高考数学重难点复习专练：比较大小六大方法（解析版）

重难点专题07比较大小六大方法汇总

题型1临界值法比较大小.............................................................1

题型2利用函数性质比较大小........................................................4

题型3构造差与商比较大小...........................................................7

题型4构造函数比较大小............................................................11

题型5放缩法比较大小..............................................................16

题型6导数法.......................................................................20

题型1临界值法比较大小

T卜划重点

结构不相同的比较大小题目，可以寻找“中间桥梁"，通常是与0,1比较

通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可:

以通过引入一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到它们之间

的大小关系.

【例题1】（2023•全国•高三专题练习）已知。=1唯2.8,b=log0.82.8,。=2-。-8试比较a,

b,c的大小为（）

A.b<a<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a、Ac与0、1相比较，即可得到结论

【详解】-a=log22.8>log22=1,

b=log0,82.8<log0,8l=0,

0<c=2­°-8<20=1,

:.b<c<a.

故选：B.

3

【变式1-1]1.（2021•全国•高三专题练习）已知a=log0,53,b=0.5-,c=3试比较

a,b,c的大小为（）

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.c<a<b

【答案】B

【分析】根据对数函数和指数函数的单调性将a、b、c与0、1相比较，即可得到结论.

【详解】解：=log0.53=-log23<0,

b=0.5-3=23>20=1,

1o

0<c=3-0-5=O<（9=1,

:.a<c<b,

故选：B.

3

【变式1-112.（2022•全国•高三专题练习）已知a=log0,33,b=（|尸，c=L,则下列

大小比较正确的是（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】C

【分析】由对数函数及指数函数的单调性可得a,b,c的范围，进而比较出它们的大小关

系.

【详解】因为a=logo,33<logo.31=0,即a<0,

C=4-1=1G（0,1）,

小（浮=即b>1，

所以可得：a<c<b,

故选：C.

【变式1-1】3.(2022•山西太原•统考一模)比较大小：a=log3奁，6=e。」，c=e呜

()

A.a<c<bB.c<a<bC.c<b<aD.a<b<c

【答案】A

【分析】由对数函数的性质可知a=log3V2<I，由指数函数的性质可求出b>1,c=|,

进而可判断三者的大小关系.

01lnln2

【详解】解：因为五<V3,所以a=log3V2<I，b=e>e°=1,c=e2=e~=2T

1

=2'

则6>c>a,

故选A.

【点睛】本题考查了指数、对数式的大小比较.若两式的底数相同，常结合指数函数的单调

性比较大小，若两式的指数相等，则常结合图像比较大小；有时也进行整理通过中间值比较

大小.

【变式1-1】4.(2021・福建泉州•福建省德化第一中学校考三模)比较下列几个数的大小:

030001

a=(1),b=log2|,c=5,则有()

A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b

【答案】D

【分析】首先让a,b,c和0或1比较大小，然后再判断a,b,c的大小.

0001

【详解】a=£(0,1),b=log2|<0,c=5>1

c>a>b.

故选D

【点睛】本题考查指对数比较大小，意在考查转化与计算，属于简单题型.

题型2利用函数性质比较大小

比较指对幕形式的数的大小关系，常用方法：

(1)利用指数函数的单调性：y=a”,当a>1时，函数递增；当0<a<1时，函数递减;

(2)利用对数函数的单调性：y=logax,当a>l时，函数递增；当。<a<l时，函数递

减；

【例题2】(2022•重庆•校联考模拟预测)下列各式比较大小正确的是()

A.1.72-5>1.73B,0.6-1〉0.62QO.801>1,201D,1.703<0.931

【答案】B

【分析】根据指数函数的单调性可判断AB,再由幕函数单调性判断C,借助1判断D.

【详解】A中，〔•函数y=1.7，在R上是增函数，2.5<3,/.1.72-5<1.73,故错误；

B中，:y=os在R上是减函数，-1<2,.-.o.e-^o.e2,故正确；

C中，-.7=炒1在(0,+8)上是增函数，O.801<1.2。1.故错误；

D中,'.I.70-3>1,0<0.931<1,.-.1.70-3>0.931,故错误.

