导数压轴小题（解析版）

微专题08导数压轴小题

秒杀总结

一、导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点：

①切点坐标满足原曲线方程；

②切点坐标满足切线方程；

③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.

二、不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数“2/⑺恒成立(42/⑺1rax即可)或恒成立"m/⑺脸即可)；

②数形结合(y=〃x)图象在y=g(x)上方即可);

③讨论最值〃x*/o或1rax<0恒成立；

④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.

三、根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据条

件构造出合适的抽象函数.常见的构造方法：(1)若出现/(力+尸(龙)形式，可考虑构造

g(x)=e"(x)；(2)若出现「⑺-/⑺，可考虑构造g(x)=£学;(3)若出现，(力+#'(力，

e

可考虑构造g(x)=j^(x)；(4)若出现/(x)-矿(x),可考虑构造g(x)=?.

四、函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为

构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取

值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常

解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合

题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

五、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

六、对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一

端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函

数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离

参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.

典型例题

例1.（2021•重庆市朝阳中学高二月考）设匕6eR,若关于x的不等式履+匕2历％在（0,+e）

上恒成立，则£h的最小值是（）

k

A.-4B.-1C.--D.--

24

【答案】B

【分析】

构造函数/（x）=lnx-依，原不等式恒成立可转化为/（x）<6恒成立，利用导数求出函数最

卜一In"-1一-1

大值可得-In左-1V6,可得—--,构造函数g（A）=——（左>0）,求最小值即可.

kkk

【详解】

米+b2Inx在（0,+8）上恒成立，即为In尤-丘4b在（0,+8）上恒成立，

令〃x）=lnx-Ax,f'^x）=--k,

若％<0,则尸（x）>0,可得尸（x）在（0,+e）递增,

当时，“X）f+8,不等式Inx-fcvVb在（0,+8）上不恒成立，故左>0.

由广（无）=!-左，可得Ax）在（0。）上单调递增，在（；”）上单调递减，

xkk

所以当工=左时，“X）取得最大值〃％心=[[]=114-1=-1晨-1,

xJk

则-Ink—\<b,贝！J2之一」■一见七.

kkk

./,x1In女,八，/7\1l-lnkIn左

令g（%）=一厂丁’k>6，g'3=Kk=F

可得g（/：）在（0,1）上单调递减，在（1,内）上单调递增，

所以当左=1时，g^）rin=g（D=-l,则3的最小值是-1.

K

故选：B.

【点睛】

关键点睛：解决本题主要利用导数研究恒成立问题，利用导数求极值，并要运用分类讨论的

思想.

例2.（2021广东・佛山一中高三月考）己知函数〃。）=。山彳+（"1）尤2+1（“<0）,在函数/?（无）

图象上任取两点A,B,若直线AB的斜率的绝对值都不小于5,则实数。的取值范围是（）

A.(-oo,0)BJf中［C.-十］D.［审,。'

【答案】B

【分析】

先对可力求定义域，然后求导，得到函数从力为减函数.将之5转化为

Xy-X?

/1(%)+5%4〃(%)+5无2,构造函数/(x)=)x)+5x,利用其导数恒小于零，结合一元二次

不等式的判别式，可求得。的取值范围.

【详解】

2{"史工＜0,可工)在(0,包)单调递减，A(XQJ,3(X2—)，"*)一'9)25

X玉一工2

设%＞0,则/2(%)+5%w/2(%2)+5X2.设/(X)=介(%)+5羽贝1］/(%)在(。,+00)上单调递减，则

尸(x)=2("T)'+5'+"(0对％£(0,+00)恒成立，贝ij2(a—1)f+5%+aw0对X£(0,内)恒

成立，贝必W0,即8/一8-25±0,解之得或2".又。＜0,所以

44

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，将题目中直

线A5的斜率的绝对值都不小于5的为题，转化为函数单调递减的问题来解决，属于难题.

