第1章 三角形的证明（单元测试·培优卷）-2024-2025学年八年级数学下册专项突破（含答案）

第1章三角形的证明（单元测试•培优卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选

项，其中只有一项符合题目要求）

（23-24八年级上•四川遂宁•期末）

1.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35。，则此三角形的顶角是（）

A.55°B.125°C.55。或125。D.无法确定

（24-25八年级上•云南昆明•期末）

2.如图，每个小正方形的边长为1,A,B、C是小正方形的顶点，则乙48c的度数为（）

（24-25八年级上•浙江宁波•期末）

3.如图，在平面直角坐标系中，AB=4C=13，点2,C的坐标分别为（7,2）,（7,12）,

则点/的坐标为（）

A.（-5,5）B.（-5,7）C.（-7,5）D.（-7,-7）

（24-25八年级上•河南安阳•期末）

4.如图，△4BC是等边三角形，AB=8,AD是24BC的平分线，延长2c到E,使

CE=CD,则BE的长为（）

试卷第1页，共8页

A.8B.10C.12D.16

（24-25八年级上•陕西汉中・期末）

5.如图，AB=AC,ZA=40°f垂直平分45,则的度数为（）

B.45°C.40°D.70°

（23-24八年级上•上海・单元测试）

6.以4（3,-1）,5（1,3）为端点的线段的垂直平分线的方程为（）

A.2x+y-5=0B.2x+>+6=0

C.x-2y=0D.x-2y-8=0

（2023・安徽・模拟预测）

7.有一内角是30。的直角三角尺CQE与直尺如图放置，三角尺的斜边与直尺交于点?若

的平分线DG平行于直尺的短边力5,则N4/。的度数是（）

（24-25八年级上•湖北武汉•期中）

8.如图，已知04=12,在△ZO5中，NAOB=90。，ON=AD,MN1OD交AB与点、M,

交02延长线于点〃，BM=BH,DM=5,则W的长度为（）

（24-25八年级上•浙江杭州•期中）

试卷第2页，共8页

9.如图，在△ABC中，ZC=90°,Z8=30。，以4为圆心，任意长为半径画弧，分别交

AC,AB千点、M,N,再分别以N为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点

O,作射线/O,交8c于点£.若CE=2,则点E到N8的距离为（）

A.1.5B.2C.3D.4

（2024•浙江嘉兴•模拟预测）

10.如图，在平面直角坐标系中，点尸（。,6）在第一象限，其中且a,6满足

3

b=a+~,过点尸作》轴和直线＞=x的垂线，垂足分别为4,B,连接贝LP45的面

a

积是（）

B.3

AD.随a,6的值变化

-14-I

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（24-25八年级上•湖北随州•期末）

11.如图，在△/BC中，AB=AC=3,ZBAC=120°,E为A4的延长线上一点，CEJ.AB

于点£,EF，BC于点、F,则所的长为

（24-25八年级上•浙江绍兴•期中）

12.如图，己知△48C中，/B,NC的平分线相交于点尸，过点尸作交45于

点。，交AC于点、E,若BD+CE=9,则线段OE的长为.

试卷第3页，共8页

A

-------------------^C

（23-24八年级下•河南郑州•期中）

13.如图，在RtA43C中，AB=BC,AC=2,把一块含30。角的三角板DE尸的直角顶点

。放在NC的中点上（两直角边DE,DF分别与8C,AB相交），则三角板。斯与/\48。

重叠部分的面积是.

（24-25八年级上•湖北襄阳•期末）

14.已知ZUSC是等边三角形，点。在上，过点。作DE1/C,垂足为E,延长BC至

点尸，使3=/。，连接。厂交4C于点P,如图所示.若48=6,则线段EP的长

为.

（江苏省苏州四市2024—2025学年上学期阶段性学业水平阳光测评八年级数学试题）

15.如图，△NBC中，AB=76°,是边NC的垂直平分线，与幺B、/C分别交于点。、

点£,将△4DC沿。C翻折得到A/OC,若A'D〃BC,则//的度数为度.

