导数的单调性 过关检测（思维导图+3知识点+六大考点）

第03讲导数的单调性

T模块导航—T素养目标—

模块一思维导图串知识1.理解导数与函数的单调性的关系，提升直观想象

模块二基础知识全梳理（吃透教材）和逻辑推理的核心素养.

模块三核心考点举一反三2.掌握利用导数判断函数单调性的方法，提升逻辑

推理的核心素养.

【考点一：原函数与导函数间的关系】

3.会用导数求函数的单调区间，提升数学运算的核

【考点二：求不含参函数的单调区间】

心素养.

【考点三：求含参函数的单调区间】

【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】

【考点五：利用单调性解不等式】

【考点六：利用单调性比较大小】

模块四小试牛刀过关测

模块一思维导图串知识

6模块二基础知识全梳理-----------------------------

一、函数单调性和导数的关系

1、函数的单调性与导函数/（X）的正负之间的关系

①单调递增：在某个区间（。,份上，如果/（x）＞0,那么函数y/x）在区间（a,b）上单调递增；

②单调递减：在某个区间（。力）上，如果/（x）＜0,那么函数y=/（x）在区间（。力）上单调递减.

③如果在某个区间（。力）内恒有了（尤）=0,那么函数y/尤）在这个区间上是一个常数函数.

【注意】

⑴在某区间内/'（x）＞0（尸（％）＜0）是函数〃力在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；

（2）可导函数/（尤）在（a,。）上是增（减涵数的充要条件是对b）,都有了'（九）"（/'（力上0）且

/'（%）在（a,。）上的任何子区间内都不恒为零.

2、求函数单调区间的步骤

（1）确定函数了（%）的定义域；

（2）求/'（尤）（通分合并、因式分解）；

（3）解不等式/'（九）＞0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；

（4）解不等式/'（九）＜0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.

二、已知函数的单调性求参数

1、函数〃》）在区间D上单调增（单减）=/口）20（«0）在区间口上恒成立；

2、函数了（%）在区间D上存在单调增（单减）区间=/'0）＞0（＜0）在区间口上能成立；

3、已知函数在区间D内单调=/'（X）不存在变号零点

4、已知函数了（%）在区间D内不单调=/'（X）存在变号零点

三、研究函数与导函数图象之间关系的方法

1、研究一个函数的图象与其导函数图象之间的关系时，注意抓住各自的关键要素，对于原函数，要注意其

图象在哪个区间内单调递增，在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大

于零，在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致。

2、函数值变化快慢与导数的关系

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么在这个范围内函数值变化得快，这时，函数

的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小，那么在这个范围内函数

值变化得慢，函数的图象就“平缓”一些.

常见的对应情况如下表所示.

,y

图象

0()X()1

了⑴变化r«＞o/（x）＞0/W＜o/W＜o

规律且越来越大且越来越小且越来越小且越来越大

函数值变函数值增加函数值增加函数值减小函数值减小

化规律得越来越快得越来越慢得越来越快得越来越慢

0＞模块三核心考点举一反三

【考点一：原函数与导函数间的关系】

一、单选题

1.(2324高二下•四川成都•期中)函数y=/(x)在定义域内可导，记y=f(x)的导函数为y=/?(*),

y=r(%)的图象如图所示，贝的=/0)的单调增区间为()

【答案】B

【分析】由函数的导数符号与函数单调性的关系即可得解.

48

【详解】若要y=/'(x)＞o,则由图可知尤XG

353

故y=的单调增区间为11,，，|

故选：B.

2.(2425高二上•全国•课后作业)如图是函数f(x)的导函数/。)的图象，则()

A.在区间(O,a)内是常函数B.在区间(a,c)内是减函数

C.〃x)在区间(c,d)内是增函数D.“X)在区间(d,e)内是增函数

【答案】D

【分析】根据题意，结合导函数/(久)的图象，利用函数的单调性与尸(行的函数值间的关系，逐项判定，即

可求解.

【详解】对于A中，由0＜无＜。时，r(x)=C(正实数)，

则/（X）在区间（0,。）内是单调递增的一次函数，所以A错误；

对于B中，当时，/?（%）>0,当6Vxec时，/?（*）<0,

所以在区间（a,c）内先增后减，所以B错误；

对于C中，当c<x<d时，尸。）<0,〃尤）在区间（G"）内是减函数，所以C错误；

对于D中,当d<x<e时,/'（x）>0J（x）在区间®e）内是增函数,所以D正确.