例3.(2021・河北・石家庄二中高二月考)已知函数〃%)=3依2一G+出工的图象在点

(占,〃尤J)处与点(与,/(々))处的切线均平行于x轴，则()

A.〃x)在(L+?)上单调递增

B.石+/=2

C.%+%+为X2+/(%)+/(%2)的取值范围是1c°，-：-21n2］

D.若。=与，则只有一个零点

【答案】ACD

【分析】

求导，根据题意进行等价转化，得到。的取值范围；对于A,利用导数即可得到/(x)在(1,+8)

上的单调性；对于B,利用根与系数的关系可得占+%=1；对于C,化简

x1+x2+x1x2+/（x1）+/（x2）,构造函数，利用函数的单调性可得解；对于D,将。=1代入

尸（x）,令尸（x）=0,可得〃尤）的单调性，进而求得〃尤）的极大值小于0,再利用零点存

在定理可得解.

【详解】

ax2aX+l

由题意可知，函数“X）的定义域为（0,+功，a.f'（X]=aX-a+-=~

XX

A=a?—4。〉0

则阳，工2是方程改2一双+1=0的两个不等正根，贝卜1，解得〃>4,

xx=—>0

、{2a

当X£（l,+oo）时，函数y=依2一依+1>0,止匕时

所以/（%）在（1，+8）上单调递增，故A正确；

因为再，々是方程内：2_办+1=0的两个不等正根，所以玉+9=1,故B错误;

因为玉+/+$％2+/(芯)+/(%2)=1+工+1"玉+^ax^-ax+lnx

{2+-axl-ax.

22-

=l-\--bln—+一。1—\-a

aa2[a)2a

易知函数人（〃）=-3〃-111。+工在（4,+00）上是减函数,

7

贝（J当a>4时，A（6i）</2（4）=---21n2,

所以％+x2+x1x2+/（x1）+/（x2）的取值范围是1―8,—：—21n2）,故C正确；

当时，f\x）=^-x-+~,令尸（无）=0,得x或1,

则“X）在力上单调递增，在上单调递减，在（；,+口上单调递增,

所以“X）在X取得极大值，且/⑵=ln2>0,

所以只有一个零点，故D正确.

故选：ACD.

【点睛】

关键点点睛：导数几何意义的应用主要抓住切点的三个特点:

①切点坐标满足原曲线方程；

②切点坐标满足切线方程；

③切点的横坐标代入导函数可得切线的斜率.

例4.(2021•杭州模拟)已知函数/(兀)=|%2+"+。］在区间［0,4］上的最大值为当实

数。，b变化时，M最小值为2,当M取到最小值时，a+b=.

［解答］解：f(x)=|X2—4x+(a+4)x+b\=\x2—4x—［—(a+4)x—b\\,

上述函数可理解为当横坐标相同时，函数g(%)=f-4%,xe［0,4］与函数

/2(%)=-3+4)兀-人，XG［0,4］图象上点的纵向距离，则M即为函数g(x)=d—4x与函数

/i(x)=-3+4)%-人图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，

由图象可知，当函数/z(x)的图象刚好为y=-2时，Af取得最小值为2,此时-(々+4)=0,

且—b——2,即a=-4，b=2,

故a+Z?=—2.

故答案为：2,-2.

・4

例5.(2021春•湖州期末)若存在正实数x,y使得不等式历x-12+1..历y+二-历4成立,

则%+y=()

A.显B.叵C.晅D.述

222

11_?r2

【解答】解：记/(%)=/加一12+1,1(%)=——2x=------，

XX

当0<尤<?时，f,(x)>0；当x>?时，r(x)<0,

所以/(x)在(0,等)上单调递增，在(等,+00)上单调递减，

f8s=f(*=：Q-帅.

j4//\18炉-8

记g(x)=IHXH■—--Zn4,g(x)=-----=---，

XXXX

当0<xv2立时，g<x)v0；当x>2也时，g<%)>0,

所以g(x)在(0,2&)上单调递减，在(2应,+8)上单调递增，

L1

所以g(尤)而=g(2应)=3(1—勿2).

4

由题意历X-%2+1旗zy+一一切4=f(x)g(y),

y

又因为/(x)^=g(x)加〃=g(1-历2),所以/(x)=g(y)=；(1—历2),

故x=,y=2亚=x+y=.

