二次函数常考几何模型专项训练（10大题型+15道拓展培优）原卷版-2024-2025学年九年级数学下册

二次函数常考几何模型专项训练

(10大题型+15道拓展培优)

©题型目录

题型一二次函数中的最值模型

题型二二次函数中的翻折模型

题型三二次函数中的切线模型

题型四二次函数中的线段关系问题

题型五二次函数中的角度关系问题

题型六二次函数中的面积关系问题

题型七二次函数与一次函数、反比例函数综合

题型八二次函数与三角函数综合

题型九二次函数与相似综合

题型十二次函数与圆综合

陋经典例题

1经典例题一二次函数中的最值模型】

[^11(24-25九年级上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习)如图，已知抛物线7=分+加+4经过/(-1,0),8(4,0)

两点，交y轴于点C

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接2C,直线8c的解析式是「

(3)请在抛物线的对称轴上找一点尸，使2P+PC的值最小，求点尸的坐标，并求出此时2P+PC的最小值.

X变式训练

1.(24-25九年级上•吉林长春•阶段练习)如图，抛物线y=*+2x+3与X轴分别交于点4C,与了轴交于

点5,点尸是线段42上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点设点P的横坐标为加.

(1)在抛物线对称轴上取一点Q,使得。2+0。最小，则。点的坐标为

(2)连接NM、BM,当△48M的面积的最大时，求出M点的坐标.

2.(24-25九年级上•全国•期中)已知二次函数了="2+法+。的图象的顶点为(-1,4),与无轴交于A,5两

点，与了轴交于点如图.

(1)求二次函数的表达式；

(2)在抛物线的对称轴上有一点使得A5cAz的周长最小，求出点〃■的坐标；

(3)若点。在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点尸，使得以4B、0、尸四点为顶点的四边形为平行四

边形？若存在，求出满足条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

3.(24-25九年级上•山东威海•期中)如图，抛物线夕=G2+(4。-1b-4与x轴交于点A,B,与V轴交于

点C,且。C=2O2,点。为线段上一动点(不与点8重合)，过点。作矩形。瓦7点£在x轴上，点

H,F在抛物线上.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当矩形田的周长最大时，求矩形DEE”的面积.

J［经典例题二二次函数中的翻折模型】

19

2

【例2】（24-25九年级上•河北廊坊•期中）已知：抛物线£：y=--（x-l）";抛物线G：y=x-2tx-2t

（其中:为常数），顶点为P.

⑴①直接写出G的对称轴.

②当f=2时，此时点4-1,%）和点3（4,%）在G上,

则必%（填或“=

⑵设a的顶点坐标为（私"），用含/的式子分别表示加和〃；并写出"的最大值.

（3）当1=1时,

①抛物线G是由抛物线3沿直线y=。翻折得到,写出。的值.

②把抛物线G向左平移g个单位得到抛物线a，求抛物线G和抛物线G的交点坐标；

③将抛物线向左平移6个单位（0<6<1）得到新的抛物线，设新的抛物线和G的交点为刊和N,点。

是线段九W的中点，则点。的横坐标为（直接用含。的式子表示）.

X变式训练

1.(24-25九年级上•江苏苏州•期中)如图，将二次函数了=》2一4位于X轴下方的图象沿X轴翻折，再得到

一个新函数的图象(图中的实线).

(1)当x=-3时，新函数值为当x=l时，新函数值为二

(2)当x=_时，新函数有最小值；

(3)当新函数中函数〉随x的增大而增大时，自变量x的范围是」

(4)直线V=a与新函数图象有4个公共点时，a的取值范围是

2.(24-25九年级上•广东珠海•期中)如图1所示，抛物线y=a/+2x+c的对称轴为直线尤=1,与x轴交

(2)平移线段CD,若点C的对应点C'落在抛物线上，点Z)的对应点D落在直线DE上，求出此时点C'的坐

标；

(3)如图2,将上方的抛物线沿着直线翻折，点P是。E上方的抛物线上的一动点，尸的对应点为点

Q,连接PQ交。E于点G.

