牡丹江市重点中学2025年高三下期末调研测试数学试题含解析

牡丹江市重点中学2025年高三下期末调研测试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（）A． B． C． D．2．已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线的离心率取值范围是（）．A． B． C． D．3．已知曲线，动点在直线上，过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线截圆所得弦长为（）A． B．2 C．4 D．4．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（）A． B．4 C． D．25．要得到函数的导函数的图像，只需将的图像（）A．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍B．向右平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍C．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标缩短到原来的倍D．向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍6．如图所示，三国时代数学家赵爽在《周髀算经》中利用弦图，给出了勾股定理的绝妙证明.图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形（阴影），设直角三角形有一内角为，若向弦图内随机抛掷500颗米粒（米粒大小忽略不计，取），则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为（）A．134 B．67 C．182 D．1087．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（）A． B． C． D．8．设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（）A．充要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件9．已知是的共轭复数,则（）A． B． C． D．10．已知命题p：若，，则；命题q：，使得”，则以下命题为真命题的是（）A． B． C． D．11．已知集合，，则A． B．C． D．12．函数的图像大致为（）A． B．C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知集合，则____________.14．已知数列{an}的前n项和为Sn，向量（4，﹣n），（Sn，n+3）.若⊥，则数列{}前2020项和为_____15．某种产品的质量指标值服从正态分布，且．某用户购买了件这种产品，则这件产品中质量指标值位于区间之外的产品件数为_________．16．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某商场为改进服务质量，在进场购物的顾客中随机抽取了人进行问卷调查．调查后，就顾客“购物体验”的满意度统计如下：满意不满意男女是否有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关？若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了人发放价值元的购物券．若在获得了元购物券的人中随机抽取人赠其纪念品，求获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．附表及公式：．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆．（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．19．（12分）已知，点分别为椭圆的左、右顶点，直线交于另一点为等腰直角三角形，且.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点的直线与椭圆交于两点，总使得为锐角，求直线斜率的取值范围.20．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为.（1）求直线和圆的普通方程；（2）已知直线上一点，若直线与圆交于不同两点，求的取值范围.21．（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.22．（10分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．C【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，，，，所以.故选：C本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题2．B【解析】

先求出双曲线的渐近线方程，可得则直线与直线的距离，根据圆与双曲线的右支没有公共点，可得，解得即可．【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为，即，∵是直线上任意一点，则直线与直线的距离，∵圆与双曲线的右支没有公共点，则，∴，即，又故的取值范围为，故选：B．本题主要考查了直线和双曲线的位置关系，以及两平行线间的距离公式，其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3．C【解析】

设，根据导数的几何意义，求出切线斜率，进而得到切线方程，将点坐标代入切线方程，抽象出直线方程，且过定点为已知圆的圆心，即可求解.【详解】圆可化为.设，则的斜率分别为，所以的方程为，即，，即，由于都过点，所以，即都在直线上，所以直线的方程为，恒过定点，即直线过圆心，则直线截圆所得弦长为4.故选:C.本题考查直线与圆位置关系、直线与抛物线位置关系，抛物线两切点所在直线求解是解题的关键，属于中档题.4．D【解析】

由得，又，两式相除即可解出．【详解】解：由得，又，∴，∴，或，又正项等比数列得，∴，故选：D．本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．5．D【解析】

先求得，再根据三角函数图像变换的知识，选出正确选项.【详解】依题意，所以由向左平移个单位长度，再把各点的纵坐标伸长到原来的3倍得到的图像.故选：D本小题主要考查复合函数导数的计算，考查诱导公式，考查三角函数图像变换，属于基础题.6．B【解析】

根据几何概型的概率公式求出对应面积之比即可得到结论.【详解】解：设大正方形的边长为1，则小直角三角形的边长为，

则小正方形的边长为，小正方形的面积，

则落在小正方形（阴影）内的米粒数大约为，

故选：B.本题主要考查几何概型的概率的应用，求出对应的面积之比是解决本题的关键.7．A【解析】

由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.8．D【解析】

结合纯虚数的概念，可得，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项.【详解】若复数为纯虚数，则，所以，若，不妨设，此时复数，不是纯虚数，所以“复数为纯虚数”是“”的充分不必要条件.故选：D本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.9．A【解析】

先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【详解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故选：A．本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．10．B【解析】