22

44r4

另解：正实数x,y,/加一炉+1国孙+=一历401+加一九之+,

yyy

令/(%)=1+Inx—%,/'(%)=——1,

x

当o<xvi时，r(x)>o；当％>1时，r(x)<o,

所以/(%)在(0,1)上单调递减，(1,+co)上单调递增，

所以/(x)s=/(1)=0,于是1+玩r-遇。=1+松x,

于是1+加把,，竺，当且仅当把=1时不等式取等号，

yyy

又3+3..21%2.《=把,当且仅当x=2时不等式取等号，

y\yyy

4x244x244x

1+ZT?--..XH--1+历------=X4----=--,

yyyyy

所以竺=1且x=2,解得x=交，y=2近，所以无+>=述.

.y>22

故选：D.

例6.(2021•河北冀州中学高三期中(理))已知函数/(%)=%3—2ex2,g(x)=in%—G；(a£R),

若/⑴冷⑺对任意%£(0,+8)恒成立，则实数。的取值范围是.

【答案][/+—,+8)

e

【分析】

22

f(x)>g(x)<^>a>-x+2ex+^^^h(x)=-x+2ex+^-^f利用导数求出h^x)的最大值,

从而可得结果.

【详解】

/(x)>g(x)。a>—x2+2ex+，令h(%)=—x2+2ex+,

则”（元）=—2x+2e+--

当0cx<e时，/?'(x)>0；当x>e时，/?'(%)<0,

：.h{x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)单调递减，

，力(元)的最大值为〃(e)=e2+：,

则洛即实数。的取值范围是［/+%⑹，

故答案为廿+乙+口)，

e

【点睛】

本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于中档题.不等式恒成立问

题常见方法：①分离参数。2/(对恒成立(。上/(司1mx即可)或aW/(x)恒成立(。4/(耳.

即可)；②数形结合(y=〃x)图象在y=g(x)上方即可)；③讨论最值1nm20或

/(x)aWO恒成立；④讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范.

例7.(2021.全国.高二课时练习)设函数y=/"(x)是y=/'(x)的导数，经过探究发现，任

意一个三次函数/(尤)=加+加+6+1(«工0)的图象都有对称中心(5"(%))，其中为满

7

足广（为）=0,己知函数〃尤）=2尤3-3尤?+9x-j则

/f—K（

（2022）（2022）（2022）（2022）

20214021

A.2021B.------C.2022

2

【答案】B

【分析】

通过条件，先确定函数/(%)图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和.

【详解】

7

2

由7（x）=2尤3-3尤2+9尤一券,可得r（x）=6x-6x+9,f"（x）=12x-6,令/"（%）=12x-6=0,

得x=；，X/^=2x^iJ-3xQj+9xl-1=l,所以对称中心为g,J,所以

12、„f2020A_,,<1010^/1012）

/12022尸/12022卜'^2（｝22）'12022J+[2022j-1，

力1^20吗22J」2,

1232021=1010x1+1=2021

所以/+/+f

202220222022202222

故选：B.

例8.(2021.河北武强中学高三月考)已知定义在R上的可导函数/(x)的导函数为7'(x),

满足/(x)</(x)且〃x+3)为偶函数,“6)=1,则不等式"x)<e*的解集为()

A.(-3,+oo)B.。,+8)

C.(0,+8)D.(6,+oo)

【答案】C

【分析】

构造函数g(x)=华，求导g3J(x)，(x)<0,从而得g(x)在定义R上单调递减；又

exex

/(x)<e'o"<要，从而有g(x)<g(0),利用g(x)的单调性即可求解.

exe

【详解】

解：令g(x)=卒，

ex

v/X%)</(x),

e

・•・g(x)在定义R上单调递减；①

又/(尤+3)为偶函数，

:.f(3+x)=f(3-x),

.-./(0)=/(6)=1,

津=1,

e

贝I」不等式/(X)〈婷。华〈斗，即g(x)<g(0),

ee

由①得x>0，

故选：C.

例9.(2021•全国•高二课时练习)设函数/(x)满足Y尸(司+2犷(x)=J,〃2)=J,则x>0

时，

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值又有极小值D.既无极大值也无极小值

【答案】D

【详解】

函数f(x)满足x2f\x)+2xf(x)=一，

X

.•-[x2/(x)],=-y,令尸(x)=%7(x),

则F(X)=?*2)=4/(2)=5，

由一尸(力+2功(无)=^,得/(x)=e=2：(x),令Q(x)=e=2尸(x),

XJC

则e'(x)=e_2尸(力=叫：2),

0(x)在(0,2)上单调递减，在(2,行)上单调递增,

0(x)的最小值为。⑵=e2-2F(2)=0,.\°(x)>0.

