2025年中考数学复习难点与解题模型：平行线中的常见的四种“拐角”模型（原卷版）

难点与解题模型10平行线中的常见的四种“拐角”模型

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

题型二：“铅笔”模型

题型三：“鸡翅”模型

题型四：“骨折模型”

期型突跑N&精淮提今

题型一：“猪蹄”模型（含“锯齿”模型）

「藉TQ区T承

।一、“猪蹄”模型

I上

iC-------------------------

i

i猪蹄模型的基本特征：一组平行线，中间有一个点，分别与平行线上的点构成“猪蹄”。

猪蹄模型（又名燕尾模型、M字模型）

步骤总结

!步骤一：过猪蹄（拐点）作平行线

步骤二：借助平行线的性质找相等或互补的角

步骤三：推导出角的数量关系

模型结论：ZB+ZD=ZDEB.

二、锯齿模型

已知图示结论（性质）证明方法

AB

AB〃DENB+NE=NC

上遇拐点做平行

DE线（方法不唯

AB一）

AB〃DE*ZB+ZM+ZE=ZC+ZN

DE

,一言a也4

a//b所有朝左角之和等于所有朝右角的和

b

•-------------------

【中考母题学方法】

【典例1-1】（2023•辽宁盘锦•中考真题）如图，直线将一个含60。角的直角三角尺EG尸按图中

方式放置，点E在上，边GF、EF分别交CD于点H、K,若/BE尸=64。，则NGHC等于（).

A.44°B.34°C.24°D.14°

【典例1-2】（2020・湖南・中考真题）如图，已知Zl=30°,Z2=35°,则/3CE的度数为（）

A.70°B.65°C.35°D.5°

【典例1-3】（2024♦在平区一模）如图，AB//EF,ZC=90°,贝l]a,P,7的关系是（）

B.P+y-a=90°

C.a+^+/=180°D.p=a+y

【典例1-4】（2024•河南南阳•模拟预测）传统文化如同一颗璀璨的明珠，熠熠生辉，为增强学生体质，同时

让学生感受中国传统文化，某校将国家非物质文化遗产"抖空竹”引入阳光特色大课间.如图①是某同学"抖

空竹"时的一个瞬间，小红同学把它抽象成数学问题：如图②，已知48〃CD,ZAEC=131°,ZBAE=57°,

则NDCE的度数为（）

D.75°

【典例1-5】（2023•北京西城•统考一模）下面是解答一道几何题时两种添加辅助线的方法，选择其中一种,

【中考模拟即学即练】

【变式1-1］（2024•辽宁•模拟预测）汽车前照灯的反射镜具有抛物线的形状，它们是抛物面（如图），明亮的

光束是由位于抛物线反射镜焦点F上的光源产生的，此时光线沿着与抛物线的对称轴平行的方向射出,

若ZFCD=40。，ZFGH=70°,则光线尸C与尸G形成的NCVG的度数为（）

A.90°B.100°C.110°D.120°

【变式1-2］（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，AB//CD,OBVOD,若4430=36。，则/O0C的度数为

C.72°D.108°

【变式1-3］（2024•甘肃•模拟预测）如图1,是我国具有自主知识产权、用于探索宇宙的单口径球面射电望

远镜"中国天眼如图2,是"中国天眼”接收来自宇宙的电磁波的原理图，其中EG为竖直方向的馈源（反

射面），入射波/O经过三次反射后沿。水平射出，且已知入射波/O与法线的夹角4=35。，

则ZA'0'F=（）

图1图2

A.70°B.60°C.45°D.35°

【变式1-4］（2024•云南昆明•模拟预测）如图，已知。〃人若48与3c的夹角为105。，Zl=55°,则N2的

度数为（）

A.105°B.125°C.130°D.150°

［变式1-5］（2024•江苏常州•一模）如图，直线a"b,点、A在直线。上，点C在直线6上，N8，,若N1=44。,

贝"2=_____

【变式1-6］问题情境：如图1,已知4B〃CD,AAPC=108°.求NP4B+NPCD的度数.

经过思考，小敏的思路是：如图2,过P作PE〃/W,根据平行线有关性质，可得NP48+NPCD=360。一

Z.APC=252°.

问题迁移：如图3,AO〃BC,点P在射线0M上运动，N4DP=Na,乙BCP=乙口.

⑴当点P在A、B两点之间运动时，NCPD、N*N0之间有何数量关系？请说明理由.

（2）如果点P在4B两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请你直接写出NCPD、Na、N"之间

的数量关系.

⑶问题拓展：如图4,MA］〃NA“,公—%—4—…—Bn_i—4i是一■条折线段，依据此图所含信息，把你

所发现的结论，用简洁的数学式子表达为

题型二：“铅笔”模型

「藉Tur承

从猪蹄模型可以看出，点E是凹进去了，如果点E是凸出来，如下图:

那么，像这样的模型，我们就称为铅笔头模型。

模型结论：ZB+ZE+ZD=360°

【中考母题学方法】

【典例2-1】（崇川区校级三模）如图,已知N/=140°,ZE=120°,则/C的度数是（）

C.120°D.140°

【典例2-2】（2024春•启东市校级月考）如图，直线a〃儿/1=28°，则/3=度，N3+/4+N5=

【典例2-3】请在横线上填上合适的内容.

(1)如图(1)已知48〃CD,^\ZB+ZD=ZBED.