故选：B

【变式2-1】1.已知2021a=2022,20224=2021,c=ln2,贝(]()

A.logac>logfccB.logca>log*

C.ac<bcD.ca<

【答案】D

【分析】比较a、6、c的大小关系，利用指数函数和对数函数的单调性可判断各选项的正误.

【详解】Ta=log20212022>log20212021—1,0=log20221<b—log20222021<log2022

2022=1,

0=Ini<c=ln2<Ine=1,即0VcV1,

所以，log/<Iogal=0,10ghC>10gfel=0,则log/<loghC,即A错误；

ccab

a>b,0<c<1,所以，logcCi<logch,a>b,c<c,即BC都错误，D正确.

故选：D.

【变式2-1]2.(2022春・天津北辰•高三天津市第四十七中学校考开学考试)定义在R上的

函数"久)=sinx+2久，若a=fg),b=/(lnV2),c=/(£)，则比较a,6,c的大小关系为

()

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【分析】由对数函数性质得以1n五,屋1的大小，由导数确定函数的单调性，然后由单调性比较

大小.

【详解】由对数函数性质知ln&<In^=I1，e13>l,

11

所以ln&<5<e3

/0)=cosx+2>。恒成立，/1(x)在R上是增函数,所以6<a<c.

故选：C.

【变式2-1]3.(2023•全国•高三专题练习)若函数y=f(x)是R上的奇函数，又y=f(x+1)

为偶函数,且一1W1时,[/(x2)(%2-xi)>0,比较f(2017),f

(2018),f(2019)的大小为()

A.f(2017)</(2018)</(2019)B.f(2018)</(2017)<f(2019)

C./(2018)</(2019)</(2017)D./(2019)</(2018)</(2017)

【答案】D

【分析】由题意可知，函数y=f(x)的周期r=4,再由当一1w句<及w1时,

[/(x2)-/(%i)](x2-%力>。可知函数y=f(%)在[一1,1]上为增函数，然后计算比较即可.

【详解】•••函数y=f(久)是R上的奇函数，又y=f0+1)为偶函数，

•••/(-%)=-/(%),f(-x+l)=/(x+l),

•••f(X)=f(久+4),即函数y=/'(X)的周期T=4,

-l<x1<x2<10^,x2->0,[/(应)一/(%1)](>2—右)>0,

•••/(%2)-7(X1)>。即f。2)>函数y=f。)在[—L1]上为增函数，

f(2017)=f(1+4X504)=/(I),/(2018)=f(2+4X504)=f(2)=f(0),

/(2019)=/(-1+4x505)=/(-1),

•••f(2019)<f(2018)<f(2017).

故选：D.

【点睛】本题考查函数性质的综合应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.

【变式2-1】4.(2023・安徽亳州•高三校考阶段练习)我们比较熟悉的网络新词，有

"yyds"、"内卷"、"躺平"等，定义方程fO)=r。)的实数根x叫做函数人久)的“躺平

点”.若函数g(x)=e"-/i(x)=In%,卬⑺=2023x+2023的“躺平点”分别为a,b,

c,则a,b,c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】根据“躺平点"新定义，可解得a=l,c=0,利用零点存在定理可得be(l,e)，即可

得出结论.

【详解】根据“躺平点”定义可得9(a)=g'(a),又g'(x)=/—1；

所以e°—a=—1,解得a=1；

同理h'(x)=I，SPlnZ?=i;

令巾(x)=lnx-i,则=§++>0,即爪(久)为(0,+8)上的单调递增函数，

]

又小(1)=-1<Ojn(e)=1-g>0,所以巾(%)在(l,e)有唯一零点，即6e(l,e)；

易知W'Q)=2023,即9(c)=2023c+2023=0(c)=2023,解得c=0;

因此可得6>a>c.

故选：B

题型3构造差与商比较大小

中―蜘#占

(1)作差法：作差与。作比较；

(2)作商法：作商与1作比较(注意正负)；

【例题3】(2022•全国•高三专题练习)若x,y,z是正实数，满足2x=3y=5z,试比较

3x,4y,6z大小()

A.3x>4y>6zB.3x>6z>4y

C.4y>6z>3xD.6z>4y>3x

【答案】B

【解析】令2x=3〃=5z=t,则t>l,x=瞿，y=詈，z=置,利用作差法能求出结果.

