高考数学重难点复习：函数的基本性质（单调性、最值和奇偶性）高频考点突破

第1讲：函数的基本性质（单调性、最值和奇偶性）高频考点突破

【考点梳理】

考点一：函数的有关概念

设A,2是非空的实数集,如果对于集合A中任意一个数x,按照某种确

函数的定义定的对应关系方在集合8中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称了：

AT为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法y=Ax),x^A

定义域X叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域

值域函数值的集合｛y（x）|xeA｝叫做函数的值域

考点二：函数的单调性

增函数减函数

一般地，设函数Hx）的定义域为/,如果对于定义域/内某个区间。上的

任意两个自变量的值XI，X2

定义

当X1<X2时，都有"1）<"2），那么就当尤1<%2时，都有.他）>他），那么

说函数/U）在区间。上是增函数就说函数/U）在区间D上是减函数

弋¥）

,沏）：/2）

图象描述o£x

Opi~~%.~~x

自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的

考点三.函数的最值

前提设函数>=式无）的定义域为/,如果存在实数M满足

（1）对于任意的尤G/,都有（3）对于任意的xe/,都有©主必；

条件

（2）存在刈6/,使得/fa））=M（4）存在无oG/,使得"o）=M

结论〃为最大值M为最小值

考点四.函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

一般地，如果对于函数/（X）的定义域内任意一个X,都有

偶函数关于诩对称

K—x）=Kx）,那么函数以%）就叫做偶函数

一般地，如果对于函数兀1）的定义域内任意一个工,都有

奇函数关于原点对称

X）=—母）,那么函数/（X）就叫做奇函数

【题型归纳】

题型一：函数的定义域

1.（2022秋・安徽合肥•高一校考期末）函数/（无）=4二T+lg无的定义域为（）

A.(0,1]B.(0,+oo)C.(l,+oo)D.[l,+oo)

【答案】D

【分析】根据函数的解析式有意义列出不等式组求解即可.

【详解】要使函数有意义，

fx-l>0

则c，解得X21,

[x>0

即函数的定义域为[1，+8）.

故选：D

2.（2023秋・辽宁沈阳•高一统考期末）已知函数y=〃x+l）的定义域为[L2],则函数y=f（2x-l）的定义域为（）

-11「31

A.B.—,2C.[—1,1]D.[3,5]

【答案】B

【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可.

【详解】•••函数y=F（x+l）的定义域为[1,2],即UW2,可得2WX+1W3,

•.•函数》=/（制的定义域为[2,3],

3

令2<2%—1<3,^-<x<2,

一3-

故函数y=〃2x-l）的定义域为-,2.

故选：B.

3.（2022秋・山东淄博.高一统考期末）函数/（X）=A/T5+108。6（2%-1）的定义域为（）

A.（0。B.（0,1]

【答案】D

【分析】根据被开方数不小于零，对数的真数部分大于零列不等式组求解.

fl-x>01

【详解】由已知得c,八，

[2x-l>02

所以函数了⑴=月九+地区仁工-9的定义域为《』.

故选：D.

题型二：复杂（根式、分式）函数的值域

4.（2023秋•山东德州•高一统考期末）函数y=3/>的值域为（）

JJ

A.（0,+8）B.（0,l）U（l,+oo）C.{x|九wl}D.（l,+oo）

【答案】B

【分析】令〃”=占，求出y=〃x）的值域，结合指数函数的性质，即可求出函数y=32的值域.

【详解】令，（无）=占，由X—Iwo,则〃X）HO,所以y=3专.3。，所以"1，又3上>0,所以函数y=32的

值域为（0，1）口（1，+8）.

故选：B

5.（2023秋•湖北襄阳•高一统考期末）下列函数中，值域为（0,+"）的是（）

A.f^x）=4xB./（x）=x+—（J;>0）

C.f（^）=D.〃尤）=l-：（尤>1）

【答案】C

【分析】根据函数的定义域、幕函数的性质、以及基本不等式可直接求得选项中各函数的值域进行判断即可.

