2025年中考数学复习：面积的存在性问题（含解析）

面积的存在性问题

1.如图1,已知等边△ABC的边长为8,点P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合)，直线1是经过点P的

一条直线，把AABC沿直线1折叠，点B的对应点是点B.

⑴如图2,当PB=4时，若点B恰好在AC边上，则AB的长度为

⑵如图3,当PB=5时,若直线"/AC厕BB的长度为

⑶如图4,点P在AB边上运动的过程中,若直线1始终垂直于ACZACB，的面积是否变化？若变化，说明理

由；若不变化，求出面积；

⑷当PB=6时，在直线1变化的过程中，求AACB，面积的最大值.

图4

2.如图1,在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB=4,BC=6.若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形

顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动.

⑴当AOAD=30。时，求点C的坐标；

⑵设AD的中点为M,连接OM、MC,当四边形OMCD的面积为争寸，求OA的长;

(3)当点A移动到某一位置时，点C到点。的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos/OAD的值.

3.面积的存在性问题

在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴点A,与y轴交于点B,抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点A,B.

⑴求a,b满足的关系式及c的值；

(2)当x<0时，若.y=af+.+c(a<0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围；

⑶如图，当a=-l时，在抛物线上是否存在点P,使APAB的面积为1,若存在，请求出符合条件的所有点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

4如图1,已知锐角三角形ABC内接于OO,OD±BC于点D,连接0A.

A

⑴若/BAC=60。，

①求证：OD=lOA.

②当OA=1时，求AABC面积的最大值.

图1

(2)点E在线段0A上,OE=OD,连接DE,设NABC=m/ODE.NACB=n/OED(m,n是正数).若/ABC<NACB,求

证m-n+2=0.

5如图1,等边AABC中,AB=6点D在BC上,BD=4,点E为边AC上一动点(不与点C重合),ACDE关于DE的

轴对称图形为AFDE.

(1)当点F在AC上时,求证:DF〃AB;

(2)设AACD的面积为S15AABF的面积为S2,记S=Si-S2,S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；

若不存在，请说明理由；人

(3)当B、F、E三点共线时，求AE的长./\E

B/<ADC

6.如图1,已知平面直角坐标系xOy,抛物线.y=收+取+2与x轴交于点A(-2,0)和点B(4,0).

(1)求这条抛物线的表达式和对称轴；

⑵点C在线段0B上，过点C作CD±x轴，垂足为点C,交抛物线于点D,E是BD的中点，联结CE并延长,

与y轴交于点F.

①当D恰好是抛物线的顶点时，求点F的坐标；

②联结BF,当ADBC的面积是ABCF面积的|时，求点C的坐标.

7直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b都过点M(l,0),且a<b.

(1)求抛物线顶点Q的坐标(用含a的式子表示)；

(2)试说明抛物线与直线有两个交点；

(3)设抛物线与直线的另一个交点为N.

①若一1WaW-胡寸，求MN的取值范围；

②求AQMN的面积最小值.

8已知RtAEFP和矩形ABCD如图1摆放(点P与点B重合)点F、B(P)、C在同一直线

上,AB=EF=6cm,BC=FP=8cm,NEFP=90。.如图2,AEFP从图1位置出发，沿BC方向匀速运动,速度为lcm/s,EP与

AB交于点G；同时，点Q从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为lcm/s.过点Q作QMJ_BD,垂足为H,交AD

于点M,连结AF、PQ.当点Q停止运动时,AEFP也停止运动.设运动时间为t(s)(0<t<6).解答下列问题：

(1)当t为何值时,PQ〃BD?

(2)设五边形AFPQM的面积为y(cm)求y与t之间的函数关系式；

(3)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使=9:8?若存在，求出t的值；若不存在，

五边形AFPQM矩形ABCD

请说明理由；

⑷在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点M在线段PG的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存

在，请说明理由.

图2

9.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图

象上，CD〃x轴，且CD=2,直线1是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点.

⑴求b、c的直

(2)如图1,连结BE,线段OC上点F关于直线1的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；

(3)如图2,动点P在线段0B上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.试问：抛

物线上是否存在点Q,使得APQN与AAPM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，说明理由.