：.NFEB=().()

■:AB“CD,EF//AB,

()//().(如果两条直线和第三条直线平行，那么这两直线平行)

•*.ZFED=().().

，ZB+ZD=NBEF+ZFED.

：.AB+AD=ABED.

(2)如图②，如果NB〃CD,贝!+()

【典例2-4】如图，已知AB〃CD.

(1)如图1所示,Zl+Z2=

(2)如图2所示，Zl+Z2+Z3=；并写出求解过程.

(3)如图3所示，Zl+Z2+Z3+Z4=；

(4)如图4所示，试探究N1+/2+/3+N4+…+/n=

【中考模拟即学即练】

【变式2-1](江苏模拟)如图，是赛车跑道的一段示意图，其中测得/B=140°,ZD=120°,

则NC的度数为()

C.140°D.90°

【变式2-2］问题情境:如图1,AB\\CD,/.PAB=130°,A.PCD=120°,求乙4PC的度数.

图1图2图3图4

图5备用图1备用图2

思路点拨:

小明的思路是：如图2,过P作PEIIAB,通过平行线性质，可分别求出NHPE、NCPE的度数，从而可求出N4PC

的度数；

小丽的思路是：如图3,连接AC,通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出N4PC的度数；

小芳的思路是：如图4,延长力P交DC的延长线于E,通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出N4PC

的度数.

问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的乙4PC的度数为。；

问题迁移：

（1）如图5,AD||BC,点P在射线。M上运动，当点P在4、8两点之间运动时,NADP=乙a,乙BCP=N0.NCP。、

Na、之间有何数量关系？请说明理由；

（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、。三点不重合），请你直接写

出NCPD、Na、NS间的数量关系.

【变式2-3]（1）如图1,/[〃/2，求.（直接写出结果）

(2)如图2,h//l2,求N4+NA2+N4+/4=.（直接写出结果）

(3)如图3,h//h,求N4+N/42+N4+/4+N4=-（直接与出结果）

(4)如图4,h//l2,求N4+NA2+…+NAn=.（直接写出结果）

A^1

“A3

(1)（2）（3）（4）

题型三：“鸡翅”模型

【典例3-1】（2024•广东深圳•模拟预测）抖空竹是我国的传统体育，也是国家级非物质文化遗产之一.明代

《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间

流行的历史至少在600年以上.如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：

AB//CD,ABAE=94°,NDCE=122°,则/E的度数为（）

A

㈤I

A.28°B.38°C.18°D.25O

【典例3-2】/8〃CD,点尸为直线CD所确定的平面内的一点.

C1)如图1,写出N4PC、//、NC之间的数量关系，并证明；

(2)如图2,写出N/PC、//、NC之间的数量关系，并证明；

(3)如图3,点£在射线诩上，过点E作£尸〃PC,作/PEG=/PEF,点G在直线CD上，作/8EG

的平分线四交PC于点若//PC=3()°,ZPAB=1W°,求/尸£7/的

.1B\\A__B

/__________V__

CDC5GCD

图1图2图3

【典例3-3】（2023•重庆大渡口•统考模拟预测）在数学课上老师提出了如下问题：

如图，=160°,当N4与AD满足什么关系时，BC||DE?

小明认为4。-NA=20。时8c||DE,他解答这个问题的思路和步骤如下，请根据小明的思路完成下面的作

留与填空：

解：用直尺和圆规，在DA的右侧找一点M,使=（只保留作图痕迹）.

'.'/.DAM=m

；•①_____________

■:4D—乙DAB=20°

乙BAM=②°,

■:乙B=160°,

:.乙B+^BAM=③'

二④_____________

：.BC||DE.

所以满足的关系为：当ND-44=20。时，BC||DE.

【中考模拟即学即练】

【变式3-1］如图，若ABUCD,则/1+/3-/2的度数为

【变式3-2］问题探究:

如下面四个图形中，ABHCD.

（1）分别说出图1、图2、图3、图4中，/1与/2、/3三者之间的关系.

（2）请你从中住造：个加以说明理由.

解决问题:

（3）如图5所示的是一探照灯灯碗的纵剖面,从位于。点的灯泡发出两束光线。8、OC经灯碗反射后平

行射出.如果NABO=57°,ZDCO=44°,那么/20C=

cD

图5

【变式3-3］已知直线AB〃CD,P为平面内一点，连接以、PD.

(1)如图1,已知NA=50。，/D=150。，求NAPD的度数；

(2)如图2,判断N%B、/CDP、/4PD之间的数量关系为.

(3)如图3,在(2)的条件下，APA.PD,DN平分NPDC,若NPAN+g/PAB=/APD,求/AN。的度数.

N

________?k

*

图1-----------------------J图2C。图

CD3

题型四:“骨折模型”

指1点1迷1津

4----1B

iE

模型结论：ZE=ZB-ZD

【中考母题学方法】

【典例4-1】(2024•黑龙江绥化•中考真题)如图,AB//CD,ZC=33°,OC=OE.则4=______

BD

~~o

C

【典例4-2］（2023•四川资阳•中考真题）如图，AB//CD,AE交CD于点F,乙4=60。，NC=25。,则

ZE=.

【典例4-3】①如图1,AB//CD,则/A+NE+/C=180°；②如图2,AB//CD,则NE=NA+NC；③如