【详解】由已知/（x）=«值域为［0,+8）,故A错误；

x>0,/（x）=x+—>2.xx—=2,x=l时，等号成立，所以“无）=尤+!（尤>0）的值域是［2,+co）,B错误；

xVxx

因为定义域为x«T'+8）'jx+l〉0,函数值域为（0,+8）,故C正确；

/（x）=1—（x>1）,—e（0,1）,—e（—1,0）,所以九）40,1）,故D错误.

XXX

故选：C.

6.（2023秋・湖北•高一湖北省黄梅县第一中学校联考期末）已知函数/（x）=2d%+4+3的值域为

（0,+8），8（尤）=炮（尤2-10尤+54的值域为［1,会0）,贝！|a+6=（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】C

【分析】分别利用和g（元）的取值范围求出参数。和6,即可求出a+人的值

【详解】在函数〃x）=2（“令2-（。叫川中，值域为（0,+8）

...函数y=（a-2）三-（。+1）*+3的值域为R,

a—2=0f角星得：a=2

在g(x)=lg(x2-10x+5b)中，值域为［1,+co)

...在y=f-10x+5b中，值域为［10,+oo),

22

'：y=X-l0x+5b=(x-5)+5b-25,

...5匕-25=10,解得：b=7

Q+Z?=9,

故选：C

题型三：求解析式三大方法

7.(2023秋・河北唐山•高一统考期末)已知函数满足〃尤)+2/(-x)=x,则〃1)=()

A.—1B.1C.—D.—

33

【答案】A

【分析】分别令x=l,x=-l,然后解方程组可得.

［/(I)+2/(-1)=1

【详解】分别令x=l,x=-l,则［八J解得=

故选：A

8.(2023秋・辽宁•高一辽河油田第二高级中学校考期末)已知二次函数〃x)=G2+Zzx+c(aw。),

/(x+l)-/(x)=2x,且"0)=1.

⑴求函数的解析式；

⑵求函数“X)在区间［T,1］上的值域.

【答案】(1)〃力=/一x+1

~3-

⑵了3

【分析】(1)函数图象与y轴交点确定c值，函数y=/(x+l)-/(x)和函数y=2无相等，对应系数相等确定。、b

值.

(2)根据区间［-1』上的单调性求出最值，即可得到区间［-M］上的值域.

【详解】(1)解：因为“0)=1,所以c=l,所以/(x)=o?+6x+l,

又因为〃x+l)-〃x)=2x,所以［“％+1)~+6"+1)+1］-(办2+灰+1)=2*，

所以2ax+a+Z?=2x,

2a=2Q=1

所以…，所以

b=-l9

即/(^)=x2—x+1.

(2)解：因为=f一》+1=1一£|+|,所以/(X)是开口向上，对称轴为尤=g的抛物线.

因为“尤)在-1，£|递减，在pl递增，所以"x)min=/

因为〃T)=l+1+1=3,〃1)=1-1+1=1,

所以“x)max="T)=l+l+l=3,

「3-

所以“X)在上的值域为-,3.

9.(2023秋•吉林松原•高一校考期末)已知函数“尤-l)=lgL-

⑴求函数的解析式；

⑵判断“X)的奇偶性；

丫

【答案】⑴〃x)=lg产-4-1(-1<尤<1)

L-X

(2)/(x)为奇函数，证明见解析

【分析】(1)利用换元法，可得函数/(x)的表达式;

(2)根据奇函数定义判断可得答案.

【详解】(1)令，=%-1,贝!］，+1=尤,

X

因为——>0,所以0cx<2,所以一Iv/vl,

由=得/(。=坨三，且一1V/V1,

所以〃x)=lg等(-1<%<1)；

1-X

(2)因为〃"=垣二(-1<%<1),

L-X

定义域关于原点对称，

“T)=lgP1x+1

=一吟=-〃x),

所以/(X)为奇函数.

