2025年新疆乌鲁木齐高三一模数学试卷（含答案详解）

乌鲁木齐地区2025年高三年级第一次质量监测

数学（问卷）

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.本试卷分为问卷（4页）和答卷（4页），答案务必书写在答卷（或答题卡）的

指定位置上.

2.答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚.

第I卷（选择题共58分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选

项中只有一项是符合题目要求的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知集合/={1,3,5},5={0,1,2,4},则NU8=（）

A.{0,123,4,5}B.{0,1,2,4}C.{1,3,5}D.{1}

1-i

2.复数」=（）

i

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.在公差不为0的等差数列{%}中，若=5（%+%）,贝！］左=（）

A.7B.8C.9D.10

4.新高考改革方案采用“3+1+2”模式，“3”即全国统考的语文、数学、外语，“1”即在物理、

历史2门首选科目中选考1门，“2”即在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选

考2门.选考方案有（）

A.6种B.8种C.12种D.15种

5.已知等边三角形/3C的边长是2,D、E分别是48、/C的中点，则屁.丽=（）

A30_3

C.-D.—

2222

6.若。,6eR,则下列命题正确的是()

A.若a>6,则/>"B.若a#b,则a2Hb2

C.若“＜同，则/＜〃D.若a＞问，则a?〉/；?

7.如图，一个圆柱形容器中盛有水，圆柱母线叫=4,若母线N4放置在水平地面上时,

试卷第1页，共4页

水面恰好过CM的中点，那么当底面圆O水平放置时，水面高为()

A2V3n473「2石口4c

A.------B.------C.—H---D.—H-----

3n3Ti37i3n

8.已知函数/'(x)=|x-a|,g(x)=x+-,当x>0时，/(x)<g(x),则。的取值范围是()

A.(-oo,0]B.(ro,8]C.[0,2]D.[0,8]

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得

0分.

9.关于双曲线4/+64=0,下列说法正确的有()

A.实轴长为16B.焦点坐标为(0,4行)，(0,-46)

C.离心率为1D.渐近线方程为>=土?

10.关于x的函数/(x)=sin(x+a)+sin(尤+夕)，下列结论正确的有()

A.函数f(x)的最小正周期7=兀

B.若a+6=0,则/'(X)是奇函数

C.若a+£=?则苫=:是/'(x)图象的一条对称轴

D.若/(O)=g,/0]=:，则cos(a-6)=-：

11.给定棱长为1的正方体N5CD-44G〃，M是正方形4DA4内(包括边界)一点，

下列结论正确的有()

A.三棱锥M5C的体积为定值

B.若点〃在线段/。上，则异面直线8M与瓦C所成角为定值

C.若点”在线段幺2上，则的最小值为亚瑟

试卷第2页，共4页

D.若BM=",则点”轨迹的长度为拽兀

33

第n卷(非选择题共92分)

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.

12-已知/(")=优1则/吗下—；

13.李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录了多次所花时间，假设坐公交车用时X

和骑自行车用时Y都服从如图的正态分布.星期一李明出门有38min可用，他应该选择

交通工具；星期二李明出门有34min可用，他应该选择交通工具；

1A

度曲爹子苜曲线

司~^6303438Z/min

22

14.已知椭圆C：方=1(°>6>0)的左焦点为耳，过点片且倾斜角为60。的直线交y轴

于点交椭圆C于A,3两点(A点在B点左侧)，I凰=8:7,则椭圆C的离心率

为.

四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应在答卷的相应各题中写出文字

说明，证明过程或演算步骤.

7T

15.在V/BC中，角A,B,C的对边分别为b,c,已知。=3,6=2,C=-.

(1)求V/2C的面积；

(2)求VABC中ZC的角平分线的长.

16.如图，一个质点从原点0出发，每隔1s向左或向右移动一个单位，每次移动时向右移动

的概率为0.6,记〃s后质点所在的位置是.

(1)求P。=-2)；

(2)至少几秒后才能使得E(%)22.

17.如图，及4和。C都垂直于平面48C,且E/=2DC,尸是线段BE上一点.

