第3章 圆（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学下册专项突破（含答案）

第3章圆（单元测试•培优卷）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选

项，其中只有一项符合题目要求）

（24-25九年级上•黑龙江齐齐哈尔•期末）

1.在△NBC中，ZC=90°,AC=2,BC=4,〃是N8的中点，以点。为圆心，2为半径

作。C,则（）

A.点M在0c上B.点M在OC外

C.点M在。C内D.点初与OC的位置关系不能确定

（24-25九年级上•广东东莞•期中）

2.如图，在。。中，AB=CD，则下列结论错误的是（）

A.AB=CDB.AC=BDC-AC=BDD.AD=BD

（24-25九年级上•浙江温州•期末）

3.如图，己知。。的半径为5,弦A8与弦CD位于圆心。的异侧，AB//CD,CD=6,在

上取点E,连结并延长交CD于点尸.若OE:。尸=1:2,则的长为（）

E

A.12B.2VHD.V21

（24-25九年级上•浙江杭州•期中）

4.如图，在以点。为圆心的半圆中，4B是直径，AD+BC^CD＞连接ZC,2D交于点

E,连接。。交RD于点尸，若=则CE:C4的值是（）

试卷第1页，共8页

c

I).

2R6D.如

A.D.-------

323

（23-24九年级下•浙江杭州•开学考试）

5.如图，在△/BC中，/A4c=90。，AB=AC,E为/C边上一点，连接BE,以48为直

则华（

径的圆分别交8C,BE于D,汉两点，连接DH,设NABE=a

A.1-tanaB.cosa-sinaC.tana-sinaD.1-coscr

（2024・重庆•模拟预测）

6.如图，43为圆。的直径，延长4B至点尸，尸。为圆。的切线，点。为切点，过点。

作。交于点C,BC=1,CO=2,过点/作NEL48交尸。延长线于点E,则线段PE

为（）

7V5

~T~

（23-24九年级下•全国•期末）

7.已知正十边形内切圆的半径是4,那么这个正十边形的面积是（）

A.80sin36°B.160tanl8°C.80cos36°D.160cotl80

（2024•湖北武汉•模拟预测）

8.如图，点C是。。的半径上一点，将扇形沿/C折叠，使弧AB'恰好经过圆心

0,其中8点的对应点是夕，若4408=105。，则丝的值是（）

试卷第2页，共8页

A.V3-V2B.V2-Ic.yD.V3-1

（24-25九年级上•浙江•期中）

9.如图，直角三角板N8C叠放在量角器上，N4=30。,N8=66,43均落在量角器的外圆

弧上，A点在量角器上的读数为30。,/。与圆弧交于点。，已知Z8||斯，则丽的长为

（）

A.兀B.2兀C.371D.6兀

（2024•重庆渝中•二模）

10.如图，。。的半径是6,直线EF与。。相切于点尸，连接。£、。厂分别交。。于点

B、点、C,若点/为圆周上一点且NA4c=37.5。，ZE=60°,则斯的长为（）

A.3亚+&B.3G+3C.273+6D.3V2+6

二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）

（23-24九年级上•江西赣州•期末）

11.如图，已知。。的两弦48、相交于E,且点A为也的中点，若ZOBA=32。，则ACEA

的度数为.

试卷第3页，共8页

（23-24九年级上•全国•单元测试）

12.如图，已知矩形48cD的四个顶点都在圆。上，且以,展=L2,则4408=

（24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•期中）

13.如图，48为。。的直径，眩CD〃AB,过圆心。作0EJ.48交于点尸，交半圆于

点E,连接4D,若点尸为的中点，则NA4O=

（24-25九年级上•陕西西安•期中）

14.如图所示，点A,B,C在。。上，其中A为A4c上异于点B和点C的任意一点，若

ABAC=60°,平分/C,OFVAB,连接斯，若。。的半径为6,则斯的长为.

（2024九年级上•全国•专题练习）

15.如图，在平面直角坐标系中，点尸（0,-3）,0（九1）,连接。0,尸0.当NOQP最大时，m

的值为.

试卷第4页，共8页

（2024•江苏常州•二模）

16.如图，N8为。。的直径，C为。。上一点，BD平济/4BC,与过点/的。。的切线

交于点。，与。。交于点尸，与/C交于点E.记△/£>£的面积为H，的面积为S2,

若要=2,贝tanNABC=_________.