题型四：分段函数

/、y,x<o,、

10.(2023秋•甘肃白银•高一统考期末)已知函数〃x)=、八，则〃log32)=()

A.1B.2C.1D.0

【答案】A

【分析】根据bg32的范围代入分段函数的解析式利用对数运算求值.

【详解】因为题32>0,log31<0,所以/(log32)=/(-log32)=/^log3：=1,

故选：A

3x+4]<1

11.(2023秋•广西河池•高一统考期末)已知函数/(%)=*。"、1，若根<"，且/("Z)=/(")，贝1的取值范

3—2,%21

围是()

41「4、

A.——,7B.[—1,7]C.[-1,7)D._—,7I

【答案】D

【分析】作出“X)的图象，得到m=与心,〃41,2),问题转化为时(〃)=¥'(3"-2),〃e[l,2),换元后进行求

解，得到答案.

【详解】作出“X)的图象，如图所示：

由3根+4=3”—2,[1,2),可得机

则械(〃)=336,(3"-2),ne[1,2),

令r=3"jw[3,9),

则〃矿⑺=(i)[-2)='(-钎-4]Je[3,9),

故时(〃)e-1,71

故选：D.

12.(2022秋•江西抚州•高一统考期末)已知函数/(x)=K+1'X<°,则不等式f(2/-l)>f(3a+4)的解集为(

2-X2,X>0

-5C.（-co,-l）uf|-，+GOjD.

A.-l<a<—B.。<一1或4>一

22

【答案】D

【分析】根据已知得出函数/(x)=牙+1"<°在定义域R上单调递减，即可根据单调性解不等式得出答案.

2—x2,x>0

_J__|_1%<0

【详解】函数/(%)=2"'中，

2—x2,x>0

y=吩+1在％v0上单调递减，y=2—工2在兀之o上单调递减，—+1=2—02,

则函数〃x)=<声+1"<°在定义域R上单调递减，

2

2—X9X>0

・・・/（24—1）>/（3Q+4）,

2/—1v3a+4,解得：—1<x<—,

即不等式/(26-1)>〃3a+4)的解集为1-1卷

故选：D.

题型五：根据函数的单调性求参数范围

一炉—ax—9,尤W1

13.(2022秋.四川广安.高一统考期末)已知函数/(%)=〃在R上单调递增，则实数。的取值范围

—,%>1

、x

为()

A.[-5,0)B.(—8,—2)

C.[-5,-2]D.(—8,0)

【答案】C

【分析】根据函数单调性即可求出实数〃的取值范围.

【详解】由题意，xeR,

—尤2—cix—9,xW1

在/(力=a।中，函数单调递增,

—,%>1

、x

-Q

>1

2x(-1)

〃<°，解得：一5<a<—2,

-l-a-9<—

1

故选：C.

14.（2022・全国•高一期末）已知函数/食）=加+无一3,若对任意的/々H+s），且比1彳尤2，/（*）_/（%）<3恒

玉-x2

成立，则实数。的取值范围是（）

A.（-00,1）B.（-°o,l]C.（-8,0）D.（-°o,0]

【答案】D

【分析】不妨设1=%<三，令g（x）=/（x）-3x=*-2x-3,由题分析可得函数g。）在口，〜）上单调递减，讨论“=0

和awO时，要使g（x）在[1,〜）上单调递减时需要满足的条件，即可求出答案.

【详解】不妨设<三,则玉-2<0,根据题意，可得〃西）-/色）>3（3-尤2）恒成立，即〃石）-3%>〃％）-3马

恒成立.令g(x)=f(x)—3x=ax2-2x-3,

则g（玉）>g（%）恒成立，所以函数g（X）在[1,+s）上单调递减.

当。=0时，8。）=一2%一3在口,+8）上单调递减，符合题意；

当aW0时，要使g（x）=ad-2x-3在[l,+oo）上单调递减，

a<0,

则-2/[解得“<0.

「J，

综上所述，实数。的取值范围是（-甩0].