试卷第3页，共4页

E

(1)若//平面证明尸是5E的中点；

(2)若/B=5C=CZ),ABLBC,平面。斯与平面/CF夹角的余弦值为正，求名.

18.已知抛物线C：/=2px(O<p<5)的焦点为尸，点尸,,4)在C上，且|PF|=5.

⑴求C的方程；

⑵过点尸的直线交C于A,8两点(异于点尸).

⑴若PA工PB,求朋；

(ii)过点尸与直线N3垂直的直线交C于。，E两点，设线段的中点分别为

N,0是坐标原点，求A(W面积的取值范围.

19.已知〃x)=--2xlnx-l.

(1)求证：当x>l时，/(X)>0；

n]

⑵设丁7一叱

自1+k

(i)求证：数列｛4｝为递减数列；

(ii)求证：|«„|<|.

试卷第4页，共4页

1.A

【分析】由并集的运算即可求解；

【详解】由/={1,3,5},5={0,1,2,4）,

则/U8={0,l,2,3,4,5},

故选：A

2.D

【分析】根据复数的除法计算后可得正确的选项.

【详解】lzl=（：；）（；）=一一,

1ix㈠）

故选：D.

3.D

【分析】根据等差数列前项和公式和等差数列的通项公式计算即可.

【详解】设等差数列{与}的公差为"，则130,

由航0—5（4+做）彳导，10%+45d=5〔%+<?]+（左一1）d],

所以9=左一1,即左=10.

故选：D.

4.C

【分析】利用组合知识和分步乘法计数原理得到答案.

【详解】从物理、历史2门首选科目中选考1门，有C；=2种选择,

在思想政治、地理、化学、生物学4门再选科目中选考2门，有C：=6种选择，

故选考方案有2x6=12种.

故选：C

5.B

【分析】将向量就、函用基底{强，元}表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求

得丽•丽的值.

【详解】如下图所示：

答案第1页，共15页

A

因为等边三角形NBC的边长是2,D、£分别是45、NC的中点，则函=-g而，

_—，1—.1—.

由通k=就k得而k-第=就k-屁k，^^BE=-BA+-BC,

由平面向量数量积的定义可得瓦•元=|国网cos^=22xl=2,

因止匕，砺.丽=g（切+困•]=可=q（茄.瑟+就）=）2H22）=一]

故选：B.

6.D

【分析】利用特殊值判断A、B、C,利用不等式的性质判断D.

【详解】对于A：当a=0,6=T时满足。＞6,但是/＜62,故人错误;

对于B：当。=1,6=-1时满足。片6,但是/=62,故B错误；

对于C：当。=-2,6=-1时满足。＜何，但是二〉〃，故c错误;

对于D：若。＞网,则同＞碓0,所以，＞时,则〃＞庐,故D正确;

故选：D

7.B

【分析】根据两种放置方式水的体积不变即可求得.

【详解】如图，

设圆柱底面半径为，，则当母线力4水平放置时，圆柱中含水部分可以看作是以弓形R4C为

答案第2页，共15页

底，为高的柱体,

因为水面过CM的中点，贝1]N8OC=2N8CM=3-,

则弓形8/C的面积为v=--—r2---r2sin—=—

123233

当底面圆。水平放置时，底面圆的面积为邑=万产，设水面高为

则由水的体积不变可得：=:星・刀日n1(冗丫A/3F...121

R|J—(-------------------------)-AA=-7ir•h,

334y13

解的：h=--^~.

3n

故选：B.

8.D

【分析】取特值/■⑵wg⑵解得0VaV8,整理可得-1)42尤3+2一,换元令yf>0,

3

构建/7(。=24+20>0，根据导数的几何意义求临界状态，结合图象即可得结果•

【详解】因为当x>0时，/(x)<g(x),

则/(2)Vg(2),gp|2-a|<2+p

整理可得42一84«0，解得0<4<8,

若04〃V8,贝！—,

整理可得^Z(X2-1)<2X3+2X2,

33

令£=丁>0,则可得a("l)42M+2f，

构建〃«)=2”+2f,/>0,则〃«)=3〃+2>0,

可知蛇)在(0,+e)内单调递增，

若尸a(…l)与)=3)相切,

(I\

设切点坐标为力,24+2,0,切线斜率左=3a+2,

I7

j*3

则切线方程为尸12碎+2%]=(3瓜+2)(x―。)，整理可得了=(3“+2卜

3

注意到直线尸。("1)过定点(L0),则卜a+21蜡=0，

答案第3页，共15页

结合图象可知：0<«<8,所以。的取值范围是［0,8］.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：取特指确定。的必要条件，这样可以简化讨论和计算.

