方程与不等式（14大题型+高分技法+限时提升练）-2025年广东中考数学复习专练（解析版）

热点02方程与不等式

明考情.知方向

中考数学中《方程与不等式》部分主要考向分为五类：

一、一元一次方程（每年1~2道，3~6分）

二、二元一次方程（组）（每年1~2道，3~6分）

三、一元二次方程（每年2~4道，6~12分）

四、分式方程（每年2~4题，6~12分）

五、不等式（组）（每年1~4题，3~12分）

方程（组）与不等式（组）在数学中考中的难度中等，题型比较多，选择题、填空题、解答题都可以

考察。其中，一元一次方程与二元一次方程（组）一般出在选择题，难度不大，一元一次方程多考察其在

实际问题中的应用，；二元一次方程组则以计算和应用题为主占分较多。一元二次方程单独出题时多考察

其根的判别式、根与系数的关系以及在实际问题中提炼出一元二次方程；一元二次方程的计算则主要出现

在几何大题中，辅助解压轴题。分式方程的考察内容不多，但基本属于必考考点，可以是一道小题考察其

解法，也可以是应用题。不等式组是这四个考点中占分最多的一个，考察难度也是可大可小，其解法、含

参数的不等式组问题、和方程结合的应用题都经常考到。虽然该热点难度中等，一般不会失分，但是组合

出题时，难度也可以变大，复习时需要特别注意。

热点题型解读

题型1-元一次方程解法

考向一：一元一次方程题型2实际问题与一元一次方程

题型3二元一次方程组及其求解

题型4实际问题与二元一次方程组

方题型05一元二劝程JIM求解

程题型06一元二次方程的判别式

与

题型07一元二次方程根与系数的关系

不

题型08实际问题与一元二次方程

等

式

题型09分式方期其求解

考向一：一元一次方程

【题型1一元一次方程及其解法】

-0

1.一元一次方程的定义，一个未知数，次数为1的方程。

2.方程的解与等式的基本性质。

3.牢记一元一次方程的解法，移项需要变号，注意系数化为1。

1.（2025•广东•模拟预测）关于x的一元一次方程x+2〃z=3的解为尤=5,则根的值为（）

A.-1B.1C.4D.-4

【答案】A

【知识点】解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，把x=5代入一元一次方程，得到关于血的一元一

次方程，即可得到答案.

【详解】解：团关于X的一元一次方程X+2机=3的解为％=5,

团把x=5代入％+2加=3得：

5+2m=3,

解得：m=—l.

故选A.

2.（2024•广东佛山•三模）小明做作业时发现方程已被墨水污染：3x+；=2x+■电话询问老师后知道：方

程的解x=l且被墨水遮盖的是一个常数.则该常数是（）

3311

A.-B.——C.-D.——

2222

【答案】A

【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】此题考查了一元一次方程的解.设被污染的常数回是。，把x=l代入计算即可求出。的值.

【详解】解：设被污染的常数团是a,

才巴x=1代3xH——2%+a,得1：3H—=2+Q,

22

3

解得。=2，

故选A.

3.（2023•广东佛山•模拟预测）下面各式的变形正确（）

2%4x—8

A.由——=------5,得6x=4x-8-5B.由0.6x-l=0.3x+0.35,得6x-l=3x+35

39

C.由2x-7=3x+2,得2x—3x=2+7D.由5x+33=—6（x+5）,得5x+33=-6x+30

【答案】C

【知识点】等式的性质

【分析】本题主要考查了等式的性质.解题的关键是掌握等式的性质：1、等式的两边同时加上或减去同一

个数或式子，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0的数或字母，等式仍成立.

根据等式的性质对各选项进行分析判断后利用排除法求解.

【详解】解：解：4由号=弓上-5,得18x=12x-24-135,原变形正确，故此选项符合题意；

B、由0.6x-l=0.3x+0.35,得6x-10=3x+3.5,原变形错误，故此选项不符合题意；

C、由2x—7=3x+2,得2x—3x=2+7,原变形正确，故此选项符合题意；

D、由5x+33=-6（x+5）,得5x+33=-6x-30,原变形错误，故此选项不符合题意.

