二次函数（4大考向+高分技法+限时提升练）-2025年安徽中考数学复习专练（解析版）

热点04二次函数

明考情-知方向

安徽中考数学中二次函数部分主要考向分为四类：

一、二次函数的图象与性质（必考，4~18分）

二、二次函数性质的综合应用（常考，12分）

三、二次函数的实际应用（常考，5~14分）

四、二次函数的最值（必考，4~10分）

研究二次函数的最值，一般需要三个条件：

（1）图象的开口方向；

（2）对称轴（由对称轴看增减性）；

（3）自变量的取值范围。在此基础上找到取得最值的点解决问题。

热点题型解读

:次函数的图象,性质

:次函数性质的综合应用

:次函数的实际应用

:次函数的最值

考向一：二次函数的图象与性质

二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对

称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点.

图象特注意：

征二次函数图象的画法⑴依据解析式列表、描点、连线画出二次函数图象；（2）利用配方法找出

函数图象顶点;利用因式分解法或公式法找出图象与x轴的交点;利用一般式中的c值找出图象

与y轴的交点,画出简易的函数图象.

基本形

y=axz2y=ax2+ky=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky-ax2+bx+c

式

V/

a>\l/h>0,k>0

A

0

\y\h<0,k<0x

图

象

ZNh<0,k>0

a<

0*y^>di>0,k<0A

Iv0-----X-0---------

b

对称轴y轴y轴x=hx=hX----------

2a

顶点坐/b4ac-b2\

(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)

标2a4a

a>开口向上，顶点是最低点，当x=-2时y有最小值号打；

2a4a

最0

值

a<开口向下，顶点是最高点，当X=一2时时y有最大值”炉.

02a4a

增a>

在对称轴X=-白的左边y随x的增大而减小，在对称轴x=-9的右边y随x的增大而增大.

2a2a

0

减

a<

在对称轴X=-二的左边y随x的增大而增大，在对称轴x=-二的右边y随x的增大而减小.

02a2a

性

一、单选题

1.（2024•安徽亳州•模拟预测）二次函数y=（尤+3）2-5的顶点坐标是（）

A.（3,—5）B.（—3,—5）C.（—3,5）D.（3,5）

【答案】B

【分析】本题考查了y=a（尤-力）?+4的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键.

利用y=a（x-/7）2+A的图象与性质即可直接得出答案.

【详解】解：二次函数y=（尤+3）2-5的顶点坐标是（-3,-5）,

故选：B.

2.（2024•安徽淮南•三模）下列函数中，有最小值的是（）

219/、2

A.y=-B.y=-C.y=xD.y=-（x-l）+1

x%\7

【答案】C

【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，二次函数的性质.根据反比例函数的性质，二次函数的性质，

逐项判断即可求解.

【详解】解：A、y=-士没有最小值，故本选项不符合题意；

x

B、没有最小值，故本选项不符合题意；

X

C、y=Y的最小值为0,故本选项符合题意；

D、y=-（x-l）2+i有最大值，故本选项不符合题意；

故选：C

3.（2023・安徽•中考真题）下列函数中，,的值随尤值的增大而减小的是（）

A.j=x2+1B.y=-x2+1C.y=2x+lD.y=-2x+l

【答案】D

【分析】根据二次函数的性质，一次函数的性质，逐项分析判断即可求解.

【详解】解：A.y=x2+l,a>0,对称轴为直线x=0,

当尤<0时，y的值随x值的增大而减小，当x>o时，y的值随尤值的增大而增大，故该选项不正确，不符

合题意；

B.y=-x2+1,a<0,对称轴为直线x=0,

当尤<o时，y的值随x值的增大而增大，当x>o时，y的值随为值的增大而减小，故该选项不正确，不符

合题意；

C.y=2x+l,k>0,y的值随尤值的增大而增大，故该选项不正确，不符合题意；

D.y=-2x+l,k<o,y的值随X值的增大而减小，故该选项正确，符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键.

4.（2024・安徽安庆•二模）二次函数丫=满-（疗-3时x+l-机的图象关于y轴对称，则根的值（）

A.m=0B.m=3C.m=lD.根=0或3

【答案】B

【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意可得加力0,-"-3叽0,求解即可，熟练掌握二

2m

次函数的图象与性质是解此题的关键.

