带电粒子在立体空间中的运动问题破译（解析版）-2025年高考物理二轮复习热点题型专项训练（新高考）

热点题型•新情境问题攻略

专题20带电粒子在立体空间中的运动问题破译

目录

01.题型综述..................................................................

02.解题攻略..................................................................

03.高考练场...................................................................................33

01题型综述

带电粒子在立体空间中的组合场、叠加场的运动问题，通过受力分析、运动分析，转换视图角度，充分利

用分解的思想，分解为直线运动、圆周运动、类平抛运动，再利用每种运动对应的规律进行求解。

，02解题攻略

粒子在立体空间常见运动及解题策略

运动类型解题策略

在三维坐标系中运动，每个轴方向都是常见

将粒子的运动分解为三个方向的运动

运动模型

旋进运动将粒子的运动分解为一个沿轴方向

一维加一面，如旋进运动的匀速直线运动或匀变速直线运动和垂直该

轴的所在面内的圆周运动

把粒子运动所在的面隔离出来，转换视图角

运动所在平面切换，粒子进入下一区域偏转

度，把立体图转化为平面图，分析粒子在每

后曲线不在原来的平面内

个面的运动

【典例剖析】

例1（2025•八省联考云南）某小组基于“试探电荷”的思想，设计了一个探测磁感应强度和电场强度的装置,

其模型如图所示.该装置由粒子加速器、选择开关和场测量模块（图中长方体区域）组成。政VP。为场测

量模块的中截面。以尸。中点。为坐标原点，。尸方向为x轴正方向，在肱VP。平面上建立平面直角坐

标系。

带电粒子经粒子加速器加速后可从。点沿y轴正方向射入。选择开关拨到S1挡可在模块内开启垂直于Oxy平

面的待测匀强磁场，长为2d的尸。区间标有刻度线用于表征磁感应强度的大小和方向；拨到S2挡可在模块

内开启平行于x轴的待测匀强电场，长为/的NP和QM区间标有刻度线用于表征电场强度的大小和

方向。带电粒子以速度v入射，其质量为加、电荷量为+0,带电粒子对待测场的影响和所受重力忽略不计。

场

测

量

模

块

Si

0S2

选择开关粒子加速器

⑴开关拨到H挡时，在尸。区间(%,0)处探测到带电粒子，求磁感应强度的方向和大小；

⑵开关拨到S2挡时，在为)处探测到带电粒子，求电场强度的方向和大小；

⑶求该装置尸。区间和N尸区间的探测量程。若粒子加速器的电压为U,要进一步扩大量程，。应增大还是

减小？请简要说明。

【答案】⑴过,垂直纸面向外(2)网学，水平向右

qx。处；

(-2mv~\[2mv](-2dmv21)r厂

(3)——J1-11——,+°°：-0°,—p——,+0°L说明见详解解析

Iqd\[_qdJ1)