又x>0,，r(x)Z0,;"(x)在(0,+。)单调递增，

.•"(x)既无极大值也无极小值，故选D.

例10.(2021•天河区二模)若无，”，。均为任意实数，且(°+2)2+(6-3)2=1,则

(x-a)2+(阮t-6)2的最小值为()

A.30B.18C.30-1D.19-60

【解答】解：(。+2)2+3-3)2=1,

可得(4,6)在(-2,3)为圆心，1为半径r的圆上，

(x-a)2+(加■x-8)2表示点(4,6)与点(x,仇x)的距离的平方,

设过切点的切线与过(-2,3)的法线垂直，

—rznlnm-31,

可得---------=-1,

m+2m

即有Inm+%N+2m=3,

由/(m)=/"机+加2+2机在m>0递增，且/(1)=3,

可得切点为(1,0),

圆心与切点的距离为d=7(1+2)2+(0-3)2=3叵,

可得(x-a)2+(Inx-b¥的最小值为(3>/2-I)2=19-6A/2,

故选：D.

例11.(2021•湖北模拟)设£>=J(X-4)2+(4-2&)2+a+2.其中e.2.71828,则。的

最小值为()

A.0B.73C.72+1D.73+1

【解答】解：由题意可得a..0,£)=J(x—a)?+(e*—+。+2,

由Q(x-a)~+(e*-2A/^)2表小两点C(x,er)与点A(a,2y[a)的距离，

而A在抛物线/=4x(x..O)上，抛物线的焦点P(l,0),准线为x=-l,

则。表示A与C的距离和A与准线的距离的和再加上1,

由抛物线的定义可得。表示A与C的距离和A与P的距离的和再加上1,

由图象可得当尸，A,C三点共线，且QE为曲线y=e，的法线，。取得最小值,

即Q为切点，设为(租,em),

z,m_0

由-----•em=-1,可得根+e2m=1，

m-1

g(m)=m+e2m,则g(m)递增，且g(0)=l,

可得切点。(0,1)，

即有|pQI=Vni=0，

则。的最小值为虚+1.

故选：C.

例12.(2022・全国•高三专题练习)已知关于x的不等式e*-〃?x-lnx-ln("7+l)20在(0,+8)恒

成立，则优的取值范围是()

A.(-1,1]B.(―1,e—1]C.(e-1,1]D.e]

【答案】B

【分析】

将条件变形为0*+彳2111[(,九+1)1|+(m+1卜=*山"+回+ln[(m+l)x],然后由f(x)=ex+x

的单调性可得x上In■加+1)刃，然后可得m+然后利用导数求出人3=，的最小值

即可.

【详解】

由6*-7改一111%-111(加+1)20得e*-〃优21n[(m+1)司

即e*+xNln[(zn+l)x]+(m+l)x=*"""3]+ln[(加+1)无],

构造”x)=e*+x,gp/(x)>/(ln[(/M+l)^)

因为/(x)在(0,+8)上单调递增，所以xNln[G〃+l)x],所以m+l)x

所以m+14U，令Mx)=C,则勿⑺=1(：T)

XXX

所以M%)在(0,1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增

所以"(1需=/z(l)=e,所以加+l«e,即加

又加+1>0,即机>一1

所以加的取值范围是(Te-1]

故选：B

过关测试

1.(2021•江西赣州•高三期中(文))已知函数/(x)(元cR)满足〃1)=1,且/(无)的导数

Ax)>p则不等式f(|尤|)<!!l+g的解集为()

A.(^»,-1)B.(L+8)C.(-1,1)D.(^»,-l]U[l,+°°)

【答案】C

【分析】

Y1

设g(x)=,利用导数法判断函数g(x)为增函数求解.