故选：C

4.（2024•广东广州•一模）方程4+2x=0的解为.

【答案】%=-2

【知识点】解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项

【分析】根据解方程的基本步骤解答即可，本题考查了解方程的基本步骤，熟练掌握步骤是解题的关键.

【详解】4+2x=0,

2x=Y,

解得％=-2,

故答案为：%=—2.

5.（2024•广东广州•中考真题）定义新运算：a®b=\a例如：-2⑥4=（-2）2-4=。，

[一〃+瓦〃>0,

3

2区3=—2+3=1.若%（8）1=——,则1的值为_____.

4

17

【答案】或了

24

【知识点】解一元一次方程（一）一一合并同类项与移项、解一元二次方程一一直接开平方法

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义.根据

新定义运算法则列出方程求解即可.

【详解】解：^\a®b=[a

[-a+b,a>0,

3

而x（8）l=——,

4

回①当尤40时，贝|有》2-1=一工，

解得，x=-1；

（2）当尤>0时，-x+l=-I，

7

解得，x

4

17

综上所述，x的值是或：，

24

17

故答案为：-彳或了.

24

3T-1

6.（2024•广东广州•一模）解方程：

2

【答案】x=3

【知识点】解一元一次方程（三）一一去分母

【分析】本题考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤解方程即可求解.

【详解】解：f-l=x,

去分母得，3x-l-2=2x,

移项得，3x-2x=l+2,

解得：x=3.

【题型2实际问题与一元一次方程】

1、解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下：

步骤要点

“审”（即审题）“审”题目中的已知量、未知量、基本关系；

“设”（即设未知数）一般原则是：问什么就设什么；或未知量较多时，设较小的量，表示较

大的量

“列”【即列方程】找准题目中的等量关系，根据等量关系列出方程

“解”【即解方程】根据一次方程（组）的解法解出方程，注意解方程的过程不需要在解答

中体现

“验”（即检验）检验分两步，一是检验方程是否解正确；二是检验方程的解是否符合题

非题目要求，此步可以不写音

“答”（即写出答案）最后的综上所述

2、中考中对于一元一次方程的应用题并不会考这么多，多以选择题出题，也就只考到列方程这步就可以

了。

1.（2024・广东深圳•三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭

祀祖先神灵的贡品.某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成.用1千克糯米可做24

个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋

黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（）

A.6x24^=4x16（6—x）B.4x24%=6x16（6—x）

C.24x=16（6-x）D.16x=24（6-x）

【答案】B

【知识点】配套问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键.

设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用（6-力千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽

和4个碱水粽组成.用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可.

【详解】解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用（6-力千克糯米制作碱水粽，

根据题意得4x24x=6*16（6—x）.

故选：B.

2.（2024•广东广州•中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去

年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（）

A.1.2x+1100=35060B.1.2x-l100=35060

C.1.2（x+1100）=35060D.x-1100=35060x1.2

【答案】A

【知识点】和差倍分问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键.设该车企去年5月交付新

车x辆，根据"今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆"列出方程即可.

【详解】解：设该车企去年5月交付新车x辆，

根据题意得：1.2x+1100=35060,

故选：A.

3.（2024,广东中山•三模）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》

中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，

每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘•问共有辆车•

【答案】15

【知识点】古代问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x辆车，根据人数相等，列出方程进行求解即可.

【详解】解：设共有尤辆车，由题意，得：3（x-2）=2x+9,

解得：》=15；

答：共有15辆车；

故答案为：15.

4.（2024•广东肇庆•二模）如图，在VA3C中，=90°,AB=6cm,BC=12cm,动点P以1cm/s的速度从A

向8移动，（不与8重合），动点。以2cm/s的速度从8向C移动，（不与。重合），现P,Q同时出发，则经

过秒后，是等腰三角形.