»2

（2024九年级下•全国•专题练习）

17.如图，正六边形的半径为1,点〃在边上运动，连接NM,则NM的长度可以是—

（只写出一个满足条件的值即可）.

18.如图，以锐角△NBC的三条边为直径作圆.如果三角形外的阴影部分总面积为450,而

三角形内部的深色阴影部分面积为90,则△/2C的面积为.

试卷第5页，共8页

H

三、解答题（本大题共6小题，共58分）

（24-25九年级上•江苏宿迁•阶段练习）

19.如图，是。。的直径，。是弦/C的延长线上一点，S.CD=AC,的延长线交。。

于点£.

⑴求证：CD=CE；

（2）连接/E,若4>=26。,求/历1E的度数.

（24-25九年级上•福建福州•期末）

20.如图所示，某果园形状为一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形.为更好的表示该

果园中地点位置，如图建立直角坐标系.已知点/、8、C、。分别是该果园与坐标轴的交

点，若4（-1,0）,且。。=。3=3。4,42为半圆的直径，

⑴求该抛物线的解析式；

（2）求这个果园被y轴截得的线段。的长.

（24-25九年级上•江苏无锡•期末）

21.如图，以/。为直径的与△ABC的边8C相切于点。，分别与AB、NC交于点£、

F,连接跖、DF、DE.

试卷第6页，共8页

A

⑵若/。=4,8=3,BD=6,求EF的长.

（24-25九年级上•广西贵港•期末）

22.如图1,△48C中，点。为NC边上一点，以点。为圆心，0C为半径作圆与相切于

⑴求证：3c是。。的切线；

（2）若。。的半径为2vLON=46,求8C;

⑶在（2）的条件下，如图2,点E在①上，若8=6,求NCED的度数.

（24-25九年级上•广东惠州•期末）

23.如图CD是。。的直径，A是。。上异于C、。的一点，点8是DC延长线上一点，连

接N8、AC,AD,S.ZBAC=ZADB.

【认识图形】

（1）求证：直线是。。的切线；

【探索关系】

（2）若tan/ND3=g,探求8c与C。的数量关系；

【解决问题】

（3）在（2）的条件下，作的平分线4P交。。于P,交CD于E,连接PC、PD,

若AB=2娓,求尸足夕力的值.

试卷第7页，共8页

(23-24九年级上•陕西渭南•期末)

24.【问题背景】

如图，△NAD内接于O。，是。。的直径，点C为优弧48。的中点，连接

AC,CD,OC.

【问题探究】

(1)如图1,求证：CO平分N/CD；

(2)如图2,延长NC,相交于点求证：BA=BE；

【拓展提升】

(3)在(2)的条件下，若CE=4后，BD=6,求的长.

试卷第8页，共8页

1.B

【分析】本题考查勾股定理，直角三角形斜边中线等于斜边一半，点与圆的位置关系，解题

的关键在于熟练掌握相关知识.利用勾股定理求出42,再结合直角三角形性质得到CM,

最后根据点到圆心的距离与半径的数量关系判断到点与圆的位置关系判断，即可解题.

【详解】解：；NC=90。，AC=2,BC=4,

AB=ylAC2+BC2=275，

是的中点，

:.CM=-AB=4i,

2

:以点C为圆心，2为半径作。C,且2〈石，

.•.点M在OC外，

故选：B.

2.D

【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，根据弧、弦、圆心角的关系逐项判断即可求解，

掌握弧、弦、圆心角的关系是解题的关键

【详解】解：A>■-AB=cb，

AB=CD,该选项正确，不合题意；

B、'-AB=CD，

CD—AD=AB—AD，

-AC=BD^

.-.AC-BD,该选项正确，不合题意；

■■AB=CD>

■■CD-ADAB-AD

■-AC=BD，该选项正确，不合题意；

D、由已知条件无法判断彳B与曲相等，故无法判断4。与8。相等，该选项错误，符合题

思；

故选：D.