【详解】解：团二次函数y=_（疗-3#x+l-/"的图象关于y轴对称，

c—（m2-3m）

团机w0,-3----------L-o,

2m

回机=3,

故选：B.

5.（2024・安徽六安•模拟预测）抛物线y=-（xi）2+2024经过点“（4,2008）和N（a+6,2008）,若b>0,则

b的值为（）

A.8B.16C.24D.32

【答案】A

【分析】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，得出。力的值是解题关键.

把y=+2024看作y=-c2+2024,再根据y=2008求解即可.

［详解］把y=—（无一切2+2024看作y=_02+2024

令y=2008

解得c=±4

又b>0

:.a=-^,a+b~^

故6=8

故选A.

6.（2024・安徽合肥•二模）如图，抛物线y=ox2_8x+c（a、b、c为常数，且〃力。）的对称轴为直线x=-2,

与x轴的一个交点为（1,0）,则下列结论正确的是（）

A.a-b+c<QB.abc<0C.4a+Z?=0D.5〃+c=0

【答案】D

【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位

置，确定瓦。的符号，再根据对称轴％=-2、当％=-1和兀=1时y的取值，即可确定相关式子是否正确.

【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2,与无轴的一个交点为（1,0）,与y轴交于

正半轴,

a<0,--=-2,c>0,与1轴的另一个交点为（一5,0）,

la

Z?=4a<0,

abc>0,4a-b=0,故B选项和C选项错误，不合题意；

由图可知，当犬=一1时y〉o,

a-b+c>09故A选项错误，不合题意；

由图可知，当％=1时y=o,

〃+人+。=0,

团Z?=4〃，

团5a+c=0,故D选项正确，符合题意，

故选：D.

7.（2024・安徽•模拟预测）已知二次函数y=a（x+ay+l-a3为常数，。*0）,当0Vx46时，y>l,则

。的取值范围是（）

A.。>0或a«-3B.-3<«<0

C.。<0或。23D.0<«<3

【答案】A

【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.根据抛物线解析式得出对

称轴为直线x=-a,分a>0,。<0两种情况讨论，根据当0VxW6时，得出a的范围即可求解.

【详解】解：当a>0时，抛物线的对称轴为直线》=-。，

此时抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，

当x=0时，y=l,故抛物线与>轴交于（0,1）,

当0VxV6时，y随X增大而增大，对于任意。的取值均成立；

当。<。时，此时抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，

由于抛物线经过（o,i）,故必经过（-2«,1）,

要满足当0Wx<6时，y>l,贝|一2a26,此时aW—3,

综上所述，。>0或<74-3,

故选：A.

8.（2024•安徽合肥•二模）已知点尸（根,必），。（。-加，力）是抛物线丫=-父+2为+3上的不同两点，抛物线

>=-£+2x+3与x轴的正半轴交于点A,与y轴交于点8.下列四个论断：①当4=2时，%=%；②若

点尸是线段AB上方的点，作轴于点交AB于点、N,当1<m<3时，PN的长度随机增大而减

小；③当a=l,初<3时，“<〉2；④当。=3时，点P不与点A,8重合，直线尸。〃A8.其中正确的

有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由抛物线方程，得到对称轴解析式，A、B坐标，进而得到直线的解析式，当。=2时，根据

中点公式，得到P、。的对称轴，即可判断①，将机分别代入直线A3与抛物线方程，并配方，根据一元

二次方程的增减性，即可判断②，当。=1,根<1时，计算％-%的值，即可判断③，当。=3时，计算”工

2石一％2

的值，结合点尸不与点48重合，即可判断④，

本题考查了，求一次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与一次函数的综合，解题的关键是：熟练掌

握二次函数的性质.

【详解】

：回,=—%2+2x+3-—（x—3）（x+l）,

2

国抛物线的对称轴为直线x=-两个=1,4（3,0）,3（0,3）,

（0=3左+b[k=-l

回设直线AS的解析式为？=丘+6,贝I。,解得：r.