【答案】2

【知识点】等腰三角形的定义、几何问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，等腰三角形的定义;可用尤表示出AP=x，P3=6-2x,8Q=2x,

由于/3=90。，当qPBQ是等腰三角形，则只有=一种可能，据此列出一元一次方程，解方程，即

可求解.

【详解】解：设x秒后，阳。是等腰三角形，则AP=xcm,PB=（6-x）（cm）,8Q=2xcm,

6—x=2x

解得：x=2

故答案为：2.

5.（2024,广东广州•二模）某班去研学，有两种套票可供选择，已知甲种套票每张80元，乙种套票每张70

元，如果每人只购买其中一种，40名学生恰好用去2900元，那么该班购买甲种套票的张数是.

【答案】10

【知识点】和差倍分问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设甲种套票买了x张，则乙种套票买了（40-冷张，根据“40

名学生恰好用去2900元”列出方程并解答即可.

【详解】解：设甲种套票买了x张，则乙种套票买了（40-x）张，

依题意得：80x+70（40-尤）=2900,

解方程得：x=10.

即甲种套票买了10张.

故答案为：10.

6.（2024・广东肇庆•二模）某件商品进价10元，标价15元，为了迎接国庆节的到来，商店准备打折出售，

计划每件获利2元，则该商品应打折出售.

【答案】8

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查一元一次方程的应用.设打无折，用含x的式子表示出售价，再减去进价就是利润，列出

方程求解即可.

【详解】解：设打x折，根据题意得

15x--10=2

10

解得x=8

即打8折出售.

故答案为：8.

7.（2024•广东潮州•一模）把9个整数填入3x3方格中，使每一横行、每一坚列以及两条斜对角线上的数之

和都相等，就得到一个三阶幻方（即九宫格）.题图是一个不完整的三阶幻方，则其中尤的值是.

X50

【答案】-2

【知识点】数字问题（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到正确的等量关系，列出方程是解题的关键.设第2列第二

个数为x,由每一横行，每一竖列以及两条斜对角线上的数之和都相等，列出方程，即可求解.

【详解】解：设第2列第二个数为y,

由题意可得：x+y+4=5+y-3,

解得：x=-2,

故答案为：-2.

8.（2024・广东云浮•一模）某商场以110元的价格购进某种商品进行销售，销售过程中发现.以原售价销售

5件该商品与打8折销售9件该商品所获得的利润相同，求该商品的原售价.

【答案】该商品的原售价为200元.

【知识点】销售盈亏（一元一次方程的应用）

【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，设该商品的原售价为x元.利用以原售价销售5件该商品与打

8折销售9件该商品所获得的利润相同，再建立方程求解即可.

【详解】解：设该商品的原售价为x元.

根据题意,#5（x-110）=9（0.8%-110）,

解得x=200.

答：该商品的原售价为200元.

考向二：二元一次方程组

【题型3二元一次方程组及其求解】

—®

解二元一次方程组有2种方法一一带入消元法和加减消元法

不管是带入法还是加减法，目的都在于利用等式的基本性质将二元一次方程组转化为一元一次方程，所

以做题中也必须注意一元一次方程解法的易错点。

f3x+4y=19

1.（2024•广东江门•模拟预测）二元一次方程组c,。的解是（）

[x-2y=3

x=3x=lx=7x=5

A.B.C.D.

y=0y=4y=27=1

【答案】D

【知识点】加减消元法

【分析】本题主要考查解二元一次方程组，运用加减消元法求解即可

3元+4y=19①

【详解】解:

尤_2y=3②

②义2+①得，5x=25,

解得，x=5,

把x=5代入②得，5-2>=3,

解得，y=i,

[x=5

团方程组的解为1，

U=i

故选：D

f2x—=2Azz-1

2.（2024•广东汕头•一模）若关于尤，y的方程组/的解满足无+>=-4,则4"+2"的值为（

[x—2y=n

A.8B.-C.6D.-6

8

【答案】B

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知二元一次方程组的解求参数

【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用①-②得:

x+y=2m-n-l,即可得到2租_〃=-3,再将4'"+2"=2?"'+2"=2?%",代入即可得到答案.

