二次函数变换综合题分类训练（平移轴对称旋转）解析版-2025年重庆中考数学复习专项训练

专题16二次函数变换综合题分类训练

(平移轴对称旋转)

目录

【题型1二次函数平移综合题】..................................................................1

【题型2二次函数轴对称综合题】..............................................................44

【题型3二次函数旋转综合题1..................................................................................................81

【题型1二次函数平移综合题】

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=a%2+b%+eg40)的图象与x轴交于4(一1,0)、B(4,0)两点，与y轴交

于点。(0,2).

(2)如图1,点P是直线BC上方抛物线上的一个动点，连接PC、PB；求当APBC的面积最大值及点P的坐标;

⑶如图2,在(2)的条件下，连接OP,将抛物线沿射线C8的方向平移得到新抛物线V，使得新抛物线y经

过点B,且与直线BC相交于另一点“，点Q为抛物线V上的一个动点，当N"BQ=NPOB时，直接写出符合条

件的所有Q点的坐标.

【答案】⑴丫=一权2+江+2

⑵S^PBC的最大值4，P(2,3)

⑶俘，金或(23,-152)

【分析】(1)将4B、C的坐标代入解析式，即可求解；

(2)过点P作轴于。，交直线8c于E,由待定系数法得直线的解析式为y=-|x+2,设P

(m,-|m2+|m+2)-由S^BC=S^PCE+S^PBE得出二次函数，利用二次函数的性质即可求解；

(3)由正切函数得tanzCBO=第=］由勾股定理得BC=J℃2+。辟=2代，设将抛物线沿射线CB的方

向平移而建(n>0)个单位得到新抛物线y，，可得原抛物线水平向右平移2几个单位，向下平移n个单位，平

移后的二次函数y，=-Xx-|-2n)2+K-m将B(4,0)代入可求"的值，联立此抛物线和直线BC的解析式可

求”(8,—2)，①当Q在直线BC的上方，连接AC,过点H作轴交于F,作NH1x轴交BQ的延长线于M，

过M作MGlx轴于G,由ASA可判定△力CB三△N”B,由三角形的性质得力B=NB=5,AC=NH=近,由

正切函数及勾股定理得NG2+MG2=MN2,可求NG=2,MG=4,可求M(n,4),待定系数法可求直线8M

的解析式为y=白-争联立此直线与y，的解析式即可求出Q的坐标；②当Q在直线8c的下方，过点H作

“Fix轴交于F,作MHlx轴交BQ于M,过M作MG1*轴于G,同理可求直线MN的解析式为y=2尤一18,设

M(7,2/—18)，由勾股定理得Be?+MG2=8A/2,可求出f的值，从而可求M(5,—8)，同理可求直线BM的解

析式为y=-8x+32,联立此直线与y，的解析式即可求出Q的坐标.

【详解】(1)解：由题意得

a—b+c=0

16a+4b+c=0,

c=2

(a=--

2

解得：｝b=-

2

Ic=2

3

y=-ix2+।-%+,2o；

(2)解：过点尸作PDlx轴于D,交直线BC于E,

则有

4fc+6=0

b=2

解得:

直线BC的解析式为y=-扛+2,

设P(m,—：根2+5rH+2),

•••—+2)，

13/1\

••・PE=——m27+—m+2—y——m+2)

12In

=一#+2m,

S^PBC=SNCE+SNBE

11

=-0D-PE+-BD-PE

1

=,尸E(。。+8。)

=£x4(—2TH2+2m)