答案第1页，共26页

3.B

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理是解

题的关键；

连接0D,根据可得AMEOs八NFO,即可得到空="=!，进而求得

ONOF2

OM、ON的长度，再利用勾股定理即可求解

【详解】解：连接05,OD,作MN1CD于点、N,

•.•皿|CD,

:△MEOsxNFO,MN1AB,

.OMOE

'~ON~~OF~2'

-MNLCD,

ND=-CD=3,

2

在RUOND中，ON=yjOD--ND2=752-32=4，

：.0M=-ON=2,

2

在RtA〃3O中，

MB=y]OB2-OM2=V52-22=而，

AB=2MB=2V21,

故选：B

4.D

【分析】本题考查圆周角定理，连接证明ACEB是等腰直角三角形，得到

BC=CE=^AB,勾股定理得到力。=石8。，即可得出结论.

【详解】解：连接02BC,

■■AD+BC=CD>

ZCOD=ZAOD+ZBOC,

答案第2页，共26页

•：/COD+ZAOD+ZBOC=180°,

・・・/CO£>=90。，

.•.NCBD=L/COD=45°,

2

・••48为直径，

：.NACB=90°,

.•.△BCE为等腰直角三角形，

：.BC=CE=-AB,

2

•1•AC=^AB2-BC2=yf3BC=辰E，

5.B

【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于

这条弧所对的圆心角的一半.推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所对

的弦是直径.也考查了相似三角形的判定与性质和解直角三角形.

连接如图，先根据圆周角定理得到//。3=90。，则利用等腰三角形的性质得到

BD=CD,/曰。=ZC=45°,再证明力加5ABeE得到第;的，接着利用等线段代

ECBE

DH4RAF4RAJ7

换得到加二族然后根据正弦和余弦的定义得到5=蕨，sma=而，从而得

到里=cosa—sino.

DC

【详解】解：连接如图,

是直径,

:.NADB=9。°,

答案第3页，共26页

ADYBC,

vABAC=90°,AB=AC,

BD=CD,/曰O=AC=45°,

丁/BHD=/BAD,

/BHD=ZC,

•・•/HBD=ZCBE,

.MHDS^CE,

PH_BD

正一版

PHEC

DH_ZC-ZE_AB—AE_AB4E

~DC~BE"~BE

.AE

在RdABE中，cosa=——，sma=----

BEBE

DH

二.---=coscr-sma.

DC

故选：B.

6.B

【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，切线的性质等知识点，解题

的关键是证明三角形相似.

连接。。，根据PD为圆。的切线，得到NODP=90。，设圆。的半径为八则OC=r-1,

根据勾股定理的户=（一琰+2?,解得：尸=2.5,得出。。=2.5,。。=1.5,证明△。。。-△。噂，

算出ORPD,CP,AP,证明尸，根据相似三角形的性质即可求解；

【详解】解：连接。。，

•・•尸。为圆。的切线,

・•.ZODP=90°,

设圆O的半径为r,贝！］。。=尸-1,

答案第4页，共26页

-DCLAB,

'-OD2=OC2+CD2,即/=(—lf+22,

解得：r=2.5,

.・・。。=2.5,。。=1.5,

・"DOC=/DOP,ZDCO=ZODP=90°,

XODCS^OPD,

OPPCCD

''~OP~~OD~~PD"

：,OP=—,PD=—,

63

o20

・・.CP=OP—OC=—,AP=——，

33

•・•ZDCP=ZEAP=90°,

XDCPSREAP,

PE_AP

''~PD~~CP'

.-.PE=—.

3

故选：B.

7.B

【分析】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的概念是解题的关键，根据题意画出

图形，可得正十边形的半径4。=4,并求出C8的长，进而即可得到的面积，将A/BC

的面积乘以10即可得到答案.

【详解】解：由题可得图如下：点。为切点，连接力。，

正十边形的中心角/氏4。=360。+10=36。，

："BAD=ACAD=18。，BD=CD,

•••正十边形内切圆的半径是4,

・•.AD=4,CB=2BD=2x4tanl8°=8tan18°,

答案第5页，共26页

：.S△ABRC=—2xADxBC=16tanl8°，

.•.正十边形的面积=lOx16tanl8°=160tanl8°.

故选：B.

8.B

【分析】此题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性

质.过点。作ODL/C并延长交懿于点O',设扇形/O8的半径为「，根据折叠的性质得

出OD=O'D,AO=AO'=OO'=r,则△/OO，是等边三角形，根据等边三角形的性

质得出乙4。0'=60。，CD=OD=^r,根据角的和差求出/COD=45。，根据等腰直角三角

形的判定与性质求出OC=亚C0="r,根据线段的和差求出=据此求解即可.

