代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）-2025年中考数学答题技巧与模板构建（解析版）

专题01代数计算问题（实数、整式、分式、二次根式）

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模型01实数的计算

模型02整式的混合运算与化简

模型03分式的运算及化简

模型04二次根式的计算

勘题矍解徐

代数式的计算通常出现在各地市的中考大题第1题，分值在5-10分左右，主要考查实数的计算、整式的运

算与化简求值、分式的混合运算与化简求值、二次根式的计算等，题目为基础题，比较容易得分，学生需

要牢记相关易错点、公式和口诀，避免出现低级的计算错误。

。模的建

模型01实数的计算

WTSIMIS'..................................

1.实数的计算一般为解答题第1题：

2.涉及到的知识点有：零次累、-1的奇偶次塞、数的乘方、负整数指数塞、绝对值、开方运算、特殊角的三

角函数值等，一般为3-5个知识点的组合：

3.乘方、负整数指数幕涉及的一般为绝对值小于5的数字，开方运算涉及的一般为100以内的数字.

答|题|技|巧

1.实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以

进行开方运算，其中正实数可以开平方.

2.在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减,

有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.

另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

3.实数运算的“三个关键”

①运算法则：乘方和开方运算、幕的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角

函数值的计算以及绝对值的化简等.

②运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算,

无论何种运算，都要注意先定符号后运算.

③运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度.

4.常见的公式及易错点：

（1）负整数指数累：，'"=5（加为正整数）；

（2）零指数幕：a°=l（awO）

(3)特殊角的三角函数值：

sin30°=-,sin45°=也，sin60°-—,

222

cos30°=^.,cos45°=—,cos60°=-,

222

tan3

°°=ftan45°=l,tan60°=g.

(4)常见的易错点：—2?=—4,(—2)2=4,—2<=—L,(—2厂2=工

44

-I2025=(—1产=—1,-I2024=-l,(-l)2024=1

|题型学.

(2024•济南)计算：V9-(7?-3.14)°+(3T+|V3|-2cos30。.

【答案】6.

【分析】根据负整数指数幕、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数累的性质进行化简，然后根据实数

运算法则进行计算即可

【详解】解：原式=3-l+4+旧—2X空

=3-1+4+V3-V3

=6.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握负整数指数累、绝对值、特殊角的三角函数值、零指数暴的

性质是解题的关键.

）支式

1.（2024•乐山模拟）计算：（2024-兀）°+|百—1|—8）T+旧.

【答案】见试题解答内容

【分析】先计算零指数嘉，负整数指数塞和化简二次根式，再根据实数的运算法则求解即可.

【详解】解：（2024-7T）°+|V3-1|-（I）-1+V12

=1+73-1-2+273

=3V3-2.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，零指数嘉，负整数指数哥和化简二次根式，熟练掌握相关知识点

是关键.

2.（2024•五华区校级模拟）计算：V9-2cos45。—（1—兀）°+《厂】+|—.

【答案】5.

【分析】先进行开方，特殊角的三角函数值，零指数累，负整数指数累和去绝对值运算，再进行加减运

算即可.

【详解】解：原式=3-2乂孝-1+3+企

=5.

【点睛】本题考查实数的运算，解答本题的关键是熟练掌握实数的运算法则.

3.（2024•甘肃二模）计算：V9-（I）-1+cos60°-（TT-2024）°.

【答案】见试题解答内容

【分析】先计算零次塞、负整数指数累、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加

减.

【详解】解：V9-（I）-1+cos60°-（7i-2024）°

=3-3+1-1

=——.

【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算.

4.（2024•荷塘区校级模拟）计算：2tm60。+|百—2|+（白力-1—孚.

【答案】2024.

【分析】利用特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数塞计算即可.

【详解】解：2tan60°+|V3-2|+（―-率

乙U乙乙乙

=2xV3+2-V3+2022-竽

=2V3+2-V3+2022-V3

=2+2022

=2024.

【点睛】本题考查了特殊角的三角函数、绝对值及负整数指数幕.根据60度角的正切值、绝对值及负整

数指数幕的意义即可求得结果.

