高考数学重难点复习专练：解三角形大题十四大题型（原卷版）

重难点专题22解三角形大题十四大题型汇总

题型1正余弦定理的应用.............................................................1

题型2余弦定理求最值与取值范围....................................................2

题型3正弦定理求最值与取值范围....................................................4

题型4不对称结构的最值取值范围问题...............................................5

题型5三角形中线问题...............................................................7

题型6三角形角平分线问题...........................................................8

题型7三角形高线垂线问题..........................................................10

题型8普通多三角形问题............................................................12

题型9四边形问题..................................................................13

题型10面积最值取值范围问题......................................................15

题型11与三角函数结合.............................................................16

题型12三角形个数问题.............................................................18

题型13证明问题....................................................................19

题型14实际应用题.................................................................21

题型1正余弦定理的应用

、1,封:

邓F塾重点

1.若式子含有a,b,c的2次齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边"

2.面积和a,b,c2次齐次式，可构造余弦定理

【例题1】(2022秋•新疆伊犁•高三校考阶段练习)已知a、b、c分别为△4BC三个内角4

B、C的对边，acosc+V3asinC-b-c=0.

⑴求A；

(2)若a=2,△力BC的面积为百，求b、c.

【变式1-1】1.(2023•全国•高三专题练习)已知在△4BC中，角A5C的对边分别为a,b,c,

向量方=(sin71,sinB),n=(cosB,cosX),m-n=sin2C.

(1)求角C的大小；

(2)若sin4sinC,sinB成等差数列，且85,(左—而)=18,求c.

【变式1-112.(2023秋•上海嘉定•高三上海市育才中学校考阶段练习)在△ABC中，内

角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=鱼，内角A,B,C满足sinAsinB:sinC=2:1:

V2.

⑴求a的值；

(2)求sin(2C")的值.

【变式1-1】3.(2023秋•广东揭阳•高三普宁市第二中学校考阶段练习)在△ABC中，设

A,B,C所对的边分别为a,b,C,且满足bcosA-acosB=a+c.

⑴求角B；

(2)若6=5,△ABC的内切圆半径r=乎，求△ABC的面积.

【变式1-1]4.(2023秋・湖北武汉•高三武汉市第六中学校联考阶段练习)设△4BC的内

角4B,C所对的边分别为a,6,c,且2acosB=2c-b.

(1)求角4

(2)若a=7,且aABC的内切圆半径r=g,求△4BC的面积S.

【变式1-1】5.(2021秋•北京•高三景山学校校考期中)在△力BC中，内角4B,C所对的边

分别为a,瓦c,若(6+c—a)(sin/l+sinB—sinC)=csinA曰b=2.

⑴求角B的大小；

(2)在①成等差数列，②她c成等差数列，③a?炉,c2成等差数列，这三个条件中任

选一个作为已知条件，求△ABC的面积S.(如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计

分)

题型2余弦定理求最值与取值范围

【例题2】(2023秋・湖北•高三孝感高中校联考开学考试)已知a,b,c为△4BC的三个内

角A,BzC的对边，且满足：ctcosB+y/3cis\r\B—b—c=0

(1)求角4

(2)若△ABC的外接圆半径为竽，求△4BC的周长的最大值.

【变式2-1】1.(2024•陕西宝鸡・校考一模)在△ABC中，角力，B,C的对边分别为％b,

c,已知2acosA-cosB+bcos2A=V3c—b.

⑴求角A;

(2)若△ABC的面积为1,求a的最小值.

【变式2-1】2.(2023秋•河北•高三校联考期末)在△ABC中，角4B、C所对的边长分

别为a、b、c,且2aCOSC-V^bCOSC=VicCOSB.

⑴求C的值.

(2)若△ABC的面积为1,求△4BC的周长的最小值.

【变式2-1】3.(2023秋•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第一二二中学校校考开学考试)在

△4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,C,若(2a—b)cosC=ccosB,求

⑴求角C；

(2)若c=2,求△ABC的面积的最大值.