故选：D.

3.（2425高二上•全国•课后作业）函数f（x）在定义域内可导且导函数为尸（无），且广（X）的图象如图所示,

则〃x）的图象可能是（）

【答案】B

【分析】利用排除法，根据尸（为的符号判断“X）的单调性，可排除A,D；再根据导数的几何意义排除

【详解】观察导函数图象可知/（无）在区间（-取0）先正后负，在区间（0,+?）先负后正，

故函数f（x）在区间（一双0）内先递增后递减，在区间（0,+?）内先递减后递增，

结合4个选项的图象，可排除A,D；

由导函数的函数值是变化的，即函数f（x）在递减区间的斜率也是变化的，排除C,

故选：B.

4.（2324高二下.四川绵阳・期末）己知y=f'（x）为函数/⑺的导函数，如图所示，则外力的大致图象为（

HoilH\oix

【分析】根据导函数正负确定函数的单调性排除B,再根据导数的大小变化确定选项即可.

【详解】因为/'（x"0,所以〃x）单调递增，B选项错误；

又因为尸（x）在（-双。）单调递减，可以得出了（X）的切线斜率逐渐变小，A,C选项错误；D选项正确.

故选：D.

5.（2324高二下•山东临沂・期中）己知函数y=/（x）（xGff）的图象如图，则不等式对（无）＜0的解集为

（）

2人

3

A.B.卜卜［卜］

C.（-双0）4；,2）D.（—1,0）51,3）

【答案】c

【分析】由"X）的图象得到了（元）的单调性，从而得到广（x）的正负,即可得解.

【详解】由Ax）的图象可知，/（元）在（-8,；）和（2,+8）上单调递增,在（；,2）上单调递减,

则当尤时，f'（x）＞0,无e（2,+co）时，f'（x）＞0,

XC52）时，尸（无）＜0,所以不等式对''（尤）＜0的解集为（口,0）5*2）.

故选：C.

【考点二：求不含参函数的单调区间】

一、单选题

1.(2324高二下•河北秦皇岛•阶段练习)函数〃无)=gd一g/-2x+l的单调递减区间为()

A.(-1,2)B.(-2,1)

C.(―8,—1)和(2,+co)D.(―00,—2)和(1,+8)

【答案】A

【分析】首先求函数的导数，求解尸(同<0的解集，即是函数的单调递减区间.

【详解】由题意得/'(x)=f-x—2=(尤+l)(x—2),

令/(x)<0,得T<x<2,所以〃尤)的单调递减区间为(T2).

故选:A

In丫+1

2.(2324高二下•江苏南通•阶段练习)函数y=——的单调增区间为()

x

A.(-oo,l)B.(0,1)C.(l,e)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】求出导数，利用导数大于0可得答案.

【详解】函数>="山的定义域为(0,+?)，

X

,(lnx+1)x-(lnx+l}xrl-(lnx+l)-]nx

yX2X2X2

由y'>0得lnx<0,解得0<x<l,

所以>=也±1的单调增区间为(0,1).

X

故选：B.

3.(2425高二上•全国•课后作业)函数〃x)=hu+F的单调增区间为()

A.(0,1)B.(0,e)C.(1,-HO)D.(e,+oo)

【答案】C

【分析】根据题意，求得尸(元+1),结合l(可>。的解集，即可求得函数的递增区间.

X2

【详解】由函数"x)=lru+W，可得其定义域为(0,+巧,

1xex-(ex+l)(x-l)(ex+l)

且「⑺

XX2X2

令;(x)>0,解得X>1,所以函数〃尤)的单调增区间为(1,+8).

故选：C.

4.（2324高二下•北京通州•期中）定义在区间（-兀，兀）上的函数/（x）=xsinx+cosx,则的单调递减区

间是（）

A.B.陷和卜兀,一1

C.修。卜"D.「,0）和"

【答案】D

【分析】对函数求导并令:（力<。，利用三角函数单调性解不等式即可求得结论.

