二次根式 综合测试（含详解）-2025年中考数学一轮复习

（4）二次根式（综合测试）——中考数学一轮复习考点精炼与综测

【满分：120】

一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的）

1.下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.B.V3C.A/4D.A/12

2.要使正亘有意义，则x的取值范围是（）

X-1

A.x>—2B.xwlC.x2—2且xw1D.x>—2且xwl

3.计算后-四）结果是（）

A.272-2B.2A/3-2c.2V2-V2D.26-血

4.下列运算正确的是()

A.74=±2

C.A/12XV8=4A/6D.(26『=6

5.已知4=6+0/=6-四,那么。与》的关系为（）

A.互为相反数B.互为倒数C.相等D.。是b的平方根

6.已知a+工=A/7,贝!Ja—工=()

aa

A.A/3B.-V3c.土百D.±VTT

7.下列运算中正确的是()

A.V2+V3=75B.5V6-2V6-3

C.2(73+1)-273+1D.瓜；拒=6

8.已知实数满足k-6—2008)(y-7^-2008)=2008,则3x2-2/+3x-3y-2007的值为

()

A.-2008B.2008C.-1D.1

9.二次根式xp化成最简结果为（）

A.\[xB.—y]—x

C.-GD.J—x

10.按如图所示的程序计算，若开始输入的〃值为正,则最后输出的结果是（）

A.14B.16C.8+50D.14+V2

11.估计+啦+9.的运算结果应在（）

A.4到5之间B.5到6之间C.6到7之间D.7到8之间

\2.设。=a-母力=拒-\,c=—^—，则。、b、。之间的大小关系是（）

A/3+I

A.c>b>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

二、填空题（每小题3分，共15分）

13.最简二次根式向仔与斤豆是同类二次根式，则x+3y=.

14.计算"x石=.

15.计算：V32x+720-75=.

16.若m=J7-2,那么2m3+9）TT-2m-5的值为.

17.阅读理解对于任意正整数a,b,'.'^y/a-y/b^20,a-2^/^F+b20a+b之2A/^,只有当

时，等号成立；结论：在a+8»2j茄（a、6均为正实数）中,只有当时,a+b有最小值

2-Jab.若加>4,4m+——有最小值为1_____.

sjm-2

三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）

18.（6分）定义：若两个二次根式。力满足a2=c,且c是有理数，则称。与人是关于c的共辗

二次根式.

⑴若a与也是关于6的共辗二次根式，求a的值；

⑵若2-6与4+也机是关于2的共辗二次根式，求m的值.

19.（8分）先化简再求值：fl--—ffl2：2OT+1,Mm=tan60°-2sin30'

Im+1）m-m

20.（8分）在数学课外学习活动中,晓晨和同学们遇到一道题：已知求2a2_i2a+3

A/10-3

的值.经过讨论,他们是这样解答的:

lxV10+3)LL

7L\\7」\"W+3,即"3=如,

(V10-3)[710+3]

(a-3)2=10,即a2-6«+9=10.

Q?-6a—1

la1-12a+3=2-6。）+3=2x1+3=5.

请你根据他们的分析过程，解决下列问题：

2

(1)若m=，求加+6m的值;

用+3

1

(2)若n=，求2〃2-16/1+9的值.

g-4

21.（10分）【观察发现】

,(宾+司2=(旬2+(6『+2辰?=11+2而.

山+2而=述+司2=76+75；

•.,(2+可=2?+(可+2X2XG=7+46,

,7+4石=J(2+呵=2+技

【初步探索】

(1)化简：59+2旧=；

⑵形如\[m-2y/n可以化简为&-〃\即Jm_2G=&-场,且a,b,m,n均为正整数用含a,b

的式子分别表示机,〃，得根=,n=.；

（3）若Jx+4A后=1+y45x,y均为正整数，求x的值；

【解决问题】

（4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出.甲、乙两个饰品盒都是正方体,

底面积分别为80cm2和卜4+6君kn?.快递公司现有三款包装纸箱,纸箱内部规格如下表（说明：

纸箱厚度不计，参考数据75^2.236）；

型号长宽高

A型10cm8cm12cm

B型12cm10cm15cm

C型16cm10cm10cm

请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑,应选择哪种型

号的纸箱？

22.（12分）阅读理解析:若a、b都是非负实数，贝理+才22族，当且仅当a时,"=”成立.