【变式2-1】4.(2023•江西景德镇•统考三模)在△4BC中，内角4,B,C的对边分别是

a,b,c.已知tanB+tanC=某出

⑴求角B；

(2)若△ABC是钝角三角形，且&=。+2,求边c的取值范围.

题型3正弦定理求最值与取值范围

采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通

常采用这种方法；

【例题3】(2023秋・河南洛阳•高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习)在△4BC中，内角

45C所对的边分别是a,6,c且sir^B+sin2c—sin2X=sinBsinC.

⑴求角A;

(2)若。=48，求△ABC周长的范围.

【变式3-1]1.(2023秋•山西运城•高三统考阶段练习)在①b2+c2-a2=竽acsinB;

②si/B+sin2C-sin2^=sinBsinC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中并作答.

在△2BC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,.

⑴求角A;

(2)若a=4VI,求△ABC周长的范围.

【变式3-1】2.(2023•全国•高三专题练习)在锐角△A8C中，角AB,C的对边分别为a,

b,c,已知a=且cosC+(cosB—V^sinB)cos4=0.

(1)求角A的大小;

(2)若b=2«，求△4BC的面积;

(3)求b+c的取值范围.

【变式3-1】3.(2023秋•广东•高三统考阶段练习)在△力BC中，角A,B,C所对的边分

别为a,b,c,tanc=吟哈.

'，，COS力+cos8

(1)求角C的大小;

(2)若△ABC是锐角三角形，且其面积为四，求边c的取值范围.

【变式3-1】4.(2023秋・云南昆明•高三云南省昆明市第十中学校考开学考试)AABC的

内角A,B,C的对边分别为a,6,c,已知ccosA—acosB+c=0

⑴求A;

(2)若a=6,求△ABC周长的取值范围.

【变式3-1】5.(2024秋・山东临沂•高三校联考开学考试)记△4BC的内角A,B,C的对

边分别为a,b,c,sinX=V2sinc.

⑴若8=以求taru；

(2)求C的最大值.

【变式3-1】6.(2023秋・浙江•高三浙江省普陀中学校联考开学考试)在△ABC中，角4、

B、C所对的边分别为a、b、c,且满足asinCCOSB+6sinacosC=§a.

(1)求角A;

⑵若△ABC为锐角三角形，求4si『B-4sinBsinC的取值范围.

题型4不对称结构的最值取值范围问题

、、1科:

寸!F塾重点

巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.

【例题4】(2022-全国•高三专题练习)在①2sinZ-sinB=2sinCcosB,②(a+c)

(sinX—sinC)=sinB(a—fa),③S4ABC—5c(asinA+bsinB—csinC)这三个条件中任选—

补充到下面的问题中并作答.

问题：在AABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,且__.

⑴求角C;

(2)若c=2,求2a—b的取值范围.

【变式4-1]1.(2023秋•辽宁沈阳•高三沈阳市第一二。中学校考阶段练习)在△2BC中,

a,瓦c分别是角4B,C所对的边，已知a=l,m=(1,-V3),n=(sin4cos4)，且而1汇

(1)若△ABC的面积为手，求b+c的值；

(2)求c-2b的取值范围.

【变式4-1】2.（2023秋・广东深圳•高三深圳市建文外国语学校校考阶段练习）已知△ABC

的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且*zc•cosB=炉一（a一c）2.

⑴求cosB的值；

（2）求福的最小值•

【变式4-1】3.（2022秋・安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考阶段练习）已知△ABC

内角A,B,C的对边为a,b,c,且c=2（a—bcosC）.

⑴求角B的大小;

（2）若△ABC为锐角三角形，求管的取值范围.

【变式4-1】4.（2023秋・河北保定•高三校联考开学考试）在△4BC中，角4,B,C的对

边分别为a,b,c,若生=若当.

⑴求角4的大小；

（2）若D为BC上一点,^BAD=^CAD,AD=3,求4b+c的最小值.

【变式4-1】5.（2023秋•河北秦皇岛•高三校联考开学考试）记△4BC的内角4B,C的对边

分别为a,6,c,面积为S,已知房=竽+abcosC.

