问题和重要模型

解三角形是高考的热点内容，是每年高考必考内容之一.从近几年的高考情况来看，正、余弦定理解三

角形在选择题、填空题中考查较多，难度较易；解答题中解三角形的图形类问题和一些重要模型也是考查

的重要内容，中等难度，有时也会与三角函数、平面向量等知识综合考查，解题方法多种多样，需要灵活

求解.

►方法技巧总结

【知识点1三角形图形类问题的解题策略】

1.解决三角形图形类问题的常用方法：

(1)两次使用余弦定理：两次使用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理

的性质解题；

(2)等面积法：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问

题，相似是三角形中的常用思路；

(3)正、余弦定理结合：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

(4)相似三角形：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的

不错选择；

(5)平面向量：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法

则可以将其与余弦定理充分结合到一起；

(6)建系：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

【知识点2解三角形中的重要模型】

L中线模型

(1)中线长定理：在AABC中，角A,3,C的对边分别为a,b,c,AD是BC边上的中线，则

AB2+AC2=2(BD2+AD2).

(2)向量法：AD-=^-(Z?2+c2+2bccosA).

2.倍角模型

B=2Aob2=〃(a+c)

2

C=2B^c=Kb+a)f这样的三角形称为“倍角三角形”.

A=2C=a2=c(c+Z?)

'A14cabc.ac

推论1：A=25o-----=-----=------ob=------=----------；

sin2BsinBsin352cos33-4sin2B

推论2：A=23O£=1+2COSAOZ?+C=2QCOSB.

b

3.角平分线模型

i4n4r)

角平分线张角定理：如图，AD为44C平分线，贝lJcosN5W=—(——+——)

2bc

斯库顿定理：如图，AO是人针。的角平分线，贝|人。2=..4。—皿。。，可记忆：中方二上积-下积.

4.等分点模型

如图，若尸在边5。上，且满足定=丸而，\AP\=m,则延长AP至。，使而=丸/，连接CD.

易知AB〃DC,且OC=Xc,|AD|=(1+A)|AP|,

ZBAC+ZACD=\^°.

►举一反三

【题型1两次使用余弦定理】

【例1】（2024•河南•三模）在△ABC中，AB=3V2,coszBXC=一，力。1XC,且力。交8c于点。，AD=3,

贝UsinC=()

V6

A.B.V3

33DT

【解题思路】利用诱导公式求出COSNB力D,再利用余弦定理求出BD及COSNADB即可得解.

【解答过程】由cosNBAC=1AC,得sin/BAD=sin&BAC-今=-cosNBAC=£

而NB力D为锐角，贝IJCOSNB4D=

在△力BD中，由余弦定理得BD=J(3V2)2+32-2x3V2x3x^=V3,

32+(6)2-(3e)2_V3

所以sinC=cosZ-ADC=—cosZ-ADB=

2x3x63'

故选：B.

【变式1-1］（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知△A8C的内角的对边分别为a,6,c,且a=b,BC边上中

线AD长为1,则此最大值为（）

A.：B.|C.V3D.2V3

【解题思路】根据两角互补余弦值之和等于0,然后分别在三角形中利用余弦定理求出两角的余弦，列出方

程求出/+c2=］然后利用基本不等式求出最值即可.

【解答过程】由题意得N4DB+AADC=TT,

所以cosZJlDB+cosZ-ADC=0,

又a=g,且。是BC的中点，所以DB=DC=弓,

AD2+BD2-C2

在△力BO中,cosZ-ADB=

2ADBDV3

心+亦一匕2*

在△ZOC中,cosZ-ADC=

2ADCDV3

2

7_^2--c

所以COSZJIOC+cosZ-ADB=41——F4广=0,

即炉+c2=1,得2bc<b2+c2=^=>be<当且仅当力=c=’取等号,

故选：A.

【变式1-2]（2024•浙江台州•二模）在△ABC中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,若acosC=2ccos4则

年的最大值为（）

a2

A.V3B.-C.—D.3

22

【解题思路】根据题意，由余弦定理代入化简，再由基本不等式代入计算，即可得到结果.

【解答过程】由余弦定理可知，COSC=可了2A=七丁,

2ab2bc

由acosC=2ccos4可得Q•0”-'=2c-b+c~a

2ab2bc

化简可得小+h2—c2=2b2+2c2—2a2,

所以3a2=炉+3c2,即q2—匕：3c,

onbe_3bc_33_V3

1/=b2+3c2=浜—°匠=~f

cb2匕万

当且仅当2=当时，即b=^C时，等号成立，

cb

所以萍最大值为当

故选：C.