=—m2+4m

=-(m-2)2+4,

v-l<0,

・•・当TH=2时，S4PBC取得最大值4，

193

yP=——x2+—x2+2

=3,

，P(2,3)，

故SZXPBC的最大值4，P(2,3)；

(3)解：：B(4,O),C(0,2)，

OB=4,OC=2,

oci

・•・tanaBO=第=j

U£>Z

BC=VOC2+OB2

=V42+22

=2V5>

设将抛物线沿射线CB的方向平移而n(n>0)个单位得到新抛物线y，,

二原抛物线水平向右平移2n个单位，向下平移几个单位，

y=-(x-2-2nJ+T-n>

•・,y'经过3(4,0),

3八「5八

-z[4—--2n)+-z-n=0,

整理得：n2-2n=0,

解得：=2,n2=0，

/=4G-1-4)2+T-2

"(%―/)+P

联立卜=一:(：-£)+9,

、y=一/+2

解得：｛；式或｛J二当，

••”(8,-2)，

①当Q在直线BC的上方，

如图，连接ZC,过点“作“尸，》轴交于乩作N”，无轴交BQ的延长线于M,过M作轴于G,

・•・乙NHB=90°,

・•.BF=0F-0B=4,

・•・BH=J8F2+F//2

=J42+22

=2V5,

・•.BC=BH,

:/(TO)，

*e•tanzOCi4=

AC=Vl2+22=近,

AB=OA-{-OB=5,

Z.OCA=Z-OBC,

•••乙。BC+NOCB=90。,

・•・4。。/+4。。8=90。，

・•・AACB=乙NHB=90°,

在△ZCB和△N”B中

(LACB=乙NHB

]BC=BH,

V^ABC=乙NBH

・•・AACB三ANHB(ASA),

.・.AB=NB=5,

AC=NH=近,

BH

*'.tan乙BNH=

NH

2V50

=—=2,

V5

•••乙MNG=乙BNH,

.♦.tanNMNG=萼=2,

NG

MG=2NG,

・•.P(2,3)，

3

・•・tanZ.POB=

•・•乙HBQ=^POB,

3

・•・tanZ.HBQ=

.MH_3

MH3

•’,温=P

・•・MH=3心

・•.MN=MH-NH

=3V5-V5=2V5，

vNG2+MG2=MN2,

2

NG2+(2WG)2=(2V5),

解得：NG=2,

MG=4,

，OG=OB+BN+NG

=4+5+2

=11,

同理可求直线的解析式为y=

/416

y=yx~v

联可_1(11\29'

解得:,或仁(

・••Q(臀］

②当Q在直线BC的下方，

如图，过点H作HF1x轴交于尸，作MH1无轴交BQ于M,过M作MG_Lx轴于G,

N(9,0)，

同理可求直线MN的解析式为y=2%-18,

设M(f,27-18)，

MG=18-2/,

BG=f-4,

vBG2+MG2=BM2,

■■「4)2+(18-2/)2=65,

解得：fi=5，f2=IL

当/=11时，

y=2X11-18=4>0,

•1•/'=11不合题意舍去，

当/=5时，

y=2x5-18=—8,

同理可求直线的解析式为y=-8%+32,

(y=-8x+32

解得：&/或｛j/2,

•••<2(23,-152)：

综上所述：Q点的坐标为停房)或(23,-152).

【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，二次函数的性质，全等三角形的判定及性质，勾

股定理，正切函数等，掌握待定系数法，二次函数的性质，能作出恰当的辅助线构建三角形及全等三角形，

熟练利用勾股定理求解是解题的关键.

2.已知，在平面直角坐标系中，抛物线丫=公2+法+3与；(：轴交于点2,C,与了轴交于点N,其中8(-3,0)

，C(l,0>

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,连接2B,点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作PKIIy轴交力B于点K,过点K作KEly

轴，垂足为点£,求PK+KE的最大值并求出此时点尸的坐标；

⑶如图2,点尸在抛物线上，且满足在(2)中求出的点尸的坐标，连接PC,将该抛物线向右平移，使得新

抛物线y'恰好经过原点，点C的对应点是尸，点M是新抛物线y'上一点，连接CM,当NMCF+NPCB=135。

时，请直接写出所有符合条件的点河的坐标.

【答案】⑴丫=一公一2%+3

⑵当t=-2时，KP+KE的最大值为4,此时P(-2,3)

⑶M(l,3)

【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了求函数解析式、二次函数的性质、二次函数综合等知识点，

掌握求二次函数解析式的方法以及会用配方法求最值是解题关键.

2

(1)将8(—3,0)代入y=ax+bx+3中得到二元一次方程组求解即可；

(2)由(1)可知抛物线的解析式为y=---2x+3,得直线4B的解析式为y=x+3,设P

2

(t_t_2t+3)，则K(t,t+3),故PK+KE=-*-4t=-(t+2)2+4,再根据二次函数的性质求解即可；

(3)先求平移后的抛物线解析式为y=-(x-2)2+4,再证明△PRC为等腰直角三角形，由

NMCF+NPCB=135。得NMCF=90。，过C作CM1CF,交移动后的抛物线于当x=l时，y=-(x-2)2

+4=3,即M(l,3).

【详解】(()解：将B(-3,0),C(l,0)代入y=a/+b%+3中,

(9a-3b+3=0

’1@+5+3=0'

•••a=—l,b=—2,

•»y——2%+3.

(2)解：由(1)可知抛物线的解析式为y=—/—2x+3,

・•・4(0,3),

设直线4B的解析式为y=kx+3,贝|0=—3k+3,解得：fc=l,

直线的解析式为y=x+3,

设P(t,—产—2t+3)，则K(t,t+3),

•••PK=-t2-3t,

AO=BO=3,

ABAO=45°,

・•.AE=KE,

KE=3—t—3=-t,

■.PK+KE=-t2-4t=-(t+2)2+4,

当t=—2时，KP+KE的最大值为4,此时P(—2,3)；

(3)解：设抛物线向右平移n个单位，

二平移后的抛物线解析式为y=-(%+1-n)2+4,

•••抛物线平移后经过原点，

-(1-n)2+4=0,

解得：几=3或?1=一1(舍)，

・•・平移后的抛物线解析式为y=-(久一2)2+4,

PR=3,RO=2,

,.1y=-X2-2X+3,令y=0,贝!Jx=-3或1,

OC=1,

RC=RO+OC=3,

RC=RP,

・•.△PRC为等腰直角三角形，

•••乙PCB=45°,

•・•ZMCF+ZPCB=135°,

・•.Z.MCF=90°,

过C作CM1CF,交移动后的抛物线于M,

当％=1时，y=一(%—2)2+4=3,

・•・M(l,3).

