2025年高考物理压轴题专项训练：带电粒子在匀强磁场中的运动（解析版）

专题07带电粒子在匀强磁场中的运动

NO.1

压轴题解读

带电粒子在匀强磁场中的基本运动状态，包括匀速直线运动、匀速圆周运动等，特别是当

粒子速度方向与磁场方向垂直时的运动情况。洛伦兹力的性质和作用，包括洛伦兹力对带电粒

子速度大小和方向的影响，以及洛伦兹力作为向心力在匀速圆周运动中的角色。

带电粒子在匀强磁场中的运动在2025年高考中很可能成为重要命题点。考查方向将主要

集中在带电粒子在磁场中的运动规律、受力分析以及相关的计算问题上。相关的计算知识点，

如匀速圆周运动的半径公式、周期公式等，以及这些公式在解决实际问题中的应用。可能会结

命题预测合有界匀强磁场的情况，考查粒子轨迹的确定、半径和运动时间的计算方法等。

考生复习备考时，做到深入理解基本概念和原理：熟练掌握带电粒子在匀强磁场中运动

的基本原理，包括洛伦兹力的性质、方向判断以及带电粒子在磁场中的运动轨迹分析。理解并

掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的条件，以及相关的半径、周期等计算公式。强化

解题技巧和方法：学会分析带电粒子在匀强磁场中的运动轨迹，特别是进出磁场时的对称性、

角度变化等关键点。掌握通过几何图形（如圆、三角形等）辅助分析带电粒子运动轨迹的方法，

提高解题效率和准确性。

1.带电粒子在匀强磁场中的运动

2.带电粒子在磁场中运动的多解问题

高频考法

3.带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

4.动态圆

NO.2

压轴题密押

考向一：带电粒子在匀强磁场中的运动

1.带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定

基本思路图例说明

O二:

①与速度方向垂直的p、初点速度方向垂线的交点

直线过圆心P1•••

圆心的确定

11

②弦的垂直平分线过|XXX1

。1BI

IXxxIP点速度方向垂线与弦的垂

圆心!\!^0

|xXXX\/

ixZ直平分线交点

-L—常用解三角形法：左图中，R

X

利用平面几何知识求XXNxL、

半径的确定L.取出AL\a)

R-d\sin0

半径«。。建

19/z?+

求得穴=——

2d

利用轨迹对应圆心角

0(p2a

。或轨迹长度/求时间t=-T=—T=-T

运动时间的27r27r27r

「J”

…e

确定①尸丁7AB

2兀l

t=~=—

②t=LVV

V

2.带电粒子在有界磁场中运动的常见情形

(1)直线边界(进出磁场具有对称性,如图所示)

⑵平行边界：往往存在临界条件，如图所示。

O

d=R](l-cos0)d

d=2R2d=R(l+cos6)</=R(l-cos6)

甲乙丙

⑶圆形边界

①速度指向圆心：沿径向射入必沿径向射出，如图甲所示。粒子轨迹所对应的圆心角一定等于速度的偏向

角

②速度方向不指向圆心：如图乙所示。粒子射入磁场时速度方向与半径夹角为仇则粒子射出磁场时速度

方向与半径夹角也为凡

③环形磁场：如图丙所示，带电粒子沿径向射入磁场，若要求粒子只在环形磁场区域内运动，则一定沿半

径方向射出，当粒子的运动轨迹与内圆相切时，粒子有最大速度或磁场有最小磁感应强度。

考向二：带电粒子在磁场中运动的多解问题

带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确

定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。

1.带电粒子电性不确定形成多解

分析图例

XX/X)

带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，、、/，

、.，'