5.计算：

cl)727+^^8-712;

(2)(V3)°-4^7^+(V9)3-

【答案】(1)V3—2;

⑵

2

【分析】(1)先根据算术平方根、立方根运算法则计算，再合并即可；

(2)先根据零指数事、算术平方根、立方根的运算法则计算，再根据有理数的加减法则计算即可.

【详解】解：(1)727+7^8-712

=373+(-2)-2V3

=V3—2;

⑵(V3)0-+(V9)3-

=1-7+9-1

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

6.计算：

(1)5-(-5)+6x(-2)；

(2)(―6)2x—V8.

【答案】(1)-2；

(2)4.

【分析】(1)先算乘法，再算加减即可；

(2)先算括号里面的，再算乘方、开方，再算乘法，最后算减法即可.

【详解】解：(1)5-(-5)+6x(-2)

=5+5+(-12)

=10+(-12)

=-2；

(2)(-6尸x4—》—V8

1

=36x4—2

O

=6-2

=4.

【点睛】本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

模型02整式的混合运算与化简

叠湎而而..................................................

1.常考的形式有直接化简整式；先对整式化简，再代人字母的值求整式的值：；给出解题过程，寻找过

程中的错误并写出正确的结果；出现的位置一般为解答题的第1或第2题：

2,题目必考乘法公式，还会涉及单项式乘多项式、多项式乘多项式等，涉及1个字母或2个字母：

3.代值时：除直接给出字母的值，还会结合实数的运算、方程（组）等求出字母的值，还可能会涉及整体代

人法

答|题|技|巧

1.有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.

2.“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时

应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来.

3.整式的化简求值：先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值.

有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.

4.常用的乘法公式：

（1）完全平方公式：（。±6）2=/±2刈+尸；

(2)平方差公式：(a+b)(a-b)=/-〃.

猫型不例

(2024•甘肃)先化简，再求值：[(2a+b)2-(2a+b)(2a-b)]+2b,其中°=2,b=-1.

【答案】2a+b,3.

【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再合并同类项，最后计算除法，然后代入。=2,

b=-1,求出答案即可.

【详解】解：原式=[4那+4话+块-（4。2-抉）柠26

=（4〃2+4次?+/?2-4/+序）=2b

=（4。。+2按）=2b

=2a+b,

当a=2,b=-1时，

原式=2x2-1=3.

【点睛】本题主要考查整式的混合运算一化简求值，熟练掌握整式的混合运算顺序和法则及代数式的求

值是解题的关键.

＞支式

1.(2024•连州市二模)化简：(a-3)(a+3)-(«-3)2.

【答案】6a-18.

【分析】先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并同类项即可.

【详解】解：(。-3)(a+3)-(tz-3)2

=层-9-(a2-6a+9)

—a2-9-a2+6a-9

=6a-18.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键.

2.(2024•镇海区校级三模)化简：(m+3)Cm-3)-(m+1)2.

小明的解答如下：

解：原式=相2-9-Cmr+m+1)—m2-9-m2-m-1=-m-10.

小明的解答正确吗？如果不正确，请写出正确的解答.

【答案】不正确，正确解答见解析.

【分析】根据题目中的解答过程可知，小明的解答不正确；根据乘法公式将题目中的式子展开，再去括

号合并同类项即可将正确的解答过程写出来.

【详解】解：由题目中的解答过程可知：小明的解答不正确，

正确解答：(n+3)(m-3)-(m+1)2

—m2-9-(m2+2m+l)

=m2-9-m2-2m-1

=-2m-10.

【点睛】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

3.(2024•北戴河区一模)已知多项式P=(x+2)2+x(1-x)-9.

(1)当x=0时，求P的值；

(2)若x为整数，试说明多项式产能被5整除.

【答案】(1)-5；

(2)理由见解析.

【分析】(1)把尤=0代入多项式计算即可；

(2)先计算出产的值为5(x-1),然后判断即可.