【详解】

Y1

贝Ijg'(x)=/'(无)一:>0，

所以函数g(x)为增函数，

由/(1)=1,得g(l)=/(l)-l=0,

由g(尤)<。，得X<1,

所以由不等式〃|x|)〈母+?，得

・・—1<XV1,

故选：C

2.(2021.全国•高二课时练习)设定义在R上的函数“X)的导函数为1(x),若

f(x)+/'(x)<2,/(0)=2021,则不等式6了(力>2/+2019(其中e为自然对数的底数)

的解集为()

A.(0,+oo)B,(2019,+oo)

C.(-oo,0)D.(-oo,0)U(2019,+oo)

【答案】C

【分析】

根据条件构造函数g(x)=e[〃x)-2],分析廉尤)的单调性并计算g(O)的值，将

exf(x)>2e*+2019转化为g(%)>2019,由此求解出不等式的解集.

【详解】

设g(x)=e"[/(x)-2],所以g，(x)=e[〃x)+/(x)-2],

因为f(x)+尸(x)<2,所以g，(x)=r[〃x)+_f(x)_2]<0,

所以g(x)在R上单调递减，且g(O)=lx(/(O)-2)=2O19,

又因为//(x)>2/+2019等价于g(x)>2019,

所以解集为(—,0),

故选：C.

【点睛】

本题考查根据导函数有关的不等式构造抽象函数求不等式解集问题，解答问题关键是能根据

条件构造出合适的抽象函数，难度较难.常见的构造方法：(1)若出现/(x)+/'(x)形式，可

考虑构造g(x)=e"(x)(2)若出现造(x)-〃x),可考虑构造8(动=/学；(3)若出现

e

f(x)+xf'(x)，可考虑构造g(x)=犷(句；(4)若出现-矿(x)，可考虑构造g(x)=卓.

3.(2021•全国•高二课时练习)己知了⑴的定义域为(0,+?),/(X)为/(尤)的导函数，且满

足"x)<一O'(x),则不等式■(尤2-1)的解集是()

A.(0,1)B.(2,+?)C.(1,2)D.(1,+?)

【答案】B

【分析】

根据题意，构造函数y=^(无)，结合函数的单调性解不等式，即可求解.

【详解】

根据题意，构造函数y=^(x),xe(O,y),则y'=/(x)+矿(x)<0,

所以函数y=4(x)的图象在(0,+8)上单调递减.

又因为/(X+1)>(xT)f(尤2T)，所以(x+l)/(尤+1)>(无2-1)/(小-1),

所以0<尤+1<炉_1,解得x>2或X<-1(舍).

所以不等式〃x+l)>(x-l)/(x2-1)的解集是(2,+8).

故选：B.

4.(2021•黑龙江・哈尔滨三中高三期中(理))设函数/(%)在R上的导函数为f(x),若

r(x)>/(x)+l,f\x)=f'[6-x),/(3)=1,/(6)=5,则不等式/(lnx)+2x+l<0的解

集为()

A.(0,1)B.(0,3)C.(1,3)D.(3,6)

【答案】A

【分析】

构造函数g(x)=fM+\得到g(x)也是R上的单调递增函数.，分析得到函数于3关于点

ex

(3,1)对称.由/(lnx)+2x+l<0得到g(lnx)<g(0),即得解.

【详解】

构造函数g(x)-,g(%)=:—>o,

ee

所以g(x)也是R上的单调递增函数.

因为/'("=尸(6-x),所以八幻关于直线x=3对称,

所以Jf'Mdx=jf'(6-x)dx,/(x)+q=-/(6-%)+c2,(q,c2为常数)，

f{x)+f(6-x)=c1-cl,令x=3,所以2/(3)=02-生,二/(3)=^^-.

因为/'(3)=1,所以C2-G=2,

所以〃x)+/(6-x)=2,所以函数/(x)关于点(3,1)对称.

由〃3)=1,/(6)=5得到。(0)=-3,

因为/(lnx)+2x+l<0,.,.”lnx)+l<-2x=-2eln)

所以―

-3+1

所以g(ln无)<一2=g(0)=-7—,

所以g(lnx)<g(O),

所以In%<0,0<%<1.