证明：•.•（右+扬丁20

a-2y[ab+b>0

：.a+b>14ab，当且仅当a=b时,"=”成立.

⑴已知尤>0,求5x+」的最小值.

5x

（2）求代数式：病-2m+5（〃,〉]）的最小值.

m-1

（3）问题解决：如图,某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园A5C。,由长方形的

休闲区和环公园人行道（阴影部分）组成，已知休闲区A4G2的面积为4000平方米，人

行道的宽分别为4m和10m,则要使公园占地面积最小，休闲区A3CQ的长和宽应如何设计？

D.C

4米

a4米

10米10米

23.（13分）阅读材料：黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌.这是武侠小说中的常见描述,

其意指两个人合在一起，取长补短，威力无比.在二次根式中也有这样相辅相成的例子.如：

（G+0）.（百一码=画2一（可=1；心+丹心_0）=附2-（可=3,它们的积是

有理数，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式.于是，二次根

式除法可以这样解析：如连=*笠=7+46；\=腔=当，像这样，通过

分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或根号中的分母化去，叫作分母有理化.解决问

题：

（D3+S的有理化因式是______分母有理化得

11（用或“=,，填空）;

（2）比较大小:

A/6-23-币

⑶计算：---1-------^—j=+-----44

1+V2017+V2013+V2021+72017,

V5+13+V5V13+3

答案以及解析

1.答案：B

解析：A=3，A错误;

73是最简二次根式,B正确；

V?=2,C错误；

712=273,D错误；

故选：B.

2.答案：C

解析：三有意义，

X—1

••%+220,%—IwO,

解得x2-2且xw1,

故选：C.

3.答案：B

解析：^2^^6-^2j

=712-2

=273-2.

故选：B.

4.答案：C

解析：A、4=2,故此选项不合题意；

B、口予=2,故此选项不合题意；

C、也x&=A=4&,故此选项符合题意;

D、（2出了=12,故此选项不符合题意；

故选：C.

5.答案：B

解析：a=A/3+V2,b=V3-V2,

ab=^A/3+V2^A/3—V2j=3—2=1,

•••a与人的关系是互为倒数.

故选：B.

6.答案：C

解析：(a—J=[a+J-4

=7-4=3

d----=i.y/3,

a

故选c.

7.答案：D

解析：A.应与百不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意；

B.5c-2血=376，故选项错误，不符合题意；

C.2(6+1)=2括+2,故选项错误,不符合题意；

+8=0，故选项正确，符合题意；

故选：D

8.答案：D

解析：由(x—J——2008)(y—,产_2008)=2008，可知将方程中的x,y对换位置,关系式不变,

那么说明％=丁是方程的一个解

由止匕可以解得x=y=05应，或者x=y=—03应，

则3x2-2y2+3x-3y-2007=1,

故选D.

9.答案:B

解析：由题意得,x<0,

故选：B.

10.答案：C

解析：试题分析：当〃=应时，心+1)=0(0+1)=2+也<15；

当场=2+四时，"5+1)=(2+&)(3+及)=6+50+2=8+50>15,

则输出结果为8+5加.

故选：C.

11.答案：D

解析：^A/72-A/24+9^^

=(60—2宾卜0+9x日

=60+0-+收+30

=6-273+373

—6+小,

Vl<3<4,

&<6<4,即1<6<2,

1+6<6+6<2+6,即7<6+G<8,

即估计("-宿)+0+94的运算结果应在7到8之间，

故选：D.

12.答案：D

解析：c=VL=V2G/3-l)=V6-2/2,

V3+122

:.a>c,

a_A/6—_(瓜—0)(6+1)_3A/2—®〉］

~b~A^-12-—2一->’

:.a>b.

V22-V2

b—c=y/3—l—=

6+1-6+l>'

:.b>c,

:.a>b>c.

故选D.