【详解】由/（力=%sinx+cosx可得（九）=sinx+xcosx-sinx=xcosx,

令（x）=Xcosxv。，

当（一兀,0）时，由xcosxvO可得cosx>0,解得xc1-

当（0,兀）时，由xcosx<0可得cos%<0,解得xwg,兀｝

因此可得“X）在（-兀㈤的单调递减区间是和

故选：D

5.（2324高二下•吉林•期中）函数/（x）=xer的单调递增区间是（）

A.（1,+co）B.C.D.（-1,+co）

【答案】B

【分析】利用导数求出函数的单调递增区间.

【详解】函数/（x）=xer的定义域为R,求导得尸（x）=（l-口尸，

由尸（x）>0,得x<l,所以函数9劝=双7的单调递增区间是（7,1）.

故选：B

【考点三：求含参函数的单调区间】

一、解答题

2

1.（2425高二上•全国•课后作业）已知函数〃耳=吟（°片0）,讨论〃x）的单调性.

e

【答案】答案见解析

【分析】求导，分。>0和a<0两种情况，利用导数判断了（尤）的单调性.

【详解】由题意知：函数〃尤）的定义域为R,且f（x）=竺上"，

e

令ra）=o,解得x=o或2,

当a>0时，令/（x）<0,解得x<0或x>2；令r（x）>0,解得0<x<2；

可知了（力在区间（-8,0）和（2,+8）上单调递减，在区间（0,2）上单调递增；

当”0时，令/（力<0,解得。<x<2；令人力>0,解得x<0或无>2；

可知〃力在区间（-8,0）和（2,+8）上单调递增，在区间（0,2）上单调递减，

综上所述：

当a>0时，〃尤）在区间（-十,。）和（2,+功上单调递减，在区间（0,2）上单调递增；

当a<0时，/（力在区间（-8,0）和（2,+8）上单调递增，在区间（0,2）上单调递减.

2.（2425高二下•全国•课后作业）设函数/0：）=/+办-3a21nx,其中oeR.讨论了⑺的单调性.

【答案】答案见解析

【分析】求导得导数的两个零点为无=。或对。分类讨论即可求解.

【详解】“X）的定义域是（0,+8）,

若a=0,〃x）=f,函数/（久）在（O,y）上单调递增,

“、.3a22x2+<xv-3o2(尤-a)(2x+3a)

当awO时,f(x)=2x+a----=------------=-------------

xxx

3

令尸（x）=0,解得。或x=

33

若a<0,贝!J当0<x<-3。时，尸（无）<0,当时，-。）>0,

22

所以，（x）在1,-1。）上单调递减，在'上单调递增；

若。>0,贝!I当0<x<a时，f'{x）<0,当无>。时，f'（x）>0,

所以了（尤）在（0,。）上单调递减，在（。,内）上单调递增.

综上所述，当。=0时，Ax）在（0,+8）上单调递增；

当°<0时，〃x）在上单调递减，在［-1，+曰上单调递增;

当。>0时，/⑺在（。,©上单调递减，在（凡”）上单调递增.

3.（2324高二下•宁夏银川•阶段练习）已知函数=（2“+l）x+alnx+a.

⑴当a=l时，求函数/（x）的单调区间；

（2）当aeR时,求〃x）的单调区间.

【答案】（1）单调递增区间为］0,；］,（1,入），单调递减区间为

（2）答案见解析

【分析】（1）根据导数与单调性的关系，求出单调区间即可；

(2)对含参函数求导，从而得出导数的零点，再通过对二次函数的根的讨论，得出单调区间.

【详解】(1)当°=1时，/(x)=x2-3x+ln%+l,定义域为(0,+e),

J(xf_3+L(21)(1),

XX

令尸(x)>0,得X40,£|U(1，+8),令尸(x)<0,得

所以/(x)的单调递增区间为。J］,(L+s),单调递减区间为1J.

(2)/(x)=x2—(2々+1)龙+alnx+a,定义域为(0,+旬,

7~'(x)=2尤一(2a+l)+q=(2xT)(—a),令广(力=0,得彳=；或X=".

XX乙

①当时，当尤时，r(x)<0,f(x)单调递减，

当时，r(x)>0,f(x)单调递增；

②当0<。<；时，当xe(0,a)和xe(j,+oo］时，/,(x)>0,f(x)单调递增，

当尤时，r(x)<0,f(x)单调递减；

③当时，广⑺对对Vxe(O,+«))恒成立，所以『⑺在(0,+8)单调递增；

④当a>!■时，当和时，/(x)>0,f(无)单调递增，

当时，:⑺<0,〃x)单调递减.