3.如图所示，在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线y=a/+6%+6与x轴交于点N、8两点，与

y轴的正半轴交于点C.已知点4(—2,0)，点B(6,0),连接3C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)如图1,点尸为抛物线第一象限内的一点，过点尸作PD1BC于点D,求加PD+&BD的最大值及此时点P

的坐标；

⑶如图2,点尸是线段。C的中点，将抛物线沿着射线CB的方向平移2五个单位得到新抛物线，点Q在新抛物

线上，是否存在点Q使NFBQ+NBC。=90。?若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(l)y=-#+2x+6

(2)&PD+&BD的最大值为16,此时点P的坐标为(2,8)

(3)(0,—2)或(4,6)

【分析】(1)代入做一2,0)，8(6,0)到抛物线丫=+法+6,求出a、6的值即可；

(2)作PGIIy轴交x轴于G,交直线BC于E,利用等腰Rt△BEG和等腰Rt△PDE的性质，转化无PD+gBD

的最大值为2PG的最大值，再利用抛物线的顶点坐标公式求出点P的坐标即可；

(3)先求出平移后的抛物线解析式为y=-*x—4)2+6,由AFBQ+NBC。=90°得NFBQ=45°,作出二次

函数y=-**-4)2+6的图象，记图象与y轴交点为Qi，顶点为(?2，易得以(0,-2)，＜?2(4,6)，连接BQ】、B

Q2,作FHLBC交BC于点H,BQ2，％轴交于点K,然后通过相似三角形的判定、全等三角形的判定证明出、

Q2分别为符合题意的点Q即可.

【详解】⑴解：代入4(—2,0)，8(6,0)得｛3雷2射霁/0,

解得：］

抛物线的解析式为y=~x2+2x+6.

(2)如图，作PG||y轴交x轴于G,交直线BC于E,

令x=0,则y=6,即C(0,6)，

••,B(6,0),。(0,6)，

OC=OB,

又・."。。=90。，

•••Z-OBC=Z.OCB=1x(180°-90°)=45°,

•・.PG||y轴,

/.^DEP=Z.OCB=45°,乙PGB=LC0B=9U。,

/.Z.GEB=1800-APGB-Z.GBE=45°,

・••乙GEB=^GBE=4S。,

•••BG=GE,

・・.△BEG是等腰直角三角形，

・•.BE=近EG,

•・•PD1BC,

^PDE=90°,40EP=45。，

・•・乙DPE=180。一乙PDE一乙DEP=45°,

・•・Z.DEP=乙DPE,

DP=DE,

・•・△PDE是等腰直角三角形，

PE=五PD=®DE,

尬BD=五(DE+BE)=近DE+近BE=PE+2EG,

・•・乐PD+五BD=PE+PE+2EG=2PG,

设P(m,一+2m+6)(0<m<6)，

贝iJPG=-1m2+2m+6=-1(m-2)2+8,

当爪=2时，PG有最大值8,即PGW8,此时P(2,8)，

•••ypiPD+ypiBD=2PG<2x8,

••・&PD+五BD<16,

•••丘PD+y2D的最大值为16,此时点P的坐标为(2,8).

1O1O

(3)y=--x2+2x+6=--(%-2)2+8,尸(0,3)，

•••抛物线沿着射线CB的方向平移2正个单位，ACBO=45°,

••・抛物线向右平移2个单位，再向下平移2个单位，

•••新抛物线的解析式为：y=-|(x-4)2+6,

由(2)中的结论得，40CB=45。，即NBC。=45。，

■:乙FBQ+乙BCO=90°,

.­.乙FBQ=90°-ZBCO=45°；

如图，作出二次函数y=—*%-4)2+6的图象，记图象与y轴交点为Qi，顶点为Q?，

连接BQ1、BQ2，作交BC于点“，Q2KX轴交x轴于点K，

令％=0,则y=_gx(_4)2+6=—2,即Qi(o,_2)，

当x=4时，y=-夫%-4)2+6有最大值6,即顶点坐标为(?2(4,6);