【详解】：x、V、Z均为正数，且2X=3>=5Z,

令2工=3〃=5z=t,贝[]t>1,

故X=log2t=假，y=log3t=鲁，Z=log5t=鲁，

-'-3x~6z=3(蕾-鬻)=31Sig2jg584)>°-即3x>6z;

6z-4y=2落一第=考产〉。，即6z>4y,

即3久>6z>4y成立,

故选：B.

【点睛】关键点点睛：

(1)将指数式转化为对数式；

(2)利用作差法比较大小.

【变式3-1】1.已知正数x,y,z满足xlny=yez=zx,则x,y,z的大小关系为()

A.x>y>zB.y>x>zC.x>z>yD.以上均不对

【答案】A

【分析】将z看成常数，然后根据题意表示出x,y,再作差比较出大小即可

【详解】解：由xlny=yez=zx,得xlny=zx,则z=Iny,=ez,

所以ez.ez=zx,所以x=

令f(z)=ez—z(z>0),则尸(z)=ez—1>0,

所以函娄好(z)在(0,+8)上单调递增，所以f(z)>/(0)=e。—0=1,

所以ez>z,即y>z

所以x—y=?_ez=三空=生/>0,

所以久>y,

综上％>y>z,

故选：A

2

【变式3-1】2.(2023・全国•模拟预测)已知a=2e而，=ee,c=&，试比较a,b,c

的大小关系为()

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】B

【分析】先利用Inx常见的不等式，估计出ln2的范围，精确估计出1.73〈诉＜1.8,然后利

用作商法比较大小.

【详解】先证明两个不等式：

(1)21nx<x—1(x>1),设/(%)=21n%—%+*%>1),贝！]

f(x)=|-l-i=-g-l)2<0(%>l),即-x)在(1,+8)上单调递减，故

/(%)</(I)=0,即21nx<%—|(x>1)成立

(2)lnx>^(x>l),设g(x)=lnx—等(x〉l),贝

9'(乃=?一高=竟券>0(尤>1),即9(吗在。,+8)上单调递增，故

9(£)>9(1)=0,即Inx>>1)成立

再说明一个基本事实，显然3<n<3.24,于是1.73<遮<诉<1.8.

由(1)可得，取%=2,可得21n2<1.5<=>ln2<0.75<=^e0,75>2;

由(2)可得，取x=2,可得ln2>g,再取x=(可得1岐>：>0.27,即e。"<g=e-°-27

3

>7

!=矗=%二>萼>1，显然a>。，于是6>a；

£=-^p=踪詈<3e：、"<e2-Vrr-0.27_ei.73-v^<e°=1(显然a>0,于是c<a.故6>a

>c.

故选：B

-1

【变式3-1]3.若。<bVa<2%=a+beb,y=b+aea,z=b+aeb,贝(]()

A.x<z<yB.z<x<y

C.z<y<xD.y<z<x

【答案】A

【分析】利用作差法，结合指数函数的图像与性质可得结果.

bab

【详解】=a+befy=b+ae,z=b+ae,

:.y—z=a(ea—eb)

ab

又a>b>0,e>lz:.e>e

'y>z

bh

z-x=(6-a)+(a-b)e=(a-/?)(e-l)z

又a>b>0,eb>l

:.z>x

综上：x<z<y

故选：A

【变式3-1】4.(2023•贵州贵阳校联考三模)已知正实数a,瓦吩别满足a?=1b=ln2,

c=竽，其中e是自然常数，贝必瓦c的大小关系为()

A.a>c>bB.a>b>cC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

【分析】利用作商法可比较出a,c大小关系；可构造函数/(x)=器，将a力和仇c大小关系的比

较转化为f(2)/(e)和f(e2)/(8)大小的比较，利用导数可求得f(x)单调性，从而比较出大小

关系.

【详解】由次=翡：。=焉..*=/条=平,

e>Q)=v«•,>Ve>i，,■>c=^>1,又c>0,

人kInxix•——2—In%

令/a)=五，则roc=皿—n=豆豆，

・••当Xe(022)时,r(x)>0;当xeg2,+8)时，尸(x)<o；

•••f(X)在(0,e2)上单调递增，在(e2,+8)上单调递减；

••■/(e)>/(2),即母=上>借，.,噂>ln2,即a>b;

且小2)>/(8),即詈=|>翳=翳，，ln2〈甯，即6<C；

综上所述：a>c>b.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题考查构造函数，利用函数单调性比较大小的问题；解题关键是能

够根据所给数字的特征，将问题转化为/(%)=称的不同函数值的比较问题，从而利用导数

求得函数单调性，根据单调性得到大小关系.