[3=p[o=3

回直线AB的解析式为y=-x+3,

、r,-rtm+2—m3

团当〃=2时，-------=1,

回Q（a-m,y2）,是关于直线x=l的对称点，

国必=力，故①正确，

若点尸是线段上方的点，贝!]0<m<3,PN=（-疗+2m+3）-帆+3）=-疗+3机=-评-T+；,

3

当5<加<3时，PN的长度随机增大而减小，故②错误，

当4=1,加<|■时，X-y?=（-根2+2m+3）-蓄（1-加）2+2（1-加）+3=2*-；<0,

回必<必，故③正确，

力3时，>力_（一病+2加+3）-氟1-q+2（1-相）+3_3一2加一1

xx-x2m-13-g2m-3

回点P不与点A,8重合，直线尸Q〃4B,故④正确，

综上所述，①③④正确，

故选：C.

k

9.（2023•安徽・中考真题）已知反比例函数>=4X。）在第一象限内的图象与一次函数y=r+》的图象如

图所示，则函数y=f-公+%-1的图象可能为（）

【答案】A

【分析】设4（1,%）,则8优,1）,41,将点3（%，1），代入产T+》，得出左=6-1,代入二次函数，可得当

k

X=1时，y=-l,则y=x2-bx+k-l,得出对称轴为直线X=5>1,抛物线对称轴在y轴的右侧，且过定

点进而即可求解.

设A。,％）,则8（匕1）,根据图象可得上>1,

将点3（左,1）代入y=-*+》，

m=-k+b,

回左=6—1,

国人>1,

回6>2,

回y=%?—bx+k—1=d—bx+（b—1）—1=f—bx+Z7—2,

b

对称轴为直线工=三>1,

当x=l时，1—人+人一2=—1,

回抛物线经过点

回抛物线对称轴在X=1的右侧，且过定点（1,-1）,

当x=0时，y-k-l=b-2>0,

故选：A.

【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，二次函数图象的性质，得出％=6-1是解题的关键.

10.（2024・安徽安庆・二模）抛物线丁=公2+桁+。的对称轴是直线x=-l,其图象如图所示.下列结论：①

abc<0；②（4°+c）2<（26）2；③若（百，乂）和（%，%）是抛物线上的两点，则当阮+[>因+]时，％<必；

④抛物线的顶点坐标为（-1,加），则关于X的方程62+云+。=〃-1无实数根.其中正确结论的是（）

【答案】B

【分析】①由图象开口方向，对称轴位置，与y轴交点位置判断a,b,C符号.②把x=12分别代入函

数解析式，结合图象可得（4a+c）z-（2匕『的结果符号为负.③由抛物线开口向上，距离对称轴距离越远的

点y值越大.④由抛物线顶点纵坐标为根可得ax?+6无+cZM,从而进行判断G？+fcv+c=wi-1无实数根.

【详解】解：①抛物线图象开口向上，

:.a>0,

对称轴在直线y轴左侧，

a,〃同号，b>0,

抛物线与y轴交点在无轴下方,

/.c<0,

/.abc<0,故①正确.

②（4a+c）2—（2Z?『=（4a+c+2b）（4a+c-2b）,

当％=2时办2+宗+c=4〃+c+2Z?,由图象可得当兀=2时，y>0,即4a+c+2Z?>0,

当x=—2时，ax2+bx+c=4a+c—2b,由图象可得x=—2时，><0,BP4a+c—2b<0,

「.（4〃+c）2—（2））2<o,即（4a+°yv（2b『，故②正确.

③n+1|=归一（一1）|,|x2+l|=|x2-（-l）|,

回％+1]>居+1,

点（%,X）到对称轴的距离大于点（%，%）到对称轴的距离，

；・%>%，故③错误.

④抛物线的顶点坐标为

:.y>m,

ax2+bx+c>m9

.•.加+乐+,=加-1无实数根.故④正确，

综上所述，①②④正确，

故选：B.

【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，解题关键是熟练掌握二次函数》=依2+法+。（。工0）中。，b,C

与函数图象的关系.