【详解】解：(1)当x=0时，2=22-9=4-9=-5；

(2)P=(x+2)2+x(1-x)-9

=X2+4X+4+X-x2-9

=5x-5

=5(x-1),

•.”为整数，

•'.5(x-1)是5的倍数，

即多项式产能被5整除.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

4.(2024•城中区校级三模)求代数式2(%-y)2+(-4x3y+6x2y2)孙的值，其中＜-3|+J%+y=0.

【答案】2炉-孙，原式=27.

【分析】先利用完全平方公式，多项式除以单项式的法则进行计算，然后把x,y的值代入化简后的式子

进行计算，即可解答.

【详解】解：2(x-y)2+(-4x3y+6x2y2):2盯

=2(%2-2孙+y2)-2x2+3xy

=2x2-4xy+2y2-2x2+3xy

=2y2-xyf

V\x-3|+J[+y=0,

/.x-3=0,x+y=0,

解得：冗=3,y=-3,

/.当x=3,y=-3时，原式=2x(-3)2-3x(-3)=2x9+9=18+9=27.

【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，绝对值和算术平方根的非负性，准确熟练地进行计算

是解题的关键.

5.(2024•城中区校级二模)先化简，再求值：(x-2y)2+2(%-y)(X+y)-3x(x-2y),其中x=2,

y=~i.

【答案】2孙+2JA-2.

【分析】首先根据完全平方公式、平方差公式以及单项式乘多项式法则进行运算，再合并同类项，然后

将x=2,y=-1代入化简后的式子计算即可.

【详解】解：(x-2y)2+2(x-y)(x+y)-3x(x-2y)

=x2-4孙+4y2+212-2y2-3x2+6xy

=(X2+2X2-3x2)+(-4xy+6孙)+(4炉-2y2)

=0+2盯+2y2

=2xy+2y2,

当x=2,y=-1时，原式=2x2x(-1)+2x(-1)2=-2.

【点睛】本题考查整式化简求值，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键.

6.(2024•北京模拟)已知％2+2%-1=0,求代数式(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式化简，再将已知变形代入得出答案.

【详解】解：(x+1)2+x(x+4)+(x-3)(x+3)

=X2+2X+1+X2+4X+X2-9

=3X2^-6X-8,

VX2+2X-1=0,

/.x2+2x=1,

；・原式=3（X2+2X）-8

=3x1-8

=3-8

=-5.

【点睛】此题主要考查了整式的混合运算-化简求值，正确运用乘法公式是解题关键.

模型03分式的运算及化简

浮］而i而j词......................

1.常考的形式有两种：给出分式，直接化简求结果；给出分式化简的过程，根据题意补全过程或寻找

解题过程中的错误并写出正确的化简结果；先化简分式再由字母或式子的值进行求解

2.题目一般为2-3项的混合运算，涉及1个字母或2个字母，字母的指数一般不超过2,字母的系数为10

以内的有理数：

3.解题过程中涉及的运算有：分式的加减乘除、通分、约分、去括号法则等，分子或分母为多项式时，还会

涉及因式分解。

答|题|技|巧

1.分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号

的先算括号里面的.最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式.

分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算.

2.分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值.

在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简.化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果

要化成最简分式或整式.

题型不例

＞哀创（2024•哈尔滨）先化简，再求代数式（白-尤2+；%+1）+备的值，其中X=2COS30。-tan45°.

【答案】西

3

【分析】依据题意，先化简分式，然后化简x后代入计算可以得解.

1%+12v-k1

【详解】解：由题意，原式=士•一—T------

%+1x-l(x+l)2X-1

12

-x-l~x2-l

%+1—2

~(%+1)(%—1)

x—1

~(x+l)(x—1)

1

一%+「

又x=2cos30°-tan45°

=2x日」

=V3—1,

•••原式=/1+1=学

【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关

键.

＞支式

1.（2025•泗洪县一模）先简化，再求值：（第T—窑）一母，其中比=遍+1.

Xa一4X十乙X一乙

【答案】见试题解答内容

【分析】先对x2-4分解因式，再通分、约分，进行化简求值.

【详解】解:原式=1+般一2)-+W

2%一(%—2)%—2

一(x+2)(x—2)Xx—l

1

-x—lf

当x=百+1时，

原式=字.