故选：D.

-ax^+4x-*（X<1）

15.（2022秋•陕西西安•高一长安一中校考期末）已知函数/（同=2是（-8,+8）上的增函数，则

logax（x>l）

实数a的取值范围为（）

"31「5]「31「51

A.-,2B.-,3C.-,3D.2,-

\_2J\_2J[2」2」

【答案】A

【分析】根据分段函数是（-8,+s）上的增函数，则每一段都为增函数，且x=l右侧的函数值不小于左侧的函数值求

解.

【详解】函数〃尤）=2'是（-8,+8）上的增函数，

logax（x>l）

a>Q

〜一213

所以｛2a解得广找2,

a>1

-«+4-—<0

[2

3

所以实数。的取值范围是,，2

故选：A.

题型六：函数不等式恒成立问题

16.(2022秋・江西景德镇•高一景德镇一中校考期末)已知不等式9，-〃〃6，+4㈤20对任意上恒成立，则实数相的

取值范围是()

A.(YO,1]B.(-00,2]C.(-°o,4]D.(一》,5]

【答案】C

【分析】变形给定的不等式，构造函数，结合指数函数的单调性及基本不等式求解作答.

【详解】Vxe(0,+8),9x-m-6'+4A+1>0o32x-m-3'-2x+4-22x>0<=>m<(1)x+4.(j)A,

令1=(2)，>1,/(Z)=f+->2.P=4,当且仅当仁土即1=2,*=1。822时取等号，

2tVtt2

因此当x=log“时，(|),+4.(于取得最小值4,则mV4,

所以实数相的取值范围是(-8,4].

故选：C

17.(2023秋・辽宁本溪•高一校考期末)若不等式(x-l)2<log“x(a>0,且。工1)在xe(l,2]内恒成立，则实数

a的取值范围为()

A.[1,2)B.(1,2)

C.(1,V2]D.(2,0)

【答案】B

【分析】分析出0<。<1时，不成立，当时，画出“x)=log〃x,g(x)=(x-l)2的图如数形结合得到实数。

的取值范围.

2

【详解】若此时无logax<Q,Tfn(x-l)>0,故(无一以<log”x无解；

若a>l,此时xe(l,2],log。尤>0,ffij(x-l)2>0,

令〃x)=k>g.x,g(x)=(尤—I)：

画出两函数图象，如下:

故要想<log“x在xe(l,2]内恒成立,

则要log.2>1,解得：ae(l,2).

故选：B.

18.(2019秋・山西长治・高一山西省长治市第二中学校校考期末)定义在R上的函数“X)满足=且当

_入2I10<无<]

：，若对任意的加+1],不等式〃。恒成立，则实数加的最大

2—2,x21

值是()

A.-1B.--C.--D.-

233

【答案】C

【分析】由已知条件可知，当无20时，/(X)为减函数，再由偶函数的性质将『(1-x)W/(x+%),可化为

/(|1一闻)4耳尤+向)，进而可得|1一乂斗+时，化简得(2根+2)xWl",从而得，可求出加

的范围，从而可得其最大值

【详解】因为在R上的函数〃x)满足〃r)=/(x),

所以/(x)为偶函数,

—x^+1,0«x<1

因为当xNO时，〃x)=

2-2x,x>l

所以"％)在。+8)上为减函数,

因为/。一%)</(%+m)，/(%)为偶函数，

所以/([一尤|)w/(k+〃z|)，所以"乂之0+同

两边平方化简得，(2m+2)x<l-m2,

因为对任意的工«办加+1],不等式+⑹恒成立,

(2m+2)m<l—m2

所以解得-1W加,

(2m+2)(m+1)<1-m2

所以实数加的最大值为-g,

故选：C

【点睛】关键点点睛：此题考查偶函数性质的应用，解题的关键是利用偶函数的性质将对任意的彳目祖,机+1],不

(2m+2)m<1-m2,,______

等式“1-24/"+根)恒成立，转化为(2加+2)(m+l)Wl-疗'从而可得结果m•

题型七：利用奇偶性求函数的解析式

19.(2022秋・上海闵行•高一校考期末)设函数/⑺是R上的奇函数，当x<0时，f(x)=-x2-7x,则不等式

/(x)-/(x-l)<0的解集为()

A.(—2,4)B.(—3.4)C.(-2,3)D.(—3,3)

【答案】B

【分析】根据题意，结合函数的奇偶性分析可得函数的解析式，结合不等式和二次函数的性质以及函数图象的递减

区间，分析可得答案.