10如图在RtAABC中，乙4cB=90°,AB=®AC=2,,过点B作直线m〃AC,将AABC绕点C顺时针旋

转得到AABC(点A、B的对应点分别为A；B，),射线CA；CB，分别交直线m于点P、Q.

(1)如图1,当P与A重合时，求/ACA的度数；

(2攻口图2,设AE与BC的交点为M,当M为AE的中点时,求线段PQ的长；

(3)在旋转过程中，当P、Q分别在CA；CB，的延长线上时，试探究四边形PAEQ的面积是否存在最小值.若

存在，求出四边形PA'B'Q的最小面积；若不存在，请说明理由.

图1

11.面积的存在性问题

如图1,在平面直角坐标系中，直线y=x-l与抛物线.y=-x2+bx+c交于A、B两点，其中A(m,0)、B(4,n).

该抛物线与y轴交于点C,与x轴交于另一点D.

(1)求m、n的值及该抛物线的解析式；

⑵如图2,若点P为线段AD上的一动点(不与A、D重合),分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作

等腰直角三角形APM和等腰直角三角形DPN,连接MN,试确定AMPN面积最大时点P的坐标；

(3)如图3,连接BD、CD,在线段CD上是否存在点Q,使得以A、D、Q为顶点的三角形与AABD相似，若

存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

12.如图1,在平面直角坐标系中，已知抛物线.y=-^x2+bx+c经过A(-1,O)和点B(0,1),1顶点为C.点D在

其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向转90。，点C落在抛物线上的点P处.

(1)求这条物线的表达式；

⑵求线段CD的长;

⑶将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以0、

D、&M为顶点的四边形面积为8,求M的坐标.

13.如图1,将二次函数y^x2+2x+1的图像沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移4个单位，

得到二次函数.y=ax2+bx+c的图像.函数y=产+2x+1的图像的顶点为A,函数y=ax2+bx+c的图像的

顶点为B,和x轴的交点为C、D(点D位于点C的左侧).

(1)求二次函数y-ax2+bx+c的解析式；

(2)从点A、C、D三个点中任取两个点和点B构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；

⑶若点M是线段BC上的动点，点N是AABC三边上的动点,是否存在以AM为斜边的RsAMN,使AAMN

1.满分解答

(1)4；

(2)573;

⑶AACB的面积保持不变理由如下：

如图5,联结BB，作BEXAC于E,那么BE=4H.

由点B和点B关于直线1对称，可知BB」L

又因为ACL得BB，〃AC.

所以AACB与AACB是同底等高的两个三角形.所以SAACB，=SACB=16V3.

(4)如图6,作B'GXAC于G.

由PB=PB'=&得点B，的运动轨迹是以点P为圆心，半径为6的圆.

在直线1运动的过程中，AC保持不变，所以当BG最大时，SAACB，)最大.

如图7,作PHXAC于H.连接B'H.

图6图7

在RtAAPH中,AP=2,NA=60。,所以.PH=在.如图8,在RtAB'GH和AB'PH中,.B'G<B'H<B'P+PH=

6+VI当G、H两点重合时，B'G取得最大值6+遮（如图9所示）.所以SAACB，的最大值=G=[x8x

（6+百）=24+4V3.

考点伸展

第⑴题的思路是这样的：如图9,因为PB'=PB=PA=4,,所以AAPB是等腰三角形又因为/A=60。.所以

△APB，;是等边三角形.所以AB'=AP=^.

第⑵题的思路是这样的:如图10,因为直线1〃AC,所以ABPDsaBAC.所以ABPD也是等边三角形，四边形

PBCB是菱形.所以BB与PD互相垂直平分.在RtAPBO中,PB=5,NBPD=60。,所以B0=竽.所以BB'=2B0=

5V3.

2.满分解答

⑴如图2,因为四边形ABCD是矩形，所以NCDA=90。.所以Nl+/2=90。.

因为NDOA=90。,所以N2+N3=90。根据同角的余角相等，得Nl=N3=30。.

在RtAAOD中,CD=AB=4,N1=3O。,所以CH=2,DH=2V3

在RtACHD中,AD=BC=6,N3=30。,所以0D=3.

所以OH=OD+DH=2痘+3.所以C(2,2V3+3).

⑵如图3,在AAOD中,AD=6,设OA=m,所以OD=<AD2-OA2=V36-m2.