【详解】(1)带正电的粒子向右偏转，受洛伦兹力方向向右，由左手定则可知，磁感应强度的方向垂直纸

面向外。

由几何关系，可知粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R与尤。的关系为

2R=x0

根据牛顿第二定律，得

mv2

qvB=---

r

解得

_2mv

D=---

qx。

(2)由带正电粒子向右偏转，故电场力水平向右，可判断电场方向水平向右。

带正电的粒子射入电场中做类平抛运动。由水平方向、竖直方向位移公式

1

=at7

y0=vtfd~

牛顿第二定律可得

Eq=ma

联立解得

l2dmv2

E=—―

仍）

（3）①若测量磁感应强度的大小和方向：设磁场中做匀速圆周运动的半径为八由牛顿第二定律

mv2

qvB=-----

r

动能定理

12

qU=—mv

由几何关系得

d

r=—

2

联立解得

_2mv

D------

qd

由磁感应强度表达式可知，r越大2越小，根据左右对称性关系，所以量程为（-巩学］。［绊,+8

I］\_qd

若粒子加速器的电压为U,则磁感应强度的表达式为

可知。应减小，3最小值越小，从而进一步扩大量程。

②若表征电场强度大小和方向：当运动时间最长，水平位移最大时，电场强度最小。由水平方向、竖直方

向位移公式

,112

I=vt,a=—at

2

牛顿第二定律可得

Eq=ma

联立解得

l2dmv2

E=

ql2

由根据左右对称性关系，所以量程为

当电压为。时，由动能定理

qU=—mv

整理得

可知U应减小，E最小值越小，从而进一步扩大量程。

例2.如图所示，Qxyz坐标系内有一边长为空的立方体空间四4，立方体空间内及边界附近存

在沿了轴正方向的匀强电场和匀强磁场（图中未画出），M、P、K和N分别是48、/4、4月和QG的

中点。当从M点向K点射出速率为V、质量为机、电荷量为《的带电微粒恰能通过尸点。不计空气阻力，

已知重力加速度为go

y\B______________B.

⑴该区域的匀强电场的场强£和匀强磁场的磁感应强度B

（2）若该微粒在M点沿方向以速度亚射入区域，求微粒离开立方体空间时的位置坐标；

⑶仅将电场反向，大小不变。若该微粒从河点沿地方向以速度v=2屈/射入区域，求微粒离开立方体

空间时的位置坐标；

⑶7工+%

【详解】（1）因微粒做圆周运动，必有

所以

q

根据

所以

s=—

qL

（2）将速度分解为沿x方向和-y方向,均为v；水平方向做匀速圆周运动，其半径仍为心，运动;周期,

则

运动时间为

，=笠->方向做匀速运动

2v

（TTT

因此微粒射出坐标为乙,2£一j,0

（3）将电场反向，y方向

qE+mg=ma

解得

a=2g

根据

2L=—at2

2

可得

2L

g

微粒运动3周期，如图为俯视图，S点即为射出底面的点，其坐标为^,O,L+^-L。

3I22J

例3.（2025高三上•河南南阳•阶段练习）如图所示，在x-y-z三维坐标系的空间，在x轴上距离坐标原点

x0=0.2m处，垂直于x轴放置一足够大的感光片。在X20空间存在着沿y轴正方向的匀强电场，电场强度

大小£=8.0x102v/m。现有一带正电的微粒从O点沿x轴正方向射入该空间。微粒所带电荷量g=1.6xW16

C,质量〃z=3.2x10-22kg。

⑴若微粒初速度vo=2.0Xio4m/s,求微粒打在感光片上的点到x轴的距离；

(2)若在该空间再添加一个沿/轴正方向的匀强磁场，磁场强度大小为0.1T。微粒以不同大小的初速度从。

点沿x轴正方向射入。求：该微粒打在感光片上的位置到x轴的最大距离(结果保留两位有效数字)。

【答案】(1)0.02m(2)0.28m

【详解】(1)设带电微粒在电场中运动时间为K打在感光片上的点到x轴的距离为力则有

1,

qE=ma,x0=vot,y=—at

解得

y=0.02m

(2)粒子在平行于xOz平面内做匀速圆周运动，则有

Rv

解得

「12=兀-加----

qB

当粒子运动轨迹与感光片相切时该微粒的Z坐标最大，此时有

z=R=XQ

由于粒子运动轨迹与感光片相切，对应圆心角为g乃，粒子运动至切点的时间

解得

_Tim

tl~2^B

粒子从。点沿x轴正方向射入到打至感光片运动的轨迹对应圆心角最大值为:兀，时间也为最大值，粒子在

平行于平面内做类平抛运动，此时y轴方向的分位移也为最大值，则有

12

必二5/

故粒子打在感光片上的位置离%轴的最大距离

解得

d=0.28m

例4.利用电场和磁场实现粒子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图1所示，依左平面左侧存在沿y

轴负方向的匀强电场，右侧存在沿x轴正方向的匀强磁场。一质量为他、电荷量为q的带正电的粒子，从

M卜2/,后,0）点以初速度为、沿着x轴正方向射入电场，恰好从。点进入磁场，再次从N（/,0,0）点通过x

图1

⑴求匀强电场的电场强度大小E和匀强磁场的磁感应强度大小8

⑵从。点进入磁场运动时间为「时，求粒子的位置坐标;

