福建省宁德市2024-2025学年高一年级上册期末质量检测数学试题（含解析）

宁德市2024-2025学年度第一学期期末高一质量检测

数学试题

本试卷共19题.考试时间120分钟，满分150分.

注意事项：

1.答题前考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对

答题卡上粘贴的条形码的“准考证号，姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.

2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书

写作答，在试题卷上作答，答案无效.

3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一个是符合题目要求的.

1.已知命题）：*。€&焉+3%+2>0,则命题夕的否定是（）

A.3x0eR,Xg+3x0+2<0

B.3x0eR,Xg+3x0+2<0

C.VxeR,x2+3x+2<0

D.VxeR,x2+3x+2<0

【答案】D

【解析】

【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得答案.

【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可得命题）的否定是：VxeR,x2+3x+2<0.

故选：D.

2.“x>2”是“2、〉1”的（）

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数的性质解不等式，利用集合间的关系确定选项.

【详解】由2工〉1得2、>2°，解得x〉0.

记集合/={x|x〉2},3={x|x>0},

：A房3,

...“工>2”是“2'〉1”的充分不必要条件.

故选：A.

3.若幕函数〉=/0）的图象经过点（4,2）,则/（x）在定义域内为（）

A.减函数B.增函数C.偶函数D.奇函数

【答案】B

【解析】

【分析】根据幕函数的定义可求出函数/（x）的解析式，即可判断函数的单调性与奇偶性.

【详解】设/（乃=/，则4a=2,解得c=J，

.../（x）=x2,定义域为［0,+e），/（x）为非奇非偶函数，

：g>0,，/（X）在［0,+8）上为增函数.

故选：B.

4.已知a>b>0>c>d,贝！J（）

777777a6

A.a+d>b+cB.aa>beC.a-c<b-aD.—<—

cd

【答案】D

【解析】

【分析】举反例可说明选项A、B、C错误；作差法可证明选项D正确.

【详解】对于选项A、B、C,令Q=2,b=1,。=一1,d=-2,满足a〉6>0>c>d.

Q+d=b+c=0,选项A错误.

ad=-4,bc=-1,ad<be,选项B错误.

a-c=b-d=3,选项C错误.

abad-be

D.-------=----------，

cdcd

\*a>b>0>c>d,：.cd>0,a-b>0,d-c<0,

a(d—c)<0,(Q—b)c<0,

：.ad-bc=ad-ac+ac-bc=a^d-c^+^a-b^c,

adbc

：.~<o,即@<2,选项D正确

cdcd

故选：D.

、a,aNb।\

5.记max({a,6}=匕6,设/(x)=max{|x-l|,2x20},则函数/(x)的最小值是()

,CLO

A.0B.C.1D.2

2

【答案】B

【解析】

x-1>2x2

【分析】本题考查分段函数的性质，依据题意写出分段函数/(x)的解析式/(x)=<

2x2,x-1<2x2'

进而确定函数的单调性，得出函数/(X)的最小值.

卜-11,x-1>2x2

【详解】由题可得，函数/(X)的解析式为/(x)=

2x2,x-1<2x2

令—1|=2*2,解得x=g或x=—l,

当xN：或x〈—l时，f(x)=2x2；当—l<x<)时，/(x)=|x-l|=l-x,

.../'(>)在［-8,：上单调递减，在［g，+s)上单调递增，

"⑺的最小值为/(x)=/

故选：B.

6.已知函数=-x的零点为。，b=e。，c=ln〃，则。，b,。的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】分析函数/(x)的单调性，确定零点。的取值范围，即可得到的大小关系.

【详解】在R上为减函数，了=一%在R上为减函数,

•••函数/(x)=[g]—X在R上为减函数，

：/(0)U_0=1〉0，/⑴=(一1=一(<0,

1・0<a<1,

,人=e">e°=1，c=Ina<In1=0,

:・c<a<b.

故选：C.

7.已知函数/(x)=/+l,g(x)=-,则图象为如图的函数可能是()

x

B.y=f(x)-g(x)

/(x)

C.J=/(x)g(x)D.y=^r\

gX

【答案】D

【解析】

【分析】利用函数的奇偶性可以排除选项A,B；利用函数的单调性可排除选项C.