2x-y=2m-1①

【详解】解:

x-2y=n®

①一②得：x+y=2m-n-\,

：.x+y=-4f

•••2m—n—1=-4,

2m—H=—3,

n1

.47.2〃—22%♦2〃—22%一〃

8

故选：B.

+=1

3.（2023•广东潮州•模拟预测）关于x,y的方程组[心坨的解为

x=-1

【答案】6+i

y=—

【知识点】加减消元法

【分析】①-②，消去.求出X，再把X的值代入②得y值即可.

后+2y=1①

【详解】解:

x+2y=若②

①-②得：

(6-1卜=1-6

解得：x=-l

把x=—l代入②得：

一l+2y=B解得：y=避土!■

x=-1

团方程组的解为：]6+1

y=--------

12

x=-1

故答案为：，6+1

y=^~

【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的求解.消元法是求解关键.

[x=l[ax+by=l

4.（2024•广东河源•一模）已知.是二元一次方程组.；。的解，贝的值为一.

[y=3\2ax—by=6

【答案】7

【知识点】已知二元一次方程组的解求参数

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把。代入原方程组得C二令，②-①得:

[y=3-3b=8（2）

a-66=7即可.注意整体思想的应用.

x=la+3b-1①

【详解】解：将代入原方程组得

y=32。-36=8②

②—①得：a—66=7,

回的值为7.

故答案为：7.

x=y+4

5.（2024•广东广州•三模）解下列方程组:

4尤+3y=23

x=5

【答案】

y=l

【知识点】代入消元法

【分析】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键.

方程组利用代入消元法求出解即可;

x=y+4①

【详解】解:

4x+3y=23②'

把①代入②得：4（y+4）+3y=23,

解得：y=i,

把y=i代入①得：尤=5,

x=5

则方程组的解为

y=l

2x-y=-4

6.（2024•广东广州•二模）解二元一次方程组:

x+2y=3

x=-l

【答案】

y=2

【知识点】加减消元法

【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组.利用加减消元法解二元一次方程组进行求解即可.

2x-y--40

【详解】解:

x+2y=3②'

①x2+②得：2(2x-"y)+x+2y=2x(-4)+3,

解得：x=-l,

将％=一1代入①得：2x(-1)-y=-4,

解得：y=2,

x=-l

故原方程组的解为

y=2

7.（2024•广东•模拟预测）解方程组:

2x+y=-5

(1)

4x-5y=11

x—25—y

-----------二1

23

(2)

了y+iv

〔0.20.3

x=-l

【答案】⑴

y=-3

9

x=—

2

(2)

17

【知识点】加减消元法

【分析】本题考查了解二元一次方程组.

（1）利用加减消元法进行计算即可；

（2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得.

2尤+y=-5①

【详解】（1）解:

4x—5y=ll②

①x5+②，14%=-14,

解得x=-1,

把％=-1代入①，-2+y=-5,

解得产-3,

(X=-1

回原方程组的解是

8-3

%-25-y

----------------=1

23

(2)解：,，

xy+i_5

.0.20.3

3%+2y=22①

化简方程组可得,

3x—2y=5②

①+②得，6%=27,

9

解得％=

917

将X、代入②，得,=子,

x=—9

2

团方程组的解为

17.

8.（2024•广东中山•模拟预测）已知I；［］是方程组的解，求代数式（^与（。一切的值.

【答案】8

【知识点】加减消元法、已知二元一次方程组的解求参数、已知字母的值，求代数式的值

【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，以及代数式求值，先根据二元

一次方程组的解得出新的二元一次方程组，再根据加减消元法求出mb的值，然后代入求值即可.