3Vo

⑶如图2所示，若在仪友平面左侧再加垂直xOy平面向里的匀强磁场，将上述带正电粒子从

M'_12岳+：

点以初速度%、沿着X轴正方向射入电磁场，运动轨迹恰好与X轴负半轴相切。求

所加匀强磁场的磁感应强度大小引o

I313后y/3mv

⑶0

ql'134乃4万）3ql

【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，则有

2/=,村」.与

2m

解得

E:®

2ql

粒子从O点进入磁场时水平方向的分速度为%,竖直方向的分速度为

V当

m

结合上述解得

4=瓜。

粒子接入右侧磁场后做螺旋运动，水平向右速度为%的匀速直线运动，yOz平面方向速度为匕，的匀速圆周

运动，则有

v2T2兀R、

/=qvB=m—,4=

y居与

解得

y/3IR_27mv。

Kn=—，D;一

12兀qi

(2)粒子在磁场中水平向右速度为％的匀速直线运动，结合上述可知

II

X=v---=-

a3%3

由于

J_=Zl

3Vo3

表明yOz平面方向速度为。的匀速圆周运动对应圆心角为120。，根据几何关系有

>>=-7?!cos(120°-90°),z=A|+居sin(120°-90°)

解得

313向

)=―丁，2=----

4乃4〃

即粒子的位置坐标为［，-包］。

(3)将速度%分解为水平向右的匕和水平向左的匕，且有

"2=匕一%，q%B'=qE

此时将粒子的运动分解为水平向右的速度为匕的匀速直线运动与速度为丫2的匀速圆周运动，则有

qv,B'=m—

凡

由于粒子轨迹恰好与x轴负半轴相切，则有

A/3/=2R2

结合上述解得

.,=晶%

-3ql

例5.(2025高三上•广东广州•阶段练习)如图，在长方体区域内，平面g仞•的左边有垂直平面。劭g的匀强

磁场、右边有垂直平面g/防”的匀强电场。现有电量为+4、质量为机的一个粒子以大小为v的初速度从。点

沿平面仍姐进入磁场区域，经〃点并垂直平面g仞•的方向进入电场区域，最后从C，点离开电场。已知长方

体侧面a6cd为边长为Z的正方形，其它边长如图中标示，sin53°=0.8,不计粒子重力。

⑴求磁感应强度B和电场强度E的比值；

(2)求带电粒子在磁场与电场中运动时间的比值；

⑶若只改变电场强度E大小，试讨论：粒子离开长方体区域时动能纥与£的关系式。

【答案】(1)三(2)答

5v144

⑶E2雪时，粒子离开长方体区域时动能应+［机丫2；£〈磐时，粒子离开长方体区域时动能

2qL22qL

【详解】(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动，在电场中做类平抛运动，运动轨迹如图所示

(2£)2+(r-L)2=r2

解得粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径

r=2.5L

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得

V2

qvB-m—

r

解得磁感应强度大小

_2mv

D------

5qL

粒子在电场中做类平抛运动，沿初速度方向

2Z=vt2

沿电场方向

1qE

Lr——x—x2

2m

解得

E=Q

2qL

2L

V

磁感应强度B和电场强度E的比值

B_4

(2)设粒子在磁场中转过的圆心角为。，由几何知识可知

sin<9=—=^^=0.8

r2.5L

则

6=53。

粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期

i,=-2-乃-尸-=-2--»-x-2--.-5-£-=-5--TT-L-

VVV

粒子在磁场中的运动时间

0T5305TTLL

t,-....T—----x----=-----