①当四边形DPE0是菱形时，请直接写出点P的坐标；

②在点尸的运动过程中，求线段P。的最大值.

3.(2024・湖北襄阳•一模)在平面直角坐标系中，已知抛物线》=如2一2办-3a(a>0).

(1)抛物线的对称轴为直线;

⑵当-24x42时，函数值"的取值范围是-44^46,求。和b的值；

⑶当。=1时，解决下列问题：

①抛物线上一点P到x轴的距离为6,求点P的坐标；

②将该抛物线在04xW4间的部分记为G,将G在直线>=»下方的部分沿>=/翻折，其余部分保持不变,

得到的新图象记为Q.设。的最高点、最低点的纵坐标分别为%若%-％<6,请求出/的取值范围.

41经典例题三二次函数中的切线模型】

【例3】（24-25八年级上•广西南宁•阶段练习）数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行

学习：

材料一：给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛

物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线

与抛物线相离.

材料二：判断：抛物线了=办2+瓜+。与直线^=h+，"（心0）的位置关系联立｛“得

[y-kx+m

ax2+（b-k）x+c-m-0.根据一元二次方程根的判别式A=（b-左＞-4a（c-间

①当A=（6-左了-4a（c-机）＞0时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图1）.

②当A=（6-左A-4a（c-加）=0时,抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切.直线叫做抛物

线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图2）.

③当A=3-@2-4a（c-M＜0,抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图3）

【探究性质】⑴判断：直线＞=2x+3与抛物线昨-—2X+4的位置关系是：（选填“相交”或“相

切”或“相离”）；

【运用性质】（2）若直线y=2x+6与抛物线）=2x2相离，求方的取值范围；

【问题解决】某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为A,数学兴趣小组观

察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为C,兴趣小组将喷泉柱

底端标为原点。，喷泉柱所在直线为了轴，OC所在直线为无轴，建立如图所示的井面直角坐标系.从水流

喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度了（⑼与水流落地点与喷水柱底端的距离无（⑼满足二次函数关系,

其表达式为夕=-/+2苫+；.

（3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为45。；并且射灯发出

的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求.

X变式训练

1.(2022•福建泉州•模拟预测)已知抛物线=+c与直线48交于8(私〃)两点，其中

m<0,力>0.当加+1=0时，必有〃一2=0；当加+1力0时，必有“一2*0.

(1)求。与c之间的关系式；

(2)若点F的坐标(0,2-73),以BF为半径的OB与x轴只有一个公共点.

①求此抛物线解析式；

②延长线8尸交抛物线上于点£,08的切线FK■交抛物线上于M,N两点.求四边形2九7硒面积的最小值.

2.(23-24九年级上•福建厦门•期中)矩形AOCD中，把点。沿/E对折，使点。落在0C上的歹点，己知/。=8,

40=10.

(1)求尸点的坐标；

(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，

已知抛物线过点Q尸,且直线＞=6x-36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；

(3)直线y=Mx-3)-/与(2)中的抛物线交于P，。两点，点8的坐标为3,一丁.求证：肃+左为定

4I4Jro

值(参考公式：在平面直角坐标系中，M(%i，yD，N(X2)2)，则M，N两点之间的距离为

3.(23-24九年级下•湖南长沙•开学考试)在平面直角坐标系中，设直线/的解析式为：y=kx+m/、加为

常数且.当直线/与一条曲线有且只有一个公共点时，我们称直线/与这条曲线“相切”，这个公共点

叫做“切点

9

⑴求直线/：>=r+6与双曲线y=—的切点坐标；

x

(2)已知一次函数乂=2x,二次函数%=—+1,是否存在二次函数%=ax?+6x+c,其图象经过点(-3,2),

使得直线必=2x与％=/+1,%=办2+8+。都相切于同一点？若存在，求出力的解析式；若不存在，请

说明理由；

⑶已知直线4：y=《x+g优产0),直线4：%=与工+啊的力°)是抛物线y=*+2x+2的两条切线，当/]

与4的交点尸的纵坐标为4时，试判断匕为是否为定值，并说明理由.