【点睛】考查分式的化简求值，比较简单.

2.⑵24•西城区校级模拟）先化简,再求值：（1一三）十告,其中x=5.

【答案】口’2

【分析】利用分式的相应的法则对分式进行化简，再代入相应的值运算即可.

【详解】解：（「白）.令

^x-3,(x-3)2

-x—l.x(x—1)

_%—3x(x—1)

-1/0、2

“X1(%—3)

x

=xz3,

当x=5时，

原式=白

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

3.（2024•深圳模拟）先化简，再求值：（其_1）+4二彗±1其中。=1.

%+2）。+2

【答案】见试题解答内容

【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把。的值代入计算，得到答案.

【详解】解：原式=（急一翳a+2

(a0

_a—2,a+2

_a+2（a-2）2

1

=a=2,

当a=1时，原式==-1.

Ji-z

【点睛】本题的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

4.（2024•平江县二模）已知x2-x-l=0,求（三一工）+产一%的值.

%+1xJX2+2X+1

【答案】L

【分析】利用分式的混合运算法则将（鲁-1）+嘉*化简为詈，再根据题意得到尤2=犬+1,将尤2

=X+1代入化简后的式子求解.

【详解】解：（鼻一工）+某三

5+1xJX2+2X+1

9

.x-1（x+1）

-%（%+l）x（x—1）

x+1

=

\#x2-x-1=0,

•»x^x+1,

・・・上式=多=1.

X乙

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是关键.

5.（2024・朝阳区一模）己知x+2y+2=。，求代数式（X一手）.奇的值.

【答案】见试题解答内容

【分析】先化简所求式子，再根据x+2y+2=0,可以得到尤+2y=-2,再将x+2y=-2代入化简后的式子

计算即可.

【详解】解：（X_逐）

xx-2y

%2—4y22%

xx-2y

_(x+2y)(x—2y)

xx-2y

=2(x+2y)

=2x+4y,

Vx+2y+2=0,

.\x+2y--2,

；・原式=2（x+2y）=2x（-2）=-4.

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

6.（2024•大余县二模）如图是学习了分式混合运算后，甲，乙两名同学解答一道题目中第一步的做法，选

择其中一名同学的做法，完成解答过程.

计算：（当一x2、%2—1

kx—1%+l)2x

甲同学乙同学

解：原式=[3个；?_尤喧”.^1.解：原式=［区—4d.（x+?（x—l）

L(x—l)(x+l)(x—1)(%+1)J2xLx—1%+1」2x

我选择：甲/乙同学

【答案】甲/乙.

【分析】甲同学：先通分，然后根据分式的乘法法则计算即可;

乙同学：根据乘法的分配律计算即可.

【详解】解：甲同学：原式=以瑞方%(%—1)]%2—1

(%—1)(%+1)J2x

3x2+3x—x2+x(x—l)(x+l)

(%—l)(x+l)2x

2X2+4X

2x

=x+2；

乙同学：原式=[等_喂]..+?(久—1)

Lx—1%+1」2x

_3x(%+1)_

-2x2x

_3x2+3x—x2+x

-2x

2X2+4X

-2x

=x+2.

故答案为：甲/乙.

【点睛】本题考查分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

7.（2024・开封二模）化简：（三+三）.之二，下面是甲、乙两同学的部分运算过程:

i%+lx-Vx

解：原式=［需二十

>4%(%+1)%2-1

甲同学(%+1)(%-1)x

22

解：原式=异T:%-1xx-l

+-----,-------

Xx-1X

乙同学

（1）甲同学解法的依据是乙同学解法的依据是（填序号）

①等式的基本性质;

②分式的基本性质;

③乘法分配律;

④乘法交换律.

（2）请选择一种解法，写出完整的解答过程.

【答案】（1）③；②;

(2)2x.

【分析】（1）根据乘法分配律，以及分式的基本性质进行计算，即可解答;

（2）若选择甲同学的解法：先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；若选择

乙同学的解法：先利用乘法分配律计算分式的乘法，再算加减，即可解答.