因为点M为AD的中点，所以;…尸十xGx,iS-MTs3qx

-xOA-OD=-mV36—m2.

24

所以^mV36—m2+6=弓.整理，得(——18)2=0.

解得7nl=3vxm2=-3近(舍去负值).

⑶如图5,当O、M、C三点共线时,OC最大值=8.

由(1)得△CHDs^DOA.所以翳=霁=:=|.

因为M为RQAOD斜边上的中线，所以MD=MO.

所以N2=N4.所以△CHOs^AOD.所以篙=詈=合:

所以HD-.HC=|:1=1:2.所以tanN3=tanN1=2.

所以COSZ3=y.

考点伸展

第(3)题的求OC的最大值可以这样考虑：

如图4,在AOCM中，根据两边之和大于第三边，可得OC<OM+MC.

所以当0、M、C三点共线时,0C最大值=0M+MC.

如图5,因为M为RtAAOD斜边上的中线，所以0M==3.

在RtACDM中，CD=4,DM=^AD=3,所以MC=5.

所以0C最大值=3+5=8.

3.满分解答

⑴由y=x+2得A(—2,0),B(0,2).

将A(-2,0)、B(0,2)两点分别代入y=ax2+bx+c得*-2b+c=°，

解得c=2,b=2a+l.

(2)抛物线的开口向下,在y轴左侧，y随x的增大而增大，所以抛物线的对称轴在y轴或y轴右侧.所以%=

b2a+l.八

——2a=-----2-a-->0.

因为-2a>0,所以2a+G0.所以a>-|.

所以a的取值范围是-1Wa<0.a=-［时如图2所示,a=-［时如图3所示.

(3)当a=-l时，y=—x2—x+2.设P(xf—x2—%+2).

如图4,在y轴上取M(O,1)、N(0,3)两点，那么MB=NB=10B.

因为S0AB=\0AxOB=|x2x2=2,MABSNAB与△()AB可以看作是同高三角形，所以SAMAB=SANAB

=1.

过点M、N分别作AB的平行线，与抛物线的交点，就是点P.

(y=-x2-x+2,彳m(x=-1+V2,x=-1-V2,

①解方程组侍

Iy=x+l,ty=V2,,y=-V2,，

所以P(-I+金，&),或(-1-/，-/).这条直线与抛物线有两个交点

②解方程组百二:二"得后直

所以P(-l,2).这条直线与抛物线相切于点P.

考点伸展

第⑶题也可以这样思考：

如图5,因为APAB与AOAB是同底三角形,SAPAB=1,SAOAB=2,可得点P至!JAB的距离PH等于点。到AB

的距离0G的一半.

过点P作y轴的平行线交AB于点D,那么PD=1OB=1.

设P(x,-x2-x+2),D(x,x+2).

当点D在点P的上方时，0+2)—(—/—%+2)=1.

当点D在点P的下方时，(-x2-x+2)-(x+2)=1.

4.满分解答

(1)①如图2,连接OB、0C,那么/BOC=2/BAC=120。.

在RtABOD中,NBOD=60。,所以/OBD=30。.

所以OD=等量代换，得OD=|0A

②如图3,设BC边上的高为AH.

因为AHWADWOA+OD,所以当A、O、D三点共线时,AH取得最大值.

此时D、H重合,A"BC,AABC是等边三角形，高力。=|（如图4所示）.

所以BD=^AD=当所以AABC的最大面积为乎.

324

(2)如图5,由OA=OB=OC,设/OAB=/OBA=a,/OAC=/OCA=B,/OBC=/OCB.

由OD=OE,设NODE=/OED=9

设点M在AO的延长线上.

由/BOD=ZBOM+ZDOM=2a+2y,ZBAC=a+p,ZBOD=ZBAC,

得2a+2尸a+|3.所以2y=P-a.

又因为/ABC=m/ODE=n+/OBC,NACB=n/OED邛+/OCB,所以(m-n)产a-p.

所以(m-n)Y=-2y.所以m-n=-2.所以m-n+2=0.

考点伸展

本题情景中的△48C,就是网友们常说的定弦对定角问题.这个问题中，当△48C是等边三角形时，面积最大,

周长也最大.