题型4构造函数比较大小

【例题4】(2023•全国•高三专题练习)下列大小比较中，错误的是()

e3e3ene713n71

A.3<e<nB,e<rt<eC.n<e<D.n<e<3

【答案】D

【分析】对于选项D,构造函数/(久)=与，得到-x)</(e)=(令x=号,得到/>e\所

以选项D错误；

对于选项A,在f(x)W(中，令x=手，得到酒>e3.所以选项A正确；

对于选项B,在f(x)W；中，令x=兀，贝啦e<屋，所以选项B正确；

对于选项C,e"<3兀，所以游<e"<3",所以选项C正确.

【详解】解：对于选项D,构造函数/(%)=*所以/(乂)=审，

所以当0<x<e时，f(x)>0,函数/'(%)单调递增;当％>e时，/(久)<0,函数/1(%)单调

递减.

所以f(%)</(e)=(当且仅当x=e时取等)

e2

则令久=9，则?•<；化简得Inzr>2—康，故3ln?r>6>6—e>兀，

故In兀3>兀，故兀3>/，所以选项D错误；

对于选项A,3e<f（3）辱〈詈,;.3e<e3,

在〃x）向中，令"手,则与<占化简得1加>2-1故eln/r>e（2。>2.7x（2—等

7T

）>2,7x（2-0.88）=3.024>3,

所以elriTT>3,ln〃e>1g3,.,・游>e3.所以3e<e3<冰，所以选项A正确；

对于选项B,在/⑺■中，令无=%则誓<詈,；.兀e<e\所以e3<游<e,所以选项B

正确；

对于选项C,e"<3",所以酒<e7r<3。所以选项C正确.

故选：D

19113139

【变式4-1]1.（2022・全国•高三专题练习）比较a=#,b=^e-,c=点两（e为自然对数

的底数）的大小为（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

【答案】A

【分析】根据这三个数的结构，构造函数'=玩2-”,再用导数法判断其单调性，然后利用

单调性判断.

【详解】根据题意，构造函数丁=斑2-3

所以V=（1-%）e2-x,

当0<x<1时/=（1—x）e2~x>0

所以y=xe2T在（0,1）上递增，

因为1日>击

所以a>b>c

故选A.

【点睛】本题主要考查了比较数的大小，构造函数，导数与函数的单调性等问题，还考查了

运算求解的能力，属于中档题.

1.In2

【变式4-1】2.(2023•辽宁•大连二十四中校联考模拟预测)已知a=(丁乃=律广,c=

ln3

(增试比较a,仇c的大小关系()

A.a<b<cB.b<a<c

C.a<c<bD.c<b<a

【答案】c

【分析】根据三个指数的底数的形式，通过构造新函数，利用导数的性质判断其大小，再根

据三个数的形式构造新函数，通过取对数法，结合导数的性质判断其单调性，最后利用单调

性判断即可.

【详解】设f⑺=等a>0)")=等，

当x>e时,r(x)<0,f(%)单调递减,

所以有f(e)>f⑶>f(4),

所以「詈〉吟

设g(%)=xx(x>O)^lng(x)=x\nx,

设y=%ln%=>y'=Inx+1,

当ov%<:时，y'<0,函数y=单调递减,

因为］>号>竽>0,

所以1电。<in［娉)］<1电(叨

因为函数y=Inx是正实数集上的增函数，

1ln3ln4ln2

即QF<停尸<=（学）=，所以a<c<b,

故选：C

【点睛】关键点睛：根据所给指数的底数和指数的形式，构造函数，利用导数的性质是解题

的关键.

【变式4-1】3.（2023•全国•长郡中学校联考二模）设实数a,b满足1001。+1010^=

2023。，1014a+1016*=2024\则a,b的大小关系为（）

A.a>bB.a=bC.a<bD.无法比较

【答案】C

【分析】先假设a2比再推理导出矛盾结果或成立的结果即可得解.

ah

【详解】假设a2b,贝!JlOlO。21010乙10i4>1014,

由1001。+1010万=2023a得1001。+1010a>2023a今（瑞）°+（蜷）°>1,

因函数/（比）=（瑞）'+（黑）"在R上单调递减，又/。）=瑞+筮=费<1，则必。

）>1>/（1）,所以"1；

&

由1014。+1016=2024b得10140+1016b<2024b=（*）"+（黑）”<1,

/、z1014xX./1016、X—ci_x、R、y、TL/a、1014,10162030、..