1360°360°v72v

带电粒子在磁场与电场中运动时间的比值

4_53兀

t2144

(3)1.当E上受时，粒子从小边射出长方体，由动能定理得

2qL

2

qEL=Ek--mv

解得粒子离开长方体区域的动能

12

Ek=qEL+—mv

2.当时粒子从离开长方体区域，粒子在电场中做类平抛运动。沿初速度方向

2qL

2L=vt

沿电场方向

粒子在电场中运动过程，由动能定理得

qEy=Ek-gmv2

解得

2/EVJ加

Ek-

mv22

当£2雪时，粒子离开长方体区域时动能+:加V?；当£〈雪时，粒子离开长方体区域时动能

2qL22qL

22

2qEI?+'2

Ek=mvo

mv22

【变式演练】

1.（2024•全国,模拟预测）空间直角坐标系如图所示，在》<0、z>0的区域内存在沿z轴负方向的匀强电

场，电场强度大小为E（未知）；在>>0、2>0的区域内存在沿x轴正方向的匀强磁场，磁感应强度大小

为B（未知）；在y>0、zWO的区域内存在沿V轴正方向、磁感应强度大小也为8的匀强磁场。一质量为加、

电荷量为4的带正电粒子在软加的平面内由y轴上的A点沿与〉轴正方向成。=60。角的方向射入电场区域,

粒子由z轴上的点尸（0,0,£）沿十轴正方向以大小为%的速度射入y>0、z>0区域，粒子经该磁场偏转后，

沿与了轴正方向成60。角的方向射入xQv平面下方。不计粒子的重力。求：

（1）电场强度的大小£；

（2）磁感应强度的大小B；

⑶粒子经尸点后第三次穿过》何平面时的位置坐标。

【答案】⑴等（2）贽（3）（2®,3版+必0）

【详解】（I）粒子由z轴上的P点沿y轴正方向射入y>o、Z>o区域，则粒子通过尸点时沿z轴正方向的

速度减为0,设粒子在A点处沿Z轴正方向的分速度大小为V1,则有

W=v0tan6

设粒子在电场中运动的加速度大小为。，则有

Eq=ma

又有

V；=2aL

解得

E=2

2qL

(2)设粒子在y>0、z>0区域内的磁场中做圆周运动的轨迹半径为勺粒子沿与V轴正方向成60。角的

方向射入XO.V平面下方，画出粒子的运动轨迹，由几何关系可得

£+6COS60°=4

解得

rx=1L

由洛伦兹力提供向心力有

mvl

q%BD=―

4

解得

8=也

2qL

(3)粒子第一次穿过xOy平面时，将粒子的速度沿了轴正方向和z轴负方向分解，可知粒子在沿y轴正方

向做匀速直线运动的同时在工。了平面下方做匀速圆周运动，运动半个周期后再次到达xOy平面，然后在xOy

平面上方做匀速圆周运动，运动;个周期后第三次到达xOy平面。粒子第一次穿过xOy平面时，在了轴上的

坐标为

7]=4sin60°=A/5^

设粒子在xOy平面下方做圆周运动的轨迹半径为々,则有

解得

r2=\{3L

由

mv2„2nr

qnvB=-----、1=------

rv

可得

2urn

1=------

qB

粒子在xOy平面下方运动半个周期的时间内，沿V轴正方向前进的距离

4=v0cos60°x-TIL

粒子第二次穿过xOy平面到第三次穿过平面的时间内沿歹轴正方向前进的距离

d2=24sin60°=2gz

则粒子第三次穿过X。歹平面时在歹轴上的坐标为

y=yx+dx+d2=3ML+nL

粒子第三次穿过xOy平面时，在％轴上的坐标为

x=2丫［—2-\/3£

故粒子第三次穿过xQy平面时的位置坐标为（2国,3国+nL,0）O

2.（2025高三上•广西贵港•阶段练习）如图所示，空间有一棱长为心的正方体区域，带电粒子从平行于心

棱且与尸共面的线状粒子源连续不断地逸出，逸出粒子的初速度为％,粒子质量为切，电荷量为+4,

经垂直于披棱的水平电场加速后，粒子以一定的水平初速度从MV段（S为板的中点）垂直进入正方体

区域内，该区域内有垂直平面MPRG向外的匀强磁场，磁感应强度大小为5,从M点射入的粒子恰好从R点