【详解】解：如图，过点。作OD1/C并延长交就于点。，

设扇形NO8的半径为「，

由折叠的性质可得，AC1OO',OD=O'D,AO=AO'=OO'=r,

■■是等边三角形，

ZAOO'=60°,

■.■ZAOB=105°,

NCOD=45°,

AC±OO',OD=O'D,

:.OD=-OO'=-r,ZDCO=45°=ZCOD,

22

:.CD=OD=-OO'=-r

22

OC=42CD=—r

2

BC=OB-OC=r-—r=2~^r,

22

2-0

生二百91,

OCV2

-----r

2

答案第6页，共26页

故选：B.

9.B

【分析】连接。4。尻。〃，08与。。相交于点H,由等腰三角形性质得到

Z0AB=Z0BA=30。,由圆周角定理得出ZDOB=2/DAB=60。,再由。4=OB，得出

AH^AB=3石，从而求出OA=6,最后由弧长公式可得结果.

【详解】解：连接。4。民。。，08与QD相交于点H,

•••OA=OB,

NOAB=/OB4=3Q°,

ZAOB=120°

•・•/DOB=2ZDAB=60°,

•・•ZDOB=ZDOA=60°9

•・•OA=OB,

•••AH=-AB=3y/3,

2

»AH36,

OA=---------=—j=r~=6

sin600-73

V

OA=OB=6,

cr?60万x6-

/.BD=----------=271,

180

故选：B

【点睛】本题考查了弧长公式，圆周角定理，等腰三角形的性质，解直角三角形及平行线的

性质，解决本题的关键是熟练掌握弧长公式及圆周角定理.

10.C

【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，连接OP,利用切线的性质得

答案第7页，共26页

OP

到。尸，即，利用解直角三角形得到尸E=——,利用圆周角定理得到尸=75。，进

tan60°

而得到NPOb=45。，再利用解直角三角形得到P方=OPtan45。，结合斯=尸£+尸尸求解,

即可解题.

【详解】解：连接。尸，

・・・直线斯与OO相切于点尸，OO的半径是6,

/.OP1EF9

：.PE=3~匚=26

tan60°tan60°

•;BC=BC，/A4c=37.5。，

/EOF=75°,

・.・NEOP=90°—NE=30。，

/尸。尸=75。-30。=45。，

PF=OP-tan45°=6,

EF=PE+PF=2A/3+6,

••.EF的长为2退+6,

故选：C.

11.58。##58度

【分析】本题主要考查运用垂径定理求值，连接。/交CD于点尸，则由垂径定理得

OAYCD,由。/=。8得/。42=/。衣4=32°,再根据直角三角形两锐角互余可求值.

【详解】解：连接CM交8于点R如图，

答案第8页，共26页

,・,点/为①的中点，

0A±CD,

：./FAE+NAEF=90。,

■■■OA=OB,

NOAB=NOBA=32°,

NAEF=90°-ZFAE=90°-32°=58°,

即/CE/=58°,

故答案为：58°.

12.120°##120度

【分析】本题考查了矩形的性质，圆心角和所对弧的关系.

连接根据矩形的性质得出/8/。=90。，则AD为直径，点。、B、。三点共线，再根

据2：/虎=1：2,得出4OD://O3=1:2，即可解答.

【详解】解：连接8,

•••四边形/3C。是矩形，

ABAD=90°,

・•.2D为直径，点。、B、。三点共线，

,；/茄：展=1：2，

ZAOD:ZAOB=1:2,

...ZAOB=180°x2=120。，

1+2

答案第9页，共26页

13.15°##15度

【分析】在Rt^OED中，由锐角三角函数得到b=30。，再根据平行得到N2=30。，再

结合等边对等角以及三角形的外角定理即可求解.

【详解】解：连接则OE=OD

♦:弦CD〃AB,OELAB

■.OFLCD,

•・•点厂为OE的中点，

.-.OF=-OE^-OD,

22

./「A八OF1

sinZFDO=-----=—,

OD2

・・・/0。/=30。，

•・•CD//AB,

；・/ODF=/2=30。

OD=OA

・・・/l=N3,

•・•Z2=Z1+Z3,

.-.2Z1=3O°,

・・.N1=15。，

故答案为：15。.

【点睛】本题考查了圆的有关概念，解直角三角形，平行线的性质，等腰三角形的性质，三

角形的外角性质，正确添加辅助线是解题的关键.