【详解】根据图像可得函数关于原点对称，为奇函数，

对于选项A：>=/(x)+g(x)为非奇非偶函数，故A错误；

对于选项B：y=/(x)-g(x)为非奇非偶函数，故B错误；

对于选项C：y=/(x)g(x)=x+1在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,+8)上单调递增，故C错误;

对于选项D：y=G篇为奇函数，在区间(o,+")上单调递增，故D正确；

故选：D

8.定义在R上的函数/(x)满足/(x+y)+/W3)=9盯，且/卜0,则(

)

B.是奇函数

C./(X+1)是偶函数D./(-X)是减函数

【答案】B

【解析】

【分析】令夕=0得/(0)=T,令x=1,y=—■可得选项A错误；令y=・-§得/(x-j=—3%,可得选

3.3.

项B正确；根据了1—+可得选项C错误；令/z(x)=/(—x),

由可得选项D错

误.

【详解】令y=o得，/(x)+/(x)/(o)=o,即〃尤)［〃o)+i］=0,

・・•/1］wo,，/(x)不恒为0,.♦./(())+1=0,BP/(0)=-l.

A.令、=；/=一%贝以(0)+/］；：，—?=9><9］一(,

・•・T+mfi即

卜0，・•・/，；］=0,选项A错误.

B.令了=一贝打-J+=—；］=一3.

令g(x)=/卜一；］=-3x,则g(x)的定义域为R,且g(-x)=3x=-g(

X),

是奇函数，选项B正确.

C.令x=-=1,则/++/1_；｝/(1)=9x1_：］xl,

由小白。得，一3,

令x=|j=|，则佃+同•同=9、泊,即佃+9=4,故佃=-5,

由得，/11一.../(x+1)不是偶函数，选项C错误.

D.令Mx)=/(—x),贝M(0)=/(—0)=/(0)=—1,==

由/z(O)</z；得/z(x)不是减函数，选项D错误.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是通过赋值求函数值，根据奇偶性及单调性的定义判断选项.

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多

项是符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.已知函数y=f(x)用列表法表示如下，则下列说法正确的是()

X123

/(X)321

A./(x)的定义域与值域相同

B./(x)=-x+4(xeR)

C.若/(/(。)=1,贝卜=1

D./(x)是减函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】由表格得选项A正确；根据函数定义域可得选项B错误；由条件得/(。=3,解出/可得选项C

正确；根据表格数据可得选项D正确.

【详解】A.函数y=/0)的定义域为｛1,2,3｝,值域为｛1,2,3｝,A正确.

B.由函数y=f(x)的定义域为｛1,2,3｝可得选项B错误.

C.由/(/Q))=l得，/(。=3,故f=l,C正确.

D.由表格得，/(X)随x的增大而减小，故/(X)在定义域上是减函数，D正确.

故选：ACD.

10.已知二次函数则下列说法正确的是()

3

A.当〃时，/(%)>—

B.当a=l时，^^>3

X

C.若/(x)〉0恒成立，则0<。<4

D.若/⑴在(-1,0)内有零点，贝丘24

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用二次函数的性质，基本不等式，根的判别式和开口方向，零点存在定理及结合解不等式依次

对每个选项进行分析求解.

【详解】A.当a=l时，/(x)=x2+x+l=^x+|^+|>|,选项正确；

B.当0=1时，/（X）=X2+X+1,则=£+王+l=x+'+l，

XXX

当x<0时，x+—+1<-2+1=—1,选项错误;

x

a>0

C.若/(x)>0恒成立，贝人A2/C，解得：0<。<4,选项正确;

N=a-4a<0

D.Q/(-l)=/(O)=l,要使得/(x)在(TO)内有零点，则£|wo,

aa

即——-+l<0,解得：a>4,选项正确；

42

故选：ACD.

11.已知桌面上有一个周长为2的由铁丝围成的封闭图形，则()

A.当封闭曲线为半圆时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖

B.当封闭曲线为正六边形时，用直径为1的圆形纸片可以完全覆盖

C.当封闭曲线为平行四边形时，用直径1的圆形纸片不可以完全覆盖

D.当封闭曲线为三角形时，用直径为1的圆形纸片不可以完全覆盖

【答案】AB

【解析】

【分析】逐项分析各图形的外接圆半径或直径，与圆形纸片的直径比较即可确定正确选项.

【详解】A.设半圆半径为r，则2r+a=2,解得尸=二一＜工，故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖半

2+兀2

圆，选项A正确.

12

B.当封闭曲线为正六边形时，正六边形的边长为一，正六边形外接圆的直径为一＜1,

33

故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正六边形，选项B正确.

c.当封闭曲线为正方形时，正方形边长为;，正方形的外接圆直径为Y2＜i,

22

故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正方形，

由正方形为平行四边形可得选项C错误.

D.当封闭曲线为正三角形时，正三角形边长为2,正三角形的外接圆半径为3=述〈」，

33月92

故直径为1的圆形纸片可以完全覆盖正三角形，选项D错误.