试卷第4页，共8页

16.在△4BC中，44cB=120。，AC=BC.已知/的顶点尸是线段上一点，PM

经过顶点C,PN与4c交于点,D,NMPN=30°,设尸M与2C的夹角为N1(Z1^0°).

(\)若PD"BC,则/BPC的度数为；

(2)当△「口)是等腰三角形时，N1的度数为

(23-24八年级上•贵州贵阳・期末)

17.如图，在RtA/2。中，//BO=90°,48=2jL点B至1轴的距离2C=3,点A至1］了轴

的距离为6,OA平分NBOD,若x轴上存在一动点尸使得尸4+PC的值最小，则点尸的坐

(24-25九年级上•四川广安•阶段练习)

18.如图，在平面直角坐标系中，点N(-2,0),直线/：歹=@》+正与》轴交于点"以相

33

为边作等边△/B4,过点4作48〃无轴，交直线工于点用，以44为边作等边△444,

过点4作A2B2〃X轴，交直线工于点名，以A2B2为边作等边生A,以此类推•••，则点^2024

的纵坐标是.

试卷第5页，共8页

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（24-25八年级上•湖南长沙•期末）

19.如图，4D是△/BC的高，£是40上一点，连接BE,AD=BD,BE=AC.

（2）若40=4,S捻BC=",求线段DC和/E的长.

（24-25八年级上•广东广州•期末）

20.如图，在四边形/BCD中，AB=AD,CB=CD,点、E为ADk一点、,连接8。，CE

交于点尸，CE//AB.

（1）若△NAD为等边三角形，请判断AZ在户的形状，并说明理由：

⑵在（1）的条件下，若40=12,CE=9,求CF的长.

（24-25八年级上•湖北随州•期末）

21.如图，在A43C中，CA=CB,点。在8c的延长线上，连接4D,AE平分NCAD交CD

于点E,过点E作斯，4B,垂足为点尸，与NC相交于点G.

试卷第6页，共8页

D

E

F

⑴求证：ACEG为等腰三角形；

（2）求证：ZAEF=^ZD.

（24-25八年级上•安徽六安•期末）

22.如图，已知£为△/8C内部一点，/E延长线交边8C于点。，连接BE,CE,

ABED=ABAC=2NDEC.

⑴求证：NC4E=NABE；

（2）^AC=AB,求证：BE-2AE.

（24-25八年级上•湖南常德•期末）

23.在等边ZUBC中，点。在4C边上（不与/,C重合），延长8c至点£,使C£=4D,

连接DE.

⑵如图2,当点。是NC边上任意一点时，（1）中线段与DE的数量关系是否成立？若

成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（24-25八年级上•河南郑州•期中）

24.【模型建立】

如图1,等腰Rt4/BC中，44c5=90。，CB=CA,直线经过点C,过点/作4DLED

于点。，过点3作于点E,求证：△3EC四△CZM.

试卷第7页，共8页

图1图2

【模型应用】

(1)如图2,在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点。重合，和班所在直

线分别为x轴、y轴，若08=2,0C=l,请解答下列问题：

①点C的坐标是,点A的坐标是;

②在x轴上存在点使得以O,A,B,M为顶点的四边形的面积为4,请直接写出点M

的坐标：:

(2)如图3,已知直线4：y=2x+4与x轴交于点/,与了轴交于点2,将直线4绕点3旋

转45。至直线2求直线4的函数表达式.

图3备用图

试卷第8页，共8页

1.c

【分析】本题主要考查外角的性质、三角形内角和定理，垂直的性质，关键在于根据题意分

析讨论，认真的进行计算.

根据题意，一种情况为等腰三角形为锐角等腰三角形，根据垂直的性质外角的性质即可推出

顶角为125。，另一种情况为等腰三角形为钝角三角形，根据三角形内角和定理和垂直的定

理即可推出顶角为55。.