⑴求4的值；

（2）若BC边上的中线|力。|=1,求△4BC周长的最小值.

【变式4-1】6.（2023秋・山东青岛•高三山东省青岛第五十八中学校考开学考试）在aaBC

中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量p=（2b,2c-d）,1=（l,cos2）,且万〃于,

b=3.

⑴求B的大小;

（2）求治的最大值.

【变式4-1]7.（2023秋•贵州贵阳•高三贵阳一中校考开学考试）已知△ABC的内角人B、

C所对边分别为%b、C,sinB•Sine=sin24—sin2c.

(1)若求cosC;

(2)求cos4+sinC的最大值.

题型5三角形中线问题

边分别为&b、c,震=/.

⑴求4的大小;

(2)若a=V7,c=3,。为BC的中点，求4D

【变式5-1】1.(2023秋•安徽•高三宿城一中校联考阶段练习)在△ABC中，内角A,B,

C所对边的长分别为a,b,c,且满足a+c=b(V^sin4+cosA>

⑴求B;

(2)若6=3,且△4BC的面积为g,BD是△ABC的中线，求BD的长.

【变式5-1】2.(2023秋•河南•高三校联考阶段练习)在△48C中，内角4B,C的对边分别

为a,b,c,且sin(C—4)=2(1—cosC)siri4.

(1)证明：5=2;

(2)点。是线段力B的中点且8=痣4。=2,求△4BC的周长.

【变式5-1】3.(2023秋•贵州贵阳•高三统考开学考试)在锐角△ABC中，角4B、C所

对的边分别为a、b、c.

①2aCOSB+6—2c=。；②鬻+(=磊；③tan8=^^・

在以上三个条件中选择一个，并作答.

⑴求角4；

(2)已知△ABC的面积为且4D是BC边上的中线，求力。的最小值.

【变式5-1】4.(2023秋广东揭阳•高三校考阶段练习)在aABC中，记角A,B,C所对

的边分别为a,b,c,acosC+V3asinC—b—2c=0.

⑴求角A;

(2)若熬号,AD为BC边上的中线，求tan/BAD.

题型6三角形角平分线问题

T，■!、:-r划.#•<、5、、

角平分线

如图，在AABC中，AD平分BAC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c

技巧1：内角平分线定理：箓=募唬=需

技巧2:等面积法

SA/BC=S、ABD+xABxACxsinA=|xABxADxsin^-+^xABxADxsin^,

技巧3:边与面积的比值：第=/

技巧4:角互补：

Z-ABD+Z-ADC=7r=c°s乙48。+cosZ-ADC=0,

在“BD中，3明=叫要丁

【例题6】(2022秋•内蒙古赤峰•高三赤峰二中校考阶段练习)在SBC中，内角45C所对

的边分别为a,瓦c,已知asin竽=6sin4

⑴求角B；

(2)若6=6,。为4C边上一点，8。为角B的平分线，且BD=4,求△ABC的面积.

【变式6-1]1.(2023•河北唐山•模拟预测)在△&8C中，AB=3,AC=2刀为BC边上一点,

且4。平分NBHC.

⑴若BC=3,求CD与皿

(2)若NADC=60。，设=求tan®.

【变式6-1】2.(2023秋•江苏淮安•高三统考开学考试)在△力8C中，角A,B,C的对边

分别为a,b,c,D为边BC上一点，AD=2.

(1)若△ABC的面积S=2,乙4DB=£,求a；

(2)若D为NBAC的角平分线与边BC的交点，C=2,C=£,求a.

【变式6-1]3.(2023秋浙江绍兴•高三浙江省上虞中学校考开学考试)在△48C中，已

知内角4B,C所对的边分别是a,b,c,且震与=等.

⑴求角C；

(2)若b=2,角C的平分线=求△ABC的面积.

【变式6-1]4.(2023•福建宁德•福建省宁德第一中学校考一模)在①c=12;②asinB=

6cosQ4-点这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上，并给出解答.

问题：已知她吩别为△4BC内角4,B,C的对边，。是4c边的中点a=BD=4V7,且.