31经典例题四二次函数中的线段关系问题】

【例4】（24-25九年级上•广东东莞•期中）【问题背景】

如图，抛物线y=Y+bx+c与x轴交于48两点，与V轴交于点C,OA=OC=3,连接/C.

【知识技能】

（1）求此抛物线的解析式.

【构建联系】

（2）在/C下方的抛物线上有一点N,过点N作即〃y轴，交NC于点交x轴于点。，当点N的坐

标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？

（3）在了轴上找一点。，使得A/C。为等腰三角形，直接写出点。的坐标.

X变式训练

1.(24-25九年级上•河南新乡•期中)已知抛物线丁=(x-")2-l.

(1)当xWl时，y随着龙的增大而减小，求为的最小值；

(2)已知/、8两点在x轴上，/点坐标为(3,0),8点坐标为(5,0),若抛物线与线段42只有一个公共点,

求/?的取值范围.

2.(23-24九年级上•江苏泰州•期末)如图，在平面直角坐标系中，已知点/坐标为(2,4),直线x=2与x

轴相交于点5,连接。4,二次函数了=x2图象从点。沿。4方向平移，与直线x=2交于点尸，顶点〃到工

点时停止移动.

(1)求线段04所在直线的函数解析式；

(2)设二次函数顶点M的横坐标为加，当机为何值时，线段网最短，并求出二次函数的表达式；

(3)当线段PB最短时，二次函数的图象能否过点。(a,。-1)?若能，求出。的值；若不能，请说明理由.

3.(24-25九年级上•天津•阶段练习)如图，二次函数>=尔-办+c(awO)图象交坐标轴于点44,0),5(0,-2),

点P为线段上一动点.

(1)求二次函数的解析式及顶点坐标；

(2)过点尸作轴分别交线段4B、抛物线于点。和点C,求线段C。的最大值及此时△N8C的面积.

41经典例题五二次函数中的角度关系问题】

【例5】(24-25九年级上•重庆开州•期中)如图，已知抛物线了=；/+云+。经过-6,0)、8(2,0)两点,

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P直线是AC下方抛物线上一个动点，求S-AC的最大值及此时点P的坐标；

(3)将抛物线y=^x2+bx+c向右移动两个单位得到新抛物线y',在新抛物线上是否存在一点M使

ZMCA+^BCO=45°,若有请直接写出”的坐标.

X变式训练

1.(24-25九年级上•重庆万州•阶段练习)如图1,在平面直角坐标系中，直线4分别交坐标轴于/、2两点,

其中CM=3,ZBAO=45°,直线4分别交坐标轴于C、。两点，直线"与。的交点为反已知

(1)求直线4的解析式和点£坐标;

(2)如图2,若点P为线段CE上的一个动点(不与C、£两点重合)，点R为x轴上的一个动点，过点尸作x

轴的垂线，垂足为0,当四边形48尸。的面积最小时，求出ABPR周长的最小值；

(3)如图3,在(2)的条件下，将直线总绕点P顺时针旋转45。，与直线05交于点尸，连接CF,若在直

线CO上存在点使得NAME=/CFE,请直接写出满足条件的点M的坐标.

2.(24-25九年级上•黑龙江哈尔滨•期中)在平面直角坐标系中，点。为坐标原点.抛物线y=-x2+bx+c

与x轴交于点8(-1,0)、C(3,0),与〉轴正半轴交于点

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点E为第一象限内抛物线上一点，连接BE交y轴于点D.设点E的横坐标为线段OD的长度

为d.求d与/的函数关系式(不要求写出自变量f的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，当"=5时，过点8作点P在抛物线上，连接EP并延长交班'于

点尸，过点B作BGLEF于点H,交直线4E于点G.若NEFG=2/FBG,求点尸坐标.