故选：A

5.(2021•吉林・梅河口市第五中学高三月考(理))已知在定义在R上的函数/(%)满足

/(%)-/(-%)-6x+2sinx=0,且%20时，/'(%)之3-cosx恒成立，则不等式

/(x)2/£+6x+四cos(x+：］的解集为()

「万

B.仁71,+叼C(7T~.\口.仁,+8

【答案】B

【分析】

结合已知不等式，构造新函数g(x)=/(x)-3x+sinx,结合单调性及奇偶性，列出不等式,

即可求解.

【详解】

由题意，当x»0时，/'(x)23—cosx恒成立，即/'⑺―3+cosxNO恒成立,

又由/(x)-/(-x)-6x+2sinx=0,可得/(x)-3x+sinx=/(-x)+3x-sinx,

令g(x)=/(x)-3x+sinx,可得g(—x)=g(—x),则函数g(x)为偶函数，

且当xNO时，g(x)单调递增，

结合偶函数的对称性可得g(x)在(口,。)上单调递减，

由/(尤)2/+6x+5/2cos

化简得至IJ〃x)-3x+sinxNdW-尤)-3(g-x)+sing-x),

即8⑺*仁-》)，所以此解得北］

即不等式的解集为?，+8)

故选：B.

6.(2021.新疆维吾尔自治区喀什第二中学高二期中)已知函数八九)的导函数为f(x),对任

意的实数X都有((x)=f(x)-廿+2x-/,/(0)=2,则不等式/(|x—1|)<e?+/+4的解

集是()

A.(0,1)B.(-1,1)C.(-1,3)D.(e,3)

【答案】C

【分析】

由已知条件构造函数〃尤)=*+^+M，再根据"0)=2,求。，不等式转化为

/(|x-2|)</(2),结合函数的单调性和奇偶性，解抽象不等式.

【详解】

解：由题意得/(x)=ex+x2+aex,

贝!Jf(x)=-e~x+2x+aex

=e*++ci€x—2e*+2尤—―

—f(x)—2ex+2%—J,

由/(0)=l+a=2,解得：。=1,

故=,

/(|x-l|)<e2+e-2+4=/(2),

,当尤..0时，ex..\,0<e~x„1,2x.O,

1(x)="-+2尤>0在(0,+oo)上恒成立，

即/⑺在(0,+8)上单调递增，

又/(r)=〃尤),故f(x)为R上的偶函数,

其图象关于y轴对称，/⑺在(-*0)上单调递减，

故|x-l|<2,故-lvx<3,

故选：C.

7.(2021・湖北•高三月考)已知函数“可」二”’0,一\其中aeR,给出以下关于

［2f(x-2),x>2

函数〃元)的结论：

①(3=2②当xe［。,8］时，函数”X)值域为［0,8］③当人时方程〃力="恰有四

个实根④当天武。,8］时，若〃其<25+4恒成立，则oZl-JL其中正确的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由题可画函数图象，结合图象可解.

【详解】

「IzIx,0<x<1/、

当xe［0,2］时，〃x)x='2/(x-2)是把〃x)向右平移2个单位变成了(尤-2)后,

IZ—x,1<xSz

再把纵坐标变为原来的2倍，得到2/(x-2)的图象，如图：

由题知函数〃尤)在［0,2］上函数值域为［0』，在［2,4］上函数值域为［0,2］,在

［4,6］上函数“X)值域为［0,4］,在［6,8］上函数〃x)值域为［0,8］,故当xe［0,8］时，函数

〃x)值域为［0,8］,故②正确；

当％=1时有无数个实数根，故③错误；

当°=1-0时，函数〃x)的图象与『2与+。的图象交于(U)点，结合图象2二心1，即

故④正确，

故选：C

8.(2021•浙江•诸暨中学高二期中)己知了(无)是定义在(-*0)U(0,+s)上的奇函数，/(X)是

的导函数，/(I)A0,且满足：;⑺•Inx+&<0,则不等式(x-1)"(x)<0的解集为

x

()

A.B.(fo,-l)U(0,l)C.(-00,1)D.(-oo,0)U(l,+oo)

【答案】D

【分析】

根据给定含导数的不等式构造函数g(x)=/(x)lnx,由此探求出/(x)在(0,+s)上恒负，在

(F,0)上恒正，再解给定不等式即可.