【详解】解：（1）甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律,

故答案为：②；③;

（2）若选择甲同学的解法:

XX.X2—1

f^+i+口)>

%(久-1)%(久+1)、.x2-l

—[r+1*■

(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x

_X2—x+x2

一(x+l)(x—1)X

2/.(尢+1)(%-1)

一(x+l)(x—1)X

=2x；

若选择乙同学的解法:

X%、x2—1

(f市+一),―

XX2-lXx2-l

=Y+T*---+--,---

丁xx-1X

x©+1)0-1)X(%+1)(%-1)

+----•-----------

%+1Xx-1X

=x-l+x+l

=2x.

【点睛】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键.

模型04二次根式的计算

浮FSTSTiF...............................

二次根式的计算主要考查二次根式的混合运算，常结合乘法公式、零指数累、整数指数累、特殊角的三角

函数进行综合考查。

答।题।技।巧

二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用.学习二次根式的混合运算应注

意以下几点：

①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的.

②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”.

③二次根式的运算结果要化为最简二次根式.

④在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往

能事半功倍.

【答案】见试题解答内容

【分析】先算乘法，化为最简二次根式，再合并即可.

【详解】解：原式=3企-3或

=0.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的乘法和化为最简二次根式，合并

同类二次根式.

）支式

1.（2024•甘州区二模）计算：472xV3—（V3+V2）2+

【答案】-7—百.

【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则、分母有理化分别化简，进而得出答案.

【详解】解：原式=2区—（3+2+2V6）+zI

=2星＞—5-2-y/6—（2+V3）

=2^/6-5-2^/6-2-V3

=-7-V3.

【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键.

2.（2024•临渭区三模）计算：何一+闻+遍.

【答案】2^/3+3.

【分析】先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简二次根式后合并同类二次根式即可.

【详解】解：原式=3次一J,x6+145+5

=3-\/3-V3+3

=2-\f3+3.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则

是解决问题的关键.

3.（2024•浙江模拟）先化简，再求值：2（a+而）（a-遮）一a（a-4）+14，其中。=遍—2.

【答案】见试题解答内容

【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式把原式化简，把。的值代入计算

即可.

【详解】解：原式=2（a2-5）-（a2-4a）+14

—2a2-10-a2+4a+14

=a2+4a+4

=（a+2）2,

当。=n—2时，原式=（V6—2+2）2=6.

【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握平方差公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关

键.

（2024•青神县模拟）计算：|百一2|+（-3-2一（2022-孚）。+停彳

4.

【答案】见试题解答内容

【分析】先根据绝对值、负整数指数幕、零指数幕的意义计算，再分母有理化，然后合并即可.

【详解】解：原式=2-百+4-1+7V必与号

=2-73+4-1+73-1

=4.

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则、零

指数累和负整数指数暴是解决问题的关键.

5.计算：（遮一1）2-（百+四）（遮一/）.

【答案】5-2。

【分析】利用完全平方公式，平方差公式计算即可.

【详解】解：原式=5-2遥+1-（3-2）

=5-275+1-3+2

=5-2V5

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，解二元一次方程组，解题的关键是掌握二次根式混合运算法则，

学会用代入法解方程组.

6.计算：

（1）（3V3-1）（373+1）-（2V3-I）2；

（2）（2g—J1）x逐一回苧1

【答案】（1）13+4V3；

（2）11V2-5.

【分析】（1）利用平方差公式，完全平方公式计算即可；

（2）先计算乘除，再计算加减.

【详解】解：⑴原式=（3次）2-1-（12-4a+1）

=27-1-12+4V3-1

=13+4^3;

（2）原式=2gx迎一出乂声一旧+,-g+百

=12V2-V2-3-2

=1172-5.

【点睛】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，解题的关键是掌握二次根式的混

合运算法则.

◎真想弦炼

解答题（共14小题）

1.（2024•北京）计算：（兀一5）°+我一2s出30°+|-四|.

【答案】3V2.

【分析】先化简零指数募，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可.

【详解】解：（兀一5）°+孤一2s讥30。+|—四|

=1+2^2-2x2+V2

=3A/2.