射出。忽略粒子间的相互作用，不计粒子重力。

（2）若该区域内只有垂直平面MPEG向外的匀强电场，电场强度大小为名红，已知从S点射入的粒子从。P

9m

边上的某点射出，求该点距。点的距离勺；

⑶以G为坐标原点建立空间直角坐标系，GA，GR,两分别为x,了，z轴的正方向，若该区域内同时

存在上述磁场与电场，通过计算判断从S点进入的粒子，离开该区域时的坐标和速度大小以“。

【答案】⑴4=华-耍⑵缈若

2m2q

【详解】（1）从M点射入的粒子恰好从尺点射出的轨迹为:圆周，设运动半径为R,则

R=L

v2

qvB=m——

R

进入正方体之前被电场加速的过程

解得

u=qB4mv；

02m2g

(2)粒子在该区域内电场中做类平抛运动，将运动分解为垂直于。尸方向的匀速直线运动和平行于。尸方向

的匀加速直线运动，可得

垂直于。尸方向

L=vtx

平行于QP方向

12

必=5/

qE=ma

ATL

Ay=£_,一%

解得

,4L

Ay=——

-9

(3)该区域内同时存在上述磁场与电场时，从S点进入的粒子在正方体区域内做不等距螺旋线运动，可将

其运动分解为沿M/方向的初速度为零的匀加速直线运动,和平行于MPRG平面的线速度为v,半径为R=L

的匀速圆周运动。

分运动为匀速圆周运动的周期

271nl

1=------

qB

假设粒子可完成;个圆周运动，则

t2=-T

24

粒子在血加方向的位移为

12

at

y2=~2

解得

TT2LL

必2二-3-6-<一2

射出坐标为］与+三，/,。［

假设成立，且该粒子在边射出,

离开该区域时沿“尸方向的速度为

3.（2025高三上•甘肃白银•期中）如图所示，空间中有Ox乃坐标系，xOz平面水平，y轴沿竖直方向。在。

处有一个质量为优、带电荷量为+0的小球（可视为点电荷），不计空气阻力，重力加速度为g。

⑴若在y20空间中存在着沿x轴负方向的匀强电场，电场强度大小E=才，将小球沿〉轴正方向以速度%

抛出，求小球落回x轴前动能的最小值；

（2）若在y20的空间中存在着正交的电场和磁场，其中匀强电场沿y轴正方向，电场强度大小£=理，匀强

磁场沿z轴负方向，磁感应强度大小为瓦小球以初速度%从。点抛出，速度方向在xOy平面内且偏向上

方，与x轴正方向成a角（04aW9），改变a的大小，多次发射小球后，求小球在电场和磁场中可能的运动

轨迹所覆盖的面积；

⑶若在x>0区域存在沿y轴负方向的匀强磁场，磁感应强度大小为43。，在x<0区域存在沿y轴负方向的

匀强磁场，磁感应强度大小为3片，小球从。点沿x轴正方向以大小为%的速度抛出，求小球从抛出到再次

经过〉轴所用的时间及经过>轴时到。点的距离。（忽略磁场的边界效应）

【详解】（1）由于

£=整

q

可知小球受到的电场力与重力大小相等，所以电场力与重力的合力大小

F=42mg

方向与x轴负方向的夹角为45。，小球的运动可以看成类斜抛运动，当小球的速度与合力垂直时，速度最小,

动能最小，此时有

%=Vy，V,=Jt=gt,Vy=V0-gt

联立可得

则最小速度大小

动能的最小值

Ekmin=-WVmin=~mV0

（2）因为电场强度大小

q

电场沿y轴正方向，所以重力和电场力平衡，小球做匀速圆周运动，则有

解得

R专

小球在x轴正方向运动轨迹可能覆盖的面积是半个圆，在x轴负方向运动轨迹可能覆盖的面积是以27?为半

径的四分之一圈，如图中阴影部分所示

则所求总面积

_3mn2Vg

（3）小球在xOz平面两侧分别做匀速圆周运动，根据

可得小球在两个磁场中做圆周运动的半径分别为

RmV0R/V。

2

L4祝'-3qB0

周期分别为

Time271m

T1

2祖'3qB0

小球在每个磁场中各完成半个圆周运动进入另一个磁场，则在玲+g的时间内沿Z轴移动的距离

则小球从抛出到再次经过〉轴所用的时间