⑴求b的值;

(2)若NB4C的平分线交BC于点E,求线段AE的长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

题型7三角形高线垂线问题

【例题7】(2023秋•山东泰安・高三统考阶段练习)△4BC的内角4B,C的对边分别为a,b,c,

已知4=135。/=2,c=V2.

⑴求sinC的值；

(2)若D是上一点，AC1AD,求△力BD的面积.

【变式7-1】1.(2023秋・北京•高三北京市陈经纶中学校考开学考试)如图，在△4BC中,

(1)求BC的长；

(2)设。为BC边上一点，S.AD1AC,求的面积；

(3)求sin(B+2C)的值.

【变式7-1】2.(2023秋•安徽・高三安徽省宿松中学校联考开学考试)如图，在AABC中,

角A,B,C所对边长分别为a,b,c,满足(a+b)(sin4-sinB)=C

(sinB+sinC).

(1)^<sinC;

(2)点D在BC上，ADIAC,AD=*,,求AB.

【变式7-1]3.(2023秋・辽宁・高三东北育才学校校联考开学考试)已知H为锐角△ABC

的垂心，4D,BE,CF为三角形的三条高线，目满足9”。-HE-HF=HA-HB-HC.

(1)求cosdcosBcosC的值.

(2)求cosNC力B-cosNCBA的取值范围.

【变式7-1】4.(2024秋•安徽•高三合肥市第八中学校联考开学考试)AABC中，角4B,C

的对边分别为a,瓦c,2sin2B+2sin2c+2sinBsinC+cos[2(B+C)]=1,〃的平分线交BC边于

D,过。作DE14C,垂足为点E.

(1)求角A的大小；

(2)若b=2,c=4,求AE的长.

【变式7-1】5.(2023・全国•高三专题练习)△ABC中，角4B,C的对边分别是a,hc,且满足

asin(5+C)=(b—c)sinB+csinC.

⑴求4

(2)若。在BC上，a=2,S.AD1BC,求力。的最大值.

题型8普通多三角形问题

【例题8】(2023•全国河南省实验中学校考模拟预测)记△4BC的内角4B,C的对边分别为

a,b,c,已知c=2aCOS4cOSB-bCOS2A(A<B).

⑴求4；

(2)若。是BC上的一点，目BD:DC=1:2,AD=2,求a的最小值.

【变式8-1】1.(2023秋・云南•高三校联考阶段练习)已知△ABC的三个内角A,B,(:对

应的三条边分别为a,b,c,且有：篝一cosC+藐=0.

⑴求角B的大小;

(2)设力C=9,若点M是边4C上一点，且力M=TMC,AM=MB,求aABM的面积.

【变式8-1】2.(2023•河南驻马店统考模拟预测)在△ABC中,角A,B,C的对边分别

是a,b,c,且5cos2B-14cosB=7.

⑴求sinB的值；

(2)若a=5,c=2,D是线段AC上的一点，求BD的最小值.

【变式8-1】3.(2023・河南・统考模拟预测)在△2BC中,角A,B,C的对边分别为a,

b,C,且b(6—acosC)=csinA.

(1)求勺

(2)点D在线段AC上，且AD=/C,若△4BD的面积为乎，b+c=6,求BD的长.

【变式8-1】4.(2024秋・江西•高三校联考阶段练习)在△ABC中，A+B=11C,AB=显

一V2.

(1)若cos4=t，求BC的长；

(2)若4=2C,。为48延长线上一点，E为AC边上一点，且4E=旧，DE=用,求A80E的

面积.

【变式8-1】5.(2023秋・湖南株洲•高三株洲二中校考开学考试)在△4BC中,角4,B,C

的对边分别为a,b,c,且谭/=£•

⑴求角8的大小；

(2)若点。为边BC的中点，点E,F分别在边4B,4c上，Z.EDF=f,b=c=4设4BDE=%

△DEF的面积为S,求S的取值范围.