【点睛】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幕，特殊三角函数值等相关知识.

2.（2024•青海）计算：V18-tan45o+7i0-|-V2|.

【答案】2A/2.

【分析】根据特殊角的三角函数值、零指数幕的性质、绝对值的性质和如何化简二次根式，进行计算即

可.

【详解】解：原式=3四一1+1—四

=3V2-V2+1-1

=2>/2.

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，解题关键是熟练掌握特殊角的三角函数值、零指数暴的性质、

绝对值的性质和如何化简二次根式.

3.（2024•吉林）先化简，再求值：（a+1）（a-1）+*+1,其中口=遮.

【答案】6.

【分析】先将原式化简，再代入数据进行计算即可.

【详解】解：（0+1）（a-1）+fl2+l

=a2-l+a2+l

=2层

a=y/3,

.,.原式=2x（V3）2=6.

【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，正确进行计算是解题关键.

4.（2024•重庆）计算：

(1)a(3-。)+(。-1)(〃+2)；

2

(2)(1+).久2—4

+；

%-2-X2-4X+4

【答案】（l）4a-2；

x

(2)---.

X+2

【分析】（1）先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减;

（2）先计算括号里面的分式加减，再进行因式分解、约分.

【详解】解：(1)a(3-a)+(a-1)(q+2)

=3〃--a-2

=4a-2；

⑵（1+刍）+尤2工4

%-2+2.(%-2)2

X—2(%+2)(%-2)

x(%-2)2

x—2(x+2)(x—2)

x

x+2'

【点睛】此题考查了代数式的混合运算能力，关键是能准确确定计算方法和顺序，并能进行正确地计算.

5.（2024•潍坊）（1）计算：g+（3-2一|一3|；

（2）先化简，再求值：①+1—言）+若，其中a=,+2.

【答案】⑴-1;（2）a-2,V3.

【分析】（1）先化简立方根，负指数，绝对值，再相加减；

（2）先括号内通分，分子分解因式，除法换作乘法，约分化简，再代入。值，合并即得.

【详解】解：（1）V=8+（1）-2-|-3|

=-2+（21）一2-3

=-2+4-3

=-1;

（2）（a+1-4+半

'a—I7a—1

_—1—3.。+2

-a—1°a—1

_（a+2）（a—2）CL—1

CL—1a+2

=a-2；

当a=B+2时，

原式=V3+2—2=V3.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，分式的化简求值，熟练掌握立方根，负指数，绝对值，分式的混

合运算，是解决问题的关键.

6.（2024•西宁）先化简，再求值：（3^-1）2-2a（4a-1）,其中〃满足后-4Q+3=0.

【答案】那一4〃+1,-2.

【分析】根据整式的乘法运算和完全平方公式，展开原代数式，得到〃2-4〃+1,由所给条件得到〃2一4〃

=-3,整体代入，即可得到结果.

【详解】解：（3〃-1）2-2a（4〃T）

=（9层-6〃+1）-8*+2〃

=（9层-8/）+（-6〃+2〃）+1

=a2-4〃+1

Va2-4〃+3=0,

/.a1-4a--3,

；・原式=〃2-4a+l=-3+1=-2.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握整式的相关运算法则是解题的关键.

7.（2024•山西）（1）计算：（-6）x[—（工）匕+[（-3）+（-1）]；

32

11%+2

(2)化简(——+——)

x-1%+1

【答案】（1）-10；

2x

(2)

x+2

【分析】（1）先算括号里面的，再算乘法,负整数指数累，最后算加减即可;

（2）先算括号里面的，再把除法化为乘法，最后约分即可.

【详解】解：⑴（-6）x4一（工）"+［（-3）+（-1）］

32

=(-6)x1-(-)-2+(-3-1)

32

二(-6)x<1一(-1)-2-4

32

=-2-4-4

=-10；

11.x+2

(2)(——+——)

x-1%+1%2—1

x+l+x—1(x+l)(x—1)

(x+l)(x—1)x+2

2x(x+l)(x-l)

(x+l)(x-l)x+2

_2x

=x+2,

【点睛】本题考查的是分式的混合运算，有理数的混合运算及负整数指数嘉，熟知运算法则是解题的关

键.