综上所述：当aVO时，/(x)在［。，£|单调递减，在&,+j单调递增;

当0<〃<；时，〃x)在单调递减，在(0M)和G,+二)单调递增;

当。=；时，〃x)在(0,+向单调递增；

当时，"%)在单调递减，在。和(。收)单调递增.

4.(2024・山东•模拟预测)已知函数〃x)=x(l-ln⑸.

⑴若曲线外可在x=e处的切线与直线y=x垂直，求左的值;

⑵讨论“力的单调性.

【答案】⑴左=1

(2)答案见解析

【分析】(1)对函数求导，结合题意有，/'(e)=-ln(©=T,即可求解左值；

(2)对函数求导，分后>0和左<0两种情况讨论，根据导数的正负判断原函数的单调性.

【详解】⑴因为解x)=x(l—Infer),k^O,所以解(x)=-ln(砌,

曲线/(X)在x=e处的切线与y=x垂直，

所以尸(e)=-如(⑹=-1,得左=1；

(2)由/(x)=x(l-InAx)得/''(x)=Tn(Ax),

当%>0时，〃尤)的定义域为(0,+?),

令『'(》)=。得》=J，

K

当时，/?(久)>0,当尤时，/?(x)<0

所以/(x)在，J上单调递增，在(j+j上单调递减；

当％<0时，〃尤)的定义域为(-8,0),

令小)=0得了=：

当时，/?(%)<0,当时，/?(X)〉0

所以/(X)在(一肛j上单调递减，在［,o］上单调递增.

综上所述：当后>0时，/(X)在(0,：］上单调递增，在上单调递减；

当上<0时，在£|上单调递减，在1，。)上单调递增.

5.(2425高二下•全国•课后作业)已知函数/(x)=^——--aInx(aeR).

x

(1)求曲线y=在点(1"(D)处的切线方程；

(2)求/(尤)的单调区间.

【答案】(l)y=e—。

(2)答案见解析

【分析】(1)利用导数的几何意义求解即可；

(2)求出函数的定义域，对函数求导后，分4W0,0<a<l,l<a<e,。=e和。>e讨论导数的正负，从

而可求出函数的单调区间.

【详解】(1)由f(x)=」-alnx,可得/(x)=e«T)9+",

XX

贝!I1⑴=0且f(l)=e-。，

所以曲线>=/(尤)在点(1"⑴)处的切线方程为〉=6-/

(2)由函数/(》)=j一alnx的定义域为(0,+s),且「(幻=(…卜'叫,

XX2

若。40,令…)=0,解得X=l,当xe(o,l)时，尸(无)<0,当xe(l,+s)时，f'(x)>0,

所以函数”x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+8).

若。>0,令/''(x)=0,解得x=l或x=lna,

①若InaWO,即0<a41时，当xe(0,l)时，fr(x)<0,当xe(l,+<»)时，f'(x)>0,

所以函数/(x)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+⑹.

②若0<lna<l,即l<a<e时，当尤e(0,lna)时，f'(x)>0,当xe(lna,l)时，f'(x)<0,当尤e(l,+8)时，

rw>o,

所以函数/(元)的单调递减区间为(Ina,1),单调递增区间为(O,ln*(l,+◎,

③若Ina=1,即a=e时，可得/'(x)20且等号不恒成立，

所以函数Ax)的单调递增区间为(0,内).

④若lna>l,即。〉e时,当xe(0,l)时,f'(x)>0,当尤e(l,lna)时,f'(x)<0,当xe(lna,+oo)时，f'(x)>0,

所以函数/(x)的单调递减区间为(1,Ina),单调递增区间为(0,1),(Ina,+8).

综上，当时，/(元)的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,+s);

当l<a<e时，的单调递减区间为(Ina,l),单调递增区间为(0,Ina),(1,+8)；

当a=e时，“X)的单调递增区间为(0,+8)；

当。>e时，f(x)的单调递减区间为(1,Ina),单调递增区间为(0,1),(Ina,+8).

6.(2324高二下•广东中山•阶段练习)已知函数/(x)=lnx+依2_x+“+i.