11.（2024•安徽亳州•模拟预测）点爪-Lx）,鸟（3,%）,月（5,%）均在二次函数,=-/+2%+°的图象上,

则归,为，%的大小关系是（）

A.%>%>JiB.%>%=%C.%>%>%D.%=%>%

【答案】D

【分析】本题主要考查了函数图像上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减

性.根据函数解析式，求出对称轴尤=1,根据函数对称性进行判断即可.

【详解】解：y=-x2+2x+c,

，对称轴x=l,开口向下，

£（3,%），A（5,%）在对称轴的右侧，）随x的增大而减小，

:3<5,

%>为，

根据二次函数图像的对称性可知，片（-1,%）与片（3,%）关于对称轴对称，

故％=%>%，

故选：D.

二、填空题

12.（2024•安徽合肥•一模）在平面直角坐标系》分中，MaDj.Nlw，%）是抛物线y=a（x-/7）2+Ma<0）

上任意两点.

（1）若对于%=1,%=5,有乂=必，贝！J/z=;

（2）若对于。<玉<1,4<马<5,都有%>%，贝的取值范围是.

【答案】3h<2

【分析】本题考查二次函数的性质：

（1）把再=1,尤2=5代入，可得。（1一力）2+4=°（5-〃）2+左即可；

（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出”（玉,乂）与N（%,%）的中点在对称轴的右侧，再根据

对称性即可解答.

【详解】解：（1）回对于无1=1,%=5,有%=%，

0a（l-/7）2+^=a（5-/i）2+^,

解得：h=3；

故答案为：3

（2）0O<x1<1,4<%2<5,

一X,+x?

02<2]<3,x,<x2,

回%>必，a<0,

团当x>/z时，y随x的增大而减小，

点M（下,乂）距离对称轴的距离小于点N（x2,y2）距离对称轴的距离，且点加（占,%）,N（%,%）的中点在对称

轴x=/z的右侧，

0/2<2.

故答案为：h<2

13.（2024・安徽・模拟预测）在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标与横坐标互为相反数，则称这个点为"相

反点"，如A（L-l）,3（-2,2）都是“相反点〃.已知二次函数y=f-3x+c,请完成下列问题：

（1）若c=l,则此二次函数上的"相反点”为.

（2）在0<x<3的范围内，若此二次函数图像上存在两个"相反点"，则c的取值范围为.

【答案】（1,-1）0<c<l/l>c>0

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征以及二次函数的图像与系数的关系，熟知二次函数的图

像与性质是解题的关键.

（1）根据"相反点”的定义可知，"相反点"在直线>=-％上，将>=炉-3》+1与丫=-％联立成方程组，即可

求解；

(2)根据题意可知，方程三一3尤+。=-彳，在0<x<3内存在两个不相等的实数根，根据一元二次方程根即

可求解.

【详解】解：(1)当c=l时，二次函数的解析式为y=Y-3x+l,

根据"相反点"的定义可知，"相反点"在直线>=-了上，

・・•此二次函数上的"相反点"为。,-1)，

故答案为：(1,-1)；

(2)在0<x<3的范围内，此二次函数图像上存在两个"相反点"，

方程元2-3元+c=-无，即f-2尤+c=0在0<x<3内存在两个不相等的实数根，

A=(-2)2-4C>0,

解得：c<l,

解方程x?-2x+c=0可得：=1—A/1—c,x2=l+A/1—c,

0<x<3,且占<1,

0<玉<1,

即=7<i,

解得：0<c<l,

此时l<l+5/n<2,满足要求，

c的取值范围是0<c<l,

故答案为：0<c<l.

14.(2024•安徽阜阳与模)已知&(西,3)与3%,%)是抛物线y=.x-2『+无上的两点，且2|<|芍-2].

(1)若。<0,则%与治的大小关系是％%;

(2)当A(X[，x)与5(9，%)恰好是直线y="+上与抛物线两个交点时，若%-%<3,则a的取值范围

是.

【答案】>且"。

【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数与x轴的交点问题：

(1)先求出抛物线对称轴为直线x=2，再由归<昆-2|得到点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的

距离，结合抛物线开口向下，可得离对称轴越远函数值越小，据此可得答案；

(2)联立两函数解析式可得玉=1，%=4,进而可得不等式。+左-(4“+左)<3,解之即可得到答案.