2。-36=3①

【详解】解:依题意得方程组

26-3。=-7②

①x3+②x2得-56=-5,

回6=1,

把1Z?=1代入①得。=3；

贝ij（a+b）（a叫=（3+l）（3—l）=4x2=8.

【题型4实际问题与二元一次方程组】

二元一次方程组的应用题解决步骤同一元一次方程应用题解题步骤及注意事项差不多，审题和找等量关

系都是方程类应用题解题的关键。通常难度不大，个别时候，二元一次方程组的应用题也可以用一元一

次方程来解。

1.（2024•广东深圳,模拟预测）九年级女生外出社会实践，若每间宿舍住6人，则有4人住不下，若每间住

7人，则有1间只住2人且空余8间宿舍.设该年级女生有x人，预安排给女生宿舍有y间，则下列方程组

正确的是（）

6y+4=x6y—4=尤

A<*17（y_8）+2=x

'17（y-8-l）+2=x

6x+4=y[6x-4=y

C.8T+2=尤»17（y-8）-2=x

【答案】A

【知识点】根据实际问题列二元一次方程组

【分析】根据总人数相等构造方程组解答即可.本题考查了方程组的应用，熟练掌握方程组的应用是解题

的关键.

【详解】根据题意，得£-8-1）+22

故选：A.

2.（2024•广东深圳•三模）如图1,"幻方"源于我国古代夏禹时期的“洛书".把"洛书"用今天的数学符号翻译

出来，就是一个三阶幻方、三阶幻方中，要求每行、每列及对角线上的三个数的和都相等，小明在如图2

的格子中填入了代数式，若它们能满足三阶幻方要求，则x+y-3=.

4

H

32x-\

Ml图2

【答案】-4

【知识点】古代问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键.

根据每行、每列及对角线上的三个数的和都相等.列出二元一次方程组，解方程组即可.

【详解】由题意得:

—l+x+x—y=y—4+x—y

—1+2%—\—x—4

x=-2

解得:

y=l

x+y—3=—2+1—3=—4,

故答案为：-4.

3.（2024・广东佛山•一模）中国古代以算筹为工具来记数、列式和进行各种数与式的演算.《九章算术》第

八章名为“方程"，其中有一例为：从左到右列出的算筹数分别表示方程

中未知数x,y的系数与相应的常数项，即可表示方程x+4y=23,表示

的方程是.

【答案】x+2y=32

【知识点】古代问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查根据图意列方程，解题的关键是读懂图的意思.

【详解】解：根据题知：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数尤，y的系数与相应的常数项，

一个竖线表示一个，一条横线表示一十，

所以该图表示的方程是：x+2y=32.

故答案为：x+2y=32.

4.（2024•广东•模拟预测）某公司积极响应节能减排号召，决定采购48两种型号的新能源汽车.已知每

辆A型汽车的进价是每辆B型汽车的进价的1.5倍,购进100辆A型汽车和120辆B型汽车共需5400万元.每

辆A型和2型汽车的进价分别为多少万元？

【答案】每辆A型汽车的进价为30万元，每辆8型汽车的进价为20万元.

【知识点】其他问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆8型汽车的进价为y

万元，根据题意列出方程组，求解即可，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组.

【详解】解：设每辆A型汽车的进价为尤万元，每辆2型汽车的进价为y万元，

依题意—，得:"f-Ox=y1.5y』。。,

1=30

解得：仙

答：每辆A型汽车的进价为30万元，每辆8型汽车的进价为20万元.

5.（2024•广东•模拟预测）（综合与实践）如图，某综合实践小组在课后利用小球和水做实验，根据图中给

出的信息，解答下列问题：

32cm

⑴放入一个小球水面升高一cm,放入一个大球水面升高—Cm；

⑵如果放入10个球且使水面恰好上升到52cm,应放入大球、小球各多少个？

【答案】⑴2,3

（2）应放入大球6个，小球4个

【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、其他问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法，解答时理解图的含义是

解答本题的关键.

（1）水面升高量除以球的个数即可求解；

（2）可设应放入大球x个，小球y个，根据要使水面上升到26cm,列出方程组，再求解即可.