【详解】解：①此等腰三角形为钝角三角形，

・••等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35。，

此三角形的顶角=90。+35。=125°,

②此等腰三角形为锐角三角形，

・••等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为35。，

•••此三角形的顶角=90。-35。=55°

2.C

【分析】根据勾股定理即可得到BC,/C的长度，进行判断即可.

【详解】解：连接/C,如图：

根据勾股定理可以得到：AC=BC=45,.

••・（V?）2+（百）』（而）2.

：.AC2+BC2=AB2.

・•.A42C是等腰直角三角形.

••.A45C=45°.

故选C.

答案第1页，共22页

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键.

3.B

【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，正确作出辅

助线是解题的关键.

如图：过点/作28c于点D,由等腰三角形的性质可得。8=5,进而确定点。的坐标,

再根据勾股定理得出ND=12,然后确定点/的坐标即可.

【详解】解：如图：过点4作/。工于点。，

•••（7,2）,（7,12）,

：.BC=\O,2C〃.y轴，

AB—AC—13,

.BD=CD=-BC=5,

:2

・•・小子,片［,即0（7,7）,

4D〃x轴,即点A的纵坐标为7,

"AD=ylAB2-BD2=V132-52=12，

点/的横坐标为：7-12=-5,

・・•点”的坐标为(-5,7).

故选：B.

4.C

【分析】本题考查了等边三角形的性质，掌握三线合一的定义是解题关键.由等边三角形可

得4B=BC=AC=8,CE=CD=4,即可求出3E的长.

【详解】解：是等边三角形，AB=8,

AB=BC=AC=8,

•「AD是/ABC的平分线，

答案第2页，共22页

/.AD=CD=-AC=4,

2

•：CE=CD,

CE=4,

:.BE=BC+CE=S+4=12,

故选：C.

5.A

［分析］此题主要考查了等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质.主要了解线段垂直

平分线的性质即可求解.已知乙4=40。，/5=/。可得/45。=乙4。8,再由线段垂直平分

线的性质可求出N45C=N4,易求NDBC.

【详解】解：•・•/%=40。,AB=AC,

1800-40°

/ABC=ZACB=-------------=70°,

2

又•.•/)£1垂直平分,

/.DB=AD

ZABD=ZA=40°,

ZDBC=/ABC-ZABD=70°-40°=30°.

故选：A.

6.C

【分析】该题主要考查了线段垂直平分线的判定，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式

等知识点，解题的关键是得出的线段的垂直平分线是加.

先求出AB中点，得出AB的线段的垂直平分线是，再根据待定系数法求解即可；

【详解】解：如图，设N3中点为

•••^(3,-1),5(1,3),

•••OA=OB=Vl+9=VlO,

则点。在的线段的垂直平分线上，故的线段的垂直平分线是加，

.•・设直线AB的垂直平分线的方程为y=kx,

则1=2左，

答案第3页，共22页

解得：《=g,

•••AB的垂直平分线的方程为＞=；x,

即：x-2y=0,

故选：C.

7.B

【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键.

设。G与力尸交于点M,根据角平分线的定义和外角的性质求得

ZDGE=ZDCE+ZCDG=75°,然后利用直角三角形两锐角互余计算求解.

【详解】解：设。G与4月交于点如图，

：.ZCDG=-ZCDE=45°,

2

•・•ZDCE=30°,

・•.ZDGE=ZDCE+ZCDG=75°,

-DG//AB,ABLAF,

：.DG1AF,BPZGMF=90°,

・•・/AFC=90°-ZDGE=15。，

故选：B.

8.B

答案第4页，共22页

【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判

定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质.过点4作/PLOD,

交。。的延长线于点尸，设交。。于点T,证明△O7W也△4尸。，得出OT=4尸，证明

△APOQ3OTH,得出。4=08=12,根据等腰三角形的判定得出5+瓦〃=12-,即

5+BM=12-BMf求出结果即可.