8.（2024•广安）先化简（«+1—-，）-2+4：+4,再从-2,0,1,2中选取一个适合的数代入求值.

a-1a-1

a—2

【答案】，当〃=0时，原式=-1,当a=2时，原式=0.

。+2

【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定。的值，代入计算即

可.

【详解】解：原式=(―_-)•/1

a-1a-1az+4a+4

_(a+2)(a-2).

d—1(a+2)2

_a—2

=a+2f

由题意得：且4彳-2,

当〃=0时，原式=睛=一1,

当〃=2时，原式==0.

【点睛】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键.

丫2—AA

（•甘南州）先化简，再求值：＞+以+

9.20244———+(―+1),且X满足-2£区2,取一个值即

X2+2XX2-4X+4x-2

可.

【答案】安，当x=l时，原式=半=3（答案不唯一）.

X1

【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将符合条件的x的值代入计算即可.

用禧—(X+2)2(X+2)(X-2).x+2

【详解】解:原式一衣历,._2)2,^=2

%+2%+2x—2

x'x—2x+2

x+2

---，

x

・・,-2<x<2,日样0,±2,

整数尤=1或T,

...当x=l时，原式=牛=3（答案不唯一）.

【点睛】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则.

io.（2024•烟台）利用课本上的计算器进行计算，按键顺序如下：若加是其显示结

果的平方根,先化简：（悬+墨一分’再求值.

_...-771—2

【答案】-----，-

6-2m

【分析】先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再根据计算器计算出机的值，代入运算即可.

【详解】解：（旦+文竹）+宏

m-39-m2m+3

,m2+3m7m-4m+3

=(---------------)x•------

Tn2—9m2—94—2m

0-2)2.?n+3

一(m+3)(m-3)-2(m—2)

_m—2

=6-2m9

根据计算器可得m=±、9一5=±V4=±2,

V4-2WO,

当m=-2时,

原式=等9=4

【点睛】本题主要考查分式的化简求值和计算器一数的开方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

11.（2024•绵阳）⑴计算：兀。+*我+2|1-郎45。|-（-遍产

(2)先化简，再求值：(1+3+＞二乙其中X=&+1.

v%7X

【答案】⑴0；

(2)—,它.

x-12

【分析】(1)先根据零指数幕，特殊角的三角函数值，数的乘方法则，绝对值的性质分别计算出各数,

再根据实数的运算法则进行计算即可；

(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可.

【详解】解：⑴7T°+|V8+2|1-COS45°|-(-V3)2

=1+V2+2|1_^|-3

=1+V2+2(1一孝)-3

=1+V24-2—V2—3

=0;

/9\,1、N—1

(2)(i+Q+k

_%+l.X

-x(x+l)(x-l)

1

-%-1,

当"=&+1时，原式=舄二

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，零指数幕，二次根式的混合运算，特殊角的三角函数值，熟知

以上知识是解题的关键.

12.(2024•北京)己知a-6-1=0,求代数式三(匕2b)+帅的值.

a2-2ab+b2

【答案】见试题解答内容

【分析】先将分式的分子、分母分别分解因式，约分化为最简结果，然后代入求值即可.

【详解】解：,。-1=0,

*.a-b=l,

3(a-2b)+3b

a2-2ab+b2

_3a—6b+3b

(a-6)2

3a—3b

=-----7

(a-by

_3(a—b)

一(a-心

3

-a—b

=3.

【点睛】本题考查了分式的值，通过将分式的分子、分母分别分解因式化为」3一是解题的关键.

a-b

13.（2024•淄博）化简分式：—+上匕并求值（请从小宇和小丽的对话中确定a,b的值）

a2-2ab+b2a-b

小宇小丽

【答案】一1L；-I1.

a-b》

【分析】根据对话可求得。，6的值，将原分式化简后代入数值计算即可.

【详解】解：由对话可得“=-3,b=2,

百T一（a+b）（a—b）,l—a~b

原式———用h

（7a—o）ua-bu

_a+b+1—a—b

-a—b干a—b

1

=口，

当a=-3,b=2时，

原式=―=—i.