9.ABC

【分析】将双曲线方程化为标准形式，求解长轴判断A,求解焦点坐标判断B,求解离心率

判断C,求解渐近线方程判断D即可.

【详解】因为4/-『+64=0,所以/一4/-64=0,

则》2_收=64,化简得］———=1,贝!Ia=8,6=4,c=4石，

6416

对于A,则实轴长为2a=16,故A正确，

对于B,焦点坐标为(0,4班)，(0,-46)，故B正确，

对于C,离心率为e=£=迪=",故C正确，

。82

对于D,渐近线方程为y=±2x,故D错误.

故选：ABC

10.BCD

【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：整理可得/(x)=2cosa-sinx,即判断奇偶性;

对于C：整理可得/(x)=sin(x+a)+cos(x-a),根据对称性的定义分析判断；对于D：代

入可得sincz+sin"=J,cosa+cos/?=i,两式平方相加整理即可.

【详解】函数/(可的定义域为R,

答案第4页，共15页

对于选项A：例如a=0,，=兀，

贝！Jf(x)=sinx+sin(X+TI)=sinx-sinx=0,

此时函数/(x)无最小正周期，故A错误；

对于选项B：若a+，=0,即夕=一。，

可得/(%)=sin(x+a)+sin(x-a)=2cose-sinx,

可知函数/(x)为奇函数，故B正确；

jrJT

对于选项C：若a+，=5，即，=—a+,,

可得/(x)=sin(x+a)+sin,_a+g]=sin卜+a-cosq一a),

贝1/(巴―%]=sin仔_(x一°)]+cosF-(x+a)]=co《x-a)+si/x+@=/，，

所以X=:是/(X)图象的一条对称轴，故C正确;

对于选项D：若/'(0)=5，f

.Tt„„1

+smI—+pI=cosa+cos/?=—,

因为⑸na+sin£)2+(cosa+cos/7)2=2+2©osacos£+sinasin夕>2+2cos,

i1i3

即2+2cos(a-£)=w+1=丁整理可得cos(a-£)=-“故D正确;

故选：BCD.

11.ABC

【分析】建立空间直角坐标系，求出底面积，再利用点到平面的距离公式求出点面距离，求

出体积是定值判断A,利用线线角的向量求法求出线线角，得到定值判断B,作出展开图，

利用先判断最小值是线段45,再利用余弦定理求解其长度判断C,求出轨迹方程，再利用

圆的弧长公式求解弧长判断D即可.