故选：AB.

三、填空题:本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的相应位置.

3兀

12.一个扇形的弧长和面积都是一，则这个扇形的圆心角的弧度数为

4

,,3兀

【答案】y

【解析】

【分析】根据扇形弧长及面积公式求解可得结果.

【详解】设扇形的半径为「，圆心角的弧度数为a,

37r

ar=——

43

则j1c，两式相除得r=2,a=—

,3TT8

—ar2=

[2F

3兀

故答案为：a二—

8

13.+lg2-5e°+lg5=

【答案】-1

【解析】

【分析】根据指数幕的运算性质及对数运算法则可得结果.

［详解］4+lg2-5e°+lg5=81z+lg（2x5）-5

=（34）Z+1-5=3+1-5=-1

故答案为：-1.

14.已知过原点。的直线与函数歹=10g4X的图象交于/,8两点（/点位于2点的左侧），过/点作x轴

的垂线交y=log2》的图象于点c,若3c与x轴平行，则/点的坐标为.

【答案】（2,；

【解析】

【分析】设/（加/Og4加），则C（m,log2加），根据8c与X轴平行得8（/,log4加2）,利用％=%求

出加，即可得到/点的坐标.

设4（加,log4加）,m>0,则C（加/Og2加），

由5C与X轴平行得，凡=%=1。82加，

由log2加=log4X得，=（2脸=加2,故加2,log4加2）,

由0,48三点共线得，kOA=kOB,

=即坐=解得加=2,log/」，

mmmm2

••A点的坐标为（2,.

故答案为：[2,J）

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

r\

15.已知集合Z=<x<0,，集合3={x[（x+l）（x-a）<0,aeR）.

(1)当a=3时，求

(2)若Q>0,B^A,求。的取值范围.

【答案】(1){x|-l<x<2}

(2)(0,2]

【解析】

【分析】(1)解不等式，化简集合48,根据集合的基本运算可得结果.

(2)化简集合3,利用集合间的关系可求。的取值范围.

【小问1详解】

由!^|<0得，(x-2)(x+l)<0,解得一l<x<2,

Z={x|-l<x<2},

当a=3时，B=|x|(x+l)(x-3)<0}=|x|-l<x<3},

ZcB={x|-l<x<2}.

【小问2详解】

当a>0时，3={x[—l<x<a}

,：A,：.a<2,

的取值范围为(0,2].

16.近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初

建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示：

建立平台第X个月12345

会员人数V(万)256.788.9

为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系.现有以下三种函数模型供选择：

X

@y—mlog2x+n,②y=mslx—2+n>®y=2~'"+n.

(1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由；

(2)请选取表格中的两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数达到14万.

【答案】(1)①>=〃210g2》+〃，理由见解析

(2)j=31og2x+2,第16个月

【解析】

【分析】（1）根据函数定义域以及指、对数函数的单调性特征分析判断;

（2）根据点（1,2）,（2,5）,求加,“，即可得函数解析式，再根据函数解析式运算求解

【小问1详解】

最符合实际的函数模型为①y=mlog2x+n,

根据表格知函数解析式需满足在口,+8）上有定义，所以②了=加GI+”不满足，

又随着月份的增加，会员人数增加速度又会减慢，所以③了=2="'+〃不符合，

只有①了=切1。82丫+〃同时满足上述两个特征，故了=，〃10g2X+〃最符合.

【小问2详解】

可选取表格中的两组数据为：（1,2）,（2,5）,

f2=mlog2l+77

代入V=冽10g2%+〃得〈厂1-

5=mlog22+7?

m=3

解得〈c，即歹=3log2、+2,

n-2

当y=14时，310g2%+2=14,解得，x=16,

所以，可预测第16个月，会员人数达到14万人.

17.在单位圆中，已知锐角。的终边与单位圆交于点/（再,必），将角。的终边绕原点。按照逆时针方向旋

TT

转万，交单位圆于点5（%,%），点8关于X轴的对称点为。（七,%）.

1cos（兀一a）sin—+a

（1）若国二一，求'，12J的值;

cos（2兀+a）sin（-a）

若|再一工31+1%-%|=!,求tana.

（2）

Ji

【答案】（i）

4

(2)tana=2或tana二工

2

【解析】

【分析】（1）根据三角函数的定义、同角三角函数的基本关系及诱导公式可得结果.

（2）利用诱导公式及对称表示/,外,根据齐次式或同角三角函数的基本关系可求tana的值.

【小问1详解】

由三角函数定义得，cosa=x”sin（z=M.