14.3>/3

【分析】连接BC，利用垂径定理得出E,尸分别为NC,中点，进而得出族=：8C,

再连接。8,OC,利用圆周角定理求出N8OC的度数，最后结合。。的半径为6即可解决

问题.

答案第10页，共26页

【详解】解：连接8C,

•.•。£平分"，

.•.点E为/C中点，

尸是ZX/BC的中位线，

:.EF=-BC.

2

连接。5,0C,过点。作2C的垂线，垂足为M,

ABAC=60°,

NBOC=120°.

■：OB=OC,OMA.BC,

ZBOM=-NBOC=60°,BC=IBM,

2

.-.ZOW=900-60°=30°.

又BO=6,

OM=3,

BM=V62-32=373，

BC=60，

:.EF=-BC=343.

2

故答案为：35/3.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形中位线、垂径定理及勾股

定理，熟知圆周角定理、等腰三角形的性质及垂径定理是解题的关键.

15.2或-2

【分析】题目主要考查坐标与图形，直线与圆的关系及勾股定理解三角形，理解题意，作出

辅助线，综合运用这些知识点是解题关键

根据题意得出点0在直线丁=1上，OP=3,作出相应图形得出当△OPQ的外接圆。Q与直

答案第11页，共26页

线y=i相切时/。。尸最大，结合图形求解即可.

【详解】解：•••。（相,1）,

.・•点。在直线y=i上.

•••0尸=3,

当△。尸0的外接圆。。与直线y=l相切时（如图）,

此时N。。尸最大.设直线＞=1交y轴于点

过点Q作"GLOP于点G,

13

则尸G=—OP=—,

22

连接OQOJ,则四边形0QMG是矩形,

MQ=Ofi=m,MG=OXQ=0声=g,

.,.在RtAOjG尸中，加=O[G=J。]尸2一尸G?=2.

由对称性知，7"=-2符合题意,

.•.加=2或机=一2,

故答案为：2或-2.

16.2亚

【分析】方法一：根据其=芸=2得到。E=23E,则助=3BE,再证明

o26乜

△ABDs^CBE,得到空=萼=［，设8C=x,AB=3x,则/C=^AB2-BC2=2⑸，

ADBD3

ATi—

即可得到tan/ABC=—=2V2；

BC

方法二：如图所示，连接/尸，根据称=弓|=2得至=

S^ABD~3$./班，再证明

d2DEj

答案第12页，共26页

ND=NAED,得到=则EF=；DE=BE；证明△/£尸口力比，得到

AE-CE=BE-EF；如图所示，过点E作EG,4s于G,可得4D=3£G,由角平分线的性

质得到EC=EG,则/£>=/£=3CE,进而得到4C=4CE,BE=mCE,有勾股定理得到

BC=^BE--CE1=垃CE，贝1JtanZABC=-==272.

【详解】解：方法一：・•・要=警=2,

d2£>JD

*'•DE=2BE,

BD=3BE,

・・•为。。的直径，

:.ZAFB=ZAFB=90°,

・・・力。是OO的切线，

ABAD=90°,

・•・ZZ>+ZABD=/CBE+/CEB=90°,

•；BD平分/ABC,

・•.AABD=ZCBD,

ZAED=/CEB,

・•・Z\ABDs/\CBE,

BCBE

BD~3J

设5C=x,AB=3x,

■■AC-sjAB2-BC2=2及x，

ATi—

tanzL45C=—=2<2；

BC

方法二：如图所示，连接,尸，

・.。=匹=2

"S?BE，

*',DE=2BE，S/BD=3S“BE，

•・・48为（DO的直径，

.•・/AFB=/AFB=90。,

•・•4D是。O的切线，

・•・/BAD=90°,

答案第13页，共26页

・•・ND+ZABD=ZCBE+ZCEB=90°,

,；BD平分NABC,

:・/ABD=/CBD,

・•・ND=/CEB,

•・•ZAED=/CEB,

/D=/AED,

AD=AE,

：,EF=-DE=BE,

2

NEAF=NEBC,

AAEFS^BEC,

AE_EF

••耘一布，

AECE=BEEF-

如图所示，过点七作£6_145于G,

D

AD=3EG,

•；BD平分/ABC,EG.LAB,ZC=90°,

:.EC=EG,

・•.AD=AE=3CE,

•••3C£2=5£2,AC=ACE,

•••BE=CCE,

•••BC=YIBE2-CE2=41CE，

…cAC4CEc氏

tanN/5C*—-----——7=—=2/2•

BCgCE

答案第14页，共26页

故答案为：20.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，

直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质等等，正确作出辅助

线构造相似三角形，直角三角形是解题的关键.