题型9四边形问题

*卜电重点

四边形，一般适当的连接对角线，分解为有公共边俩三角形.如果是有外接圆，则要充分运

用对角互补这个隐形条件

«Z\AA/X/VWXAAA/SA/\AAAA/WWW\A/W\AA/VWW\A^/WWXAA/WXAA/V\A/W\AA/WWWWXA/WXAAA/SA^AAAAA/\/WW\A/WWWWW\A^/X/WWSAA

【例题9】（2023秋海南省直辖县级单位高三校考开学考试）如图，已知平面四边形A8CD

存在外接圆（即对角互补），且48=5,BC=2,cos乙WC=g.

⑴求△ABC的面积；

（2）若DC=D4,求△ADC的周长.

【变式9-1】1.（2023•山西吕梁统考二模）如图，在平面四边形A8C。中，乙4=135。,

AB=2,N4BD的平分线交2D于点星且BE=2五.

（2）若NBCD=60°,求△BCD周长的最大值.

【变式9-1J2.（2022秋•广东惠州•高三统考阶段练习）如图，在平面四边形2BCD中，乙4cB

=^ADC=90°,AC=2V3,NB4c=30。.

B

⑴若6=疗求BD;

(2)若4CBD=30°,求tan/BDC.

【变式9-1】3.(2023秋・湖南永州•高三校联考开学考试)如图，△ABC的内角4、B、C

的对边分别为a、b、c,△ABC外一点D(。与△力BC在同一平面内)满足NB4C=ND4C,

AB=CD=2,sinzXCF+cos^ACB=叵*

⑴求B；

(2)若△ABC的面积为2,求线段的长.

【变式9-1]4.(2023秋河北•高三校联考阶段练习)如图，△BCD为等腰三角形，BC=

g,点A,E在ABCD外，S.DE=4,乙BCD=LCDE=LBAE=个.

⑴求BE的长度；

(2)求4B+AE的最大值.

题型10面积最值取值范围问题

【例题10】(2023秋・湖南益阳•高三统考阶段练习)已知aABC的内角4,B,C的对边分别

为a,b,c,c=4,且(a—b)sinA+(b+c)sinB=(4+6)sinC.

⑴求cosC;

⑵求△ABC面积的最大值.

【变式10-1】1.(2023秋•上海黄浦・高三格致中学校考开学考试)△ABC的内角4、B、C

的对边分别为a、b、c,已知bCOSC=(2a—c)COSB.

⑴求B；

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=l,求△ABC面积的取值范围.

【变式10-1]2.(2023秋•河南焦作•高三统考开学考试)如图，在平面四边形ABCD中,

⑴求cosNCAD;

(2)若48=竽，求BC.

【变式10-1】3.(2023・河北唐山・迁西县第一中学校考二模)在锐角△力BC中，内角A,

B,C的对边分别为a,b.c.已知asinB+分os©+寄=0.

⑴求A;

(2)若a=仃，求△ABC面积的最大值.

【变式10-1】4.(2023秋•河北邯郸•高三统考阶段练习)在△ABC中，内角4,B,C所对

的边分别为a,b,c,已知c=2asinC—2ccos4

⑴求sin2A;

(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.

题型11与三角函数结合

【例题11】(2023春•海南海口•高三统考期中)已知函数/(x)=2sin(3x+s)

(3>0,阳<欧的图象的相邻两条对称轴之间的距离为或且了(久)的图象的一个对称中心为

(冷。)

⑴求f(%)的解析式;

(2)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=f(4),且△ABC

的面积为白求△ABC的周长.

【变式11-1】1.(2023秋•四川眉山•高三校考开学考试)已知向量$=(cos£,sinx),H=

(cosx,V3cosx),久6R,设函数f(%)=m-n+1

(1)求函数/(x)的单调递增区间；

(2)设a,b,c分别为△ABC的内角4,B,C的对边，若f(4)=2,b+c=2s/2,△ABC的

面积为求a的值.

【变式11-1】2.(2023秋•广东佛山•高三校考阶段练习)已知△ABC的内角A,B,C所

对的边分别为a,b,c,f(x)=4cosxsin(%—》的最大值为/(A).