正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解

如带正电，其轨迹为a；如带负电，

其轨迹为人

2.磁场方向不确定形成多解

分析图例

只知道磁感应强度大小，而未具体指出

、/

磁感应强度方向，由于磁感应强度方向

不确定而形成多解粒子带正电，若2垂直纸面向里，其轨迹为a,若

2垂直纸面向外，其轨迹为6

3.临界状态不确定形成多解

分析图例

「V__

；X

带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转\yx

।/

过180。从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解

考向三：带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

解决带电粒子在磁场中运动的临界问题的关键是以题目中的“恰好”“最大”“至少”等为突破口，寻找临界

点，确定临界状态，根据磁场边界和题设条件画好轨迹，建立几何关系求解。

1.临界条件

刚好穿出（穿不出）磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。

2.几种常见的求极值问题

（1）时间极值

①当速度v一定时，弧长（弦长）越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。

②圆形边界：公共弦为小圆直径时，出现极值，即当运动轨迹圆半径大于圆形磁场半径时，以磁场直

径的两端点为入射点和出射点的轨迹对应的圆心角最大，粒子运动时间最长。

③最短时间：弧长最短（弦长最短），入射点确定，入射点和出射点连线与边界垂直。

如图，尸为入射点，M为出射点，此时在磁场中运动时间最短。

XXX

M

X-又一又、、

义乂央;工飞7

X^,x/：XXXx\

x4xXXX；iIXXX

-------V-........./—\XXX

“'J」攵

单边界磁场平

（2）磁场区域面积极值

若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的

圆就是最小圆，对应的圆形磁场有最小面积。

考向四：动态圆

1.“平移圆”模型

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的同种

带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射

mvo

速度大小为%,则半径如图所示

适用条件QB

XXXXXXX

111

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入

轨迹圆圆心共线

射点的连线平行

将半径为年=一的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种方法

界定方法qB

叫“平移圆”法

2.“旋转圆”模型

粒子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强磁场时，它们

在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初速度大小为力,则圆周运动

mv

轨迹半径为仁）a，如图所示

qB

适用条件

P

如图，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点〃为圆心、半径

mv

0的圆上

qB

轨迹圆圆心共XX>^-^xXX

XX2XXQXXXX

圆

XX号X\^lXyX

xxxx

mv

将一半径为仁）0的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索出临界条件，这

界定方法qB

种方法称为“旋转圆”法

3.“放缩圆”模型

粒子源发射初速度方向一定，大小不同的粒子，在磁场中做匀速圆周运动的

适用条件

轨迹半径随速度的变化而变化

XP'XJ又-〜XX

3人

X/x'、3〜-勺、X

/J'、/'

轨迹圆圆心X；X/名、夕X

\：5、、/

X*'、XXx

共线、、［二二二7P---

xxx'""xXX

带正电粒子速度V越大，运动半径也越大。运动轨迹的圆心在垂直初速度方

向的直线分'上

以入射点户为定点，圆心位于用'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索

界定方法

出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

4.“磁聚焦”与“磁发散”模型

磁发散磁聚焦

带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果

带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点

轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边

射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒

界上同一点射出，该点切线方向与入射方向

子出射方向与入射点的切线方向平行

平行

r__________r

k"的V------------A

1x¥•义x,J-------------------LxX-xxj

_______

O题型密押

♦题型01带电粒子在直线边界磁场中运动

1.如图所示，在空间直角坐标系。-孙z中，zNO区域存在沿y轴正方向、磁感应强度大小为28的匀强磁

场；z<0区域存在与平面平行，与x轴、y轴正方向夹角均为45。，磁感应强度大小为亚3的匀强磁场。

一质量为〃八电荷量为+q的带电离子（不计重力），以初速度W从。点沿z轴正方向射出，离子之后经过

xQy平面的位置坐标可能为（）

(mvQmv01

A.。，箸。B.。益。c•1谪，丽BD.

【答案】D

【详解】由洛伦兹力提供向心力得

qvB=Q

R

即

R=—

qB

可知离子在zNO区域运动的轨迹半径为

尺吗

12qB

离子第一次进入z<0区域时速度方向沿z轴负方向，在z<0区域轨迹半径

'JlmVg

R=

22qB

由几何关系可知离子从z<0区域进入z>0区域时速度方向沿z轴正方向，且入射点在y轴上。故离子在z>

。区域中始终在平行xOz平面内做圆周运动，在z<0区域做圆周运动的平面始终与该区域磁场方向垂直，

运动轨迹如图所示。

由上述分析可知，离子奇数次经过x切平面时的x坐标为

X"=等了坐标为

qB'

y=(…3,5,7,…)

n2qB

离子偶数次过xOy平面时次坐标为0,丁坐标为

%=£^("=2,4,6,8,…)