因函数gO）=（诏）+（谢）在R上单倜递减，又9（1）=耐+痂=赤？>1，贝mi叼仙

）<1<5（1）,所以匕>1；

即有a<1<b与假设a>b矛盾，所以a<b,

故选：C

【变式（河南开封校考模拟预测）若2则瓦的

4-1]4.2023••a=e0-,b=<2,c=In3.2,a,c

大小关系为（）

A.a>b>cB.c>b>a

C.b>a>cD.a>c>b

【答案】D

【分析】根据结构，构造函数y=ef-t-l,利用导数证明出e'>t+l,利用单调性判断

出a>c;令外功=鼠—蜜匕利用单调性判断出c>b,即可得到答案.

【详解】记、=e'一t一1,因为y'=才一1,

令y>o,解得t>o；令y<o,解得t<o；

所以y=ef-1-1在(一8,0)上单调递减，在(0,+8)上单调递增，

所以ymm=e0—0—1=0,所以e=>t+l,

所以a=e"?>0.2+1=1.2>V1,2=b,a>1.2=|ne1,2>c=In3.2,

因为(e12)5=e6>(2.7)6x387.4>(3,2)5«335,5,所以e、2>3,2,即a>c;

令f8=In%—给“e(o,+8),>0,

所以f(%)在(0,+8)单调递增，/(I)=0,

所以当久>1时，f(x)>0,即Inx>等，

所以In3.2=In2+lnl.6>+*>琮=

又1<1,2<1,21,1<b=V12<1,1,所以c>1,1>b.

故a>c>6.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查比较大小，解答的关键是结合式子的特征，合理构造函数，利

用导数说明函数的单调性，即可判断.

题型5放缩法比较大小

通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只

要构造出函数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较

的数的大小关系.有些时候构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.在本题中，通过构

【答案】a<b<c

【分析】通过构造函数f(x)=%—sinx,利用其单调性得到a=sing<1再通过作差与零

进行比较，得出b与伊勺大小关系，再通过b,c与1进行比较，判断出b<c,进而得到结果.

【详解】令/'(%)=x-sinx,r(%)=1-cos%>0恒成立，当且仅当％=2fcn(fceZ)取等号，

所f(x)=x-sinx是增函数，

当x6(0,+8)时，/(%)=%-sinx>/(0)=0,即x>sinx,所以a=sing<g,

111__1

又6—W=lg3—§=Ig3—|giou又因为27>10,所以3>10］，故由y=Igx的单调性知,

Ig3>Igiol所以。一!>0,从而b>a,

1

又易知b<1,又由函数y=2工的单调性知，c=2号>2°=1,所以a<b<c.

故答案为：a<b<c

【变式5-1】1.已知a=e°L。=嗤+1,c=VL2,则它们的大小关系正确的是()

A.b>a>cB.c>b>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

【分析】构造函数f(%)=Inx+1—%可证b<c,又lnV12+l<V12<1.1,可得InVl》<0.1z

即可证a>c.

【详解】由b=竽+1=lnVL2+1

I

令/(x)=in比+1—比，贝!Jf'(x)=Y-1,当％e(o,i),f(x)>0;当％e(i,+8),/'(%)<0;

所以/(x)=Inx+1-X在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，且/(I)=0

则/(VI②<0,因此Ing+1-V12<0,所以b<c

又因为C=V12<1.1,所以lnV17+1<V12<1.1,得<0.1

故VI》<e01,有a>c

故选：C

【变式5-1】2.(2022•湖南•校联考模拟预测)若a=y^e5,b=或,c=ln5,(e

=2.71828-)试比较a,b,c的大小关系()

A.a>b>c

B.b>a>c

C.a>c>b

D.b>c>a

【答案】D

【分析】先估算出e5,进而求出a的范围，再由1.642<e求出b的范围，最后构造函数估算

出c即可求解.