如图6,延长BA到F,使AF=4C,那么zF=Z.ACF=30°.

于是AFBC也是定弦对定角.△F8C的外接圆的圆心G在哪里呢?

如图7,AGBC是等边三角形根据直径是圆中最长的弦，可知BF是直径时最大.

止匕时AB=AF=AC4ABC是等边三角形.

5.满分解答

(1)如图2,因为ACDE与AFDE关于DE对称，所以DF=DC.

又因为/C=60。,所以ACDF是等边三角形.

所以NDCF=/A=60。,所以DF〃AB.

⑵第一步，求AACD的面积SL

如图3,因为AB=6,BD=4,所以DC=2.所以SACD=^SABC=3V3.

因为S]=3百是定值，所以当S2取得最小值时，S取得最大值.

第二步，求AABF面积S2的最小值.

如图4,作FG±AB于G,DH±AB于H,FM±DH于M彳导矩形FGHM.

在RtADBH中,BD=4,/HBD=60。,所以DH=2百.

在RtADFM中,DM<DF.当点F落在DH上时,DM最大=DF=2,此时GF最小=DH-DF=243-2.

所以S?最小值—1AB,GF=|x6x（2A/3—2）=6V5—6.

第三步，求S最大值.

S最大值：=Si-52最小值=3A/3-(6V3-6)=6-3V3.

⑶如图5,因为/CED/FED,所以点D至UCE和BE的距离相等.所以部若.

^ECDS

又因为浮=黑=2,所以需=2.所以BE=2CE.

SECDCDCE

如图6,作EN1,BC于N.

在RtAENC中,/C=60。,设NC=m,所以EC=2m,EN=V3m.

在RtAEBN中,BE=2CE=4m,BN=6-m,由勾股定理彳导BE2=BN2+EN2.

所以(4m)2=(6—m)2+(遍ni)2.整理，得m2+m—3=0.

解得m1=匚磬,巾1=二科舍去负值).

所以EC=2zn=-1+VT1所以，AE=AC-EC=6-^-1+V13)=7-V13.

考点伸展

第(3)题证明.BE=2CE的过程，其实就是证明角平分线性质定理.如果ED是△EBC的角平分线，那么差=

CE

BD

CD,

6满分解答

(1)设抛物线的表达式为y-a(x+2)(%-4)=ax2-2ax-8a,已知y-ax2+bx+2,根据常数项相等，得

22

-8a=2.解得(a=-：.所以抛物线的表达式为y=-lx+2=-I)+1.所以顶点坐标为(1,%对称轴

442444

为直线X=l.

(2)①如图2,作EHLx轴于H,所以EH//DC〃y轴.

当点D是抛物线的顶点时，DC=1,0C=1,CB=3

4

因为E是BD中点，所以EH=3DC=*,CH=：CB=号

ZoZZ

由泊瑞丹得"=|EH=*所以F(S一»

②如图3,设D(2m,2n),那么C(2m,0),E(m+2,n).

所以EH=n,OC=2m,CH=OH-OC=m+2-2m=2-m.

由翳=需得名=黑•解得/。=15

因为ADBC和aBCF是同底三角形，所以磬=黑=|.所以2DC=3OF.

SBCFFO2

所以4n=答.解得m=淅以C0).

2-m5\5/

考点伸展

从第(2)②题的解题过程可以看到，求点C的坐标没有依赖抛物线的解析式.

7.满分解答

⑴将点M(l,0)代入y=ax2+ax+仇得2a+b=0.所以b=-2a.

所以y=ax2+ax-2a=a(x2+%-2)=+})-顶点Q的坐标为(一京)

(2)将点M(l,0)代入y=2x+m,得2+m=0.解得m=-2.

联立y=2x-2和.y=ax2+ax—2a,消去y,整理，得ax2+(a-2)x-2(a-l)=0.

所以△=(a—2)2+8a(a—1)=9(z2—12a+4=(3a—2)2.

已知a<b,b=-2a,所以a<0.所以△=(3a—2产〉0.

所以抛物线与直线有两个交点.

⑶①当a=-l时，解方程组『二二二2得g：::或仁U.

由M(l,0)、N(-4,-10工得.MN=5V5.