3.（24-25九年级上•重庆九龙坡•期中）在平面直角坐标系中，抛物线夕="2+瓜+4。彳0）的图象与x轴交

（2）如图1,点尸是直线5c上方抛物线上的一个动点，连接PC、PB；求当的面积及点P的坐标；

（3）如图2,在（2）的条件下，连接。尸，将抛物线沿射线C3的方向平移得到新抛物线了，使得新抛物线了

经过点8,且与直线2C相交于另一点〃，点。为抛物线/上的一个动点，当=时，直接写出

符合条件的所有。点的坐标.

41经典例题六二次函数中的面积关系问题】

【例6】(24-25九年级上•福建漳州•期中)已知抛物线y=r2+2x+3,顶点为点P,与x轴交于点4夕，与了

轴交于点C.

(1)求顶点坐标；

(2)求AP/C的面积；

(3)点。是直线/C上方抛物线上的点且不同于顶点P,是否存在点。，使得△D4c和AP/C面积相等？若

存在，直接写出点。的坐标，若不存在，请说明理由？

X变式训练

1.(24-25九年级上•四川德阳•期中)如图，已知一次函数y=0.5x+2的图象与x轴交于点A,与二次图象

交于V轴上的一点2,二次函数的顶点C在x轴上，且OC=2.

(1)求二次函数的解析式；

(2)设一次函数y=0.5x+2的图象与二次函数图象另一交点为Z).

①在抛物线上是否存在点P,使△88面积与△8DP面积相等，若存在，求出尸点坐标，若不存在，说明

理由.

②已知P为x轴上一个动点，且△尸50为直角三角形，求点P坐标.

2.（20-21九年级上•广东•期末）如图，已知二次函数了="2+。的图象与x轴分别相交于点/（-5,0),

点、B,与y轴相交于C（0,-5）,点。是抛物线在x轴下方的一动点（不与C点重合）.

（1）求该二次函数的表达式；

（2）如图1,交线段8c于。，令^=铝，当，值最大时，求。点的坐标.

（）如图直线N。，。分别与轴相交于两点,设。点横坐标为加，2

32,8yM,NSJ=SAQMN,S2=2m,

试问1t是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

3.(20-21九年级上•江苏淮安•期末)如图，抛物线y=ox2+x+c交＞轴于点/(0,2),交x轴于点2

(-1,0)及点C.

(1)填空：。=，c=,点C的坐标为；

(2)把A45。逆时针旋转90。得A4的。(其中点/与4,3与9分别是对应点)，当A48。”恰好有两点落

在抛物线上时，求点/'的坐标；

(3)点、P(m,〃)是位于无轴上方抛物线上的一点，△P/2的面积记为S，aPNC的面积记为邑，4PBC

的面积记为S3,若满足S/+S2=Sj,求力的值.

【经典例题七二次函数与一次函数、反比例函数综合】

【例7】(24-25九年级上•湖南长沙•期中)对某一个函数给出如下定义：如果存在实数对于任意的函数

值V,都满足那么称这个函数是有上界函数.在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的

上确界.例如，函数V=x+l(14x42)是有上界函数，其上确界为3；函数了=-(x-3F+2是有上界函数,

其上确界是2.

(1)请判断下列函数是否为有上界函数，在后面括号内打或“x

①y=x(x42)()

②》=/+2工+4()

③y=-2x2+4x+1()

(2)一次函数V=h+3(T4x45)是有上界函数，上确界为4,求实数上的值.

⑶如果函数片T/-4|+7"(OVXV承)是以2/-加-3为上确界的有上界函数，求实数加的值.

X变式训练

1.（24-25九年级上•安徽宣城•阶段练习）设二次函数必=-/+瓜+。（6,。是常数）的图像与无轴交于A,B

两点.