【详解】如图，以。为原点，建立空间直角坐标系，连接

答案第5页，共15页

对于A,易得面”8CC1的法向量为£=(0,1,0),设M到面稣8cq的距离为d,

由点到平面的距离公式得〃=咋也=1,而邑=1x1x1」

7122

则乂TBCML.GBCVXIX；］,即三棱锥C「AffiC的体积为定值，故A正确,

对于B,因为点”在线段上，所以而=/C位(0V2V1),

而1(1,0,0),A(0,0,1),则唐=(-1,0,1),翔=(x-l,0,z),

得到x—1=—%,z=4,解得x=1—%,即Af(l—4,0,4),

|(-l)x^-A)+(-l)x^|

则cosp二而方［吟故£=(

J(T)2+(T)2XJ(T)2+(-不2+才

即异面直线四与瓦C所成角为定值，故B正确,

对于C,如图，将面4AzM沿着NR翻折，使面42'与面N2G4共面，

答案第6页，共15页

Di

由题意得四边形4，。/是正方形，四边形/2GA是矩形，

,JIJI11

得到N//。=/。①台=5,AD,AAX=-,ZA^AB=-

而"4+M8248,则42的长度即为所求最小值，

由余弦定理得-也=『+『一(4'『，解得=52+正，故C正确,

22x1x11

对于D,如图，连接8加，此时2(1,1,0),Af(x,0,z),

则由两点间距离公式得BM=7(x-l)2+(-l)2+z2=7(x-l)2+l+z2,

因为BM=¥，所以J(XT)2+I+ZJy,

两边同时平方得(Al)?+1+/，化简得(x-l)2=；,

则W的轨迹是以A为圆心，Y1为半径的圆弧，

3

由正方体性质得44。=与，贝IJ弧长为且、巴=也无，

2326

即点M轨迹的长度不为还兀，故D错误.

3

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：解题关键是建立空间直角坐标系，然后求解出轨迹方程，再利用弧长

公式得到所要求的轨迹长度即可.

答案第7页，共15页

1

12.-##0.5

2

【分析】利用指数函数，对数函数的运算性质求解即可.

【详解】因为〃力=「XT',所以温A10°=l,

则(C=/(103)=lgl(F=1.

故答案为：y

13.自行车公交车

【分析】应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具，结合图形，比较概率的大小可得

答案.

【详解】由题意，应选择在给定时间内不迟到的概率大的交通工具.

根据X和y的分布密度曲线图可知：p(^<34)>p(r<34),尸(y>38)<p(x>38),

可得P(X438)<P(y«38),

若有38min可用，那么骑自行车不迟到的概率大，应选择骑自行车；

若有34min可用，那么坐公交车不迟到的概率大，应选择坐公交车；

故答案为：骑自行车；坐公交车.

14-I

【分析】设直线为y=6(x+c),求得/纵坐标，由|/耳|：|孙|=8:7求得人的坐标，代入

椭圆方程即可求解.

【详解】由题设，令直线为y=V^(x+c),

因为玛：|九阴|=8:7

答案第8页，共15页

可得又均<0，

yM7

可得：”=一,c,再结合y=g（x+c）,

可得猫=-紧

代入椭圆方程丝岑+更竺=1,又〃=/-c2,

49a249〃

225c2192c2,

所以k+碰一fl

化简可得：（/一9c，卜9/一25c2）=0,因为a>c,

易知49/一25。2>0

所以02=902,即“=3c

c1

所以e，二

a3

故答案为：

15.⑴孚

⑵竽

【分析】（1）根据面积公式运算求解即可；

（2）设角平分线为CD,根据面积关系运算求解即可.

71

【详解】（1）因为。=3,b=2,C=|,

所以VABC的面积为SABC=—absvaC=—x3x2sin-=.

"c2232

（2）设角平分线为CD,

因为&N5C=S4CAD+邑CBD

贝!J=—a\CD\sin—+—b\CD\sin—,

232626

BP-x3x2x—=-x3C£>x--Ux2C£>U,解得CD=述,

2222225

所以/C的角平分线的长为迪.

5

16.（1）0.1536

⑵至少10s后

答案第9页，共15页

【分析】(1)根据题意分析可知X〜8(〃,0.6),a„=2X-n,可得尸(&=-2)=P(X=1),

结合二项分步运算求解；

(2)由⑴结合期望的性质可得E(%)=02",令E(a")Z2,运算求解即可.

【详解】(1)记〃s后质点向右移动的次数为X.

则X〜8(〃,0.6),且%=l-X+(-l)-(«-^)=2X-«,

可得知=2X-4,令%=-2,即2X-4=-2,解得X=l,

则尸(%=-2)=尸(X=l)=C；x06x0.43=0.1536.

(2)由(1)可知：E(a,J=E(2X-〃)=2E(X)-〃=2x〃x0.6-〃=0.2〃，

令E(。”)=0-2"22,解得"210,

所以至少10s后才能使得E(a„)>2.

17.(1)证明见解析

(八里」

【分析】(1)根据线面平行的性质可得刊M〃CD,进而根据四边形C,尸。是平行四边形,

即可求解，

(2)建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角公式求解.