(1)证明曲线y=/(x)在尤=1处的切线过原点；

(2)若a20,讨论了(X)的单调性；

【答案】⑴证明见解析

(2)答案见解析

【分析】(1)求导，可得了⑴=2a,进而可得切线方程为y-2q=2a(x-l),进而可得恒过原点；

2ax2X+1

(2)f'(X)=~(X>0),分a=0,a>^,0<。<：三种情况讨论可得了。)的单调性.

xXX

【详解】(1)由题设得尸(幻='+2依-l(x>0),所以((l)=l+2a-l=2a,

X

又因为〃l)=a-l+a+l=2a,所以切点为(1,2a),斜率上=2”，

故切线方程为卜2“=2a(尤-1),即y=2依，所以y-0=2a(x-0)恒过原点.

（2）由（1）得尸（x）=2--X+1Q＞0）,

X

—Y+1

①a=0时，/'（X）=-----，

x

当龙£（o,i）时，r（x）＞o,/（1）在（o,i）上单调递增，

当天£（1,+8）时，/（%）＜0,人幻在（1,+8）上单调递减；

令，（%）=2加-％+1,则A=l-8a

②a＞0且A=l—8aW0,即时，/V）＞0,/（x）在（0,+s）上单调递增，

8

0＜。＜工时，△=l-8a＞0,

8

f（x）=2ax2-x+l＞0,贝!］0＜》（匕匹亚，或尤＞3E近，得（（无）＞0

4。4。

所以/（X）在f0,“三药］上单调递增，在f与至,+J上单调递增；

14al14al

"x）=2加—x+l＜0,贝！贝！］-⑺＜0,

4〃4。

所以/（元）在11一严砺,1+手瓯］上单调递减,

（4a4〃J

综上：。=0时，“X）在（0,1）上单调递增；/（X）在（1,+8）上单调递减；

a时，/（x）在（0,+功上单调递增；

O

0＜。＜:时，/（无）在（0,匕W三药］上单调递增，在（旦丑，+"］上单调递增；

814al14al

八无）在F一手画,1+严石］上单调递减.

（4a4aJ

【点睛】方法点情，利用分类讨论法是求解含参数的函数的单调区间常用的方法.

【考点四：已知函数的单调性求参数的值（范围）】

一、单选题

1.（2425高二上•浙江宁波•期中）若函数f（x）="■在［2,+⑹上单调递增，则上的取值范围为（）

4,4

A.kN—B.k4—1C.kKlD.kG—

33

【答案】D

【分析】求出导函数，根据单调性把问题转化为不等式恒成立，利用函数单调性求出最值即可

kx+\—kx1—2x+k

【详解】由"X）=M，得/（"=6+1）2，

又〃尤）在［2,+s）上单调递增，

所以广⑺>。在［2,收）上恒成立，即依2+2x-々W0在［2,—）上恒成立,

22

即1―在［2,笆）上恒成立，只需求出1一的最小值即可，

--XL7---X

XX

又/=：1一彳在［2,+8）单调递减，所以,4一Q贝（71

424

所以一§工7<0,故zv—1.

故选:D

2.（2324高二下.广东佛山•阶段练习）已知函数〃彳）=2》+向-?在区间［1,2］上单调递减，则实数。的取

值范围为（）

A.（-oo,-3］B.（YO,—3）

C.（HO,-10］D.（-oo,-10）

【答案】C

【分析】根据题意可知（（司=2+/+£<0在口,2］上恒成立，将问题再转化为函数的最值问题求解即可.

【详解】尸（无）=2+：+/,若函数〃尤）=2x+lnx-f在区间［1,2］上单调递减，

即（（无）=2+卜十。在口,2］上恒成立，

即a«-2x2-x在［1,2］上恒成立.

令〃（%）=—2d—犬，则立⑴在［1,2］上单调递减，/z（x）min=/i（2）=-2x4-2=-10,

所以。4〃（力而/44-10,

即-10］

故选：C.

3.（2324高二下.吉林四平•期中）若函数〃x）=lnx+gax2+3在区间（1,4）内存在单调减区间，则实数。的

取值范围是（）

D.（0,1）

【答案】A

【分析】对/（X）求导，分和“＜0两种情况，结合“X）在区间（1,4）内存在单调减区间，求出。的取值

范围即可.

【详解】仆）=ln无+1依2+3,（（6」+以=竺±1,

2xx

当a20时，r（x）＞0,不符合题意；

当。＜0时，令/（力＜。，解得彳＞口，

•."（©在区间（1,4）内存在单调减区间，

＜4,解得〃＜-

Va16

二实数”的取值范围是-士；

故选：A.