【详解】解：（1）回抛物线解析式为y=a（尤-2丫+左，

回抛物线对称轴为直线尤=2,

01-2|<|x,—2|,

回点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离，

回。<0,

回抛物线开口向下，

团离对称轴越远函数值越小，

团%>%，

故答案为：>;

（;2）联立,'“°之）+上得/_5ax+44=0,

y=ax+k

解得x=l或x=4,

国%=1,x2=4,

回M-<3,

0A+A：-（4a+左）<3,

团。>-1且awO,

故答案为：且awO.

三、解答题

15.（2024・安徽安庆二模）在平面直角坐标系宜刀中，抛物线>=加-（4+1）%（0/0）,若加（和另）,N（%,%）

为抛物线上两个不同的点，设抛物线的对称轴为x=r.

⑴当f=l时，求。的值；

（2）若对于占>无2、-都有％<%，求。的取值范围.

【答案】（l）a=l

⑵-：4a<0

【分析】此题考查了抛物线的对称轴，解一元一次方程，二次函数的性质，利用抛物线增减性结合对称轴

列不等式，掌握抛物线的性质和对称轴公式是解题关键.

（1）由题意可得抛物线的对称轴为x=l,再利用抛物线的对称轴公式尤=-乂"D=i可得。的值；

2a

（2）对于任意的-g,,随工的增大而减小，分类讨论〃>0和a<0时〃的取值范围，当〃>0时不能满

足玉>马2-；，都有％<%，当。<0时可以满足对于占>%2-；,都有％<%的条件，使得对称轴

x=_d£±Q<_l,从而可求出。的取值范围.

2a2

【详解】(1)解：抛物线的对称轴为x=f,且r=l,

，对称轴为：尤=1,

即一乜%,

2a

解得4=1.

(2)解：由题意可得，对于任意的y随》的增大而减小，

2

①当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为_―6+1)3工>0,在对称轴的左侧满足题意，而在对称

2a22a

轴的右侧无I>Z2-g都有%>外,故不符合题意；

②当a<0时，对于任意的xN-g,y随X的增大而减小，

a<0

从而<—(a+1)1,

、la~~2

解得：~—<a<0.

16.(2024•安徽•模拟预测)已知二次函数25+2卜+片的图象顶点为人，二次函数

2

y2—~^+2(a—2卜—片+8的图象顶点为B.

⑴分别求出点A,3的坐标(用。表示)；

(2)证明：函数为与%的图象相交于A,3两点；

(3)当。=0时，点尸，。为为图象上的动点，且点尸在点A,3之间，P,。两点的横坐标分别为r+4,

作尸轴交为于点M，QN,九轴交直线A5于点N,若四边形尸MQN,为平行四边形，求才的值.

【答案】⑴A(a+2,-4a-4)；2,-4a+12)

⑵详见解析

(3)f=--

3

【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到平行四边形的性质、函数的交点等知识点.

(1)由顶点坐标公式即可求解；

(2)证明：令％=%，得=a+2或a—2,即可求解；

(3)由四边形尸MQN为平行四边形，得到尸M=QN,即可求解.

【详解】(1)J]=-X2-2(a+2)x+a2,对称轴x=2^+2^=a+2,

当JV=〃+2时，％=(a+2)2—2(a+2)(a+2)+[2=—4a—4,

团A(a+2,~4a—4),

%=-%2+2(a-2)x-a?+8,对称轴x=—------=a—2,

—2

当x=〃-2时，y2~-(a—2)2+2(a-2)(a—2)—片+8=-4a+12,

团5(a-2,-4a+12)；

(2)令%%,彳导•了?-2(〃+2)x+(i——%?+2(〃-2)%—4+8,

化简得：X2—2ax+tz2-4=0,BP(x-a)2=4,

角军得：xx=a-2,x2=a+2f

将玉=Q-2,々=〃+2分另II代入二次函数中，得：M=—4Q+12,y2=-4a-4,

团交点坐标为(a—2,—4a+12)和(a+2,—4〃—4),

即：函数%与巴相交于A、3两点.