・・•点尸是线段。。的中点，

CF=1'OC=：x6=3,

■：FH1BC,

:.乙FHB=^FHC=9Q°,

Z.OCB=45°,

•••ACFH=乙FHB-AOCB=90°-45°=45°,

•••^CFH=KOCB,BPZCFH=乙FCH,

.-.CH=FH,

又*"HC=90°,

CFH是等腰直角三角形，

CF=近CH=®FH,

CF32G

CH=FH=亍===吗

V2V22

VOB=OC,45。。=90。,

.•.△OBC是等腰直角三角形，

•••BC=V2OC=6五，

BH=BC-CH=—,

2

・•・BH=3FHf

•・•BO=6,OQI=2,

・•・BO=3OQi，

.BH_3FH_FH

••法—3OQi―西，

VZ.FHB=90°,4Q108=90。，

AZ.FHB=Z-Q^OB,

巾BHFH

人•BO-OQJ

.*.△BHF〜ABOQp

:,（HBF=乙OBQi，

・••乙HBF+乙OBF=（OBQ\+4。8?，=乙FBQ1,

•:乙OBH=LOBC=4S。,

:,乙FBQi=45°,

Qi是符合题意的一个点Q；

TQ2K轴，（22（4,6），

:•Q2K=6,OK=4,

又・.•OB=6,

：・BK=OB-OK=6-4=2,Q2K=OB,

・•・BK=OQi，

又•••4Q2KB=乙BOQ、=90°,

•••△8KQ2三△QI°B(SAS)，

:.乙Q2BK=LBQi。；

/-Q2BK+NOBQI=乙BQ\O+NOBQI，

NBQ1。+4OBQi+NBOQ1=180°,Z.BOQ1=90°,

乙BQ/)+乙OBQi=180°-90°=90°,

•••/.Q2BK+NOBQi=90°,

NQ2BQ1=90°,

又,•,NF8QI=45°,

:.乙FBQ2=Z-Q2BQ1-Z.FBQ1=90°-45°=45°,

•••Q2是符合题意的另一个点Q；

二综上所述，Q的坐标为(0,-2)或(4,6>

【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌

握二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，学会通过作垂线构造直角三角形，能够利用等腰直角三

角形的性质转化线段关系，能够利用直角边的比例证明相似三角形是解题的关键，本题属于二次函数综合

题，需要较强的数形结合和推理能力，适合有能力解决难题的学生.

4.如图所示，关于X的抛物线丫=也2—尤一3,与X轴从左往右分别交于点/、点8,与y轴交于点C,连结

CB.

(1)求出4、B、C点的坐标；

⑵点尸为直线BC下方抛物线上的任意一点，过点P作PQlx轴交BC于点。，求PQ+当CQ的最大值及此时

点P的坐标；

⑶若将原抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点£,连结AC、BE,点M为新

抛物线上一动点，若=请直接写出满足条件的点M的坐标.

【答案】(1)力(一2,0),8(6,0),C(0,-3)

⑵最大值为4,P（4,—3）

⑶M的坐标为（24,114）或（4.8,-5。4）

【分析】（1）令x=0,y=0求解即可;

⑵过0作QTly轴于T,设（2（X,|X-3）,由三角函数可知CT=*Q,可得PQ+*Q=]

2

（x-4）+4（o<x<6）>再求最值及坐标即可；

（3）分两种情况讨论，当〃•在BE下方时，过£作£",使N8EK=N4C0,交新抛物线于过8作BDLEK

于D,过。作CGlx轴于G,过E作EF1DG交GD延长线于R则NBGD=NDFE=NBDE=90。，证明

△BGDMDFE,可得黑=卷=黑=未设DG=x,则DF=6—x,由EF=OG求出x,即可求出D

UrhrcU3

偿，-黝，求出OE的解析式，并与平移后的抛物线联立即可求出M点坐标；当M在BE上方时，作EJ,使

乙BEJ=UCO,交新抛物线于M',在E/上取一点N,使EN=ED,过N作NHly轴于“，证明

△HNE三△FDE（AAS），求出可偿,蒋），同理可求坐标.

【详解】⑴解：当x=0时，y=-3,

2

当y-0时,i%-%-3=0,解得巧=-2,X2=6,

又・••/在8的左侧，

二4（一2,0）,3（6,0）;

（2）解：过。作QTly轴于T,

・,・直线的解析式为y=1%-3,

设P（x,1X2—x—3），贝!JQ（x,1%—3），

•••CT=1X-3-(-3)=如PQ=1X-3-Q%2-X-3)=-^x2+1%,

•••QTly,OBIOC,

・••TQWOB,

•••乙TQC=Z.OBC,

•・・B(6,0),C(0,—3)，

OB—6,0C—3,

在Rt^OBC中，BC=V32+62=3V5-

在Rt△CTQ中，CT=CQ-sin/CQT=CQ-sin乙OBC=CQ-=[cQ,

PQ+^-CQ=PQ+CT=-1x2+|x+|x=~x2+2x=~(x-4)2+4(o<x<6)>

T。，

・・・当x=4时，PQ+*Q有最大值，最大值为4,

当x=4时，|X2-X-3=-3,

■­■P(4,—3);