【详解】由e=2.71828…得e2<7.5,4^(e5<7,5x7,5x2.72=153,又1.64x1.64=

-1

2.6896<e,故俞e5<1.6<Vi，

由常用数据得ln5X1.609,下面说明ln5«1.609,令/(x)=ln(%+1)-舞,(⑴=击—

(2久+6)(4汽+6)—4(久2十6支)4汽3

(4x+6)2-(x+l)(4x+6)2'

当xe(—1,0)时，/(%)>0,f(x)单增，当久e(0,+8)时，>⑺<0,/(工)单减,则八X)max

=/(0)=0,

则ln(x+l)w烹鬻,则ln5=21n2+In*ln2=In偿x^jx^jx…X意)=ln(l+白+In

(l+±)+-+ln(l+±),

令。(无)=需，则ln2xg岛)+gg)+…+g岛”0.6932,ln1=ln(|x^)=ln(l+1)

+ln(l+J

ln|xgQ+®0.2232,贝!Jln5=2In2+ln|®2X0,6932+0.2232«1.6096,综上，

b>c>a.

故选：D.

【点睛】本题主要考查指数对数的大小比较，关键点在于通过构造函数求出也5的范围，放

缩得到ln(x+1)<耨,再由至2=ln(l++ln(l+冷+…+ln(l+表)和尾=In

(1+1)+ln(l+/结合ln5=21n2+尾即可求解.

【变式5-1]3.已知a=sin20。力=>=则它们的大小关系正确的是()

A.c<a<bB.a<c<bC.c<b<aD.b<c<a

【答案】A

【分析】由%>。时，sinx<%判断a,6的大小关系，作出y=sinx与y=|x的图象判断a,c

的大小即可.

【详解】20°=3故a=si%

因为%>0时，sinx<x,

UL|\|7T7T7

所以sm§<9<—,

因为f(x)=sinx-|x中/'(力=0.

Q______

作出y=sinx与y=了在同一坐标系中的图象，如图，

由数形结合可知sinx>也在(04)恒成立，所以si诏>

所以c<a<b,

故选：A

【变式5-1]4.已知实数a.6满足a=log23+log86,6a+8。=10%则下列判断正确的

是()

A.a>2>bB.b>2>aC.a>b>2D.b>a>2

【答案】C

【分析】根据对数和指数的单调性可判断a>2,b>2;在构造函数/")=6工+炉-10，,

%>2,再根据换元法和不等式放缩，可证明当x>2时，/0)=6，+8工-10,<0,由此即

可判断a力的大小.

【详解】因为a=log23+log86=log23+|log2(2X3)

x=2

=^log23+1>^log22V2+|=il+|i>，所以a>2；

由6a+8。=10>且a>2,所以6a+8。>36+64=100,所以6>2,

令f(%)=6X+8X—10x,x>2,

令t=x—2>0,则x=t+2,

则/'(x)=6X+8X-10x,x>2等价于g(t)=36X6f+64X8£-100X10、t>0;

又g(t)=36X6t+64X8f-100X10f<100X8f-100X10f<0,

所以当久>2时，f(x)=6x+8x-10x<0,

故6a+8。=10b<10a,所以a>b>2.

故选：C

题型6导数法

【例题6】(2022秋・河北保定•高三校考阶段练习)已知f(x)是定义在R上的函数，其导

函数为广。），且不等式广。）＞f（久）恒成立，则下列比较大小错误的是（）

A.e/(l)</(2)B./(O)>ef(-i)C.e/(-2)>/(-1)D.e7(-1)</(l)

【答案】C

【分析】由已知条件可得弋华>0,所以构造函数9(“)=%,求导后可得9'(x)>0,

从而可得g(X)在R上单调递增，然后分析判断

【详解】由已知r(x)>n>),可得弋用>0,

设g(x)=%,

,・23>0,因此g(x)在R上单调递增，

所以g(l)<g(2),9(-1)<9(0),9(-2)<5(-1),5(-1)<5(1)，

pn/(i)f⑵f(-i)f(o)f(-2)“7f(-i)rm

所以e/⑴<所2),e/(-i)</(0),e/(-2)<所-l),e2/(-1)<所D，

所以ABD正确，C错误，

故选：C.

