初中数学 整式 夯实基础训练

专题3.1整式夯实基础

一'选择题（每题3分，共30分）

1.下列说法中，正确的有（）

①号的系数是2；②多项式2炉+、/+3是二次三项式;

③v\2的常数项为2；④在12\+y，；/岳昌，0中，整式有3个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列说法正确的是（）

A.2aR与-2b%的和为0

B.翁a2b的系数是孑“，次数是4次

C.2x2y-Sy2-1是三次三项式

D.、丁-「与_；）心2不是同类项

3.如果3a7W+7和5a2F户是同类项,那么X+Y的值是（）

A.-1B.1C.-2D.2

4.下列各式中与4-2+5的值不相等的是（）

A.4-（2-5）B.4+（-2+5）C.4-（-2-5）D.S+（4-2）

5.如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）,不重叠地放在一个长为arm、宽为

be”长方形内（如图2）,未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是

C.2(a+b)anD.4(a-b)an

6.下列计算正确的是（)

入3厂1=玄B.a?+2a=2a‘

C.(-a)3a2«-a6D・(-a)^十(—a)2a

7.下列运算正确的是()

A.2a2.3ft2=6a5b5B.(-2a)2=-4a2

C.(a5)2=a2D.X-2=-4(x*0)

8.已知六元方程a+b+c+d+e+r-炉一a?+d2-c?+尸—/，满足

a<b<c<d<e<f,且a,b,c,d,e,f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的

说法中正确的个数为（）

①、Q1>b2»c3>d-4>".!>，f-6是该方程的~■组解;

②、连续的六个正整数一定是该六元方程的解；

③、若a-1>'c-'.1'f'f10,则该六元方程有20组解；

A.0个B.1个C.2个D.3个

9.下列运算正确的是（）.

A.2m+3m-5rn:B.m2m3»m6

c-（m+7）2=m2+49D.（m-3n）（m+3n）=m2-9n2

10.有两个正方形A,B,现将3放在A的内部如图①；再将A,3无缝隙且无重叠放置后构造

新的正方形如图②.若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7,则图②所示的大正方形的

面积为（）

图①

A.14B.15C.16D.17

二'填空题（每题2分，共12分）

11.单项式5”r的次数为次.

12.有理数a,b,c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+bHb-c|=

♦♦♦••

aQbc

13.W4个数a,Jc,d排成2行2列,两边各加一条竖直线记成|方尸ad-be,若厂$

=6,贝！Jllx2-5=.

14.我们知道，同底数幕的乘法则为：aman=a，*(其中a=0,m，ri为正整数)类似

地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：。(小-“)q(I”)g(n)，若那么

•j

g(2O23)g(2024)-.

15.计算：(—ONSix,M■.

16.填空：

(1)4a*b-r()-2力

(2)()-(Sab)--3ab

(3)()(mn)»2m-3n

(4)(6尸-4r)+()=2/

三、计算题(共5题，共43分)

17.计算：

(1)(-1)2020+(.：)-2-20210;

(2)%3ex5-(2A4)2+X10-?X2；

(3)[(-xy2z)2-4x3y2z]-^-g2y2；

(4)(x+2y)(x-2y)-(x-y)2.

18.计算下列各题

(1)l-2ivi'1-21.lrI

⑵4(\il):(2i>5)(21-5)

19.(1)计算：(-2)2+(3.14-Jr)0-(-2)+(

(2)先化简，再求值：[(x-3y)z+(x+y)(x—y)—x(2x-4y)]+(-2y)，其中x,2,

v--1.

20.如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或

正方形.

(1)用含I、1•的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积.

(2)如果x+y=5，xy=7,会议厅比会客室大多少平方米?

21.如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为(4a+3b)米,

宽为(2a+3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道.

(1)通道的面积是多少平方米？

(2)剩余草坪的面积是多少平方米？

四'解答题(共6题，共48分)

22.某会所在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池(阴影部分)，如图所示，两个游泳池之

间的空地上铺上五彩石.(单位：米)

(1)请用含a，b的代数式表示铺五彩石的空地的面积；(结果保留rr)

(2)如果a-25，b-10，每平方米的五彩石的价格为1。0元，求购买五彩石的总费

用.(n取3.14)

23.观察两个连续偶数的平方差：

①42-22=12,②624=20,③826=28,............

(1)写出第n个等式，并进行证明；

（2）问172是否可以写成两个连续偶数的平方差?如果能，请写出这两个偶数：如果不能,

请说明理由.