【详解】解：过点4作4P_L0Z),交。。的延长线于点尸，设MN交OD于点、T,如图所示:

•・•/AOB=90。,HN1OD,

ZTON+ZONT=90°,/H+/ONT=90。,

・•・/NOT=/H,

•・•BM=BH,

:./H=/BMH,

•・•APLOP,NH10P,

AP//NH,

・•・/DAP=/BMH,

••・/NOT=ZDAP,

ZOTN=ZP=90°

在XOTN和八APD中\/NOT=/DAP,

ON=AD

・•・^OTN^APD,

・•.OT=AP,

NAOP=NH

在和AOTH中</P=NOTH=90°,

AP=OT

・•・^APOWOTH,

：,OA=OH=12,

vZMDT+ZDMT=90°,NBOD+/AOP=90。，/DMT=/NOT,

答案第5页，共22页

："BDO=/BOD,

BD—BO,

：.5+BM=n-BH,

••.5+BM=\2-BM,

・・.5M=3.5,

故选：B.

9.B

【分析】本题考查作图…基本作图、角平分线的性质、点到直线的距离，熟练掌握角平分线

的性质是解答本题的关键；

过点£作E尸，N8于点尸，由作图过程可知，射线4。为/A4c的平分线，可得

EF=CE=2,进而可得答案，

【详解】解：过点E作即，48于点产，

由作图过程可知，射线/。为/8/C的平分线；

•••NC=90°,

EF=CE=2,

.,.点E到的距离为2；

故选：B.

10.C

【分析】本题主要考查了坐标与图形，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，一次函

数性质，延长/P交于点C,过点8作于点。，根据轴，P（a,6）在第一

象限，6=。+—3得出04=6=。+3三，PA=a,根据直线的解析式为V=x,得出点C的

aa

（33、33

坐标为〃+—,4+—,求出尸C=/C-N尸=。+—-a=~,证明△P8C是等腰直角三角形,

\aaJaa

根据等腰三角形的性质得出BD=-1PC=33,求出三角形的面积即可.

22a

【详解】解：延长/尸交。于点C,过点2作8。，尸。于点。，如图所示：

答案第6页，共22页

%

3

轴，P（〃,b）在第一象限，b=a+-

a

3

OA=b=a-\—,PA=a,

a

•・•直线08的解析式为歹二%,

・••点C的坐标为］a+—,a+—\,

IaaJ

3

•*.AC-OA—6zH—,

a

33

/.PC—AC—AP=a------a=—,

aa

・.,尸4_Ly轴,

・•./CMC=90。，

:.NACO=ZAOC=-x90°=45°,

2

-PBA.OC,

ZPBC=90°,

.•.△P5C是等腰直角三角形，

-BD1PC,

13

・•・BD=-PC=——，

22a

1133

SPAR=—APxDB=—ax—=—,

MB222a4

故选：C.

H.2

4

【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、直角三角形的性质，求

出4=ZACBJ8。。丁"=30。,由三角形内角和定理可得44以=30。，再由直角三角

139

形的性质可得=从而得出=+=最后再由直角三角形的性质即

可得解.

答案第7页，共22页

【详解】解：•・•在中，AB=AC=3,ABAC=120°,

180。一/5/。

NB=ZACB==30°,

2

-CE1AB,

・•.N4CE=180。一NCEB—NB—/4CB=30。,

13

AE=-AC=~,

22

9

・・.BE=AB+AE=一,

2

-EFIBC,

19

.•.EF=—BE=—,

24

9

故答案为：—.

4

12.9

【分析】本题考查平行线性质，以及等腰三角形判定，角平分线定义，解题的关键在于熟练

掌握相关性质、定义.利用平行线性质得到/D尸5=/C瓦"/EFC=/BCF,利用角平分

线定义得到NDBF=NCBF,ZECF=ZBCF,再结合等量代换和等腰三角形性质，推出

DE=DF+EF=BD+CE求解,即可解题.