(3)解：•••将原抛物线向下平移3个单位长度得到新抛物线，

二新抛物线的解析式为：y=ix2-x-6,

当％=0时，y=-6,

E(0,-6)，

OE=6,

当M在BE下方时,

过E作EK,使乙=交新抛物线于M,过5作BOIEK于。，过。作OG_L%轴于G,过E作EFJ.OG

交G。延长线于尸，则NBGO=Z■。尸E=N8DE=90。,

•••乙BOE=9。。,

•••四边形0EFG是矩形，

：.GF=0E=6,EF=OG,AOEF=90°,

,•,4(—2,0)，

OA=2,

OA2

tanZy4C0=—=

•••乙BEK=cACO,

Dr\2

・•・tan^BEK=—=tan^ACO=

ED3

•••乙BGD=^BDE=90。,

・•・乙BDG+乙GBD=乙BDG+乙EDF=90°,

•••Z-GBD=Z-EDF,

BGDs/\DFE,

.BG_DG_BD_2

''~DF~~EF~~ED~3"

设。G=%,贝!］。9=6一%,

口「3DG3%2八厂2“、42

"EF=—=~'BG=3DF=式6—x)=4--X,

•・•EF=OG,

3r2

2=6+4—/,

解得：X=程

八二60。厂4212八二口厂3%90rl厂「18

•••DG=记BG=4--x=-,OG=EF=-=-,DF=6-x=-

••碗Y)，

设直线DE的解析式为y=mx+n,

把。偿黝，£(0,-6)代入得，卜：:613,

解得：［爪=:，

(n=-6

直线DE的解析式为y=聂-6,

'y=

联立

y=^xi-x-6

4-

解得：｛江；或｛:秘4,

；•”(4.8,-5.04)，

当〃在BE上方时，

作E/,使4BEJ=4ACO,交新抛物线于M',在E/上取一点N,使EN=ED,过N作NHly轴于",

OE=OB=6,

・•・乙OEB=LOBE=45。，

・••乙OEB=乙BEF=45°,

•••乙BEJ=^-ACO=乙BEK,

・••乙HEN=乙DEF,

•••LEHN=乙DFE=90°,

・•.△HNE=△FOE（AAS），

...EH=EF=泓N=DF=^,

・,,。”=*6=5

-C.S）'

设直线切的解析式为y=px+q,

把噌噌），E（o=6）代入得卜仁然用

解得:[^=-6,

・•・直线切的解析式为y=5%-6,

y=5x—6

｛y=1%2-X-6，

解得：｛丁掘｛:二茏,

综上所述，M的坐标为（24,114）或（48-5.04>

【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及相似三角形的性质和判定，三角函数，待定系数法求解析式，全

等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，正确的作出辅助线，综合运用以上知识是解题的关键.

5.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-、+1与抛物线丫=a/-%+3（a40）交于/,B两点，且点工

在x轴上，直线与y轴交于点C.

KI常用图

⑴求抛物线的表达式；

(2)P是直线力B上方抛物线上一点，过P作PQIIy轴交直线4B于点Q,求PQ+争Q的最大值，并求此时点P的

坐标；

⑶在(2)PQ+争Q的最大值的条件下，连接BP,将抛物线沿射线B4方向平移，使得点4在新抛物线的对

称轴上，M是新抛物线上一动点，当=时，直接写出所有符合条件的点M的坐标.

【答案】(l)y=~x2~x+3

⑵PQ+争Q的最大值为4,P(—2,4)

⑶点M的坐标为(2,2)或(弯止，-3年一9)

【分析】(1)先由一次函数解析式求出点4(2,0)，再把做2,0)代入y=a，一久+3,求出。值即可；

(2)延长PQ交y轴于。，证明△OACYZMQ,得卷=翁即得=壶，求得。(2=各2,再设P

(%,一，2_乂+3),贝!lQ(x,—'+1),贝!1PQ=—和2—京+2,QD=~x+1,所以PQ+当

AQ=PQ+QD=PD=~(x+2)2+4,利用二次函数最值即可求解.

(3)根据平移的性质求得抛物线平移后的解析式为y=-9/+尤+1,再分两种情况：当点”在直线4B上

方时，当点M在直线48下方时，分别求解即可.

【详解】(1)解：对于直线y=—y+l,

令y=0,则一)+1=0,解得：x=2,

”(2,0)，

把4(2,0)代入y=一%+3,得0=4。-2+3,

解得：

a=—4-

•,・抛物线的表达式y=~x2-x+3.