22

(3)当Q=0时，yr=x-4x,顶点A(2,—4)；y2=-x-4x+8,顶点3(—2,12),

团直线AB解析式为：y=-4x+4,

设4%),贝ijM(/,—一41+8),

BPM=yM—yP=-2d+8,

则。«+4]+町,则N«+4,-4—12),

回QN=%一y%=产+8,+12,

回四边形PMQN为平行四边形，

^\PM=QN,

回-2R+8=，2+&+12,

2

解得：K=——，G=-2(舍去)，

2

团(=—.

3

考向二：二次函数性质的综合应用

1.二次函数的平移变换

总结：抛物线的平移规律左加右减自变量，上加下减常数项”

方法一：

(1)将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k,其顶点坐标为(h,k);

(2)保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到(h,k)处，

方法二：

(1)将抛物线y=ax2+bx+c沿y轴向上(或向下)平移个单位，得抛物线丫=°无2+云+<?+””或

y=ax2+bx-^c-m);

(3)(2)将抛物线y=ax2+bx+c沿x轴向左(或向右)平移个单位，得抛物线y=〃(x+加产+贻+刈+c(或

尸〃(工-帆)2+贴_旬+0具体平移方法如下：

平移方式(n>0)一般式y=ax2+bx+c顶点式y=a(x—h)2+k平移口诀

向左平移n个单位y=a(x+n)2+b(x+n)+cy=a(x-h+n)2+k左加

向右平移n个单位y=a(x-n)2+b(x-n)+cy=a(x-h-n)2+k右减

向上平移n个单位y=ax2+bx+c+ny=a(x-h)2+k+n上加

向下平移n个单位y=ax2+bx+c-ny=a(x-h)2+k-n下减

2.二次函数图象的翻折与旋转

变换前变换方式变换后口诀

绕顶点旋转180°y=-a(x-h)2+ka变号,h、k均不变

y=a(x-h)2+k绕原点旋转180°y=-a(x+h)2-ka、h、k均变号

沿X轴翻折y=-a(x-h)2-ka、k变号,h不变

沿y轴翻折y=a(x+h)2+ka、h不变,h变号

3.二次函数的对称性问题

抛物线的对称性的应用，主要体现在：

1)求一个点关于对称轴对称的点的坐标；

2)已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴.

解题技巧：

L抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=-^■的差的绝对值相等；

2a

2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=-F对称；

2a

二次函数y=ax2+bx+c^y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-a&-bx-c

1的图象于X轴对称.

4.二次函数与a,b,c之间的关系

关系符号图象特征

a决定抛物线a>0开口向上⑷遨尢抛物线的开口小.

的开口方向

a<0开口向下

a.b共同决b=0对称轴是y轴

定抛物线对

ab>0(a,b同学对称轴在y轴左侧左同右异

称轴的位置

ab<0((a,b异号))对称轴在y轴右侧

c决定了抛物c=0抛物线经过原点

线与y轴交

c>0抛物线与y轴交于正半轴

点的位置.

c<0抛物线与y轴交于负半轴

b2-4ac确b2-4ac>0抛物线与X轴有两个交点

定抛物线与

Xb2-4ac=0抛物线与X轴有一个交点

轴交点的个

b2-4ac<0抛物线与X轴没有交点

教

注意：当x=l时,y=a+6+c;当x=-l时,y=a-6+c.若a+6+c>0,即当x=l时y>0;若a-6+c<0,即当x=-l时,y<0.

1.(2024•安徽阜阳•三模)若将抛物线丁=明2+"+0(々*0)向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长

度后都经过点(1,0),则下列结论正确的是()

A.a+b+c=0B.2a+b=0C.4a-Z>=0D.b=0

【答案】D

【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象与上点的坐标特征，二次函数图象与与系数

的关可，求得抛物线的对称轴是y轴是解题的关键.

由题意可知抛物线y=+bx+c与X轴的交点为(-2,0)和(2,0),则抛物线的对称轴为y轴，即可求得6=0.

【详解】回将抛物线+6.X+C向左平移1个单位或向右平移3个单位后都经过点(1,0),

回抛物线y=ax2+6x+c经过点(一2,。)和(2,0),

b_-2+2

••一，

2a2

「2=0,

故选：D.