【详解】（1）解：（32-26）+3=6+3=2（cm）,

（32-26）+2=6+2=3（cm）；

答：放入一个小球水面升高2cm,放入一个大球水面升高3cm；

（2）解：设应放入大球尤个，小球y个，依题意有

fx+y=10

13%+2y=52-26

x=6

解得:

y=4

答：应放入大球6个，小球4个.

6.（2024•广东•模拟预测）某校七年级10个班师生举行传统诗词进校园文艺表演，每班2个节目，有诗词

吟诵与诗词吟唱两类节目，学校统计后发现诗词吟唱类节目是诗词吟诵类节目数的一半多2个.

⑴七年级师生表演的诗词吟诵与诗词吟唱类节目数各有多少个？

⑵该校八年级学生有诗词编舞节目参与，在诗词吟诵、诗词吟唱、诗词编舞三类节目中，每个节目的演出

用时分别是5分钟，6分钟，8分钟，预计所有演出节目交接用时共花16分钟.若从14:30开始，17:00之

前演出结束，问参与的诗词编舞类节目最多能有多少个？

【答案】⑴诗词吟诵节目有12个，诗词吟唱节目有8个

⑵3个

【知识点】其他问题（二元一次方程组的应用）、用一元一次不等式解决实际问题

【分析】本题考查了二元一次方程组与不等式的实际应用，根据题意设出未知数，找出等量关系，列出方

程或不等式是解题的关键.

（1）设七年级师生表演的诗词吟诵节目有》个，诗词吟唱节目有y个，根据"两类节目的总数为20个、诗

词吟唱类节目是诗词吟诵类节目数的一半多2个"列方程组求解可得；

（2）设参与的诗词编舞节目有。个，根据"三类节目的总时间+交接用时<150”列不等式求解可得.

【详解】（1）解：设七年级师生表演的诗词吟诵节目有x个，诗词吟唱节目有y个，

x+y=10x2

根据题意，得：

y=—x+2

2

x=12

解得:

y=8

答：七年级师生表演的诗词吟诵节目有12个，诗词吟唱节目有8个；

（2）设参与的诗词编舞节目有。个，根据题意，得：12x5+8x6+8a+16<150,

13

解得：

"为整数，

二。的最大值为3,

答：参与的诗词编舞节目最多能有3个.

7.（2024•广东深圳•模拟预测）食品安全是民生工程、民心工程.2024年的3・15报道了多家预制菜制作不

规范，存在使用未经严格处理的槽头肉来制作菜品，严重侵害了消费者权益.某食品网店以此为警钟，准

备从正规渠道购进48两种类型的速食餐进行售卖.已知每份A类速食餐比每份B荚速食餐进价多5元,

购进40份A类速食餐与购进60份8类速食餐的价格相等.

⑴求A、8两种速食餐的进价分别是每份多少元？

（2）该网店计划购进A类速食餐若干份.试销时发现，A类速食餐销售量y（份）与每份售价相（元）的关系

为丫=-10优+800,若要求A类速食餐每份的利润率不低于20%,那么该公司将A类速食餐售价为多少时，

获得的利润为W最大？最大值为多少？

【答案】⑴48两种速食餐的进价分别是每份10元和15元

（2）W的最大值为10562.5元

【知识点】销售问题（实际问题与二次函数）、和差倍分问题（二元一次方程组的应用）

【分析】本题考查二元一次方程组的应用，二次函数的应用，理解题意，正确列出二元一次方程组与二次

函数关系式是解题的关键.

（1）设每份A类速食餐的进价是。元，每份8类速食餐的进价是6元，根据每份A类速食餐比每份B物

食餐进价多5元，购进40份A类速食餐与购进60份8类速食餐的价格相等，列出方程组,求

[40。=606

解即可；

（2）根据利润=每份利润x销售量，列出w关于根的函数关系式W=（15）,=（相-15）（-10加+800）,再根

据二次函数的性质求解即可.