⑴若A,3两点的坐标分别为（1,0）,（2,0）,求函数必的表达式及其图像的对称轴.

⑵若函数为的表达式可以写成必=-（x-〃）2-2（〃是常数）的形式，求6+c的最大值.

（3）设一次函数为=x-/w（m是常数），若函数必的表达式还可以写成弘=-/+（2+2m）x-m2-2m的形式，

当函数y=必-%的图像经过点（%,0）时，求%-沉的值.

2.(24-25九年级上•辽宁鞍山•期中)定义：已知一次函数4:y=ox+6(a*0)和一次函数4：N=mx+〃(%#0)

若函数。：夕=(办+6)(s+〃)，则称函数4是一次函数4、4的累积函数.已知函数4是一次函数〃N=gx+l

与一次函数，2：了=-》+〃的累积函数.

备用图

(1)若函数4的图象恰好经过(T,。)，求函数％的解析式；

(2)若函数4的图象顶点为P，当点尸的纵坐标最小时，求此时顶点P的坐标；

(3)若一次函数4，4的图象与函数4的图象的公共点有且只有三个时，求此时〃的值.

3.(2024・湖北宜昌•模拟预测)如图，直线y=x+7与反比例函数>=&(左为常数，左二0)的图象相交于

X

A,B两点,其中点A的坐标为(-1,加).

(1)求加的值和反比例函数的解析式;

(2)求出点B的坐标；

(3)P(x,y)是直线y=x+7所在第二象限部分上一点，过点尸作无轴的垂线，垂足为。，连接。尸.当工8°>3

时，请直接写出x的取值范围.

J［经典例题八二次函数与三角函数综合】

【例8】(23-24九年级下•上海•自主招生)如图，已知一次函数经过第一、二、三象限，且与反比例函数交

于/和8点，交y轴于C点，08=&6,tan/D08=g,

(1)求反比例函数的解析式；

(2)已知点4点横坐标是冽，△450的面积是S,求S关于冽的函数解析式；

(3)已知△OCD的面积是判断过/和5点的抛物线在x轴上截得的线段长度能否等于3.如果能，求其

解析式；如果不能，请说明理由.

X变式训练

1.(2024•山东•模拟预测)如图，平面直角坐标系中，已知抛物线y="2+6x+c交X轴于点/、B,交y轴

于点C.连接2C、AC.已知4-1,0),3(5,0),tanZ5CO=2.

(1)求抛物线的表达式；

(2)已知点。为线段2c上方抛物线上的一个动点，连接3D、CD.连接力D,分别交y轴与2。于点£、

F.当四边形N5CD的面积最大时，求直线2D的表达式及此时斯的面积；

(3)点尸为抛物线上的一个动点，当四边形/BCD的面积最大时，抛物线的对称轴》="，上是否存在点0,使

得四边形C。尸0为平行四边形？若存在，请求出平行四边形。尸。的面积；若不存在，请说明理由.

3

2.(2023•广西南宁三模)如图，已知抛物线了="2+加+5与无轴交于点/(-1,0)和点3(3,0),与了轴交

于点C.

(1)求此抛物线的解析式及其顶点M的坐标；

⑵点。(0,〃)在了轴的负半轴上，过点。作即，y轴，交抛物线于点E,尸(点£在点尸左边).若

DF=IDE,求"的值；

(3)在(2)的条件下，过点。的动直线/与抛物线交于G,H两点,且点G在第一象限，点〃在第三象限.

在直线/的运动过程中，若点。恰好是线段G"的中点，求tanNG。尸的值.

3.(2024•上海静安•三模)已知直角坐标平面xQy中，。为原点，抛物线V=尔+6x(a<0)经过点4(1,加)、

8(3,加)，点尸为抛物线顶点.

(1)当机=1时，求抛物线解析式及顶点P坐标.

(2)若点尸在直线y=gx上，且tan/P/B=；,求抛物线的解析式.

(3)联结。尸交于点。，当△P03为等腰三角形时，求加的值.