121,,

.y=--zx_铲+1，__

当a=-胡寸，解方程组b=2工-2,得或［；］匕

由M(1,O)、N(-6,-14)得MN=7V5.

所以MN的取值范围是545<MN<7V5.

②方程ax2+(a-2)%-2(a-1)=0的两根就是M、N两点的横坐标，已知xm=l.

由xM-xN==(尸)=^-2彳导％N=；-2.

如图1,设抛物线的对称轴X=-冲直线MN交于点E,那么F(-|--3).

所以S—SQMN=SQME+SQNE~~QE—%N)

1(-孑口+3273--2-7CL.

24a8

由于a<0,运算起来不方便，代入b=-2a，于是S=?+?+S6.

4Dlo

配方，得s*+》|

所以S的最小值是当+.此时也飞b=0.解得6=学.所以2\［2

考点伸展

第⑶题②求S最小值的方法：

将S=?—三―？a整理为关于a的一元二次方程，得27a2+(8S-54)a+24=0.

4Qo

因为方程有解,所以A却.因此((8S-54)2-4X27X24>0.

所以8S-54>36a.所以S2苧+%

24

S随a变化的函数图象如图2所示

8满分解答

⑴如果PQ〃:BD,那么箓=黑=：=*所以六=*解得t=争

rt,tSCo4o—L4/

⑵如图3,在RtAMDQ中,DQ=6—t,tanZMQD=|所以DM=久6-t)-

所以SMDQ=扣＜2.D"=|(6-1产

2

而SPCQ=|PC-(2C=|(8-t)t=-|t+4t,

S四边形s=短。+FC)•山=)8+16T)X6=72—3t,

所以y=S梯形AFCD—SAMDQ—SAPCQ

=(72-3(一|(6-t)2-(-if2+4t)=|t2-|f+V,

⑶如果：Sy”=9:8,那么8(42一1+更)=9*48.

'五边形AFPQM矩形ABCD''\822J

整理，得产一20t+36=0.解得t=2,或t=18(舍去).

⑷如图4,如果点M在线段PG的垂直平分线上，那么MP=MG.

作MN_LBC于N,那么PN=BC-BP-DM=8-t一|(6-t)=(一%.

所以在RtAMPN中，MP2=62+Q一%)2.

在RtAGBP中，BP=t,tanz£PF=三，所以BG=-BP=-t.

444

在RtAMGA中，MG2=AG2+AM2=(6-|t)2+18-|(6—t)『.

由MP?=MG?,得62+G-1,=(6-：t)2+卜一|(6-t)]=l2.

整理，得17户—32t=0.解得t=或t=0(舍去).

图3

考点伸展

第⑷题也可以这样思考：如图5,当点M落在PG的垂直平分线上时，设PG的中点为K，那么在RtAEKM中.

n〃L〃EK4

cos乙MEK=—=

EM5

在RtAEFP中,EK=EP-KP=EP-^GP=10-h.

而EM=FO-DM=16-|(6-t)=§―/,所以10-|t=|(y-Jt).

解得t=||.

9.满分解答

(1)由y=x2+bx+c,得C(0,c).由OB=OC,得B(-c,0).

由CD〃x轴，且CD=2,得D(2,c).

将B(-c,0)、D(2,c)代入y=x2+bx+q得=0,

解得b=-2,c=-3.

(2)如图3,抛物线的对称轴是直线x=l,点E的坐标是(1,-4).

连结FD.因为C、D关于直线1对称，F、F关于直线1对称，所以四边形FCDF是矩形.所以FF'=2.所以点F1

的横坐标为2.所以点F是BE的中点.

所以点F的纵坐标是2所以点F的坐标是(0,-2).

(3)直线BC的解析式为y=x3抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x+1)(%-3)如图4,设

P(m,0),M(m,m-3),N(m,m2-2m-3).

所以PPM=—(m—3),PN=—(m2—2m—3)=—(m+l)(m—3),R4=zn+3)1.

如果SpQN=S"M，，设PN边上的高为QH,那么PMPA=PNQH.

所以-(m-3)(m+1)=-(m+l)(m-3>QH.所以QH=1.

在R3NQH中,直角边QH=1为定值,NQ为斜边.

当斜边NQ与直角边QH重合时，NQ取得最小值.