4.（2324高二下・四川遂宁•阶段练习）函数〃x）=（l-%）lnx+ax在。,+8）上不单调则”的取值范围是（）

A.6ZG（^X）,0）B.6ZG（l,+oo）

C.tZG（-l,+oo）D.«e（0,+oo）

【答案】D

【分析】由"X）在（1,E）上不单调，可得了'（X）在。,+⑹上必有零点，利用。=lnx—+l,构造函数

z（x）=ln龙-工+1,再求出。的取值范围.

X

【详解】依题意/（力=-lnx+-+tz-l,

因为函数〃x）=（l-尤）lnx+依在（1,+=°）上不单调，

所以尸（x）在。,也）上有零点，

令g（元）=-lnx+L+a-l,令g（x）=0,得a=lnx---F1,

无x

令z（尤）=]nx---F1,贝！）2'（无）=—I——,

xxx

当x＞l时，z＜x）＞0,z（x）单调递增，又z⑴=0,

所以z（x）＞0,故a=z（x）＞0,

所以“的取值范围是（0,"）.

故选：D

二、填空题

5.(2425高二上•全国•课后作业)若函数〃无)=1-：-lru在区间［1-a,2-句内单调递增，贝心的取值范围

是.

【答案】［0,1)

【分析】求导，利用导数可知〃x)的单调增区间为(0,2］,结合题意列式求解即可.

【详解】由题意可知：〃尤)的定义域为(0,+?),且尸口)=3-：=*,

令尸0)20,得0<xV2,可知〃尤)的单调增区间为(0,2］,

r-If1—Q>0

若函数”X)在区间［l-a,2-a］内单调递增，依题意.解得0Wa<l,

［2—〃S2

所以“的取值范围是［0,1).

故答案为：［0,1).

6.(2324高二上•山西长治•期末)若函数/(x)=£(a>0且awl)在区间&,+"上单调递增，则实数。

的取值范围是.

【答案】F，+s)

【分析】函数求导后，/(X)在区间少］上单调递增，转化为/'(x)20在区间上恒成立，然后

利用函数单调性求最值即得.

【详解】由函数/(x)=［("0且a#l)在区间Q,+")上单调递增，

得((X)=xa'ln;-a'=优(*"1)0在区间,+®］上恒成立，

XX)

又三在区间g，+1|上恒正，只需满足xlna-120在区间上恒成立即可，

令g(x)=xln〃-l,

若0<a<l,贝!|lna<0,则一次函数g(x)=xlna-1在区间上单调递减，不可能恒正；

若。>1,贝!)lna>0,则一次函数g(x)=xlna-l在区间g,+，|单调递增，

所以只需g(x)>g］£|N0,即;Ina-INO,解得就/，

故答案为：［2,+8).

【考点五：利用单调性解不等式】

一、单选题

1.(2324高二下.江苏南通•阶段练习)已知函数〃x)=x+lnx+co&x,若/，-4)<〃3x),则实数尤的取

值范围是()

A.[-1,4]B.(-8,2)D[4,+8)

C.(0,4]D.(2,4]

【答案】D

【分析】利用导数判断出函数/(%)的单调性，即可根据单调性的定义解出.

【详解】因为/(x)=x+lnx+cosx(x>0),

所以r(x)=l+1-sinx>0,即在(0,+?)上函数/(%)单调递增，

x2-4>0

由/(X2-4)</(3X)可得，<3x>0,解得2<x<4,即x42,4].

x2~4<3x

故选：D.

2.(2425高二下•全国•课后作业)已知了(无)的定义域为R,7(1)=2023,且广(x)26x恒成立，则不等式

/(x)>3尤②+2020的解集为()

A.(-1,1)B.(1,+co)C.(-(»,-1)D.(-OO,T)U(L”)

【答案】B

【分析】先构造函数，再求导函数判断函数的单调性，最后应用单调性解不等式即可.

【详解】令函数g(尤)=〃幻-3炉,因为g'(x)=7'(x)-6xN0,所以解]在R上单调递增.

因为86=/(1)-3=2020,所以不等式/(x)>3/+2020等价于g(x)>g⑴，

所以x>l.

故选:B.