41经典例题九二次函数与相似综合】

【例9】(24-25九年级上•上海宝山・期中)如图，在平面直角坐标系xp中，抛物线歹=-Y+bx+c过点

4(2,2)、点5(0,2),顶点为点C,抛物线M的对称轴交x轴于点D

1-

1।।_______111A

O1x

(1)直接写出抛物线M的表达式和点C的坐标；

(2)点尸在x轴上，当A/OP与A/C。相似时，求点尸坐标.

X变式训练

1.(2024•山东济南•模拟预测)如图，已知抛物线了=-/+反+。上点4c的坐标分别为(0,2),(4,0),抛

物线与x轴负半轴交于点3,连接点。为抛物线上的点.

(1)求抛物线的解析式及点8的坐标.

(2)抛物线上是否存在点。，使得若存在，求出。的横坐标；若不存在，请说明理由.

⑶点〃■为y轴负半轴上的点，且＜w=2,点。是线段2c(包含点瓦C)上的动点，过点。作X轴的垂线,

交抛物线于点。，交直线CM于点N.若以点0,N,C为顶点的三角形与△MOC相似，请求出点。的坐标.

2.(22-23九年级下•海南海口•阶段练习)如图，已知抛物线与x轴交于N(T,O),3(3,0)两点，与y轴交于

点C(0,3),。为顶点，点尸是无轴上方的抛物线上的一个动点，无轴于点/，与BC交于点E.

(1)求该抛物线所对应的函数关系式及顶点D的坐标；

(2)设点尸的横坐标为/(0<f<3),

①当/为何值时，线段尸E的长最大；

②连接CD,证明：为直角三角形；

(3)是否存在点尸，使得以点尸、M、2为顶点的三角形与相似？若存在，求出点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

3.（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，抛物线y=-/+3x+4与x轴交于/,2两点（点/位于点8

的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴/与x轴交于点N,长为1的线段?。（点P位于点。的上方）

在x轴上方的抛物线对称轴上运动.

（1）直接写出4B,C三点的坐标；

（2）过点尸作尸轴于点当△CPM和AQBN相似时，求点。的坐标.

J［经典例题十二次函数与圆综合】

【例1。】⑵-24九年级下•江苏南京・自主招生)如图，在平面直角坐标系中，函数k%一的图象与x

轴交于/、3两点，点C坐标为(0,3),P是半径为2的圆C上的动点，。为心中点，求。。长的取值范围.

X变式训练

1.(23-24九年级上•江苏宿迁•期中)定义：平面直角坐标系中，过二次函数图象与坐标轴所有交点的

圆，称为该二次函数的坐标圆.

⑴已知点P(2,2),以尸为圆心，逐为半径作圆，请判断OP是不是二次函数了=x?-4x+3的坐标圆，并说

明理由；

⑵已知二次函数＞-4x+4图象的顶点为/,交y轴于点C,则该二次函数的坐标圆的圆心为尸在

__________上；

(3)求gON周长最小值.

2.（2024九年级上•全国・专题练习）如图，二次函数v=/-6x+8的图象与x轴分别交于点A,B（点A

在点5的左侧），直线/是对称轴.点尸在函数图象上，其横坐标大于4,连接尸PB,过点尸作尸河

垂足为以点〃■为圆心，作半径为『的圆，PT与。〃■相切，切点为7.

（1）求点A,5的坐标；

⑵若以的切线长尸T为边长的正方形的面积与的面积相等，求0M的半径『.

3.（2024・辽宁•模拟预测）在一堂数学探索课上，一名同学以坐标原点。为圆心作一组同心圆，同心圆的半

径依次为1,2,3,n（"为正整数），又作一组平行于x轴的直线＞=T/=-2,y=-3,…,y=（〃为

正整数），如图1所示，点/与点2为直线＞=-4与半径为5的圆的交点.