17.1.8

【分析】此题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质,

勾股定理等知识，设正六边形的中心为。，连接。4,OF,OE,AE,AD,根据正六边

形的性质得A/O尸和A。跖为等边三角形，然后可由勾股定理求出/T,进而得=再

求出40=2,根据4W在边研）上运动得最后在这个的范围内取一个值即可.

【详解】解：设正六边形的中心为。，连接。尸，OE,AE,AD,

根据正六边形的性质得：4。经过点。，乙4。尸=360。+6=60。，OA=OF=OE=OD=1,

.4/0尸为等边三角形，

...AF=OA=OF^1,ZOFA=60°,

同理：AOER为等边三角形，

ZOFE=60°,

ZOFA=ZOFE=60°,

又4F=EF,

AELOF,

.-.FT=OT=-OF,AT=EF,

2

在RtA/RT中，4F=1,FT=0.5,

由勾股定理得：AT=^AF2-FT2=^-,

2

AE=2AT=y/3,

又,.Q=OD=1,

答案第15页，共26页

AD=2,

•.・NM在边ED上运动，

AE<AM<AD,

即：<AM<2,

4〃=1.8.

故答案为：1.8（答案不唯一）.

18.180

【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间

的关系是解题的关键.设△/BC外的6个小弓形的面积和为S弓形

,观察图形得到$弓*外的3个半圆的面积和一三角形外的阴影部分总面积=A/2C外

的3个半圆的面积和-450,得到的面积=；（另外3个半圆的面积和S弓衫-三角形内

部的深色阴影部分面积），于是得到答案

【详解】解：设△/吕。外的6个小弓形的面积和为S号形，

s弓彩外的3个半圆的面积和-三角形外的阴影部分总面积=A/8C外的3个半圆的面

积和-450,

・•.△4BC的面积=；（另外3个半圆的面积和-S弓形-三角形内部的深色阴影部分面积）

=；[另外3个半圆的面积和-（“SC外的3个半圆的面积和-450）-90]

=1（450-90）

=180；

故答案为：180.

19.（1）见解析

（2）NB/E=38°

【分析】（1）连接3c.首先证明=推出a4=ND=NE即可解决问题；

（2）连接根据N84E=9（F-N/3E,只要求出//BE即可.

【详解】（1）证明：连接3C,

答案第16页，共26页

E

B

Q^\；是OO的直径,

"yeZ)

:.ZACB=90°,即3C_L4D,

VCD=AC,则BC垂直平分/Z),

/.AB—BD,

/A=/D,

•・•ZA=/E,

ZD=ZE,

CD=CE；

(2)解：连接/E,

•••NABE是A4BD的一个外角，

ZABE=ABAC+ZD=52°,

；AB是。。的直径，

NAEB=90°,

ZBAE=90°-52°=3S°.

【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角

形的外角性质，直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.

20.(1)y=x~—lx—3；

(2)CD=V3+3.

【分析】本题考查了抛物线与圆的综合，待定系数法求函数解析式，直径所对圆周角为

90°,相似三角形的判定和性质等知识.

答案第17页，共26页

（1）根据题意求得8（3,0）,。（0,-3）,设抛物线的解析式为y="x+l）（x-3）,利用待定

系数法求解即可；

（2）由直径所对圆周角为90。，可证A/COSACB。，可得CO=右，由CD=OC+OD即可

求解.

【详解】（1）解：・・•/（-：!,0）,且。。=08=30/,

:.OD=OB=3,

•••5（3,0）,。（0,-3）,

二设抛物线的解析式为>=。（》+1）（》-3）,

把。（0,-3）代入得-3=a（0+1）（0-3）,

解得a=1,

•••设抛物线的解析式为〉=（X+：1）（X-3）=X2-2X-3；

（2）解：如图所示，连接NC,BC,

・・・/8是半圆的直径，

ZACB=90°=ZCOA=ZCOB,

ZACO=90°-ZBCO=ZCBO,

.MACOSACBO,

AOCO

"CO）

■■CO2=OAOB=M=3,

CO-^3（负值舍去），

■■CD=OC+OD=y/3+3.