【详解】

令g(x)=/(x)lnx,%>0,贝lJg'(x)=/'(x)lnx+/@<0,g(x)在(0,+co)上单调递减，而

X

g⑴=0,

因此，由g(x)>0得0<x<l,而lnx<0,则/(x)<0,由g(x)<o得无>1,而此x>0,则

/(%)<o,x/(i)<o,

于是得在（。，+8）上，f（x）<0,而/⑶是（-«,0）U（0,+8）上的奇函数，则在（F,0）上，/（X）>。,

x-1>0、卜-1<0\X>1\X<1

由Q—1)"(幻<0得:于(X)<0或(%)>0即尤>。或x<。’解得X〈。或0，

所以不等式（X-1）"（X）<0的解集为（-叫0）51,+8）.

故选：D

9.（2021.安徽•合肥市第六中学高三开学考试（文））已知定义域为R的函数

/（x）=/（-x）-2sinx,又当*0时，/«>1,则关于彳的不等式

/"）27（三一方）+石的解集为（）

A.反71,+ooAJB,「卜了乃+co、JC.（「co,田兀、口.（产力7l\

【答案】A

【分析】

由给定函数等式变形，构造函数g（x）=/（》）+sinX,再探讨函数g（x）的性质，然后将不等式

77

整理变形为g(x)>g(--x)求解即得.

【详解】

xeR,f{x)=f(-x)-2sinx<^>/(x)+sinx=/(-x)+sin(-x),

令g(x)"(x)+sinx,即有g(-x)=g(x),g(x)是R上的偶函数，

因当xNO时，f\x)>1,则g'(x)=f'(x)+cosxNO,当且仅当了'(x)=Lcosx=-l时取“=”,

于是得g(X)在［。,+8)上单调递增,

/(X)>/(^-X)+A/3sin(尤+学)o/(x)2/(g-x)—：sinx+geosx

36322

nn

o/(x)+sinx>/(y-x)+sin(y-x),

即g(x)2g(：-x)，于是得g(|x|)2g(|f-x|),因此，|X|4：-X|OX22(f-x)2,解得XNJ,

所以所求不等式的解集是C，+8）•

6

故选：A

10.（2021・湖北新春•高二期中）已知函数y=/（x+ln2）-l是定义在R上的奇函数，且当

x>ln2时，f'M+4>ex+^—,则不等式[/(幻―l]lg(x+2)W。的解集为()

e-2

A.或无Nln2}B.{x|-2<x<-1ngx>In2}

C.[x\0<x<2^x>e]D.{尤|-14x41n2}

【答案】D

【分析】

根据给定信息，探讨函数/(X)的单调性及/(山2)=1,再将所解不等式转化为不等式组并借

助单调性求解即得.

【详解】

因函数V=/(x+ln2)-l是定义在R上的奇函数，于是得Ax)的图象关于点(ln2,l)成中心对

称，且〃ln2)=l,

当x>ln2,">2时，f\x)>ex+^--4=(e，-2)+—--2>2.(ex-2).—1—一2=0,

e-2'7e-2丫、7ex-2

当且仅当x=ln3时取等号，

即了⑺在(In2,*»)上单调递增，而/(%)的图象关于点(In2,1)成中心对称，因此函数/(%)在R

上单调递增，

不等式g)Tg(x+*。可化为鼠+2”0喉(x+2)”

由;得J[/(%)</(In2)即jfx<In2

、1,解得一14xWln2,

[lg(x+2)>0,x+2>l[x>-l

由;得，7W>/(ln2)即］fx>In2

〔0],无解，

〔炮(尤+2)40'[0<x+2<l'[—2<x<—1

所以所求不等式的解集为{x|-l<x<ln2}.

故选：D

11.(2021・安徽•东至县第二中学高二期中(理))设函数是定义在(0,+“)上的可导函

数，其导函数为/(%),且有27(力+矿(x)>0,则不等式已一2021)2/@一2021)-〃1)>0

的解集为()

A.(2020,+oo)B.(0,2022)C.(0,2020)D.(2022,内)

【答案】D

【分析】

令g(x)=x2〃x),求导确定函数的单调性，然后不等式化为g(x-2021)>g(l),由单调性

解得不等式.