【详解】根据题意，设x>0,贝|-x<0,

所以/(—X)=—X2+lx,

因为/(X)是定义在R上的奇函数，

所以/(—尤)=—尤2+7x=-f(x),

所以/(x)=x2-7x,

77

即尤20时，/(X)=X2-7X,此时函数在[0,5)上单调递减，在(于+8)单调递增；

77

当x<0时，/(X)=-X2-7X,此时函数在(-8,-万)上单调递增，在(-5,0)单调递减；

77

所以函数4X)在(-亍5)上单调递减，

fx-l>-4

^/(x)-/(x-l)<0,即f(x-l)>/(x),又由x—l<x,且/■(一)3=/(Y)J(3)=/(4),必有时，

[x<4

解得：-3<x<4,所以不等式/(x)—/(X—1)<0的解集为(一3,4).

故选：B.

【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性

的作用如下：

(1)奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；

(2)单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.

20.(2022秋.浙江绍兴.高一统考期末)若，(x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，且〃%)+8(彳)=2”,

则〃o)+g(i)=()

.35

A.1B.2C.—D.一

44

【答案】D

【分析】由奇偶性的定义求得Ax)与g(x)的表达式，然后求函数值.

【详解】f(x)+g(x)=2*(1),贝|f(-x)+g(-x)=2T,

又〃x),g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，

...-f(x)+g(x)=2T(2),

2X+2-X2X-2^X

(1)(2)两式相加除以2得g(x)=,相减除以2得/(x)=

22

2

"(。)=。，g(])=4*，ig⑴。

24

故选：D.

2

21.(2023秋・河南许昌・高一校考期末)己知函数是奇函数,g(x)是偶函数，且〃x)+g(x)=3x+,则

x-2

〃%)=()

4x4x3x2x

A.6x-B.6x+C.3x—D.3x+

X2-4x2-4x2-4X2-4

【答案】D

【分析】根据函数的奇偶性可得出关于“X)、g(x)的等式组,由此可解得函数“X)的解析式.

【详解】因为“X)是奇函数，g(x)是偶函数，所以〃-X)=-〃X),g(-x)=g(x).

22

〃x)+g("=3x+〃x)+g(x)=3x+

x-2x-2

所以，2，即'

2

/(-x)+g(-x)=_3x+_〃x)+g(x)=-3尤一

—x2x+2

2x

因此，/(x)=3x+

X2-4-

故选：D.

题型八：抽象函数的奇偶性问题

22.(2022秋•重庆合川•高一重庆市合川中学校考期末)定义在R上的函数/(x)满足〃x+y)=/(x)+〃y),当

x<0时，/«>0,则八无)满足()

A./(1)=1

B.y=/(元)是偶函数

C.fC)在制，〃］上有最大值f(w)

D./(x+l)>0的解集为(—」)

【答案】C

【分析】先对羽y赋值计算得/(。)=。，再根据定义判断/(为)为奇函数，结合当x<o时，/。)>0判断了。)单调递

减，逐一结合选项判断正误即可.

【详解】令x=y=o,则/(o+o)=/(o)+/(o),得/(o)=o,

令-x=y,则〃o)=/(x)+/(f),故“X)为R上的奇函数，故B错误；

任取玉<马，则占-马<0，贝!1/(占-9)>0,

〃尤1)=/［尤2+(龙1-尤2)］="无2)+/(占-无2)>/(*2),

故函数了(无)在R上单调递减，则/⑴</(0)=0,故A错误；

故/(x)在加，用单调递减，有最大值/(加)，故C正确；

/(x+l)>0=/(0),又函数/(无)在R上单调递减，故x+l<0,

得xe(y,—1),故D错误.