(2)解：延长PQ交V轴于。，

1

对于直线y=-/+1,

令％=0,则y=l,

,•弘（2,0）

•'-AC=Vl2+22=V5

•••PQIIy轴,即QDIIOC,

•••△OACDAQ

/COCV51

二而=而，即而=而，

.-.DQ=^-AQ,

设P（x,—32_刀+3）,贝!lQ（x,—1+1）,

-'-PQ=~^x2-x+3-（一1%+1）=~x2-x+2,QD=~x+1

22

：.PQ+争Q=PQ+QD=PD=—x-x+3=—（%+2）+4

--J<0

.•.当x=—2时，PQ+^4Q的最大值为4；

（3）解：联立，［y=_1彳-%：3,

Iy=~2x+1

解得：｛:3,£：o-

,'B(—4,3)，

由(2)知，在PQ+争Q的最大值的条件下，抛物线的顶点为点P(-2,4)，对称为直线PQ，

当乂=一2时，则y=-gx(―2)+1=2,

•,•<2(-2,2).

则PQ=2,PB=QB=722+I2=V5.

"BPQ=乙BQP,

••・将抛物线沿射线B4方向平移，使得点4在新抛物线的对称轴上，

二点Q平移后与点A重合，

-(2(-2,2)，省2,0)，

••・抛物线沿射线比4方向平移，是向下平移了2个单位，向右平移了4个单位，

二抛物线顶点「(一2,4)平移后到点P'(2,2)，点8(-4,3)平移后到点*(0,1),即9与C重合，

△BPQ=△B'P,A,抛物线平移后的解析式为y=-1(%-2)2+2=~x2+x+l,

"BPQ=Z.B'P'A,

P'(2,2)，

■■P'B'="+(2-1)2=V5>

4(2,0)，

■-AB'=7z2+l2=Vs>

：.P'B'=AB',

.-./-B'AP'=Z-B'P'A,

当点河在直线48上方时，

■.■Z.MAB=Z.BPQ,

.-.Z.MAB-/.B'P'A,

二点Af与点P重合,

•・收2,2），

当点〃•在直线4B下方时，设MQ,—3/+%+1),

过点M作MEIIPQ,交4B于E,交x轴于N,贝Ij/MEA=NBQP,E(x_lx+i),

则△AOCsZXANE,

.•爷=嘉，则4E=ENSC=®E，

-Z-MAB=乙BPQ,

・•・△BPQMAE,

BQPQ制败ME

・.・赢=而则方=7F

•.Vs•—=碍Jj"敕干整田理7日得：3/£1一—、“，

即：l(-|x+l)=-(-i%2+x+l).解得：x=(x=用舍去)，

此时，VM=3|卫，

,-41+1—3V41—9^

综上，符合条件的点M的坐标为(2,2)或(等止,出鲁).

【点睛】本题属二次函数综合题目，主要去向不明了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线

的平移，相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握相关性质是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a-+版+|与无轴交于4B(i,o)两点，交y轴于点C,抛物线的

对称轴是直线x=-2.

⑴求抛物线的解析式；

⑵点M是直线4c上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点M作MDII%轴交抛物线于点。，作ME||y轴交直线/C

1

于点E,求+3ME的最大值及此时点M的坐标；

⑶将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得到新的抛物线，在+3ME取得最大值的条件

下，点P为点。平移后的对应点，点Q为点力平移后的对应点，连接PQ,点R为平移后的抛物线上一点，若△PQR

为以PQ为直角边的直角三角形，请直接写出所有符合条件的点R的坐标.

［答案］（i）y=-gx+,

（2*MD+3ME的最大值7.此时M（—3,乡

⑶端，一5）或俘，一给

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；

（2）设”（小,一!加2-?巾+3,求得直线AC的解析式，用含m的式子表示出M。和ME,利用二次函数的性

质求解即可；

（3）利用平移的性质求得平移后的抛物线的解析式，以及P（2,/），Q（-2,1），分两种情况讨论即可求解.

【详解】（1）解：由题知

1

a---

角得

津3

--4

b

3-

124।5

y=_/_/+§；

(2)解：设MQH,—［血？—g7n+£),

令y=_，_%+1=0,得%i=-5,%2=1.