24.已知X，y为有理数，现规定一种新运算“※:满足i_2i-

（1）求3「4的值；

⑵求（2米2（1）米（-3d）的值•

25.我们将Q4b）：=屐•2ab•F进行变形，如:

a2+b2-（a+b）2-2ab,如■空贮伫竺等•请灵活利用这些变形解决下列问题:

（1）已知a2+b2=28.（a+b）2=48,>贝!Jab=.

（2）若x满足（25-x）（x-10）=-15,求，25…（x10）：的值.

（3）如图，四边形ABED是梯形，DAXAB,EB±AB,AD=AC,BE=BC,连结CD,CE,

若AC.BC=10,则图中阴影部分的面积为.

26.如图，在平面直角坐标系中，点人是反比例函数丫=空（x>0）图象上任意一点，点8是t轴

正半轴上的任意一点.

（1）若点P是。,4上任意一点，tO8P=乙4，试说明AOPB-AOBA;

（2）在（1）的条件下，已知点、的横坐标为、月，点8的坐标（6.0）,求点夕的

坐标;

（3）若点.4的纵坐标为、月，点8的坐标（2,0）>上是否存在一点户使得

△0P8与4/108相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.

27.两个边长分别为公b（a>b）的正方形按如图①所示的方式放置，其中重合部分（阴影）

的面积为Si,若在图①中大正方形的左下角摆放一个边长为b0>；a）的小正方形（如图②），

两个小正方形重合部分（阴影）的面积为力.

（2）若Q+b-10，必—20，求3S1+2S：的值；

（3）将边长分别为公b的正方形按如图③所示的方式放置，当&-5：=32时，求

出图③中阴影部分的面积和（即Sj+S.的值）.

五、实践探究题（共2题，共17分）

28.【问题背景】现定义一种新运算“。”对任意有理数m,n,规定：mOn=-n）.

例如：1021X2XI-2：|-2.

（1）【问题推广】

先化简，再求值：（a+b）O（a—b）t其中a—b—1；

（2）【拓展提升】

若r2yO（x0y）"求p,q的值

29.阅读材料：把形a”+bl+C的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法.配

方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即"土2必+〃・（a±b）2.请根据阅读材料解决下列

问题：

（1）填空：。二一4。+4-・

（2）先化简，再求值：（a+b）（a-b）+（2a3b-4ab3）+2ab,其中a.b满足

a?+2a+b—6b-10-0.

(3)若外b.c分别是dABC的二边，且a?+4〃+-2ab—6b—2c+4=0，试

判断dA8c的形状，并说明理由.

答案解析部分

1.A

①g的系数是系原选项错误，不合题意；

②多项式2铲+盯，二+3是三次三项式；原选项错误，不合题意；

③的常数项为-2；原选项错误，不合题意；

④在上”储力普0中，整式有2x+y，储匕，0,共3个，原选项正确，符合题意;

故答案为A

本题考查单项式的系数，多项式的项，次数及整式，单项式的系数是字母前面的数字因数，则

①错误；一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，多项式的项数就是多

项式中包含的单项式的个数，则②错误；多项式中的每个单项式叫做多项式的项，则③错误,

单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，可知④正确。

2.C

解：A.2al与-2炉a不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；

B.2b的系数是,“，次数是3次而不是4次，此选项不符合题意；

C.?x2v37-1是三次三项式，此选项符合题意；

D.、,3「力与_3V丫是同类项，此选项不符合题意.

故答案为：C.

根据单项式和多项式的相关概念“单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的

符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数”以

及同类项的定义“同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”依次判断即可求

解.

3.A

4.C

5.B

如图：

设小长方形卡片的宽为tcm，贝心8CDb-2t，BCAD-a-2bEF-GH26

V.'i'.vMLBCfl-2t，

•**/,//-b—UN—b—(a-2t)-b—a+2t-EG,

，两块阴影部分的周长和是：

2X6+28C+2EF+2FH-2(b-2t)+2("2t)+2x2t+2(b-a+2t)-42cm,

故答案为：B.

设小长方形卡片的宽为tcm，求出AB、BC和EF的长，再利用长方形的周长公式列出整式计算

即可。

6.D

7.D

8.D

9.D

10.B

解：设正方形B的边长为m其中a:0，

♦.•将3放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1,

.••阴影部分为正方形，且边长为1,

图①中大正方形的边长为a+I，

即正方形A的边长为a+1，

又♦.•将A,B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：

图②中大正方形的边长为：a+a-1-2a+1,

•••图②中阴影部分的面积为7,

•,•(2a+1)■—Q:—(a+1尸47，

整理得：2a?+2a-7-0,

解得：A1；'匚,④12"(不合题意，舍去)，

图②中大正方形的边长为：2ali-2x弋'南I1-7E

图②中大正方形的面积为15.