【详解】

解：令g(x)=x2/(x)，.•.g'(x)=2犷(x)+x2/'(x),；2/(x)+矿(x)>0,

g'(尤)>0,在(0,+力)恒成立，g(x)在(0,+力)为增函数，

(x-2021)2/(x-2021)-/(1)>0,；.(x-2021)2/(%-2021)>/(1),

Vg(l)=/(I),g(x-2021)>g(l),Ax-2021>l,.\x>2022,

故选：D.

【点睛】

本题考查用导数解不等式，解题关键是引入新函数g(x)=f/(x),不等式化为

g(x-2021)>g(l),利用导数确定函数的单调性后易求解，常用新函数的引入：g(x)=4(x),

g(x)=/d,g(x)=exf(x),g(x)=」!?等等，

Xe

12.(2021•江西・南昌十中高三月考(理))若函数为定义在R上的偶函数，当xe(y,0)

时，f\x)>ex-e~x,则不等式/(2彳_1)_〃*_1)>/]/_1)(1_«2-3，)的解集为()

A.(0,2)

C.(^O,0)U(2,-KO)D.(-(»,O)U1'|,+00]

【答案】B

【分析】

令g(x)=/(x)-/-er,求出函数的导数，根据函数的单调性，奇偶性得到关于

g(2x-l)>g(x_l)以及|2x-l|VxT|,求出不等式的解集即可.

【详解】

解:令8。)=/(*)一二-""

则g'(x)=f'(x)-ex+e~x,

当XC(F,O)时，f\x)>ex-ex,

故g'(x)>0即g(x)在(-8,0)上单调递增，

•・•/。)是偶函数，二/(尤)=/(一元)，

g(T)=f(-x)-ex-ex=g(x),

，g(x)是偶函数，

>e^(ex-l)(l-e2

=(e2x-I-ex-1)(l-e2-3x),

=e2x~'-ex~'-e~x+1+e'~2x

等价于/(2x-1)---产>fix-1)-_ex-'

即g(2x-l)>g(x-l),

；g(X)为偶函数,在(-8,0)递增,在(。,+8)递减,

2

.12x-11<|x-11,解得：0<x<—,

故选：B.

13.(2021•广东汕头•三模)已知定义在R上的函数/(工)的导函数为尸(x),且满足

/'(%)-/«>0,/(2021)=理21,则不等式的解集为()

20212021e

A.(/⑼,+oo)B.(O,e)C.(/叫口)D.(0,e)

【答案】D

【分析】

从所求解集的不等式入手，令£=匕!1工，则原不等式等价转化为四<1,从而构造函数

ee'

g(r)=4D,结合已知条件利用单调性即可求解.

e

【详解】

解：令f='lnx,则工=*,

e

所以不等式/((如xj<正等价转化为不等式/⑺<疗=d,即理<1

构造函数g(f)=gh则g，⑺」⑺

ee

由题意，g'⑺J'()二/⑺>0,所以g⑺为R上的增函数，

e

又/(2021)=e2021,所以g(2021)=/胃)=1,

所以g(r)=40<l=g(2O21),解得/<2021,即：lnx<2021,

所以0<x<e皿，

故选：D.

14.(2021•福建省福州第一中学高二期中)函数/(无)满足：；e"(x)+e"(x)=后,

=则当x>0时，/(x)()

A.有极大值，无极小值B.有极小值，无极大值

C.既有极大值，又有极小值D.既无极大值，也无极小值

【答案】D

【分析】

根据已知条件，构造函数*x）=//（x），则尸'（司=坐，且/（刈=空，求出八x）,再

z?2

进行二次求导，研究函数/（X）的正负，得到了（力在（0,+8）上单调递减，由此判断函数/（X）

的极值情况.

【详解】

1_]—X—Xyfx

因为X"（x）+e"*）=A,所以5〃/（x）+e2/'«=—,

2乙万

令*x）=e》（x），则小）=牛，月.〃（x）=卓,

夕2

乎一。尸（x）

了2

所以广（x）=

令网力=

令〃（尤）=0,解得：x=1,

当0<x<g时，//（x）>0,则/?（力单调递增,

当尤>1■时，//（x）<0