⑴求角4；

(2)若点D在BC上，满足BC=3DC,且4D=V7,AB=同求角C.

【变式11-1】3.(2024秋•浙江•高三舟山中学校联考开学考试)已知函数f(x)=2sin

(we+w)(3>0,\(p\<哪周期为TC,且图像经过点2).

(1)求函数了(久)的单调增区间；

(2)在△力BC中，角4,B,C所对的边分别是a,b,c,若好停+9+0=26,c=4,

SAABC=3V^,求a的值.

【变式11-1]4.(2023秋・浙江•高三浙江省春晖中学校联考阶段练习)已知/(“)=sinx

(sinx—V3cosx).

⑴求f(%)的单调递增区间;

(2)在△4BC中，角4B,C所对的边为a,瓦c.若f(4)=5，a=2,求6+2c的取值范围.

【变式11-1】5.(2023秋・江西•高三校联考开学考试)已知函数/(x)=2sin(3久+9)

⑷＞0,0＜卬＜II)在一个周期内的图象如图所示,将函数f(x)的图象向左平移5个单位长度,

再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象.

⑴求9(%)的解析式;

(2)在△ABC中，若g(4)=—遮，AB=2,AC=5,求BC.

题型12三角形个数问题

【例题12](2022秋・山东・高三利津县高级中学校联考阶段练习)已知△ABC的内角

所对的边分别为a,b,c,三边a,b,c与面积S满足关系式：4gS-接=©2一=2且

在①6=2g,②6=4,③6=3立这三个条件中任选一个，补充在前面横线中，求

满足条件aaBC的个数.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答得分.

【变式12-1】1.(2022•河南开封・统考三模)已知△ABC中，=60°,zC=45°,AB

=4.

⑴求AC;

（2）若D为BC边上一点，给出三种数值方案：①力。=3;②后；③4。=用.判断

上述三种方案所对应的△ABD的个数（不需说明理由），并求三种方案中，当△ABD唯一时

BD的长.

【变式12-1】2.（2022•全国•高三专题练习）在△4BC中，内角A,B,C所对的边分别

为a,b,C,已知acosC+ccosA=V3,a=y[2b,记△ABC的面积为S.

⑴求a；

（2）请从下面的三个条件中任选一个，探究满足条件的△ABC的个数，并说明理由.

条件：①S=+c2—炉）,②bcos4+*=c,③bsinA=acos（B—。

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【变式12-1】3.（2023秋・湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习）△ABC的内角A,B,

C所对边分别为a,b,C,点0为△ABC的内心，记AOBC,AOAC,△。48的面积分别

为Si,S2,S3,已知用+S专一S1S3=Sg,AB=2.

（1）在①acosC+ccosa=1;②4sinBsin力+cos24=1;③+/^=0中选一^T"

作为条件，判断△ABC是否存在，若存在，求出△ABC的周长，若不存在，说明理由.（注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

（2）若△4BC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围.

题型13证明问题

【例题13】（2024秋•福建漳州•高三统考开学考试）已知△4BC的内角A,B,C的对边分

别为a,b,c,且asinB=bsin弓二

⑴求A;

（2）若D为边BC上一点，且BD=gBC,AD=^c,证明：△ABC为直角三角形.

【变式13-111.（2023•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测）记△4BC的内角4,

B,C的对边分别为a,b,c,已知aCOSB=cCOSA+aCOSC.

(1)证明：b=aCOSB;

o_

(2)右COSB=4-c=2,求△ABC的面积.

【变式13-1】2.(2023秋诃南周口•高三校联考阶段练习)在△4BC中，ZSXC=60°,

△4匹的面积为10板，。为BC的中点，原1北于点£。尸148于点尸.

⑴求△£»股的面积；

(2)若4。=等，求sin/ABC+sin/ACB的值.

【变式13-1]3.(2023秋・山东•高三沂源县第一中学校联考开学考试)记△ABC的内角

4BC的对边分别为a,b,c,2sinf=sin/+sin(B—C).

⑴证明：cosC=f;

(2)若匕2=ac,求cosB.