故选：C.

23.(2022秋・浙江绍兴•高一统考期末)已知函数/■(k)，Vx,yeR,</(x+y)=f(x)-/(a-y)+f(y)-/(a-x),

其中。/0,/(a)H0,则下列说法一定正确的是()

A.〃。)=1B.是奇函数

C.〃x)是偶函数D.存在非负实数T,使得〃x)=〃x+T)

【答案】D

【分析】利用特殊函数可判断ABC的正确，利用赋值法可证明/(X)为周期函数，从而可得正确的选项.

【详解】取/(x)=g,a=l,则

“x+y)=4"(x)"(a-y)+/(y)"(a-x)=32二，

因此/(x+y)=/(x)"(a-y)+/(y)"(a-x)成立，

此时/。)=；，/(-%)=/(%)=|,故〃x)为偶函数，故A错误，B错误.

取/(x)=sinx,a=:,贝i]/(a)=lwO,

/(x+y)=sin(x+y),/(x)./(a-y)+/(y)./(a-x)

=sinxcosy+cosxsiny=sin(x+y),

因此〃x+y)=f(x>/(0-0)+/1(0)"(々-彳)成立,

此时/(X)为奇函数，故C错误.

令x=y=0,则〃0)=2〃0)jg),

令尤=",y=。，则%)=/(。)+/(a),

若"0)=0,

令y=a,贝!IF(x+a)=/(%)•y(o)+/(a)-y(十一x),

且/(。)=产(a),而/(力0,故/(a)=L

所以/(x+a)=/(a-x)，

令x=y=a,则〃2a)=2/(a)〃0)=0,

令x=2a,贝l|/(2a+y)=〃2a>〃a-y)+/(y)-/(-a),

整理得到:/(2a+y)=〃y)"(-a),而/(2a+y)=f(—y),

故/(一y)=/(y)―/(—a)，此时令>="«,则〃。)=/(一力/(一。)=1,

故〃一。)=1或/(-a)=-L

若〃-a)=l,则〃-y)=〃y),故为偶函数，

故/(尤+。)=/(。一了)=/(无一。)即f(x)=f(2a+x),

所以/(x)为周期函数且周期为2a.

若〃-a)=-l,则〃->)=一〃y),故〃x)为奇函数，

^f(x+a)=f(a-x)=-f(x-a)Bpf(2a+x)=-f(x),

故〃4a+x)=-/a+2a)="x)

所以“X)为周期函数且周期为4a.

若〃。)片。，则/(“)=：,

此时/⑼=1一；=；，故〃o)=g或〃o)=_g

若/⑼=:，

令x=y=",则/(2a)=：x；+Jx：=；,

乙乙乙乙乙

令x=-3=。，贝!j/(O)=/(-a)〃O)+/(a)/(2a),所以/(_〃)=]

令y=。，则/(x+a)=〃x)〃o)+/(a)/(a-x)=g/(x)+g/(a-x),

令y=-。，贝i]〃x-a)=/(x)/(2a)+〃-a)〃a-x)=:/(x)+:”a-x),

故/(x+a)=/(x—a)即/(x+2a)=/(x),

故/(力为周期函数且周期为2a.

若"。)=彳，

令x=y=a,j^/(2a)=-；x；-；x：=-；，

乙乙乙乙乙

令x=—a，y=。，贝iJ/(O)=/(-a)〃O)+/(a)/(2a),所以八_“)=1

令y=a,则/(》+4)=〃尤)/(0)+〃4)〃0-尤)=-3/(力+；/(“-》)，

令y=_a,

则〃x-a)=/(x)/(2a)+/(-a)〃a一x)=-g/(x)+；〃a-x),

故〃x+a)=/(x-a)即〃X+2<7)=/(X),

故/(x)为周期函数且周期为2a.