故答案为：B.

设正方形3的边长为。，其中a>0,依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1,则正方形

A的边长为a+1,依题意得图②中大正方形的边长为2a+l,则(2a+1尸-相-(a+1尸-7，由

此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可.

11.

12.-3,-C

解：根据图可知,a<0,c>b>0,|a|>|b|,

.\a+b<0,c-b>0,

二・原式=-a-b+(b—c)

=-a-b-c+b

=­c—a.

故答案为：-c-a.

先结合数轴判断出aVO,c>b>0,|a|>|b|,再利用绝对值的性质化简并合并同类项即可.

13.6

52

由题意可得|一5|=-5(X2-3；-2(-3X+S)=6，整理得1+5=6，

・•.F-1,

-llx2-5=6,

故答案为：6.

根据定义得到「5-3f2+5|=-S(X1-3)-2f-3x2+5>=6，整理得K+5=6，求得

-b从而求解.

14(-7)

15.4

16.(1)2a2

(2)15a2b2

(3)2m2n-3mn2

(4)3y-2

解：(1)4a2bn-2b=2a2；

故答案为:2a2；

(2)(Sab)x5ab=-15a2b2；

故答案为：-15a2b2；

(3)(2m-3n)xmn=2m2n-3mn2；

故答案为：2m2n-3mn2；

(4)(6y3-4y2)4-2y2=3y-2.

故答案为：3y-2.

(1)根据除数=被除数十商，可得括号内的式子为：4a2b+2b,然后再用单项式除以单项式的法则，

计算出结果即可；

(2)根据被除数=商乂除数，可得括号内的式子为：(-3ab)x5ab,然后再用单项式乘以单项式

的法则，计算出结果即可；

(3)根据被除数=商乂除数，可得括号内的式子为：(2m-3n)xmn,然后再用单项式乘以多项式

的法则，计算出结果即可；

(4)根据除数=被除数十商，可得括号内的式子为：(6y3-4y2)-2y2,然后再用多项式除以单项

式的法则，计算出结果即可.

17.(1)解：原式=1+9-1=9

(2)解：原式=X8-4X8+X8=-2X8

(3)解：原式=1+；.lf=4y2z2-16xz

(4)解：原式=(x2-4y2)-(x2-2xy+y2)=x2-4y2-x2+2xy-y2=2xy-5y2.

(1)根据乘方的定义、负整数指数型的性质、零指数基的性质进行化简，再进行加减运算，即

可得出答案；

(2)先算乘方，再算乘除，最后合并同类项，即可得出答案；

(3)先算乘方，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案；

(4)先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，即可得出答案.

18.⑴解:(•(-21Y)

-4x4y21(-2xy)

=-8/俨；

(2)解：4(x+1)2-(21+5)(21-5)

=4,+2x+l)-(4X2-25)

=4x2+8x+4-4X2+25

-8t+29.

(1)利用同底数累的乘法法则，幕的乘方，积的乘方计算求解即可；

(2)利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。

19.(1)解：(-2)2+(3.14-ff)°-(-2)+=4+l+2+(-2)=S；

(2)解:

[(X—3y)2+(x+y)(x—y)—x(2x—4y)]-r(-2y)•(x2-6xy+9JT2+x2-y2—2K2+

♦xy)4-(-2y)"(Sy2-2xy)-r(­2y)-x-4y

把i2,V--1代入i—41中，即t-2-4■।-1ib.

(1)运用有理数的乘方、零指数嘉、负整数指数幕进行运算，进而即可求解；

(2)先运用完全平方公式、平方差公式进行运算，进而代入即可求解。

20.(1)会客室的面积为(/—平方米，会议厅的面积为(2/+3q，+/)平方米

(2)39平方米

21.(1)(6ab+5b2)(2)(8a2+12ab+4b2)

22.(1)解：•.•长方形的长为a米，宽为b米，面积为ab米，

半径为b米的四分之一圆面积为57r於米，

直径为b米的二分之一圆面积为3“x(«):-米，

阴影部分的面积为：ab-；""--(ab-gzib)米；

(2)解：当。=25米，b-10米，取a=3,14时，

五彩石的造价为：100X(25X10-1x3.14x10;)

3

=100x(25x10-^x3.14x100)

-100x132.25

13225(元).

答：需要13225元.