【变式1-3]（2024•陕西咸阳.三模）在ANBC中，a、6、c分别为△ABC的内角4B、C的对边，M为边北上

一点,满足MC=34M,若a?+C2—庐+四=0,c=2,a=4,则|BM|=（）

A.包B・立C.三D.包

2772

【解题思路】由已知条件求出b,由余弦定理求出B,再由正弦定理求出sinA,进而求出cos4,在中，

由余弦定理即可求出|丽|

【解答过程】

BC

由已知，a2+c2—b2=—ac,贝UcosB=----------=——=——，

2ac2ac2

因为Be(0,7t),所以B=学

又c=2,a=4,代入小+,2-炉=-QC,解得b=2夕，

因为M为边上一点，满足碗=3前，所以4M=；AC=字，

由正弦定理上=号，即当=*,解得sinA=手，所以cos4=§,

sinBsmAsin—sinA77

3

=X,贝I］在△ABM中，由余弦定理BM2=4^2+a“2-24B•AMcosS,

2

得％2=2?+(?)—2X2x?x『=解得％=?,BP|BM|=y.

故选：A.

【题型2等面积法】

【例2】（2024•海南•模拟预测）在△4BC中，乙4cB的平分线与对边力B交于点D,若△CAD的面积为△CBD的

2倍，且CD=2,AACB=120°,贝ijBC=()

A.3B.4C.6D.8

【解题思路】借助三角形面积公式计算可得C4=2CB,再利用等面积法计算即可得解.

【解答过程】由SACAD=2SKBD，则有:XCA-CD-sin竿=2x|xCB•CD•sin等,

即有C4=2CB,

又S4CAD+S^CBD—SAABC，

贝Ij有工xCA-CD-sin^^+-xCBCD-sin^^=-xCA-CB-sm/.ACB,

22222

即2G4+2BC=CZ-BC,即有+=即BC=3.

故选：A.

【变式2-1】（2024.辽宁丹东•二模）在△ABC中，点。在BC边上，4。平分/BAGABAC=120°,AB=2A/3,

AD=誓，则AC=()

A.2B.V3C.3D.2V3

【解题思路】本题角平分线长问题，利用面积关系SMBCUSAABD+SAADC，结合面积公式，就能求解出AC的

长.

【解答过程】因为S-BC=SAABD+^AADC9

所以工xABxACxsinl20°=-xABxADxsin60°-^--xADxACxsin60°,

222

即ABxAC=ABxAD+ADxAC,代入AB=2^3,AD=当，

可得2日xAC=2VIx等+¥X4C,则竽工4。=4,

解得AC=A/3.

故选：B.

【变式2-2](2024•湖南长沙•三模)记△ABC的内角4B,C的对边分别为a,6,c,己知a=2"=4.

(1)若cosB+2cos4=ccosC,求C的值；

(2)若。是边48上的一点，且CD平分乙4CB,COSN4C8=—3求CD的长.

【解题思路】(1)由已知可得acosB+bcosZ=2ccosC,边化角，可得sinZcosB+sinBcosZ=2sinCcosC,

利用三角恒等变换可求C；

,乙4cB

(2)由已知可得cos誓=|,利用S“Bc=S-oc+Swc，可得CD=°；丁可求解.

【解答过程】(1)由题意得2cosB+4cos4=2ccosC,所以acosB+bcosA=2ccosC.

由正弦定理，得sin/cosB+sinBcos^=2sinCcosC,即sinQ4+B)=2sinfcosC.

又sin(4+8)=sinC,所以sinC=2sinCcosf,又sinCH0,所以cosC=1.

因为cw(Om),所以c=?

(2)由cosN/CB=-,,得2cos2笔-1=-2，解得cosq^=|.

由S“BC=S*DC+S^BDC，

得萍in"=|b-CDsin等+|aCD-sin等，

即2abeos------=(a+b)CD,

AACR2

2abeos---2x2x4x-16

所以CD=

【变式2-3](2024.山东泰安・模拟预测)已知△ABC内角4SC的对边分别为a,瓦c,b(sinB+sinC)=(a-

c)(sin/+sinC).

⑴求A;

(2)A的平分线4。交BC于。点，96+c=64,求4。的最大值.

【解题思路】(1)根据题意利用正弦定理可得+c)=(a-c)(a+c),再结合余弦定理可得cosA=

即可得结果；

(2)根据题意结合面积关系可得AD=勺，再利用基本不等式分析求解.

b+c

【解答过程】(1)因为b(sinB+sinC)=(a—c)(sin/+sinC)，

由正弦定理得+c)=(a—c)(a+c),整理得宝+c2—a2=—be,

由余弦定理得cosA=二=Q=J=

2bc2bc2

且4€(0刀)，所以a=g.