13.答案：2

解析：•.♦最简二次根式万工与小百是同类二次根式,

3+x—5—3y,

解得x+3y=2.

故答案为：2.

14.答案：V30

解析：76x75=730,

故答案为：底.

15.答案：6

解析：A/32X；+回三场

=716+74

=4+2

=6,

故答案为：6.

16.答案：-2

解析：m=J7-2,

2m3+9m2—2m—5

=2m3+8m2+8m+m*2—10m+25-30

=2m(^m2+4加+4)+(>-10m+25^-30

=2m(m+2)2+(m-5)2-30

=2x(77-2)x(V7-2+2)2+(V7-2-5)2-30

=(2A/7-4)X7+(A/7-7)2-30

=145-28+7+49-145-30

=-2

故答案为-2.

17.答案：4

解析：由题中结论可得y/m+—；==y[m—2+2+—

y/m-2y/m-2

-2)+^J—+2

，y/m-2

>2m-2)•,——----r+2=4,

)(诟—2)

,—i

即：当加＞4时，、/£+r=——有最小值为4,

y/m—2

故答案为：4.

18.答案：⑴2月

(2)m=2

解析：(1)由题意得：6a=6,

/.a=2-\/3；

(2)由题意得:(2-@(4+国)=2,

l22(2+百)

4+v3m=-----1==7------------------=4+2V3,

2-73(2一百)(2+9

:.m=2.

3-73

19.答案：-^―

m+13

解析:。-高m2-2m+l

m1-m

m+12)(m-1)2

m+1m+1J—

m-1m(m-l)

加+1(m—l)2

m+19

m=tan600-2sin30°=73-2xl=A/3-l,

2

把根=百-1代入得：原式=合二=与=三立

v3—1+1\33

20.答案：(1)2

⑵U

2（万-3）

解析：（1）：=疝-3,即机+3=旧,

（而+3）（旧-3）

(m+3)2=11,即m2+6m+9=11,

m2+6m=2,

m2+6m的值为2；

1、(而+4)—一

(2)・・"=(L，1=旧+4,即“_4=后,

(717-4)(717+4)

(n-4)2=17,即n2-8/1+16=17,

n~—8/7=1,

2储-16〃+9=2(〃2—8〃)+9=2xl+9=ll,

即2川—16〃+9的值为11.

21.答案:(1)V2+V7

(2)a+b；ab

(3)x=21

(4)符合条件的包装纸箱型号有两种，选择C型号包装纸箱

解析：(1)血+2旧="血+⑺2=0+近,

故答案为：6+币;

(2)*.*yjm-2jn=6-血，且a,b,m,n均为正整数，

即加一26=a+b—2y[ab,

/.m-a+b.n-ab.

故答案为：a+b；ab；

(3)：Jx+4百=1+丁丁,且》,y均为正整数,

x+4百=(l+y可=1+5/+2丁技

•••2y=4,

•••y=2,

I.x=l+5/=1+5x2?=21,

••.x的值为21；

底面积80cm2的饰品盒底面边长为4J5cm,

底面积(14+6际卜1112的饰品盒底面边长为(3+V^cm,

475X8.944,3+75«5.236,

两个正方形的长之和：475+(3+75)~8.944+5.236«14(cm),

3,C两种型号的包装纸箱符合条件,

3型号的包装纸箱的体积为：12x10x15=1800(cm3

C型号的包装纸箱的体积为：16x10x10=1600(cm3

V1600<1800,

...应选择C型号包装纸箱.

22.答案：(1)2

⑵4

(3)长为100m,宽为40m

解析：(1)根据题意，得5XH>2.px=2,

5xV5x

当5x=，>时，解得x时,

5x5

所以，当x=g时，原式的最小值为2；

m-2m+5_(m-1)2+44

S-----L——=m-i+——

m-1m-1m-1

可矢口m-ld------->2/(m-l)x-------=4,

m-1AVm-1

4

当m—1=------时，解的加二3,

m-1

所以当机=3时，原式的最小值为4；

(3)设休闲区的长为xm,则宽为幽，根据题意，得

公园的面积=(x+20)(理+8)

X

80000

=4000+8%++160

x

8000