故选Do

■题型02带电粒子在特定边界磁场中运动

2.如图所示，矩形区域abed内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度大小为5的匀强磁场，在ad边的中点。

处垂直磁场方向向里射入一带正电粒子，其入射速度大小为为、方向与ad边的夹角为30°。已知粒子的质

量为加、电荷量为g,ad边长为L,必边足够长，粒子重力不计。欲使粒子不从成边射出磁场，则磁场的

磁感应强度大小8的范围为()

-----------------------------------------------；b

xxxx

II

II

II

Okxxxx

%

30。uxxxx

6?'----------------------------------------------------------------------------------------------------------------」C

A,g<5<汕B.B<g

qLqLqL

「3mvn八mvn八3加%

C.B〉TD.或82T

qLqLqL

【答案】D

【详解】粒子在磁场中做圆周运动，有

qv°B=

R

得

R①

qB

则磁场的磁感应强度越大，粒子的轨迹半径越小。如图所示

设粒子的轨迹刚好和cd边相切时，轨迹的圆心为O,则有

R,-J?.sin30°=-

112

得

R[=L

则

4n

qL

故当磁场的磁感应强度小于要时，粒子将从cd边射出磁场；设粒子的轨迹刚好与边相切时，圆心为

qL

o2,则有

凡+凡sin30°=上

222

则

R=-

23

则

故当磁场的磁感应强度大于或等于电誓时，粒子将从ad边射出磁场。

qL

故选D。

♦题型3带电粒子在圆形边界磁场中运动

3.受控热核聚变反应的装置中温度极高，因而带电粒子没有通常意义上的容器可装，而是由磁场将带电粒子

束缚在某个区域内。现有一个环形区域，其截面内圆半径4=V^m,外圆半径％=3m,区域内有垂直纸面向

外的匀强磁场，如图所示。已知磁感应强度大小3=1QT,被束缚的带正电粒子的比荷且=4Qxl07c/kg,中空

m

区域中的带电粒子由内、外圆的圆心。点以不同的初速度射入磁场，不计带电粒子的重力和它们之间的相

互作用，且不考虑相对论效应。

⑴求带电粒子在磁场中运动的周期7和带电粒子不能穿越磁场外边界的最大速度v°；

(2)若中空区域中的带电粒子以(1)中的最大速度却从。点沿圆环半径方向射入磁场，求带电粒子第一次

回到。点所需要的时间；

⑶为了使束缚效果最好，在半径为%的圆内也加上磁场，磁感应强度8=22,方向相同。求粒子不能射出

半径为%的圆形区域的最大速度Vo

【答案】(1)1.57x10-7$,4xl07m/s

(2)1.91xl0-7s

(3)8xl07m/s

【详解】(1)带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有

V2

qvB=m—

r

v=---

T

解得带电粒子在磁场中运动的周期为

7=1.57x10%

当带电粒子以某一速度射入磁场时，粒子的运动轨迹恰好与外圆相切，此时粒子的速度为不能穿越磁场外

边界的最大速度，如图所示

根据几何关系有

年+%2=（—。）2

解得

rQ=lm

洛伦兹力提供带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有

qv°B=m—

解得

7

v0=4xl0m/s

（2）带电粒子以速度V。射入磁场中时，根据几何关系有

tan0=—=—

&3

解得

e=-

6

故其运动轨迹如图所示

带电粒子在磁场中运动的圆心角为在磁场中运动的时间为

44

八二工1

2乃

带电粒子在磁场外做匀速直线运动，所用的时间为

2K

12=--------

%

故带电粒子从。点沿圆环半径方向射入磁场到第一次回到O点所需要的时间

t=tx+t2

解得

/=1.91xl（r,S

（3）要使束缚效果最好，则9与B的方向应相同，如图所示

粒子在内圆区域内运动时，轨迹圆心为Q,在圆环区域内运动时，轨迹圆心为。2，设粒子在两区域内的运

动半径分别为尸八小因为

B'=2B