।1._________2

再二不，"为锐角，cosa=—,sina=Jl-cos2a=------

333

・・・cos(兀-a)=-cosa=—L,sin(工+。)=cos。=』，cos(27t+a)=cosa=',sin(—a)=—sina=—

32333

/、./兀、11

cos(7i-a)sin(—+a)——x—

233旦

,・COS(2K+a)sin(—a)12vp4-

—X

3F)

【小问2详解】

；+w=

解法一：由题意得,X2=cos3-sins,y2=sin;1+a-cosa,工3二%2二—sins,

y3--y2--cosa,

-x3|=kosa+sin,|弘一％|二卜ina+cosa],

,**a为锐角，|x1一七|+1%一%|二2(sina+cosa)=,即sina+cosa=~~~~

29口口229

(sina+cosa)=—,即sina+cosa+2sinacosa=—

55

92

.*.1+2sinacosa=—故sinacosa=一,

595

sinacosa2口日tana2Kp〜…1

.22一,即---------二—，解得tana=2或tana--

sma+cosa5tala+l52

解法二：由题意得，々=cos；3+w=-sins,y2=sin;1+a-cosa,工3二%2二—sins,

y3=一必=一cosa,

-x3|=卜osa+sinM,一九|二卜ina+cosa|，

2(sina+cosa)=m，即sina+cosa=^

：a为锐角,|七-尤31+1%-%|=

55

,275.V5

sina=----sina=——

>••221・5一5

•sma+cosa=I，•L或1

V5275

cosa=——cosa=----

55

tana=2或tana--

2

18.已知函数一.

X+1

(1)证明：/(X)为奇函数;

(2)讨论函数/(x)在区间(0,+8)上的单调性;

(、']

x2

(3)V%1e(1,a),3X2,使得了+f=0,求实数。的取值范围.

<xi>+1J

【答案】(1)证明见解析

(2)函数＞=/(幻在区间(0,1)上是增函数，在区间工+8)上是减函数

(3)l<a<2

【解析】

【分析】(1)根据/(x)的定义域为R且/(-x)=-/(x)可得/(x)为奇函数.

(2)利用定义法可得函数/(%)在区间(0,+8)上的单调性.

1招

(3)根据函数性质可得一=二-上，分析范围，利用集合间的关系可求参数的范围.

xx+1占

【小问1详解】

-X

：/(x)的定义域为R,且/(-x)=

(-x『+l

f(x)为奇函数.

【小问2详解】

Vx15x2e(0,+co),且再<》2,

则/(再)—/(%)=一

2222

X]+1X2+1(X1+1)(X2+1)

一再)(国了

~X2Xy+Xj-x2_(x22—I)

(X；+1)(92+1)(Xj2+1)(92+1)

—2

0<%</,x2Xj〉O,xj+1>0,XJ+1>0，

当X］,/e（0,1）时，xrx2-1<0,故/（占）一/。2）<o,即/（xj</（%），

，y=/（x）在（0,1）上是增函数，

当再W［L+°°）时,%1%2-1>0,故/（石）-/（々）>0,即/（占）〉/（%2），

y=f(x)在[1,+oo)上是减函数.

综上，函数歹=/（幻在（0,1）上是增函数，在［1,+8）上是减函数.

【小问3详解】

解法一：•.•西€（1,。）,%2€1-1,一|）,二。〉1111,x2

———<———<-,-12<—<------

+1Xj+12X]5a

UH/r/-乜到

由（2）知，函数”X）为奇函数，在区间（-1,1）上是增函数，在区间［1,+8）上是减函数.

1x

2-2

X]+1可

2

，使得了旦+f=0,

■:VX]G(1,d),3X2G-1,

5Ix,JIX,"+1J

12

-------->——解得

向］a2+15a2

>'•1<a<2.

角军法二：VX€(1,(2),X€f—1,——t〈卫<^77<i，

[2•♦a>1,一%2£

X]玉+1

由（2）知，函数/（X）为奇函数，在区间（-1,1）上是增函数，在区间［1,+8）上是减函数,

X]a1)

•••/（。）〈/日）〈/（1），即故

x；+l~ar+l，2)

Xi

即f=■

Vx1G(1,a),

UM!J河

H21

解得一Va«2,

a2+l52

1<4Z<2.

19.定义：函数/（x）的定义域为［凡句，若对［a,句上的任意不同的两个数匹,马和任意的4e［0,l］,都有

/(2X1+(1-2)X2)<2/(X1)+(1-2)/(X2),则称/(x)在［a网上是凸函数.

（1）判断/（x）=/是否为凸函数，并说明理由;

（2）已知偶函数g（x）在［a,可上是凸函数,证明：g（x