此时NQ=1,NQ〃x轴,N、Q关于对称轴x=l对称（如图5所示）.

所以点Q的横坐标为（或（,

所以点Q的坐标为白一向）（如图6）,或（|,一154）（如图5）.

第⑵题一般可以这样解：先求直线BE的解析式为y=2x-6.设F（O,n）,那么厂（2，0.将点卜（2,11）代入丫=2*-6,得

n=4-6=-2.

10.满分解答

（1）如图3,RtAABC中,AB=V7,AC=2,所以.BC=但tan乙4=y.

当p与A，重合时，在RtAPBC中,BC=V3,PC=2,所以PB=l,/PCB=30。.!!:匕时乙4c4=60°.

（2）如图4,当M为AE的中点时,CM是RtAA'B'C斜边上的中线，所以1MA'=MC.所以N1=N2.

又因为N1=NA,/Q=N2,所以tan“=tanz.2=tanzX=

在RtAPBC中，PB=BC-tanz2=V3xy=|.

在RSQBC中，QB=上b驾=2・

所以PQ=PB+QB=2+2=（

⑶如图5,因为AA，BC的大小是确定的,面积为，.所以当APQC的面积最小时，四边形PABQ的面积也

最小.

如图6,在APQC中,PQ边上的高BC为定值.所以当PQ最小时,APQC的面积最小.

设CD为RtAPQC斜边上的中线，那么PQ=2CD.因此当CD最小时,PQ也最小.如图7,根据垂线段最短,当CD

与CB重合时，CD最小.所以PQ的最小值为2百所以APQC的最小面积为3.所以四边形PA'B'Q的最小面积为

3-V3.

考点伸展

第(3)题中，蕴含了一个经典结论：高为定值的直角三角形，当其为等腰直角三角形时，面积最小.

而斜边为定值的直角三角形，当其为等腰直角三角形时，面积最大.

如图8,点C在以AB为直径的半圆O上，那么AABC为直角三角形.

设CD为斜边AB上的高那么CD总是小于等于CO的，当CD=CO时,CD取得最大值，此时CDXAB,AABC

是等腰直角三角形，面积最大(如图9所示).

11.满分解答

⑴将点A(m,0)代入y=x-1得m=l.

将点B(4,n)代入y=x-［得n=3.

因为抛物线y=-X2++c与X轴交于A(l,0)、D两点，设y=-(x-l)(x-xD).

代入点B(4,3)狷3=-3(4-xD).解得xD=5.

所以抛物线的解析式为yy--(x-l)(x-5)=-x2+6%-5

(2)如图4,设点P的坐标为(x,0),那么AP=x-l,DP=5-x.

所以MP=^AP=*x-1],NP=^DP=*5-x).

2

SAMPN•NP=/x岑(h—1)X考(5—x)=—^-(x—6x+5).

所以

当x=3时,AMPN的面积最大，最大值为1.此时P(3,0).

⑶Q(2,-3),或

考点伸展

第⑶题的解题过程是这样的:由A(1,0)、B(43)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离都是3,所以/BAD=45。,

AB=3V2

由C(0,-5)、D(5,0),ZADC=45°,^TI^ZADQ=ZBAD.

作QH轴于H.分两种情况讨论ADAQ与AABD相似：

①如图5,当鬻=笨时，DQ=AB=3版

此时DH=QH=3.所以OH=OD-DH=2.所以Q(2,-3).

②如图6,当震一时，*羲解得以考

此时DH=QH=|.所以OH=OD-DH==[.所以Q

12.满分解答

(1)因为抛物线与x轴交于点A)l,0),设.y=-2+1)(%-%2).

代入点B(0,得|=—3(―犯)•解得X2=5.

所以抛物线的解析式为y=-|(x+l)(x-5)=-|x2+2x+|.

⑵如图2,由y=—#+2x+1=—“x—2尸+:得顶点C(2,》

设DC=m用B么£)白，1一771),0(2+小，¥—根).8Pz

将点P(2+—m)代入y=—#+2%+|得]——'―►

—1(2+m)2+2(2+m)+1=|-m.图？

整理，得62一2爪=0.解得m=2.或m=0(舍去).所以DC=2.

⑶如图3,点C(2,今先向左平移2个单位,再向下平移沙单位，得到点0