所以

马

12

根据几何关系有

2、cosa-Rx

OOX=耳

OO2=R2—r2

OO2=r2-rx-rx

则三角形OQQ为等腰三角形，乙OOQ2=2a,所以

2rxsina=%一弓

解得

丫2-2m

则

v=^^.=8xl07m/s

m

♦题型4带电粒子的不确定形成的多解问题

4.平面（W和平面ON之间的夹角为35。，其横截面（纸面）如图所示，平面上方存在匀强磁场，大

小为2,方向垂直于纸面向外。一质量为加，电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从。M上的某点向左

上方射入磁场，速度与（W成20。角，运动一会儿后从0M上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形

可能出现的是（）

B・N

271nl

A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是~9qB

B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是

9qB

27cm

C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是~9qB

167rm

D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是

9qB

【答案】ABD

【详解】带电粒子在磁场中做圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有

qvB=mqvB=m"r

rT

得到

mv不2兀丫

——,1=--=——

qBvqB

AC.若粒子带负电，将做逆时针方向的匀速圆周运动，粒子回到。河直线时，由圆周运动的对称性，速度

方向必与成20。，但由于35。＞20。，则粒子轨迹与ON只可能有一个交点，故粒子偏转角只可能为40。,

运动时间

40°27rm27m

----x---=----

360qB9qB

A正确、C错误。

BD.若粒子带正电，将做顺时针方向的匀速圆周运动，无论轨迹与ON有几个交点，粒子回到直线时,

由圆周运动的对称性，速度方向必与（W成20。，粒子偏转角为

360°-40°=320°

则粒子运动时间为

t32—0_°___2x兀_m__\—6j_rm___

360°qB9qB

BD正确。

故选ABD„

♦题型5磁场方向的不确定性成的多解问题

5.如图甲所示，/以力是一长方形有界匀强磁场边界，磁感应强度按图乙规律变化，取垂直纸面向外为磁场

的正方向，图中一质量为加、电荷量为4的带正电粒子以速度％在f=0时从A点沿N8

方向垂直磁场射入，粒子重力不计.则下列说法中正确的是()

A.若粒子经时间恰好垂直打在上，则磁场的磁感应强度为=》

2qL

B.若粒子经时间/=恰好垂直打在8上，则粒子运动的加速度大小a=强

22£

C.若要使粒子恰能沿DC方向通过C点，则磁场的磁感应强度的大小综=誓(〃=1,2,3,一)

乙qL

2nI，/、

D.若要使粒子恰能沿。C方向通过C点，磁场变化的周期〃=l，2,3,…

【答案】AD

【详解】A.若粒子经时间/=恰好垂直打在CD上，则粒子运动的半径为

R=L

根据

qvB=m

0R

解得磁场的磁感应强度

Bo=

qL

选项A正确;

3

B.若粒子经时间看5To恰好垂直打在CD上，粒子的轨迹必定为3个四分之一圆周，如图,

由几何关系得，运动半径为

1

r=-L

3

运动中的加速度为

a=—=--

rL

选项B错误；

CD.若要使粒子恰能沿。C方向通过C点，粒子运动的时间必定为磁感应强度变化的周期的整数倍，如图;

根据运动的对称性可得，轨道半径满足

2L=2nr

,L

r=—（n=l>2、3、…）

n

由洛伦兹力提供向心力得

4%稣="7T

r

得

nnmvr.

B-°（及-0、1、2、3、....）

oqL

粒子圆周运动周期为

T=3__=2兀L

113〃%

磁感应强度变化的周期

T0=T

得

Tg=~（H=0>1、2、3、....）

3"%

选项C错误，D正确；

故选AD.