【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

14.（2024•泰安）（1）计算：21即60。+弓厂2—।一届।+五时；

（2）化简：Q—

【答案】⑴7；

（2）—.

X+1

【分析】（1）先算特殊角的三角函数值，负整数指数累，二次根式的化简，再算加减即可;

（2）先算括号里的运算，把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，最后约分即可.

【详解】解：（1）2ttm60°+&厂2一।一+J（_3）2；

=2V3+4-2V3+3

=7；

s、/2%—1、x^—1

⑵（X---------）+------

、x7x

_%2-2x4-1x

x%2-1

_（%-1）2X

~X（x+l）（x—1）

_x—1

-x+1*

【点睛】本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握.

益模绘至用

一.解答题（共14小题）

1.（2024•茂南区校级一模）计算：（一2）2-®+（/一1）。+（方-1.

【答案】见试题解答内容

【分析】先计算平方、零次塞、负整数指数事，再计算加减.

【详解】解：（-2）2-V9+（V2-1）°+（j）-1

=4-3+1+3

=5.

【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算.

2.（2024•罗湖区校级模拟）计算：2cos30。一（兀一2024）。+|百一2|.

【答案】L

【分析】先计算零次累、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减

【详解】解：2cos30。一（兀—2024）°+|百-2|

=2X^-1+2-V3

=V3—1+2—V3

=1.

【点睛】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算.

3.（2024•湘阴县二模）计算：|—遍|一2s讥60。+（上尸+（2023-兀）

【答案】5.

【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，零指数幕进行计算即可求解.

【详解】解：原式=u一2X5+4+1

=V3—V3+4+1

=4+1

=5.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幕，零

指数事是解题的关键.

4.(2024•渭源县模拟)计算：|1一段|+6)-2_2§讥45。+(兀-3.14)°.

【答案】4.

【分析】先代入特殊角三角函数值，再计算零指数幕，负整数指数塞，最后计算加减法即可.

【详解】解：原式=应一1+4-2x孝+1

=V2-1+4-V2+1

=4.

【点睛】本题主要考查了实数的运算，特殊角三角函数值，零指数幕，负整数指数幕，掌握相应的运算

法则是关键.

5.(2024•郸城县四模)(1)计算：|-2|+(3.14-n)0-(一号)【

(2)化简：(2%-1)2-(2x+3)(2r-3).

【答案】⑴6；

(2)10-4x.

【分析】(1)根据绝对值的定义、零指数累的意义以及负整数指数幕的运算法则即可求出答案.

(2)根据完全平方公式以及平方差公式即可求出答案.

【详解】解：(1)原式=2+1+3

=6；

(2)原式=4/-4.r+l-(4x2-9)

=4x2-4x+l-4X2+9

=10-4x.

【点睛】此题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

6.(2024•娄星区校级二模)先化简，再求值：(2x+y)(2x-y)-(2x-y)2,其中x=-2,y=-i.

【答案】4xy-2y2,31

【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、合并同类项化简原式，再将x、y的值代入

计算即可得.

2

【详解】解：原式=41-y2_(4^-4xy+y)

=4孙-2俨；

将x=-2,y=-g代入得：

原式=4x(-2)x(-分一2x(-分2

4—

=321

【点睛】本题主要考查整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算

法则.

7.(2024•南充模拟)化简并求值：(cfb-2ab2-b3)三b-(a+b)(a-3b),其中6=-1.

【答案】2扶,2.

【分析】先根据多项式除以单项式和多项式乘多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可.

【详解】解：(a^b-2ab2-Z?3)-(a+6)(a-3b)

—a2-2ab-b--(tz2-3ab+ab-3b2)

=a2-lab-b2-a1+hab-ab+3b2

=2按,

当b=-1时，原式=2x(-1)2=2xl=2.

【点睛】本题考查了整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运

算顺序.

4

8.(2025•闵行区一模)计算：i+二—(cos30°)-1+|—tan45°|+兀°.

【答案】犯I.

3

【分析】先