【详解】解：:过点尸作。交48于点。，交4C于点E,

ZDFB=ZCBF,ZEFC=ZBCF,

•・•△/3C中，NB,/C的平分线相交于点尸，

/DBF=ZCBF,ZECF=ZBCF,

/DFB=/DBF,/EFC=ZECF,

/.BD=DF,CE=EF,

•/BD+CE=9,

:.DE=DF+EF=BD+CE=9.

故答案为：9.

13.-##0.5

2

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，由“ASA”可证

AADN和ABDM全等，可得S"DN=S.BDM，即可求解.

【详解】解:如图，连接四，

答案第8页，共22页

fF

CDA

VAB=BC,AC=2,乙45。=90。，点。是ZC的中点，

.BD=AD=-AC=\,ACBD=AA=45°,

:2

；.BD工AC,

ZADB=ZEDF=90°,

,・"BDM=/ADN,

在丛ADN和ABDM中,

ZBDM=ZADN

<BD=AD,

ZBDM=ZADN

AADN二5。河(ASA),

.c—c

•・3ADN_3BDM，

S四边形BMW=S-BD=/Xlxl=5，

故答案：y.

14.3

【分析】本题考查平行线的性质，等边二角形的性质，全等二角形的判定和性质，熟练掌握

等边三角形的性质是解题的关键；

过。做交4c于H,根据题意判定A/O/Z是等边三角形，判定ADPH2AFPC,

进而根据等边三角形的性质即可求解；

【详解】解：过。做交4c于H,

△N2C是等边三角形,

答案第9页，共22页

NA=/B=NACB=60°,

vDH//BC,

AADH=/B=60°,AAHD=ZACB=60°,

/•是等边三角形，

vDEIAC,所以E为ZH中点，

AAE=EH

•・•△ZOH为等边三角形，

AD=DH,

•••AD=CF,

ADH=CF

•・,DH//BC,

丁./HDP=/F,

•・•ZDPH=/CPF,

,△DP*△尸尸C(AAS),

HP=PC,

,/AE=EH,

EH+HP=AE+PC,

EP^-AC,

2

•••△/BC为边长为6的等边三角形，

AC=AB=6,

EP=3；

15.26

【分析】由平行线的性质可得乙4'。8=/8=76。，设乙BDC=a,则//'。。=76。+0,由

翻折的性质可得/仞C=4'DC=76o+a,可得76。+々+。=180。，求得/8DC=52。，再利用

线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质解决即可.

【详解】解：,•・/8=76。，A'D//BC,

NA'DB=ZB=76°,

设ZBDC=a,则ZA/DC=76。+e,

将△4DC沿DC翻折得到DC,

答案第10页，共22页

/ADC=ZA'DC=76。+a,

vZ^Z>C+ZBZ>C=180o,

/.76°+。+。=180°,

a=52°,

ZBDC=52°,

••・DE是边/C的垂直平分线，

AD=CD,

ZA=ZDCA,

//+NDCA=ZBDC=52°,

/A=26°,

故答案为：26

【点睛】本题考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质，

熟练掌握翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质及平行线的性质是解题的关

键.

16.120°45°或90°

【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，平行线性质，熟练掌握它们

的性质是解题的关键；

(1)根据等腰三角形的性质得乙4=N3=30。，再根据平行线的性质以及三角形内角和定理

来求解N3PC的度数.

(2)根据△尸。是等腰三角形，需要分CD=PD,CD=PC,CD=PC,三种情况讨论,

根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出/I的度数.

【详解】解：(1)■■-ZACB=nG°,AC=BC,

.•/=-=180。一入口=18。。-12。。=30。,

22

又rPDHBC,

ZADP=ZACB=120°,ZB=ZAPD,

：.ZAPD=30°

ZMPN=30°,

ZBPC=180°-NAPD-ZMPN=180°-30°-30°=120°,

故答案为：120。；

答案第11页，共22页

(2)情况一：当=时

"PCD=ZPDC,

•・•/MPN=30。，

180。一乙WPN1800-30°

/PCD=ZPDC==75°.