■题型6临界状态的不唯一形成的多解问题

6.空间存在匀强磁场，磁感应强度大小为3,方向垂直于纸面，线段血W是屏与纸面的交线，长度为

其左侧有一粒子源S,可沿纸面内各个方向不断发射质量为加、电荷量为外速率相同的粒子；SP1MN,

尸为垂足，如图所示，已知SP=MP=L,若ACV上所有的点都能被粒子从其右侧直接打中，则粒子的速率

至少为（

M

S•——,尸

N

.\ilqBL2qBL#：qBLn-JiGqBL

r\•---------D.L.----------------U•----------------

mmmm

【答案】C

【详解】粒子要打中MN的右侧所有位置，最容易的方式为粒子从s飞出，绕过距离最近的河点，从右侧

打中儿W最下端的N点，粒子运动的轨迹如图所示

为轨迹圆的弦长，。为AGV中点，SP=PQ=L,MQ=2L；粒子

运动的半径为人根据几何关系可知四边形SP。。为平行四边形，则

r2=OQ2+MQ2

解得

r=#L

粒子在匀强磁场中匀速圆周运动，洛伦兹力完全提供向心力，根据牛顿第二定律可知

V2

qvB-m——

r

解得粒子的最小速率为

y/5qBL

v=---------

m

故选C。

♦题型7带电粒子在磁场中运动的临界极值问题

3-

7汝口图，在'丹坐标系的第一象限内，直线V=?/-丘（左〉0）的上方有垂直纸面向外的有界匀强磁场，磁感

应强度大小为瓦在点有一粒子源，能以不同速率沿与y轴正方向成60。角发射质量为加、电荷量

为式4>0)的相同粒子。这些粒子经磁场后都沿T方向通过x轴，且速度最大的粒子通过x轴上的M点，

速度最小的粒子通过x轴上的N点。已知速度最大的粒子通过x轴前一直在磁场内运动，NM巫I,不

2

计粒子的重力，求：

(1)粒子最大速度的值与人的值;

(2)粒子从尸点到穿过x轴经历的最长时间;

【答案】⑴一？卜当⑵t=丝祟…S5(4〜3向,2

36

【详解】(1)设粒子的最大速度为匕，由于速度最大的粒子穿过x轴前一直在磁场内运动，过尸点作速度

的垂线交x轴于Q点，就是速度为匕的粒子做圆周运动的圆心，PQ即为半径A，由几何关系可知

&sin60°=yp

解得

%=拒1

由洛伦兹力提供向心力，则

qvxB=m

段

解得

拒qBl

V1二-----

m

由于所有粒子离开磁场时方向均沿y轴负方向，所以它们在磁场中偏转的角度均相同。即从磁场射出的粒

3

子，射出点一定在连线上，尸M连线即为了=1/-履直线

OMOO{+RX

解得

3

(2)所有粒子在磁场中运动的时间均相等，速度小的粒子离开磁场后再做匀速直线运动，速度最小的粒子

在磁场外运动的位移最大，时间最长。设粒子在磁场中运动的时间为。

T2兀m1

1二——，=-T

qB13

设速度最小的粒子在磁场中半径为&，速度为修，根据几何关系有

CN_NM

~OP~~OM

R2sm3Q°+R2=OM-MN=43l

解得

CNjR”

由洛伦兹力提供向心力，则

qvB=m

2%

解得

2/qBl

v=-----------------

23m

最小速度的粒子离开磁场后运动的时间为r2,有

CN

%2二---

%

粒子最小的粒子从离开尸点到打在X轴上经历的时间

/=(8^+3^

12qB

（3）磁场的最小面积为图中尸CM阴影部分面积

S=（g万尺；一；R；sin60°）—（；兀R；-1sin60°）

解得

5（4^-373）2

3=------------/

36

♦题型8“平移圆”模型

8.如图所示，在xQy平面的I、IV象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左

侧平行于x轴正方向不断射出质量为加、电荷量为外速度大小为V。的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小

为一、方向垂直平面xQy向里。不考虑粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁

2qR

场的粒子中，在磁场中运动的时间最长为（）

TIRTIRTIRTIR

A.—B.—C.—D.—

6vo4vo3Vo2vo

【答案】c

vi

【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvOB=m-,解得r=2凡如图所示，当粒子在磁场中的运动

r

FE

轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin1=一,要使圆心角。最大，在*最长

r

经分析可知，当粒子从y