【详解】（1）解：设每份A类速食餐的进价是。元，每份B类速食餐的进价是b元，

依题意得：

[a=b+5

140a=60/

[tz=15

解得一n，

答：A、8两种速食餐的进价分别是每份10元和15元.

（2）解：依题意：获得的利润

W=（ZU-15）y

=（m-15）（-10/w+800）

=-10m2+950〃z—1200

--10（m-47.5）2+10562.5,

由于A类速食餐每份的利用率不低于20%,那么

七丝220%,

15

回机218,

X0y>0,Bp-10m+800>0,

0m<80,

018<m<8O,

0-10<0,

回当机=47.5时，W有最大值，最大值为10562.5,

答：W的最大值为10562.5元.

考向三：一元二次方程

【题型05一元二次方程及其求解】

一元二次方程的解法有4种，重点记忆配方法、因式分解法、公式法。

其中注意事项：

配方法一一需要加上的数字是一次项系数一半的平方的系数为1）,并且先移项，再配方；

因式分解法---重点掌握十字相乘法（常用公式：x2+（^p+q）x+pq=（x+p\x+q））;

公式法一一使用这种解法，必须先分析a、b、c的值，求出/-4“c的值，再带入公式

1.（2024,广东广州•二模）关于y的一元二次方程V=6y的解为（）

A.y=0B.y=6C.必=3,%=6D.%=0,%=6

【答案】D

【知识点】一元二次方程的解、因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程.掌握用因式分解法求解一元二次方程是解题的关

键.

先把方程转化成一般形式，然后提取公因式y分解因式，把一元二次方程化成一元一次方程，求出方程的解

即可.

【详解】解：/=6y,

y2—6y=0,

y（y-6）=。，

7i=o,%=6,

故选：D.

2.（2024•广东中山•模拟预测）如果-3是方程Y+2X+左=0的一个根，则上的值为（）

A.3B.2C.-3D.-2

【答案】C

【知识点】一元二次方程的解

【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将x=-3代入方程/+2x+左=0,求解即可.

【详解】解：根据题意得：（-3）2+2x（-3）+左=0,

k=—3，

故选：C.

3.（2024•广东•模拟预测）如果关于尤的一元二次方程62+法+1=。的一个解是尤=i,那么代数式

2023-。-6的值为（）

A.-2023B.2023C.-2024D.2024

【答案】。

【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解

【分析】本题考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解是方程成立的未知数的值成

为解题的关键.

由题意知，a+b+l=0,则根据2023-。-6=2023-（4+6）,然后代入计算即可.

【详解】解：回关于尤的一元二次方程以2+法+1=。的一个解是彳=1,

回0+6+1=0,贝l]a+b=-l,

回2023-a-6=2023-（a+6）=2023-（-1）=2023+1=2024.

故选：D.

4.（2024•广东深圳・中考真题）已知一元二次方程/一3尤+5=0的一个根为1,则心=.

【答案】2

【知识点】一元二次方程的解

【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，根据一元二次方程的解的定义，将x=l代入原方程，列出关

于优的方程，然后解方程即可.

【详解】解：「关于x的一元二次方程三-3犬+根=0的一个根为1，

,x=1满足一元二次方程尤2一3%+加=0,

1—3+7%=0，

解得，m=2.

故答案为：2.

5.（2024•广东肇庆•一模）二次项系数为2,且两根分别为%=1,%=；的一元二次方程为.（写成

ax2+/zx+c=0的形式）

【答案]2x2—3%+1=0

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的一般形式

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的一般形式，根据题意得出

31

%+%2=5，%%2=5,进而根据二次项系数为2,求得dC的值，即可求解.

【详解】解：团二次项系数为2,两根分别为王=1,x2=1

,3b1c

团Q=2,X,+X=_=—=-二-

?2222f

团Z?=-3,c=l

回这个方程为：2尤2-3尤+1=0,

故答案为：2x?-3元+1=0.