(1)根据矩形面积计算方法、扇形面积计算方法及割补法，用矩形ABCD的面积分别减去两个

扇形的面积即可算出铺五彩石的空地的面积；

(2)将a=25、b=10及开=3.14代入(1)所得结果可算出铺五彩石的空地的面积，进而再乘

以每平方米的五彩石的价格即可得出购买五彩石的总费用.

23.(1)解：第n个等式为：(2n+2)2-(2n)2=4⑵i+l)(n为非零自然数),

证明如下：

(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+l),

/.(2n+2)2-(2n)2=4(2n+l)；

(2)解：172可以写成两个连续偶数的平方差，这两个连续偶数为42与44,理由如下：

令4(2n+l)=172,

解得n=21，

2n=2x21=42,2n+2=42+2=44,

・.・442-422=172,J这两个偶数分别为42和44.

(1)根据题干给定的例子可得第n个等式为：(2n+2)2-(2n)2=4(2n+l)(n为非零自然数)，

进而将等式的左边再根据平方差公式分解因式，再化简即可证明；

(2)令(1)所得等式的右边部分=172,建立方程求出n的值，即可解决此题.

24.⑴解：3-4-2x3-4

・6-4

,2-

<2)解：2•••-2fl-2*2-2d-4-2。，

(4-2a)觉-3a)=2x(4-2a)—(­3a)=8-4a+3a=8-a-

(1)根据定义的新运算可得3X4=2X3-4,然后根据有理数的乘法、减法法则进行计算；

(2)根据定义的新运算可得2派2a=2x22a=4-2a,贝！|(2X2a)※(-3a)=2x(4-2a)-(-3a),化简即可.

25.(1)10

(2)解：,；屋+炉=m+b)2-2ab.

••(25-x)2+(x-10)2-(25-x+x-IO)2-2(25-x)(x-10)-IS2-2x(-IS)-255

(3)10

解：(1)•.ah■(a+城产+蚂

•a2+b2=28»(a+b)2=48,

.,48-28

-ab=<「一-10>

故答案为：10；

⑶设4c=*BC-b.

(a+b)2—他2+/),

*ab=

2

阴影部分面积为：气)3,他io.

故答案为：10.

(1)根据必■丝尤二的53,把小+y・28,(a+b)2=48,代入计算即可求解;

2

(2)根据丁+b:=(a+b)~2ab,即可求解；

1ns‘口’记,即可得到阴影部分面积为

(3)设AC=*BC^b,根据b

02

(a±b)a2/进而即可求解.

F^一T-Tab.

26.(1)证明：'J^QHP4.4，UiOP^AOli,

:.A0P8△OUA;

(2)解：点月的横坐标为丫百，点8的坐标(、&Op

-'-AB108，OB=\3>

把i=百代入「土^品〜起=3，

yx7v3

••AB—3，

--tanzAOB-OA-JOB?+4群—2仔

.•小。8=60。，

由⑴得匕0P8AOBA>

喘•腓唠■务

解得0P■亨，

过。作PM1。8于1轴,

・Z08-603

■'-PM=0PxsinzPOM=OPx疝60°=t3OM=OPxcoszPOM=OPxcos60*=芋H

（3）解：分别过点4、P作4N「X轴、PQ±i轴于点N、Q，

把y=、月代入、G=一得i-3,

•；K3，\行)，

'OA=J32+V32=26'tanMON.亨

•••Z.4ON-30。，

1•7>'|2.0),

.'-OH-2,

由乙P08=4BOA得要使△3。P与4AOB相似，有空=索或空=客

UAUDUAUr

当假=怫时，△BOP-△AOB^

.2OP

解得OP=；百，

•'­PQ■opxsin^POQ■OPxsin30。■号OQ-OPXcos^POQ=OPxcos300=1>

，点〜的坐标为(1,卓)；

当器—徐时，OA-OP，此时点.4、P重合，

，尸1，⑸，

综上点P的坐标为⑶、囱或(1，=।时，工。28与乙A08相似.

(1)根据相似三角形的判定(AA)即可求解；

(2)先根据反比例函数图象上的点的坐标特征求出AB,进而根据正切函数结合勾股定理得到

析“"08=器=百，(M=J082+加=20，即”。8=60°，根据相似三角形的性质得到

劣即号=舄，从而得到OP,过P作PM108于I轴，根据题意解直角三角形求出PM和

OM,从而即可得到点P的坐标；

(3)分别过点4、P作4N_LR轴、PQ1i轴于点N、Q,先求出点A的坐标，进而根据勾股定理

结合正切函数得到04=J32+6=26'tanzAOiV=<y>即〃ON=30。，再根据相似三角

形的判定与性质分