【变式6-1J1.(2022・安徽•六安二中高三阶段练习)定义在R上的奇函数f(x)满足xe(o,+oo)

时,都有不等式f(x)—xf'(x)>0成立，若a=log32f(噫3),b=物俘),c=ln^f(|n^),

则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b>a>cD.a>b>c

【答案】A

【分析】根据f(x)—xf'(x)>0构造函数g(x)=%可得函数为减函数，又由f(x)为奇函数可知

g(x)为偶函数，据此可比较a,b,c大小.

【详解】•••当xe(0,+8)时不等式飒―xf'(x)>0成立，・•.(号)'=辿等<0,

匹

西2

•••g(x)=竽在(0,+8)上是减函数.匹

则a=log32f(log23)=不方=g(log23),2

2

g(-|),又•••函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,

•••g(x)=等是定义在R上的偶函数，则g(—》=g(1),

...噫3>1>乎>[g(x)在(0,+8)上是减函数,

g(log23)<g(y)<g(|),则a<b<c,

故选：A.

【变式6-1】2.(2022•山东聊城一中高二期中)定义在(0,勺上的函数f(x),f'(x)是f(x)的导函

数，且f'(x)<—tanxf(x)成立，a=2fg),b=V?G),c=^②，则a,b,c的大小关系为

()

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>b>c

【答案】B

【分析】由条件可得cosx-f'(x)+sinx-f(x)<0,考虑构造函数g(x)=黑，结合导数运算公

式和导数与函数的单调性的关系由条件证明函数g(x)在(0,勺上的单调递减，再根据函数的

单调性比较函数值的大小即可.

【详解】因为xe(0,?时，cosx>0,

所以f'(x)<—tanx.f(x)可化为f'(x)+亲.f(x)<0,即cosx.f'(x)+sinx•f(x)<0,设g(x)=

黑，则g(x)=(黝=处鬻吗所以当x«o④时，g(x)<o,

所以函数g(x)在(0$)上的单调递减，因为之<^<J,所以g&)>g©>g©

所以旻〉^>裳即学G)>收②>2f(i),

643

所以c>b>a,

故选：B.

【变式6-1】3.(2022•四川南充一模)设定义R在上的函数y=f(x),满足任意X6R,都

有f(x+4)=f(x),且xe(0,4]时，xf'(x)>f(x),则f(2021),等咨然区的大小关系是

,f(2022)f(2023)-f(2022)f(2023)

A.f(2021)<B.<rf(2021)<

cf(2023)f(2022)一f(2023)上f(2022)

C.<fr(2021)D.<f(2021)<

【答案】A

【分析】利用构造函数法，结合导数以及函数的周期性确定正确答案.

【详解】依题意，任意X6R,者隋f(x+4)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数.

所以f(2021)=f(D粤=啜等=等.

构造函数F(x)=号(0<x<4),F'(x)=">0,

所以F(x)在区间(0,4］上单调递增，所以F(l)<F(2)<F(3),

即苧〈竽〈等，也即f(2021)<*<中.

故选：A

【变式6-1】4.(2021・陕西汉中模拟预测(文))已知定义在R上的函数f(x),其导函数为

f1(x),当x>0时，送”的>0,若2=竽为=警c=等，贝g,b,c的大小关系是()

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<a<cD.a<b<c

【答案】D

【分析】根据题意当x>0时，送萼>0,结合导数的运算法则可构造函数g(x)=%由

此判断其单调性，利用函数的单调性，即可判断a,b,c的大小.

【详解】设g(x)=?,则g(x)=#*,由题意知当x>0时，止*>0,即g(x)>0,

故g(x)=生X>0时单调递增，故g⑵<g(n)<g(5),即竽<平<警.•.a<b<c,

故选：D.