综上，/(x)为周期函数，故D正确.

故选：D.

【点睛】思路点睛：抽象函数的性质问题，可以根据抽象函数的运算性质寻找具体的函数来辅助考虑，此处需要对

基本初等函数的性质非常熟悉.另外，在研究抽象函数的性质时，注意通过合理赋值来研究抽象函数的对称性、周期

性.

24.(2019秋•山西长治•高一山西省长治市第二中学校校考期末)设奇函数%)在(0,+oo)上为单调递减函数，且式2)=0,

则不等式37(TJ-2/(X)WO的解集为()

A.(-00,-2]U(0,2]B.[-2,0)U[2,+oo)

C.(-oo,-2]U[2,+oo)D.[-2,0)U(0,2]

【答案】D

【分析】由给定条件可得函数大龙)在(0,2)上的函数值为正，在(2,+oo)上的函数值为负，利用奇函数的性质化简不

等式，解出不等式即得.

【详解】因函数兀0在(0,+oo)上为单调递减函数，且式2)=0,即函数式工)在(0,2)上的函数值为正，在(2,+oo)上的

函数值为负，

又/W是奇函数，于是得woo/⑴<0o3>0,

5x5xx

因此，当x>0时，/W>o,则有Ov烂2,当％<0时，兀1)00,由奇函数的性质得-23v0,

综上，不等式[-2f⑶戌的解集为[-2,0)U(0,2].

3X

故选：D

题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式

25.(2022秋•江西抚州•高一统考期末)已知〃尤)=加-法+1是定义域为[a,a+l]的偶函数，则，一/=().

3|

A.0B.-C.J2D.一一

4Y4

【答案】B

【分析】根据偶函数的性质列方程求出“，方，代入/-/计算即可.

【详解】由〃力=加一8+1是定义域为的偶函数得

故选：B.

26.(2023秋・辽宁丹东•高一统考期末)若偶函数〃尤)在[0,+功上单调递增，且〃5)=-/(-5),则不等式

#(x-l)>0解集是()

A.(^,0)u(6,+co)B.(-4,6)

C.(-<»,-4)U(6,-HX>)D.(^»,-4)U(O,6)

【答案】A

【分析】根据偶函数的性质，结合分类讨论思想进行求解即可.

【详解】因为“X）是偶函数，所以由”5）=—/（—5）n/（5）=—/⑸n/（5）=0,

当尤＞0时，由V（x-l）＞0n/（x-l）＞0=/（5）=＞/（|x-l|）＞/（5）,

因为〃尤）在[。,+司上单调递增，

所以/（|xT|）＞〃5）=＞|x-[＞5nx＞6,或%＜一4,

而无＞0,所以无＞6；

当x＜0时，由#（X-1）＞0^＞/（JC-1）＜0=/（5）=＞/（|X-1|）＜/（5）,

因为“X）在[0,+8）上单调递增，

所以•/'（归一[）＜/（5）=,一1|＜5=-4＜无＜6或彳＜—4,

而x＜0,所以T＜x＜0,

故选：A

27.（2023秋・上海徐汇・高一统考期末）已知函数y="X）是R上的奇函数,且是（-巩。）上的严格减函数，若*D=。，

则满足不等式（x-l）/（x）＞。的X的取值范围为（）

A.y,-DB.（-1,0）C.（0,1）D.0,转）

【答案】B

x-1＞0[^-1＜0

【分析】将a—D〃x）＞0等价于和根据奇函数以及单调性即可求解.