22

-ZACB=120°,

・•.Nl=NACB—/PCD=120°-75°=45。；

情况二：当。。二尸。时，/MPN=34。，

,"PCD=/MPN=3。。，

・•.Zl=ZACB-/PCD=120。—30°=90°,

■情况三：当C0=PC时，/MPN=30。，

・•.ZPDC=ZMPN=30°,

ZPCD=180o-2ZPr)C=180o-2x30°=120°,不符合题意，舍去,

综上所述：/I的度数为45。或90。.

故答案为：45。或90。.

17.岁

【分析】先求得点/、。的坐标，作点。关于x轴的对称点，连接/C交1轴于点尸，连接

PC,此时P4+PC的值最小，求直线/C的表达式，进而求出直线ZC与x轴交点坐标即

可.

【详解】解：过/作NEJ_x轴于£,

•.•。/平分4。。，/ELx轴，NABO=90°,AB=2布,

■■AE=AB^243,

•••点A到了轴的距离为6,

答案第12页，共22页

•1•/卜6,2^^）,贝I]OE=6,

vZ.ABO=Z.AEO=90°,OA=OA,AE=AB,

.•.RtA/EOgRtA/8O（HL）,

OB=OE=6,

・・・点B到了轴的距离8c=3,

•1•OC=yjoB--BC2=A/62-32=3A/3，

.•.C（0,3月），

作点C关于x轴对称的点C',则。'（0,-3班），连接NC'交x轴于点尸，连接尸C,

此时P4+PC的值最小，

设直线NC'的表达式为y=kx+b,

••・直线AC的表达式为y=一巫x-3石，

6

令＞=°,由0=-/得x=一岁，

65

•••点尸的坐标为

故答案为：（T.

【点睛】本题考查求一次函数的解析式、坐标与图形、角平分线的性质、三角形全等的判定

与性质、勾股定理、最短路径问题等知识，根据对称性质得到点尸的位置是解答的关键.

18,竺3石

2

【分析】本题主要考查了坐标规律题，结合等边三角形的性质和一次函数的图象和性质求解

是解题的关键.

根据y=走》+@求出点3的坐标，得到/5=1,根据等边三角形的性质，分别求得

33

4、4、4的纵坐标，进而得到4的纵坐标，可得点小以的纵坐标.

答案第13页，共22页

【详解】解：•.•直线y=也%+

与X轴交于点8,

3

.・.当歹=0时，X=-1,

・・・8(-1,0),

OB—1,

•.•^4(-2,0),

.e.OA—2,

AB=1,

・；△424是等边三角形，

.・•点4在N8的垂直平分线上,

3

.,.点4的横坐标为-1,

把咋争弋入之冬+李得:

44=2,

•.•△444是等边三角形，

.•.点4在4月的垂直平分线上,

二点4的横坐标为-g，

/£3V|

A，2一

\

同理4’3撞、

J'M

答案第14页，共22页

，〃-1

••.4的纵坐标为一百r-，

2

,2024_i

・••点4。24的纵坐标是^—二0,

2

?2024-1r-

故答案为：------V3.

2

19.⑴见解析

(2)CD=3,AE=1

【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识，

(1)由ND是△NBC的高，得ZADB=NADC=90。,进而即可根据“血”证明

RGBDE名RGADC；

(2)由全等三角形的性质得DE=OC,再由/D=4,S捻BC=14,即可得CD,NE的长；

熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明RMADE0RtA/DC是解决此题的

关键.

【详解】(1)证明：:N。是ZUSC的高，

ZADB=ZADC=90°,

在RtABDE和RM4DC中，

[BD=AD

[BE=AC'

Rt4BDE也RtA^DC(HL)；

(2),:RLBDE咨RLADC,

DECD,

'''S"c=14,

:.-BC-AD=14,

2

AD=BD=4,

.-.1(4+CD)-4=14,

：.CD=3=DE,AE=AD-DE=1.

20.(1)等边三角形，理由见解析

(2)6

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定、等腰三角形的“三

答案第15页，共22页

线合一”等知识点，熟记相关几何结论即可.