1.(2022秋•黑龙江哈尔滨・高三哈尔滨三中校考阶段练习)已知f(x)=2022--2022-x-In

(Vx2+1-x),当0<x<5，a=cosx,b=Incosx,c=ecosx,试比较f(a),/(/?),/(c)

的大小关系()

A./(a)</(c)<B./(b)</(c)</(a)

C./(c)</(a)<f(b)D.f(b)<f(a)</(c)

【答案】D

【分析】根据函数f(x)的单调性及利用xe(O,l)0yt,ln%<%<e，判断a,b,c的大小即可得解.

x

【详解】f(x)=2022-2022T-in(V^TT-x)=2022,-2022T+也(7^1+%),

・•・/(x)在R上是增函数，

由xG(0,1)时,Inx<x<e*知，b<a<c,

•••/(£>)</(a)</(c),

故选：D

2.(2023辽宁沈阳•东北育才学校校考模拟预测)设。=短，b=为啥，c=Ing,则a,

b,c的大小关系正确的是()

A.C<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<b<c

【答案】C

【分析】构造函数f(x)=ln(x+l)—*in久，求导确定单调区间，得到C>b,再构造函数g(

x)=f-ln(x+1),求导确定单调区间得到a>c,得到答案.

QI1Q

【详解】设/(%)=ln(x+l)--sinx,0<%<-,则尸(x)=---cosx,

0<%<|,|<击<1,|cosx<I，故尸(x)>0,f(x)在(0.)上单调递增,

故f(x)>f(0)=0,当。<x<争寸,ln(x+1)>|siiu恒成立，

11\6131

令

即

贝H

X6!n>n->

-一-J---C

o,376o4si

6060

设g(x)=¥—In(久+1),O<X<^,则9'(幻=点一

又x—6Vx+1=(V%)2—6<x+1=(Vx—3)2—8,

故x-6V%+1在爪6卜,需)上单调递减，x-67%+1>^-^=+1>0,

故g，(x)>0,则函数g(x)在(0,2)上单调递增，即g(x)>g(0)=0,

故当。<久时，¥>皿久+1)恒成立，

令》=表«0总),则短=/>喘即a>c,

综上所述：b<c<a.

故选：C

【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数比较函数值的大小问题，意在考查学生的计算能力,

转化能力和综合应用能力，其中构造函数，求导，利用函数的单调性比较大小是解题的关键.

3.(2023・四川成都・树德中学校考模拟预测)已知f(x)、g(x)分别为夫上的奇函数和偶函数,

且/'(久)+g(久)=e'+cosx,a=2ln(sin"+cos*)，b=logi3,c=|Og3|,则9(a)、9

(匕)、9(c)大小关系为()

A.g(c)<9(a)<g(6)B.9(a)<g(b)<5(c)

C.g(a)<g(c)<g(b)D.g(b)<g(a)<g(c)

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性的定义求出函数f(x)、g(x)的解析式，利用导数分析函数g(x)在

(0,+8)上的单调性，并比较a、网、|c|的大小关系，结合函数g(x)在(0,+8)上的单调性可

得出g(a)、g⑻、g(c)的大小关系.

【详解】因为fO)、g。)分别为R上的奇函数和偶函数，且/(x)+g(x)=e"+cos久,

则f(-%)+9(-%)=er+cos(-%),

f(x)=/

x

所以,/O)+g(x)=e+cos%,所以,x_|_—

—/(%)+g(%)=e-x+cos%g(x)=---+cosx

当x>。时，g'(x)=-----sinx,令h(x)=以£----sinx,其中x>0,

则〃(x)=---cosx>Vex-e~x~cosx=1—cosx>0,函数/i(x)在(0,+8)上单调递增,

则h(x)>/i(0)=0,因此函数g(x)在(0,+8)上为增函数,

因为sin工+cos"=V2sin^+£)=V2sinf=乎,

所以，a=21n孚=ln|=ln《<In正=g,\b\=logi3=log43>log42=

|c|=jlogsj|=1唯2>log3V3=I，

(ln3)2-(ln国>

因为网一回=需一ln2_(In3)2-ln2・ln4>0

ln3In3-ln4In3-ln4

所以，|fe|>|c|>a>0,所以，9(a)<9(|c|)<g(网),

因为函数9(x)为R上的偶函数，故9(a)<5(c)<g(b).

故选：C.

4.(2023秋・湖北•高三校联考阶段练习)记。=2。2返位，b=202V2023,c=202V2023,贝U

a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】D

1

【分析】由函数=上单调递增，可判断a<b,再对a、c两边取对数，由函数

g(x)=黑在(e2,+8)单调递减，可得c<a,从而得解.

1

【详解】设f(x)=X丽，则/。)在R上单调递增，

故―2022)<革2023),即a<b；

由于Ina=-^-ln2022,lnc=111n2023,

设9(x)=察，x>e2