•••做—5,0)，

令％=0,得y=|，

.•.c(o,3,

设直线4c的解析式为y=依+9，

则0=-5k+,

解得k=1,

二直线4C的解析式为y=%+0

MD||%轴交抛物线于点。，抛物线的对称轴是直线％=-2,

*'•MD=2(-2—m)="4—2m,

・•,ME||y轴交直线/C于点E,

124i5A5\15

ME=*_髀+E髀+3)=23m'

1/15\

•••—MD+SME=—2—m+3—m27——mJ

=-m2-6m-2=-(m+3)2+7,

当m=-3时，|M£>+3ME取得最大值7,

⑶解:喘T)或俘，善)

平移后的抛物线的解析式为：y=—^(x—3)2~^(x—3)+1+1,

整理得y—~%2+-|x+-y-,

.-.0(-1.1),

”(一5,0)，

•••P(-1+3,|+1)，Q(-5+3,0+1)，

••・P(2,弓)，Q(-2,l)，

77

同理，直线PQ的解析式为：y=|x+g

当点Q为直角顶点时，

如图，QH1PQ交X轴于点H,直线PQ交X轴于点G,交y轴于点/,

则G(_g,O),《0,9，

=+G)=噜'QG=J(-2+3+12="'

•••乙IGO=^HGQ,Z/OG=ZHQG=90°,

△IGOMHGQ,

GOGI„J_2

"GQ=GH'即n浮=备，

解得GH=9，

4

同理，直线QH的解析式为：y=~x-2,

联立，-%2+-|x+^-=~x—2,

解得=-2,%2=-y-.

当P为直角顶点时，

同理，直线PR的解析式为：y=-|x+拿

严一12।2.11_3,20

联乂，~X+/+可=~X+V,

q

解得久i=2,x2=-.

/.R(-

\2，12/

•',7?(1—4)或俘厂'¥)・

【点睛】本题属于二次函数的综合题，难度很大，考查了待定系数法，二次函数的性质，相似三角形的判

定和性质，关键是做出合适的辅助线进行转化，清晰的分类讨论是解本题的关键.

7.如图，已知二次函数y=a久2+b光+4的图象交x轴于点2(1,0),5(4,0)，交V轴于点C.

⑴求这个二次函数的解析式；

⑵若P是直线8c下方抛物线上的一动点，求△BCP面积的最大值；

⑶将抛物线沿射线BC方向平移等单位得到新的抛物线/，点M是新抛物线;/对称轴上一点，点N为平面直角

坐标系内一点，直接写出所有以B,C,M,N为顶点的四边形为矩形的点N的坐标.

【答案】(i)y=——5x+4

(2)8

(3)点N的坐标为(-2,2)或(6,2)或(2,2+2际或(2,2—2际

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)先求出C(0,4)，待定系数法求出直线BC的解析式为：y=-x+4,作PDIIy轴交BC于。，设P

2

(m,m—5m+4)(0<m<4)>则。(m,—m+4)，求出P。=—(m-2猿+4,再表不出S4^cp=(久B—%c)

=-2(m-2)2+8,结合二次函数的性质即可得解；

(3)求出新抛物线解析式得到新抛物线:/的对称轴为直线％=2,设M(2,t),N(s,r),贝UCM?=«—0)2+

(t-4)2=t2-8t+20,BM2=(2-4)2+t2=t2+4,BC2=(4-0)2+(0-4)2=32,若以B,C,M,N为顶

点的四边形为矩形，则△8CM为直角三角形，再分三种情况：当以点8为直角顶点时，BM2+BC2^CM2;

222

当以点C为直角顶点时，CM+BC=BM;当以点M为直角顶点时，C"2+BM2=BC2,分别利用勾股定理

并结合矩形的性质计算即可得解.

【详解】(1)解：,.二次函数y=+8％+4的图象交汇轴于点4(i,o),8(4,0)，

ra+b+4=0

"16a+4b+4=0，

解得：［b=-s，

，二次函数的解析式为y=X2-5X+4；

(2)解：在y=/-5汽+4中，当第=0时，y=4,

,,((0,4)，

设直线BC的解析式为y=kx+4,

将8(4,0)代入解析式可得轨+4=0,

解得：k=-1,

・,・直线的解析式为：y=—%+4,

作PO||y轴交于O,

设P(nvn2_577i+4)(0<m<4)，则。(TH,—?n+4)，

222

；・PD=-m+4-(m-5m+4)=~m+4m=-(m-2)+4,

,：SABCP=2^^(XB~XC)=E[一(7n-2)2+4]x(4—0)=—2(m—2)2+8,

・..当TH=2时，S4BCP的值最大，为8;

2

(3)解：y=%2—5%+4=(%—I)+p

\乙/4

••・将抛物线沿射线BC方向平移孚单位得到新的抛物线y，,

2

••・将抛物线先向左平移为单位，在向上平移衿单位，即/=(%_：+：)+)+；=(尤一2)2+3,

••・新抛物线y'的对称轴为直线刀=2,

设M(2,t)，N(s,r),则/"2=(2_o)2+«_4)2=t2_81+20,BM?=(2-4猿+产=产+4,BC2=(4-0)2

(0—4)2=32,

若以B,C,M,N为顶点的四边形为矩形，则△BCM为直角三角形，

当以点B为直角顶点时，BM2+BC2=CM2,

.••力2+4+32=Z2—81+20,

解得：[=-2,

此时M(2,-2)，

由矩形的性质可得｛[2th。4二'：〉，

解得：即此时N(-2,2);