3.(2324高二下•江苏扬州•期中)已知函数”尤)的定义域为(。,+功，M/(l)=e-1,f\x)+x>e,则

不等式21-2/任)>/的解集为()

A.(0,1)B.(0,+s)C.D.(O,1)U(1,-HX>)

【答案】A

【分析】由题设不等式整理后构造函数g。)=/(x)-e'+；/满足g，(x)>。,得出y=gQ)在(0,+?)上单调

递增，整理待求不等式，利用函数>=g(x)的单调性即可求得.

【详解】由广(无)+x>e'可得/'⑺一e，+x>0,即(〃尤)-e，+gfy>0,

设g(x)=〃x)-e，+g》2,无e(0,+co),则由7(x)>0可得，y=g(x)在(0,+?)上单调递增.

又g⑴=/⑴_e+g=e_g-e+g=O,

由2e-2〃x)>x2可得，/(x)-e'+1x2<0,即g(x)<g(l),解得0<x<l.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用构建函数的单调性求抽象不等式的解集的问题，属于难题.

解题的关键在于观察已知不等式和题设不等式的组成，提炼出构造函数的基本形式，结合函数定义域和函

数值等条件，利用单调性求解抽象不等式.

二、填空题

4.(2324高二下•广东深圳•期末)已知函数/(x)=2x—sin2x,则不等式/仔)+〃3%一4)<0的解集

为.

【答案】㈠/)

【分析】利用导数判断单调性，再判断奇偶性，即可求解不等式.

【详解】由/(x)=2x—sin2x得/⑺=2-2cos2x=2(1-cos2x)>0,

所以函数〃x)=2x-sin2x是R上的增函数，

又由〃-x)=-2x-sin(-2x)=-(2x-sin2x)=-得函数/(x)是奇函数，

则由/(f)+〃3尤一4)<0得/(/)<一〃3万-4)=〃4-3%),

所以f<4-3]=炉+3x—4<0=>(A:-1)(X+4)<0,

解得Tvxv1.

故答案为：(=U),

5.(2324高二下.天津北辰.期中)已知/(同是定义在(F,0)U(。,京)上的奇函数，/'(X)是"X)的导函数,

〃1)20,且满足((无)lnx+4»<0,则不等式(尤-2)〃尤)<0的解集为.

X

【答案】(f,0)U(2,y)

【分析】构造函数g(x)=〃x)lnx,求导判断函数为单调递减，从而可得在(0,")上〃力<0,在(-通。)

上，/(x)>0,求出不等式的解集即可.

【详解】令g(x)=/(x)lnx(x>0),贝！Jg(x)=/,(x)inx+/H<0,

X

可知g(x)=/(%)lnx在(。,y)上为减函数，而g(l)=。，

在(0,1)上，lnx<0,g(%)>0,所以"%)<。;

在(L+?)上，lnx>0,g(x)<0,而/⑴HO,/(x)<0；

可得在(O,包)上〃尤)<0,

又因为〃x)是定义在(-8,0)U(0，+8)上的奇函数，则在(f,。)上，/(无)>0,

..[x>2[x<2

不等式(x-2)/(x)<0等价于〃x)<0或〃x)>0，解得》>2或x<。，

故不等式的解集为(-8,。)U(2,+8).

故答案为：(T,0)U(2,+8).

6.(2324高二下•四川凉山•期中)己知定义在R上的可导函数f(x),满足矿(x)+/(x)>0在R上恒成立，

且/⑴=2,则不等式无)<2的解集为.

【答案】(-双1)

【分析】构造函数g(x)=V(H，由题意可得g(元)在R上单调递增，不等式步(x)<2可转化为g(x)<g(l),

结合函数单调性计算即可得.

【详解】令8@)=令(8,则有/(尤)=/(力+才(x),

由矿(x)+/(无)>。在R上恒成立，故g'(x)>0在R上恒成立，

即函数g(x)在R上单调递增，

由/⑴=2,贝!|g⑴=lx/(l)=2,

即不等式xf(x)<2可转化为g(力<g⑴，

结合函数单调性可得x<1,即不等式W)<2的解集为(-?1).

故答案为：(-吗1).

【考点六：利用单调性比较大小】

一、单选题

1.(2324高二下.天津.期中)己知函数〃x)=cos%+e*,且。=〃2)、b=c=/(ln2),则。、b、

c的大小关系()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】D

【分析】根据题意，求导得/(%),即可得到/(X)在(。,+e)上单调递增，从而可比较函数值的大小关系.