【详解】(1)过点尸作■ra/〃NE交48于点M,连接CA/,

则尸/〃/E〃CD,即尸、M、C、。四点共面，

DF//平面ABC,。厂u平面FMCD，平面句10。平面ABC=CM,

/.DF//CM,又,：FM//CD,

•••四边形.。是平行四边形，.是成的中点

E

(2)ABLBC,E/_L平面

答案第10页，共15页

以3为坐标原点，8/为尤轴，8c为了轴，过B平行于E4的直线为z轴，建立坐标系3-xyz.

记N5=BC=CD=1,则/(1,0,0),5(0,0,0),C(0,l,0),£>(0,1,1),£(1,0,2),

设丽=彳砺，则前=（40,2几），即点尸的坐标为（4。,24）,赤=（1,0,2）,丽=（0,1,1）,

设平面BDE的一个法向量为4=（%,必,％）,

BE-nx=0&+2Z]=0xl=2

即,令Z]=-l,则则*=(2,1,-1),

BD•4=0.%+Z]=0乂=1

就=(-1,1,0),万=(几-1,0,22),

设平面NC尸的一个法向量为%=（*2，%/2）,

AC-n2=0\-x2+y2=Q

，

JF.^=0[(A-1)X2+2/IZ2=0

%=1—(

1-2

令迎=1,贝上1-4,贝11%=I4,

z=----<~zT

,224

因为平面。跖与平面NCF的夹角余弦值为变,

所以卜0s%，T=

整理得111万一34之一1=0,解得4=；或4=-*（舍）,

18.⑴/=4x

(2)(i)—；(ii)[6,+co)

【分析】（1）根据焦半径公式以及点的坐标即可联立方程求解,

答案第11页，共15页

7

（2）联立直线与抛物线的方程，根据向量垂直的坐标运算即可求解加=--，进而根据焦点

弦公式求解（i）,根据中点坐标求解直线"N的方程，即可直线"N与x轴的交点，根据三

角形面积公式，结合基本不等式求解即可.

【详解】（1）由题意可得

a+—=5fn=2fp=8,

2，解得,或,（舍）.所以C的方程为r=4x

[16=2«p["4t«=l

（2）（i）由（1）可得P（4,4）.设直线的方程为x=+l卜S（x2,y2）.

由方程组2:，消去x，得r-4叩-4=0,

U=4x

贝ljA=16机2+16>0,弘+%=4加,匕％=-4

所以尸/=（再-4,乂—4）=（my1-3,yx-4）,PB-（x2-4,y2-4）=（my2-3,y2-4）.

由尸/_L尸3可得

尸/•尸2=（〃沙1-3）（叼2-3）+（必-4）（%-4）=（%2+1）必%-（3%+4）（/+%）+25

=-4（〃?2+1）-4m（3m+4）+25=（3-4加）（4加+7）=0

解得加=-;7或"，=3：（舍）.所以直线的方程为》+7白-1=0.

444

765

\AB\=X[+X2+2=（ji+）2）+4=丁；

（ii）由（i）可得=4加，几为=T，故石+工2=加（%+y2）+2=4加2+2,

故"（2加之+1,2加）,

将加换成一~^可得—^+1,---],

mymmJ

当加=±1时，M（3,2）,N（3,-2）或M（3,-2）,N（3,2）,故直线7W的方程为x=3,

2

2m——

________mm

当加w±l时,

52

2m2+l-^y-lm-1

m

故直线MV的方程为>-2冽=（x-2比2-1）,

m-1v/

令P=0,得x=3,S^OMN=^x3x\yM-y^=3m+-^->6,

2m

答案第12页，共15页

当且仅当加=±1时等号成立，所以面积的取值范围为[6,+8).

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：(1)几何法，若题目的条件能

明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件能体现

一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将△MCW

的面积用表示出来，然后再利用基本不等式长最值.

19.(1)证明见解析

(2)(i)证明见解析；(ii)证明见解析

【分析】(1)对函数/(力求导，并构造°(x)=/'(x),利用导数判断出函数的单调性和最值,

即可证明出不等式;

(2)⑴a„+1-an=—5--In,令