【变式13-1】4.(2023秋•云南昆明•高三昆明一中校考阶段练习)在△ABC中，内角A,

B,C的对边分别为a,b,c,且3acosB=2c,c=1.

⑴证明：tan/=2tanB;

⑵若a2+房=c2—等ab,求△4BC的面积.

【变式13-1】5.(2023・四川成都・校联考模拟预测)设△ABC的内角A,B,C的对边分别

为a,b,C,且2bsinC=3atan?.

(1)求证：sinB,sin/,sinC是等差数列;

(2)求tanA的最大值.

【变式13-1】6.(2023秋・江苏•高三淮阴中学校联考开学考试)如图，在AABC内任取一

点P,直线AP、BP、CP分别与边BC、CA、AB相交于点D、E、F.

dBDABsinz.BAD

(1)试证明：而=4Csin=4C

(2)若P为重心，AD=5,BE=4,CF=3,求△ABC的面积.

题型14实际应用题

【例题14】(2023秋•浙江•高三校联考阶段练习)天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界

市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔,

某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B

处，测得天门山的最高点C处的仰角为45。，他遥控无人机从点B处移动到点D处(BD平

行于地平面),已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰

(1)设平面0过BD且平行于地平面，点C到平面。的距离为h米，求BC与CD的长(用h表

示);

(2)已知cos/BCD=察，求天门山的海拔.

4U

【变式14-1]1.(2023秋・山东日照•高三统考开学考试)为美化校园，某学校将一个半圆

形的空地改造为花园.如图所示，。为圆心，半径为a(a>0)米，点4,B,P都在半圆弧上,

77

设NN0P=^POA=6,乙40B=20,且0<e(王

7

MON

(1)若在花园内铺设一条参观线路，由线段M4,AB,BM三部分组成，则当。取何值时，参观

线路最长？

(2)若在花园内的扇形0NP和四边形。MB4内种满杜鹃花，则当。取何值时，杜鹃花的种植总

面积最大？

【变式14-1]2.(2023春•河北衡水•高三河北衡水中学校考阶段练习)如图，某城市有一

条公路从正西方4。通过市中心。后转向东偏北a角方向的0B，位于该市的某大学M与市中心

。的距离0M=3V]3km,且乙4OM=0.现要修筑一条铁路L,Z在。4上设一站4在。B上

设一站B,铁路在4B部分为直线段，且经过大学M,其中tana=2,cos/3=需，=15km.

AO

⑴求大学M与站4的距离AM;

⑵求铁路4B段的长4B.

【变式14-1】3.(2023•全国•模拟预测)十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领

域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆

和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用

方法如下：如图2,手持十字测天仪，使得眼睛可以从4点观察.滑动横档CD使得4,C在同

一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，DE的影子恰好是4E.然

后，通过测量&E的长度，可计算出视线和水平面的夹角NC4D(称为太阳高度角)，最后通

过查阅地图来确定船员所在的位置.

图1图2

(1)在某次测量中，4E=40,横档的长度为20,求太阳高度角的正弦值.

(2)在杆4B上有两点41,42满足"1=S4.当横档CD的中点E位于4时，记太阳高度角为

«i(i=1,2),其中%a?都是锐角.证明：＜2a2.

【变式14-1】4.(2023・广东汕头•金山中学校考三模)为测量地形不规则的一个区域的径

长采用间接测量的方法，如图，阴影部分为不规则地形，利用激光仪器和反光规律得

至!U4CB=Z-DCB,N4CD为方屯角，AC=5,AD=7,sm^ADC=半.

⑴求Sin/ACB的值;

(2)若测得=求待测径长4B.

1.(2023•江西•校联考模拟预测)已知△ABC中内角4,B,C所对边分别为a,b,c,bsin

-By+C-=as.mB「

⑴求乙4；

(2)若BC边上一点，满足BD=2CD且4D=V3,求△ABC的面积最大值.

2.(2023・江苏扬州•仪征中学校考模拟预测)设aaBC的内角4B,C所对边分别为a力,c

111+cos^sinB

(a,hc