先判断命题的真假,进而根据复合命题真假的真值表,即可得答案.【详解】，，因为，，所以，所以，即命题p为真命题；画出函数和图象，知命题q为假命题,所以为真.故选:B.本题考查真假命题的概念,以及真值表的应用,解题的关键是判断出命题的真假,难度较易.11．D【解析】

因为，，所以，，故选D．12．A【解析】

根据排除，，利用极限思想进行排除即可．【详解】解：函数的定义域为，恒成立，排除，，当时，，当，，排除，故选：．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

根据并集的定义计算即可.【详解】由集合的并集，知.故答案为：本题考查集合的并集运算，属于容易题.14．【解析】

由已知可得•4Sn﹣n（n+3）＝0，可得Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.可得：2（）.利用裂项求和方法即可得出.【详解】∵⊥，∴•4Sn﹣n（n+3）＝0，∴Sn，n＝1时，a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1.，满足上式，.∴2（）.∴数列{}前2020项和为2（1）＝2（1）.故答案为：.本题考查了向量垂直与数量积的关系、数列递推关系、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15．【解析】

直接计算，可得结果.【详解】由题可知：则质量指标值位于区间之外的产品件数：故答案为：本题考查正太分布中原则，审清题意，简单计算，属基础题.16．1.【解析】

求函数的导数，根据导数的几何意义结合直线垂直的直线斜率的关系建立方程关系进行求解即可．【详解】函数的图象在处的切线与直线垂直,函数的图象在的切线斜率本题正确结果：本题主要考查直线垂直的应用以及导数的几何意义，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关；.【解析】

由题得，根据数据判断出顾客购物体验的满意度与性别有关；获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有个，其中仅有1人是女顾客的基本事件有个，进而求出获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率.【详解】解析：由题得所以，有的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关．获得了元购物券的人中男顾客有人，记为，；女顾客有人，记为，，，．从中随机抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共个．其中仅有1人是女顾客的基本事件有：，，，，，，，，共个．所以获得纪念品的人中仅有人是女顾客的概率．本小题主要考查统计案例、卡方分布、概率等基本知识，考查概率统计基本思想以及抽象概括等能力和应用意识，属于中档题．18．（1）C1：y2＝1，C2：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]【解析】

（Ⅰ）消去参数φ可得C1的直角坐标方程，易得曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），可得C2的直角坐标方程；（Ⅱ）设M（3cosφ，sinφ），由三角函数和二次函数可得|MC2|的取值范围，结合圆的知识可得答案．【详解】（1）消去参数φ可得C1的普通方程为y2＝1，∵曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆，曲线C2的圆心的直角坐标为（0，2），∴C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝1；（2）设M（3cosφ，sinφ），则|MC2|，∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，由题意结合图象可得|MN|的最小值为1﹣1＝0，最大值为1，∴|MN|的取值范围为[0，1]．本题考查椭圆的参数方程，涉及圆的知识和极坐标方程，属中档题．19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由题意可知：由，求得点坐标，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线，代入椭圆方程，由韦达定理，由，由为锐角，则，由向量数量积的坐标公式，即可求得直线斜率的取值范围．【详解】解：（Ⅰ）根据题意是等腰直角三角形，，设由得则代入椭圆方程得椭圆的方程为（Ⅱ）根据题意，直线的斜率存在，可设方程为设由得由直线与椭圆有两个不同的交点则即得又为锐角则即②由①②得或故直线斜率可取值范围是本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量数量积的坐标运算，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．20．（1），；（2）【解析】分析：（1）用代入法消参数可得直线的普通方程，由公式可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，其中参数的绝对值表示直线上对应点到的距离，因此有，，直接由韦达定理可得，注意到直线与圆相交，因此判别式＞0，这样可得满足的不等关系，由此可求得的取值范围.详解：（1）直线的参数方程为，普通方程为，将代入圆的极坐标方程中,可得圆的普通方程为，（2）解：直线的参数方程为代入圆的方程为可得：（*），且由题意，,.因为方程（*）有两个不同的实根，所以，即，又，所以.因为，所以所以.点睛：（1）参数方程化为普通方程，一般用消参数法，而消参法有两种选择：一是代入法，二是用公式；（2）极坐标方程与直角坐标方程互化一般利用公式；（3）过的直线的参数方程为（为参数）中参数具有几何意义：直线上任一点对应参数，则.21．（1）或；（2）.【解析】

（1）利用绝对值的几何意义，将不等式