【详解】由y="x）是R上的奇函数，且是（-8,0）上的严格减函数，若八1）=。可知：y（-L）=。且“X）在（0,+co）也

严格单调递减，故

当X＜—1和0＜x＜l时，/（x）＞0,当一1〈尤＜0和X＞1时，/（x）＜0,

x—1＞0x—1＜0

故（X—l）/（x）＞0等价于彳/（尤）〉0和J/（x）＜0,解得T＜x＜0,

故选：B

题型十：函数性质的综合性问题

28.（2022春・安徽滁州•高一统考期末）已知函数=

⑴用定义法证明在R上单调递增；

⑵不等式/（1。无尤+加2）＞/log]X-4加在xe[4,16]时恒成立，求实数加的取值范围.

\4）

【答案】(1)见解析

(2)(f,-3)U(T，+°°)

【分析】(1)利用定义法证明即可；

(2)利用函数的单调性，转化为l°g2元+M>l°gy-4〃?恒成立，然后分离参数，将恒成立问题转化为最值问题即可.

4

【详解】(1)f(x)=^甲=l--1—,

')y+i3x+i

ii3国~y2

设玉<七，则/(XJ_/(%)=_3》+1+3*+1=(3%+1)(3*+1)'

•••巧<三，二3,《竽，即/(％)-/仁)<。"(石)</(々)

所以/(可在R上单调递增

/、

2

(2)/(x)在R上单调递增，f(log2x+m)>/log产-4机等价于:

47

2

log2x+m>logix—4m

4

2

即m+4m>log；%-log2x在尤44/6］时恒成立,

4

logjX-log^=咋2：_log"=-1log,X

Zbg,2’

33

在xe［4,16］时，一］log21<--log24=-3

4+4心log；x-log2兀在x44』6］时恒成立，即：一+4心—3

(m+l)(m+3)>0,

机>一1或加<一3,

故答案为：(-00，-3川(-1,+°°)

29.(2023秋・重庆长寿•高一统考期末)已知函数/(力=°-扁为奇函数.

(1)求实数。的值，判断函数〃x)的单调性并用定义证明；

⑵求关于*的不等式/(lg(2F-34+1))、的解集.

【答案】⑴。=1,/(力在R上是增函数，证明见解析

31、

(2)伙|一己(人<3或1v左<3}.

【分析】（1）根据题意，利用/（。）=0,求得。的值，结合函数单调性的定义和判定方法，以及指数函数的性质,

即可求解；

3

（2）求得/⑴二寸把不等式转化为外运（2左2-3左+结合对数函数的性质，列出不等式组，即可求解.

【详解】（1）解：因为〃X）的定义域是R且〃X）是奇函数，可得/⑼=0,可得。=1,

函数〃x）在R上是增函数，证明如下：

2224"1-4'2

任取石,%eR,且西＜z，则〃占)一〃莅)=1—二——1+--------=7-—

人"I"J'J4,+14»+1(4』+1)(4%+1)

因为y=4”为增函数，且可＜%，所以0＜4否〈斗，

所以44+1〉0,4*+1>0,4』-4*<0,

所以〃石）—八々）＜0,即/1）＜/（%）,所以“X）在R上是增函数.

23

（2）解：由（1）知/（力=1-下行在R上是增函数，且/⑴=1

则不等式/（1g（2严-34+1））W|,即为/（1g（2产-3人+1）卜”1）,

lg(2fc2-3Z:+l)<l2左2-34+141031.

可得,解得一一<k<—^\<k<3,

2M-3左+1>021-3%+1>022

31

所以不等式的解集为伏［-］（左＜5或lv々V3}.

30.（2023秋・安徽滁州•高一安徽省定远县第三中学校联考期末）已知函数/（耳=111-r上，其中机＞0且

/(1)+/(-1)=0,

（1）求加的值并写出函数的解析式;

（2）判断并证明函数〃力的奇偶性;

（3）已知“X）在定义域上是单调递减函数，求使〃x）＜ln3的X的取值范围.

【答案】（1）相=1,〃x）=ln|^

⑵奇函数，证明见解析

⑶xw（-l,2）

【分析】（1）由/。）+/（—1）=0求解即可;

（2）由函数奇偶性的定义判断并证明即可;

(3)由ln3=ln|^j=/(-l),结合函数单调