2.（2024•安徽•二模）若关于x的一元二次方程/+云+°=。的两个实数根分别为％=-1,%2=3,则抛物

线y=r+bx+c的对称轴为直线（）

A.x=lB.x=-1C.尤=2D.x=—2

【答案】A

【分析】本题考查二次函数与一元二次方程，利用对称性求对称轴，根据题意，得到抛物线与x轴的两个交

点坐标为（T。）,（3,0）,对称性得到对称轴为x=三2=1，即可.

【详解】解：回一+云+。=0的两个实数根分别为%=-1,%=3,

回抛物线y=炉+6x+c与无轴的两个交点坐标为（-L0）,（3,0）,

回对称轴为x==1.

故选A.

3.（2023・安徽合肥•模拟预测）已知二次函数y=a（尤+丸）2+4的图象与x轴有两个交点，分别是「（-2,0）,

<2（4,0）,二次函数y=++后的图象与x轴的一个交点是（5,0）,则6的值是（）

A.7B.-1C.7或1D.一7或—1

【答案】D

-2+4

【分析】根据题意易知二次函数的对称轴为直线X=^^=l，即/7=-1,然后根据二次函数图象的平移可

2

进行求解.

【详解】解：由二次函数y=a（x+4+上的图象与x轴有两个交点，分别是尸（-2,0）,。（4,0）可知：二次

-2+4

函数的对称轴为直线x=--------=1,即=

2

团二次函数y=a^x-l+by+k的对称轴为x=l—b,

团当点尸（-2,0）平移后得到（5,0）,贝|]6=一2-5=-7,

当点。（4,0）平移后得到（5,0）,则6=4-5=-1,

即b的值为-7或一1；

故选D.

【点睛】本题主要考查二次函数的对称性及平移，熟练掌握二次函数的对称性及平移是解题的关键.

4.（2024•安徽六安•模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，且。力0）的对称轴为直线x=-2,

与x轴的一个交点为（1,0）,则下列结论正确的是（）

A.a—Z?+cvOB.abc<0C.4a+b=0D.5a+c=0

【答案】D

【分析】本题考查根据二次函数图象判断式子的符号，先根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位

置，确定b,c的符号，再根据对称轴％=-2、当尤=-1和无=1时y的取值，即可确定相关式子是否正确.

【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2,与X轴的一个交点为(1,0),与y轴交于

正半轴，

a<0,--=-2,c>0,与x轴的另一个交点为(一5,0),

2a

b-4a<0,

abc>0,4a-b-0,故B选项和C选项错误，不合题意；

由图可知，当x=—1时y>。，

a-b+c>0,故A选项错误，不合题意；

由图可知，当x=l时y=o,

a+b+c-0,

团Z?=4a,

05a+c=O,故D选项正确，符合题意，

故选：D.

二、填空题

5.(2023・安徽合肥・一模)在同一平面直角坐标系中，已知函数％=以2+6无，y2=ax+b(ab^0),函数内的

图象经过》的顶点.请完成下列探究：

(1)函数%=④^+法的对称轴为;

(2)若。>0,当%>%时，自变量x的取值范围是.

【答案】x=ix>2或x<l

bh2h2h

【分析】⑴配方法求得函数％的顶点为由函数内的图象经过M的顶点，得-±=ax(_2)+b,

2a4〃4。la

h

求得人=—2a.于是x=-----=1.

2a

(2)由Z?=-2a,得必=ax(%—2),y2=a(x-2).于是(x—2)(x—l)>0,求解得兀>2或x<l.

bA2

【详解】解：(1)%=ax1+bx=a(xH---)2----，

la4。

bA2

回函数%的顶点为(---,----).

2a4a

回函数内的图象经过耳的顶点，

I21--=〃X(—一—)+Z?,BPZ?=--.

4a2a2a

回"wO,

回匕=—2a.

b1

0x=---=l.

la

故答案为：直线%=l；

(2)^\b=-2a,

22

团X=ax+bx=ax-lax=ax(x-2),y2=ax+b=ax-2a=a(x-2).

当%>必时，cix(x—2)—a(x—2)>0,gp6z(x—2)(x—I)>0,

回。>0,

|?](x-2)(x-l)>0.

fx-2>0(x-2<0

唯一l>0或「一1<0；

解得x>2或X<1.