（1）直接写出点/的坐标为；

（2）如图1,若经过部分直线与圆交点的曲线为二次函数图象，直接写出该二次函数的解析式；

（3）如图2,这名同学把这组平行线和其中一些圆都涂掉，保留半径为5的圆，记为OO,此圆与x轴交于

E,尸两点.把（2）得到的抛物线沿》轴向上平移机个单位，使之过点。（4,-3）,连接EC与母'相交于点

D.

①直接写出m的值为；

②求NEDC的度数；

③直接写出丛DBC的面积为.

＞提优训练

1.(24-25九年级上•河北秦皇岛•阶段练习)综合与探究

如图，抛物线y=ax?+2x+c与轴相交于点C(0,3),与x轴正半轴相交于点5,负半轴相交于点4~1,0).

(1)求此抛物线的解析式；

⑵如图1,P是第一象限抛物线上的一个动点，过点P作尸。轴，垂足是点。，PD与BC的交点为E,

设尸(加,〃),

①用含加的式子表示：PD=,DE=；

直接用①的结论求解②③；

②若PE=DE,请直接写出点尸的坐标；

③若PE=2DE,求点尸的坐标；

2.(2025九年级下•全国・专题练习)如图，已知二次函数y=d—2x7的图象的顶点为点A,二次函数

y=ax2+bx的图象与1轴交于原点。及另一点C，它的顶点3在函数^二丫一型一］的图象的对称轴上.

(1)求点A与点。的坐标；

⑵当四边形AOBC为菱形时，求函数歹=。/+法的表达式.

3.(24-25九年级上•陕西西安•期中)已知，二次函数了="2+8+。(。20)图象与无轴交于点/(-1,0),8(3,0)

两点，与了轴交于点。(0,-3).

(1)求该二次函数的表达式；

(2)该二次函数图象上是否存在一点P(不与点C重合)，使得S.*=SqB，若存在，请求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由.

4.（24-25九年级上•重庆・期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线尸*+2》+3与x轴交于3两点

（点A在点8的左侧），与V轴交于点C,连接8C、NC.点P是直线BC上方抛物线上一点，连接尸8、

PC.

（1）求直线BC的解析式；

⑵若S.PBC=|S.4BC，求点尸的坐标.

5.(24-25九年级上•安徽宣城•阶段练习)图1,在Rt448C中，zB=9Q°,8C=4cm.点P以lcm/s的速

度从点/出发沿4B匀速运动到5同时，点。以vcm/s(v>l)的速度从点5出发沿2c匀速运动到C.两

点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为f(s),APB。的面积为S(cmD.当点。在上

运动时，S与/的函数图象如图2所示.

(2)求出当时间f在什么范围内变化时，APB。的面积为S(cn?)的值不小于

6.(24-25九年级上•福建厦门•阶段练习)已知二次函数V=ax2+bx+c的图象经过(0,-3),(-b,c)两点，其

中a,b,c为常数,且而＞0.

(1)求a,c的值；

(2)若该二次函数的最小值是-4,且它的图象与x轴交于点/,3(点/在点2的左侧，与y轴交于点C.

①求该二次函数的解析式

②在y轴左侧该二次函数的图象上有一动点P,过点尸作x轴的垂线，垂足为。，与直线4c交于点E,连

接PC,CB,BE.是否存在点P,使白"=g?若存在，求此时点尸的横坐标；若不存在，请说明理由.

、CBE"

7.(24-25九年级上•安徽亳州•期中)已知：如图，抛物线过点/(-8,0),。(0,6),且其对称轴为直线

(1)求二次函数的解析式；

(2)如图1,求面积的最大值；

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(3)如图2,若抛物线上点。的横坐标为-4,且△0。河的面积为k，求点〃的坐标.

O

8.（24-25九年级上•江苏苏州•期中）如图，在平面直角坐标系中，二次函数＞="2+瓜+4（。＜0）的图象与

x轴交于点4（2,0）和点8（-4,0）

⑵过点C作x轴的平行