【详解】由/'(》)=cosx+ex=-sinx+ex,

当％>0时，/'(x)=-sinx+e*>—sin犬+120,

所以/(X)在(0,+。)上单调递增，

1._l-21n2lne-ln4_叱…11c

X--ln2=---=---<0,所以］<ln2,

即g<ln2<2,则/出<"In2)<八2),

所以Z?<C<Q・

故选：D

((1\\

InY

2.(2425高三上•云南昆明•阶段练习)已知函数/(x)=—"(/⑷),&=/(/(ln3)),c=ff

\\)

则a,&c的大小关系是()

A.a<c<bB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】A

【分析】分类讨论，当x>l时，/(x)=—,当0<x<l时，f(x)=--,最后利用导数得到函数的单调

XX

性即可求解.

【详解】由函数〃x)=F，得当X>1时，〃力=手，尸("=匕詈，所以〃尤)在(l，e)上单调递增,

在(e,+8)上单调递减，所以〃力在(L+8)上的最大值为/(e)=1.

当0<x<l时，〃x)=-半，-⑺=与口，所以在(。，1)上单调递减.

又〃4)=?=(="2),fU/(A/^),l<ln3<|<^<2,

42<J2

所以0<〃ln3)</(血)<〃2)=〃4)<：,所以a<c<氏

故选：A.

001

3.(2425高三上•浙江•期中)已知函数/㈤=廿+葭，若。=1叫0.6,Z,=3,c=log53,则有()

A./(o)>/(6)>/(c)B./(&)>/(c)>/(a)

C./(&)>/(«)>/(c)D./(c)>/(«)>/(&)

【答案】B

【分析】由已知可得〃尤)为偶函数，则〃1吗0.6)=/]咋3£],利用对数函数的性质和指数函数的性质，

可得0<log3；<；,b>l,1<C<1,又当x>0时，由尸(x)>0,可得/(X)为单调递增函数，即可得到答

案.

【详解】因为函数〃x)=e'+er且定义域为R,则/(—%)=b+1=/(力,所以为偶函数，

3

因为"log30.6=log3—<0

贝!If(log30.6)=f(-log30.6)=/-log3

001

Xlog3|<log3A/3=-1,log3|>log3l=0,b=3>3°=1,

c=log53>log5如=；,

c=log53<log55=1,

则;<c<l,所以3°°|>1唱3>1%号

当x>。时，因为/'(x)=e=口>0,所以为单调递增函数，

所以〃6)>/(c)>〃a).

故选：B.

4.(2425高三上•重庆•阶段练习)已知a=sinL6=且,c=ln3,贝I()

332

A.c<a<bB.a<c<b

C.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【分析】构建g(x)=x-sinx,xe[0,l),利用导数判断g(x)的单调性，进而可得。<；<人再结合对数函数

单调性可得;<c<b.

【详解】12g(x)=x-sinx,xe[0,1),贝!jg'(x)=l-cosx20,

可知g⑴在[0,1)上单调递增，贝!|g[]〉g(o),即;-sin；>0,

可得」<

a=sin1<=b;

333

又因为则21n=<l<31ng,即，<ln3<^<3；

⑵⑵223223

所以a<c<b.

故选：B.

5.(2324高二下•湖北•期末)己知55>e8,a=3；b=5；c=£，则久久c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

【分析】对于4匕，"c扩大适当的倍数变为整数塞的形式比较即可；对于“、。，构造函数比较大小即可

【详解】对于46,同时12次方可得3•与53,易知甲<53,所以。<6;

对于4c,同时4e次方可得5,与e3由题干可知5?，>5、>方,所以5，>e4,即6>c；

对于a、c,同时取对数可得半与工，/(x)=—,1(乃=上吧=0,解得X=e,

3exx

易得/(*)=电工在(0，e)单调递增，(e,y)单调递减，易知里〈电£=所以"C.

x3ee

综上可得a<cv。，

故选：B.

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一、单选题

1.(2324高二下•四川南充・期中)函数y=；d-lnx+2的单调减区间为()

A.(-1,1)B.(L+s)C.(0,1)D.[1,+co)

【答案】C

【分析】求导，令y'<o求解可得.

【详解】由题知，/=%--=—,%>o,