答案第18页，共26页

21.(1)见解析

672V13

⑵*

【分析】(1)由切线的性质得//。。=44刃=90。，从而尸+/C。尸=90。，由圆周角

定理得N4FD=Na叨=90。，从而NC+/CQ/=90。，得到进而可证

△AEFs"CB；

9

(2)由勾股定理求出/C=5,AB=2灰,证明△CEDs^c。/,求出。/二^,然后根据

△/£尸s"C5即可求解.

【详解】(1)证明：・・・0。与△/3C的边相切，

NADC=/ADB=90°,

；"ADF+/CDF=9。。.

•・・40为OO的直径，

：.ZAFD=ZCFD=90°,

.-.ZC+ZCDF=90°,

・•・ZC=ZADF.

,-AF=AF^

；,NC=NADF=NAEF.

・：/EAF=/CAB,

AAEFSDCB.

(2)解：vAD=4,CD=3,BD=6,ZADC=ZADB=90°,

•••/C=舟+42=5,45=用+42=2屈.

•・・ZC=ZC,ZCFD=NADC,

nCFDs^CDA,

CFCD

••五一就‘

CF_3

二亍一丁

.AF_8^/13

,^B~65

答案第19页，共26页

由(1)得AAEFs"CB,

.EF_AF_8V13_EF

"BC~AB~65-3+6’

,皿72V13

•・EF=-----•

65

【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，灵活

运用各知识点是解答本题的关键.

22.(1)证明见解析;

(2)8C=6；

(3)ZCED=120°.

【分析】(1)连接根据切线的性质可得乙4。。=90。，则有44+44。£>=90。，又

ZAOD=ZACD+ZODC=2ZACD,ZABC=2ZACD,ti^ZAOD=ZABC,所以

ZA+ZABC=90°,再通过三角形的内角和定理可得44c8=90。，从而求证；

(2)连接。D,由正弦可得sin/4=^=¥=L,求出4=30。，再通过

OA4g2

tanNA=tanZ30°=—=即可求解；

AC3

(3)在优弧也上取一点尸，连接CF、DF,由三角形的外角性质求出/。。。=120。，通

过圆周角定理可得/尸=g/COD=60。，最后由圆内接四边形的性质即可求解.

【详解】(1)证明：如图1,连接。。，

・・•OC为半径作圆与AB相切于点D,

••.ODLAB,

・•・//。0=90。，

.^ZA+ZAOD=90°,

♦：OC=OD,

・・・/ACD=/ODC,

・•.NAOD=ZACD+ZODC=2NACD,

答案第20页，共26页

•・•/ABC=2/ACD,

・•.ZAOD=/ABC,

ZA+ZABC=90°,

：.ZACB=90°f

ACLBC,

・•,oc为OO的半径,

・♦・6C是oo的切线;

图1

・・•oc为半径作圆与AB相切于点D,

・•・ODLAB,

.^ZADO=90°,

・・・O。的半径为2百，OA=4也,

./,0。2Gl厂

sinZ-A=——=--r==—,AC=OA+OC=6J3,

OA4732

ZA=30°,

由（1）得：ZACB=90°,

tanZ.A=tanZ30°=，

AC3

BC43

FF

BC=6；

（3）解：如图，在优弧历上取一点尸，连接CRDF,

答案第21页，共26页

：.zcoD=no0,

,-.ZF=-ZCOD=60°,

2

•.•四边形CEZ）厂是。。内接四边形，

.•./CEA+N尸=180°,

：.ZCED=12.0o.

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，切线的判定与性质,

三角形的外角性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键.

23.（1）见解析；（2）CD=3BC理由见解析；（3）PE-PA=21.

【分析】（1）连接04,由等边对的等角的性质，得出=根据直角所对的圆

周角是直角，得到NC4D=90。，进而推出。4,N8,即可证明结论；

（2）证明A/BCSA。诩，得到喋=啜=及二，从而得出8。=4改7,即可得到结论；

BDABAD2

（3）由（2）可得。）=加，利用同弧所对的圆周角相等以及直角所对的圆周角是直角，

得出CD2=2尸。2=54,则PC?=27,再证明^ACP^CEP，得出尸£.尸/=PC2