(2)因为4。为A的角平分线，WUBAD=ACAD=12LA=P

由SAAB。+S^ACD—S—BC，

可得工c-AD,sinZ-BAD+-h-AD-sinZ-CAD=-besinZ-BAC.

222

整理得4)(b+c)=be,

又因为9b+c=64,

当且仅当：=也，即c=36=16时，等号成立，

bc

所以力。的最大值为4.

【题型3解三角形中的中线模型】

【例3】(2024.全国.模拟预测)记A4BC的内角的对边分别为a,b,c,已知2bcos8cos2C=a-

2ccosCcos2B.

⑴求MAC.

(2)若b+c=8,且边8c上的中线力。=/,求A/IBC的面积.

【解题思路】(1)利用正弦定理及三角公式求cosNB2C=-5根据角的范围可得NB4C

(2)根据余弦定理可得6c=15,根据面积公式求解可得

【解答过程】(1)由已知条件及正弦定理，得2sin8cosB•cos2c=sin/B4C—2sinCcosCcos2B.

整理，得sin28cos2C+sin2Ccos28=sinZ.BAC,

BPsin(2B+2C)=sin^BAC.

又乙B+Z.C=TI-Z-BAC

所以一sin2z_BZC=sinZ.BAC,

Wfl—2sinZ-BACcosz.BAC=sinZ-BAC.

因为sin^BACKO,所以COSNBAC=-[.

又乙BACe(0,n),所以NBAC=y.

(2)由题意得，2而=南+前，

所以4同2=屈2+芯2+2XB.AC,

即19=c2+b2+2cbeosg=(b+c)2-3bc=64—3bc,

所以be=15.

故S-BC=-besmZ-BAC=-x15xsin—=

2234

【变式3-1](2024•湖南长沙•三模)如图，在AABC中，已知48=3,/^=6,4为锐角，BC,4C边上的两条

中线AM,BN相交于点「,△4BC的面积为第.

(1)求BC的长度；

⑵求N2P8的余弦直

【解题思路】⑴因为SUBCSCsinNBaC,得到，由NB"=或在△48C由余弦定理即可得到BC的

长度.

(2)因为AB?+8。2=9+27=36=4。2,所以为直角，BN=3,二8P=|BN=2.在△4BM中,

由勾股定理得4”,即得到力P,在AABP中，由余弦定理即可得到N4PB的余弦值.

【解答过程】⑴由题知，S^ABC=^AB-ACsin^BAC=所以sin/B4C=孚,

又因为NBAC€(0,n),所以NB4C=裂冷.因为ABAC为锐角，所以NBAC=/

在△力BC中，由余弦定理知SC?=AB2+AC2-2-AB-ACcos^BAC,

整理得Be?=9+36-2x3x6x|=27,解得BC=3百.

(2)因为,+6C2=9+27=36=AC2,

所以=BN=-AC=3„BP=-BN=2

223

在△力BM中，由勾股定理得：AB2+BM2=AM2,AM=^-,AP=^AM=V7

所以在△48P中，由余弦定理得cos/APB=="

2APBP14

所以N4PB的余弦值为羔

14

【变式3-2](2024.陕西西安.三模)在A2BC中，角4O,C的对边是a,b,C"已知b(l+cos4)=c(l-cos2B).

(1)证明:b=c;

⑵若BC边上的高力。为2,AC边上的中线BE为2V7,求△ABC的面积.

【解题思路】(1)利用三角函数恒等变换以及正弦定理化简已知等式可得cos(B-C)=1,可求B-CS

(一n,11：),可得8-C=0，即可证明b=c;

(2)由题意可求cosC=竿=弟在△BEC中，由余弦定理可得a=4次/=c=4,利用三角形的面积公式即

可求解.

【解答过程】(1)证明：因为(1+cosZ)=c(l-cos28),

则b(l+cos>l)=c-2sin2B,

由正弦定理得：sinB(l+cos/)=sinC♦2sin2B,

因为BE(0ji),sinBW0,

所以1+cosA=2sinCsinB,

又因为B+C+A=m所以1-cos(B+C)=2sinCsinB,

所以1—cosBcosf+sinCsinB=2sinCsinB

所以cos(B—C)=1,

因为B—CE(-TUT),

所以B—C=0所以B=C,即力=c,得证；

(2)因为BC边上的高AO为2,AC边上的中线BE为2夕，所以1BC,

DC_a

所以

cosCAC~2b'

在^BEC中，由余弦定理得：BE2=BC2+EC2-2BC•ECcosC,

所以28=a2+（乎/即28=1+?