故答案为：x>2或x<l.

【点睛】本题考查二次函数的性质，不等式的应用；由题意构建不等式求解是解题的关键.

6.(2024•安徽合肥•三模)二次函数丁=依2-2工+1(«片0)的对称轴为直线x=l,点4(2九%),B(m-l,y2)

都在函数、=加-2x+l(aH。)图象上.

(1)a=；

(2)若必，则加的取值范围为.

【答案】1m>1或"2<-1

【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式.

(1)根据对称轴-h白=-9-7=1,即可求出。的值；

2a2a

(2)根据%>必，列出关于，〃的不等式即可解得答案.

【详解】解：(1)；二次函数丁=仆2-2%+1(。工0)的对称轴为直线x=l,

...--=1,

2a

a=1,

故答案为：1;

（2）点4（2私外）,3（冽-1,%）都在二次函数2x+l=（x-的图象上,

2

；.%=（2〃?—1）~,y2=（m—1—1）-=（m—2）

X>%，

（2/zz—l）2>（/M—2）2

.•.（2/n-l）2-（m-2）2>0

即苏>1

|m|>1,

ZM>1或

故答案为：〃7>1或,〃<-1.

7.（2024・安徽合肥•模拟预测）已知二次函数丁=依2—（3a+l）x+3（a是常数，且4中0）,

（1）若点。,-2）在该函数的图象上，则a的值为；

（2）当a=-1时，若-3<xV2,则函数值y的取值范围是.

【答案】2-12<y<4

【分析】本题考查了待定系数法，抛物线的对称轴，增减性，解不等式，熟练掌握抛物线的性质是解题的

关键.

（1）把。，-2）代入函数解析式计算即可；

（2）根据抛物线开口向，结合对称轴，利用函数的增减性列出不等式计算即可.

【详解】解：（1）回点（1,一2）在二次函数y=^2_（3a+l）x+3的图象，

回-2=a-（3a+1）+3,

解得a=2；

（2）当a=-1时，y=—x2+2%+3=—（%—1）2+4

回-1<0,

回抛物线开口向下，

团当尤=1时，y有最大值4,

又当了=-3时，y=-12,

当x=2时，y=3.

回当一3WxV2时，函数值y的取值范围是-124y44.

8.（2024•安徽合肥•模拟预测）已知抛物线C：>=办2-2。尤-4。+1的顶点坐标为（版一4）,与x轴正半轴交

于点A,与V轴交于点B.

（1）点A的坐标为；

(2)将抛物线C沿x轴向右平移〃(">0)个单位长度，平移后的抛物线C'与抛物线C相交于点“，且点M

在第四象限内，当的面积最大时，〃的值为.

【答案】(3,0)1

【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含〃的式子表示的

面积是解题关键.

(1)把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解；

(2)先表示出C'的解析式，联立C得出点M坐标，再表示出一的面积，最后利用二次函数最值求解.

【详解】角牟：(1)回y=tzx?-2ax-4a+l=a(x--2x+l)-5a+l=-1)-5a+1，

回抛物线的顶点坐标为(I,-5a+l),

m=l

-5a+1=-4

解得

团抛物线解析式为y=x2-2x-3,

当y=0时，得/一2%-3=0,

13A(3,0),

故答案为(3,0)；

(2)抛物线C：y=x2-2x-3=(x-行-4,

团将抛物线C沿x轴向右平移n(n>0)个单位长度得抛物线C'，

回抛物线C的解析式为：y=(x-1-aJ—4,

y=(无―1—-4

解得

YInI

即点M坐标为—+1---4,

24

团点M在第四象限内,

-+l>0

2

团，2，再结合〃>0,

n八

----4A<0

[4

得0<4,

0A（3,O）,B（0,-3）,

设直线AB的解析式为y=kx+b,

\3k+b=Q

0,一

[b=-3

[k=l

解得匕V

[b=-3

回直线AB的解析式为y=x-3,

回如图，过点M作MNLx轴，交直线48于点N,

11133

回SQM=S8MN+S.M=7XAOXMN=7X3X--+-+2\^--n2+-n