小球在y轴方向做自由落体运动，从抛出到再次经过y轴时，其到。点的距离

4.(2024•黑龙江哈尔滨•模拟预测)工程师在制做芯片的过程中，需要用电磁场精准控制粒子的轨迹。如图

所示，以河|为原点建立空间直角坐标系可「个，一粒子源不断释放质量为加，电量为阳的带正电粒

子，初速度视为零，经过加速电压。后，以一定速度恰好沿着半径为R的圆弧轨迹通过辐射状电场，接着

垂直平面射入棱长为工的正立方体区域，入射位置可调节，不计粒子重力及其相互作用。

(1)求辐射状电场中离子运动轨迹处电场强度E的大小；

(2)若仅在正方体区域中加上沿x轴正方向的匀强磁场，让粒子对准儿W边中点打入射，电量为q的粒子

恰好在耳2边射出。若使所有粒子都能到达平面内的区域，求所加磁感应强度B的大小及n

的最大值；

(3)若在正方体区域中同时加上沿x轴正方向场强为&=黑的匀强电场和(2)中的匀强磁场，让粒子对

准平面中心/点入射，求电量为"的粒子离开正方体区域时的坐标(结果保留根式和乃)。

【答案】（1）筝⑵尸，〃=4；（3）（：+»,*,0）

【详解】（1）粒子经过加速电场后速度为%,根据动能定理有

12

nqU=—mv0-0

解得

%=

在辐射状电场中满足

nqE=m]

解得

E口

R

（2）由（1）问可知，带电量为4的粒子进入正方体区域的速度为

vm

电量为q的粒子恰好在耳2边射出，由几何关系可得

%=L

由洛伦兹力提供向心力得

*8=7哈

解得

5」型

Lq

带电量为狗的粒子进入正方体区域的速度为

2nqU

匕=

m

由洛伦兹力提供向心力得

nqv,B=m

R?

可得

_12mU

2nq

当"最大时，旦有最小值，若使所有粒子都能到达xMj平面内的"”出乌区域，则冬的最小值为

解得的最大值为

n=4

（3）由题可知，粒子在平行于的平面内做圆周运动，而在x方向做匀加速直线运动。对电量为4的粒

子，Rl=L,若不考虑x方向的匀加速运动，由几何关系可知偏转角为

6=60°

粒子在磁场中运动的周期为

2兀R2兀m

T=----=----

vqB

则粒子在区域中运动的时间为

TJILI_m

\2qU

在x方向，粒子做匀加速直线运动，有

则粒子会从出射；离开时，在x轴方向的坐标为

根据几何关系，在了轴方向的坐标为

万

y=£sin60°=—Z

n°2

在z轴方向的坐标为

2=0

所以，粒子离开时的坐标为也2L,0）。

2272

5.（2024•四川德阳•模拟预测）如图所示建立空间坐标系。-xyz,其中x方向水平向右，z方向垂直于纸面向

外，三个无限大且与x轴垂直的平面与x轴依次交于。、M.N三点，相邻两点间的距离均为d,三个平面

将空间划分成不同的区域，在0<x<d区域I内存在方向竖直向下的匀强电场©,在区域II内存在方

向垂直于纸面向里的匀强磁场风，在2d<x的区域III内存在方向均水平向右的匀强电场屋和匀强磁场为所

组成的复合场。一个质量为机、带电量为+g的粒子，从距离。点正上方日的8点处，以速度V。水平向右

射入区域I,经过“点进入区域II,经过N点进入区域III（重力忽略不计）。已知区域I、III的电场强度

大小相等（未知），区域II、III的磁感强度大小相等（未知），求：

(1)区域I内的电场强度及大小；

(2)区域II内的磁感应强度以大小;

【详解】(1)粒子在区域I内做类平抛运动，则

d=vot

d=1E1q'

22m

解得电场强度©大小

qa

(2)粒子到M点的竖直速度

乜=，

2t

解得

即粒子从M射入区域II内的速度方向与x轴正向成45。角，速度大小为

v=V2v0

粒子从N点进入区域III,则做圆周运动的半径

,V2,

r-acos45=----a

2

根据

v2

qvB=m—

xr

可得

n.2mV0

1qd

(3)粒子从N点以与x轴正向成45。角进入区域m,沿x方向以