(1)由题意得/4=/48Q=/AD5=60。，根据C£〃48推出尸=44=60。，即可求

证；

(2)连接/C,可推出/C垂直平分得/B/C=/D/C；进而得ZEC4=ZD/C,

AE=CE=9,DE=AD-AE=39即可求解；

【详解】(1)解：AOEF是等边三角形，理由如下：

・・・△45。为等边三角形，

.•・乙4=ZABD=ZADB=60°,

-CE//AB.

ZDEF=ZA=60°,即NDEF=NEDF=60。,

・・.△/)£尸是等边三角形，

(2)解：连接4C,如图所示：

vAB=AD,CB=CD,

.••4。垂直平分5。，

：.ABAC=ADAC,

-CE//AB.

ZBAC=ZECA,

・•.ZECA=ZDAC,

・•.AE=CE=9,

•・•/£>=12,

DE=AD—AE=3,

・・・△DEF是等边三角形，

・・.EF=DE=3,

.•.CF=CE—EF=6

答案第16页，共22页

21.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题主要考查角平分线的计算，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等

角对等边，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键.

(1)根据等边对等角得出48=/C43,再由等角的余角相等得出N8跖=//Gb，利用

等角对等边即可证明；

(2)根据三角形内角和定理得出N4EF=90°-(ZCAB+ZEAC),

ZZ>=180°-2(ZCAB+ZEAC),即可证明.

【详解】(1)证明：-：CA=CB,

：./B=NCAB.

EFVAB,

NAFE=NEFB=90°.

；.NB+NBEF=90°,ZCAB+ZAGF=90°,

：./BEF=/AGF.

■：NAGF=ZEGC,

ZCEG=ZEGC.

；.ACEG为等腰三角形.

(2)证明：在△/£尸中，

ZAEF=180°-ZAFE-NCAB-ZEAC=90°-(/CAB+ZEAC),

在中，

ND=180°-Z5-NCAB-ACAD=180°-2(NCAB+NEAC),

.-.ZAEF=-ZD.

2

22.(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；

(1)利用三角形的外角的性质可得结论；

(2)如图，在班上截取跖=NE,连接/尸，证明尸之△C4E,再进一步可得结论.

【详解】(1)证明：•••ABED=ZABE+ZBAE,NBAC=NCAE+NBAE,

答案第17页，共22页

且/BED=/BAC,

・•・/CAE=NABE.

(2)证明：如图，在£5上截取E尸=/£,连接Zb，

则ZFAE=ZAFE=-ZBED,

2

设/BED=2a,

・•・/BED=ZBAC=2ZDEC=2a,

ZAFB=ZAEC=180。—a,

ZAFB=ZAEC

在AZB/和月中，<ZABF=ZCAE,

AB=CA

・•・/\ABF^/\CAE,

•••BF=AE=EF,

BE=2AE.

23.⑴见解析

⑵成立；BD=DE,理由见解析

【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，三角形全等判定与性质，等腰三角形的判定和

性质，三角形外角的性质，准确作出辅助线是解题关键.

（1）由△48C是等边三角形，可得448C=//C8=60。，由。是NC的中点，可得AD平

分N4BC,AD=DC,NDBC=；ZABC=3。°,由/O=CE,可得C〃=CE,可求

ZE=ZCDE=^ZACB=30°,可得NDBC=NE=30。即可；

（2）过点。作DF〃3c交48于尸，证明△ZFD是等边三角形，得出4尸=40=尸D,证

明ABFZ汪A£>CE（SAS）得出结论即可.

【详解】（1）证明：・・•△4BC是等边三角形，

ZABC=ZACB=60°,

答案第18页，共22页

・・•1)是NC的中点，

；.BD平分NABC,AD=DC9

・•.ZDBC=-ZABC=30°,

2

vAD=CE,

CD=CE,

/E=ZCDE=-ZACB=30°,

2

・•.ZDBC=ZE=30°,

BD=DE