当以点C为直角顶点时，CM2+BC2=BM2,

:・F+4=产—8t+20+32,

解得：力=6,

此时M(2,6)，

由矩形的性质可得：｛:曹爹",

解得：｛；：g,即此时N(6,2);

当以点M为直角顶点时，CM2+BM2=BC2,

.,•/+4+产―8t+20=32,

解得：t=2+2&或1=2-2V^,

此时M(2,2+2际或M(2,2—2仍，

2

由矩形的性质可得：1+2vf；r=4+0或1-蔑；0，

解得：｛「丁2=^我或1=＞一；2无，即此时N(2,2—2女)或N(2,2+2伪；

综上所述，点N的坐标为(-2,2)或(6,2)或(2,2+2伪或(2,2-2我＞

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数综合一面积问题、二次函数综合一特殊四边形、

勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论与数形结合的思想是解此

题的关键.

8.如图，抛物线y=a/+6%—2与％轴交于4B两点(4在B的左侧)，与y轴交于点C,且满足

OA:OC:OB=6:2:1,连接AC、BC.

(2)如图1,点P是线段4c下方抛物线上的一动点，过点「作/5。！/!。于点D,点E为直线BC上一动点，当PD取

最大值时，连接PE,求PE+卷BE的最小值；

⑶如图2,将该抛物线沿射线4C方向平移函个单位长度，得到新抛物线月，点Q是月上一动点，是否存在

“BC,使得“BC=NBC。+N04C,若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴丫=级+%—2；

(2)4；

⑶Q的坐标为(1一后,一苧)或(一4+2710,15-6710).

2

【分析】(1)当x=0时，^y=ax+bx-2=-2,OC=2,由。4:0C:0B=6:2:1,得2(-6,0)，进

而利用待定系数法即可得解；

(2)如图，过点P作于M,交"于N,过点B作BG14B于B,过点E作EG，8G于点G,先求出直线

AC为:y=~x—2,^P(m,^m2+|tn-2)>贝！)(犯—：山—2)，^PN=—^in—2—^m2+|m—2)=

-2m,进而得PD=^?PN=察(_9nl2_2爪)=—噜(巾+3)2+察，当巾=一3时，p。的值最大，求出

P(_3,一4)，再利用垂线段最短得PE+EG取最小值时，PE+^BE的值最小，当P、E,G,三点共线，PG1BG

时，+的值最小，从而即可得解.

(3)过B作BM1AB于B,在x轴的下方直线BM上，作BM=。4=6,过M作MH1BM于点M,在直线BM的

右侧作MH=OC=2,作直线交平移后的抛物线于点Q,贝叱BMH=乙4。。=90。，由

ABMH=AAHC(SAS)^Z.QBM=Z.OAC,由(2)得NM8C=〃9CB,进而

乙QBC=4QBC+乙MBC=4BCO+乙OAC,此时Q为所求，由将抛物线沿射线力C方向平移屈个单位长度，

得到新抛物线相当于将抛物线向右平移3个单位，再向下平移1单位，得到新抛物线yj从而为=1%一92

­,求出直线B”为y=-3x+3,联立y=-3久+3与y=X%—今即可得解Q,作H(3,—6)关于直线BC

的对称点H',连接HH'交BC于L,直线B勿交平移后的抛物线于点。，由NQ6C=NQBC得。为所求，则

HL=H'L,HH'1BL,先求出L(—1,—4)，进而得直线B勿为y=才—,联立y=孑―g与y=能―乡福即

可得解.

【详解】(1)解：当％=0时，y=a/+b]-2=-2,

-2),

：.OC=2,

'：OA\OC\OB=6:2:1,

；.OB=1,OA—6,

•次一6,0)，8(1,0),

把4(-6,0)，8(1,0)代入y=a-+"-2得

CO=36a—6b—2

t0=a+b—2

1

a--

得

解3

-5

h

3-

(2)解：如图，过点P作PM1AB于M,交4c于N,过点B作BG14B于B,过点E作EG，BG于点G,

由。(0,-2)设直线4C为：y=kx—2,

把4(—6,0)代入y=依―2得0=-6k—2,

解得k=-p

直线AC为：y=-1x-2,

+|m—2)>则(m,-gm-2)，

22

...PN=-1m-2-Qm+|m-2)=-|m-2m,

,.\4B=6,。。=2,OC1AB,

-'-AC=762+22=2V15，

.,.cosZ-MAN=coszMC=-7==

2V1010

•・・MN_L/B,PD1>1C,

"ANM+Z.MAN=乙NPD+乙PND=90°,

MANM="ND,

.・.4MAN=乙NPD,

.•.COSNNPD=黑=cos/M力N=%，

PN10

—唔出富(-加⑶)一条n+犷+富

...当m=-3时，