6.(2024•广东深圳•模拟预测)若a,b是关于x的方程％2-2犷2026=0的两个实数根，则/7。-炉.

【答案】2024

【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解

【分析】根据根与系数关系定理，方程根的定义解答即可.

本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键.

【详解】解：13a,b是关于x的方程f-2尤-2026=0的两个实数根，

回<7+6=2,ab=-2026,a2-2a-2026=0，

回储—3d—b=cr—2a-a—b=cr—2a—(a+b)

=2026-2=2024,

故答案为：2024.

7.(2024•广东深圳•模拟预测)解方程：f-7x-8=0.

【答案】占=一1,%=8

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【详解】解：f_7x_8=0，

(x+l)(x-8)=0,

回％+1=0或x-8=0,

解得：项=-1,々=8.

8.(2024•广东广州*二模)解方程：X2-2X-35=0.

【答案】工=7,X2=-5.

【知识点】因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解

方程.

【详解】解：x2-2^-35=0,

(x-7)(x+5)=0,

x-7=0或x+5=0,

回玉=7,3=-5.

9.(2024•广东深圳•模拟预测)解方程：2/+4.丫-11=0.

【答案】占=一1一穹，尤2=一1+与

【知识点】公式法解一元二次方程

【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解.

【详解】解：2X2+4X-11=0

2

团a=2,0=4,c=-11,A=Z?—4ctc=16+88=104

2

向-b±y]b-4ac-4±2^/5^

2a4

冷刀汨1^26V26

角牛得：X.=—1--------,=—1H-------

1222

10.（2024•广东广州二模）已知两个多项式4=2尤一3,8=/-工+1.

⑴化简2B-A；

(2)若2B—A=21,求尤的值.

【答案】⑴214x+5

(2)%=4,%=-2

【知识点】整式的加减运算、因式分解法解一元二次方程

【分析】本题考查了整式的加减，解一元二次方程；

（1）根据整式的加减进行计算即可求解；

（2）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解.

【详解】（1）解:S\A=2X-3,B=X2-X+1

回2B-A=2（x?-x+1）-（2x-3）

=2元~—2x+2—2x+3

=2x?—4x+5

(2)02B-A=21

Bi2x2-4x+5-21

回龙？—2x—8=0

I3(X-4)(X+2)=0

解得：xt=4,x2=-2

【题型06一元二次方程的判别式】

a

对于一元二次方程的一般形式：奴2+6x+c=0（aw0）,

⑴Z?2-4ac>。一方程有两个不相等的实数根

（2）b2-4ac=0—方程有两个相等的实数根

⑶〃_4acV0—•方程没有实数根

注意：在应用根的判别式时，若二次项系数中含有字母，注意二次项系数不为0这一条件；

当尸-4ac20时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知

1.（2023•广东深圳•模拟预测）关于一元二次方程/+5尤+3=0根的情况，下列说法中正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】A

［知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程依2+法+。=0（。中0）,若

A=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=〃-4a=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=/?2-4GC<0>则方程没有实数根.

利用一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：Elx2+5x+3=0

团a=l,b=5,c=3,

团A=Z?2-4tzc=52-4x1x3=13>0,

团方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

2.（2024・广东汕头•模拟预测）关于x的一元二次方程/2+3尤_1=（）有实数根，则加的取值范围是（）

9

A.m<——B.m>——

44

9

C.m>—,m^OD.m>—,mwO

44

【答案】C

【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系成为

解题的关键.

由于关于x的一元二次方程如2+3%_I=O有实数根，由此可以得到机。0,并且方程的判别式20,由此

即可求出加的取值范围.

【详解】解：「关于工的一元二次方程如2+3尤_1=0有实数根，

切w0且,二—=9+4m>0,

9

:.m>一一且机wO.

故选C.

3.（2024•广东云浮•一模）关于x的一元二次方程d—（2%-l）x—2m=0（其中〃?丰-1）的根的情况是（）

A.没有实数根