福建省泉州市2025届高三年级下册质量检测（三）数学试题

福建省泉州市2025届高三下学期质量检测（三）数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.N*n（.r|2%<9}=（）

A.{1,2,3}B.{0,1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{-3-2,-1,0,1,2,3}

2.已知向量方,5满足向=M=1,且B-2可=后，贝「与石的夹角为（）

,兀一万一兀一兀

A.—B.—C.-D.一

6432

3.己知复数2=4+山（。二0,。€11）满足匕一1|=1,贝1］（）

A.a<0B.ci=y/2C.z-z=\/2D.z+z=2

4.已知圆柱的底面半径与球的半径均为1,且圆柱的侧面积等于球的表面积，则该圆柱的

母线长等于（）

A.1B.2C.3D.4

5.己知（2尤+2）6+a（x+l）3的展开式中/的系数为0,则。的值为（）

A.-1280B.-640C.640D.1280

6.已知抛物线C:y2=4x的准线为/，点p在C上，以尸为圆心的圆与/和x轴都相切，贝|

该圆被y轴截得的弦长等于（）

A.1B.6C.2D.243

7.已知函数/（x）=sinx+（x+a）（x+l）,若Hxe（-2,0）,/（-x）=—/（X）,则。的值可以是（

A.-5B.-3C.3D.5

8.如图，已知Rt△必是圆锥SO的轴截面，分别为SAS3的中点，过点C且与直线&4

垂直的平面截圆锥，截口曲线r是抛物线的一部分.若尸在r上，则名DP的最大值为（）

D,

4

二、多选题

9.有一组样本数据1,2,3,4,5,现加入两个正整数x,丁构成新样本数据，与原样本数

据比较，下列说法正确的是（）

A.若平均数不变，则x+y=6B.若极差不变，则x+y=6

C.若x+y=6,则中位数不变D.若无+y=6,则方差不变

10.已知函数/（%）=$近2%-2$111%,贝5|（）

A./（X）的最小正周期为2兀B.曲线y=F（x）关于直线对称

f（x）在区间序/

c.“X）在区间［-2兀,2可上有4个零点D.内单调递减

11.已知数歹！!｛4｝的前"项和s"=如2+〃一%+2,则下列说法正确的是（）

7

A.若｛4｝是等差数列，贝|左=2B.若｛4｝不是递增数列，贝

Q9

C.若S,＜S〃+2，则左＞2D.若、的最小值为3,则%之［

n3

三、填空题

12.等比数列｛。“｝中，生+%=1,%+%=8,则｛4｝的前4项和等于.

13.如图，假定两点尸，。以相同的初速度运动.点。沿射线CD做匀速运动，CQ=x；点尸

沿线段（长度为IO,单位）运动，它在任何一点的速度值等于它尚未经过的距离

（PB=y）.令尸与。同时分别从AC出发，则数学家纳皮尔定义X为y的对数中，无与y的

X

对应关系就是y=107p：，其中e为自然对数的底.若点尸从线段"的中点运动到靠近B

的四等分点，点Q同时从已运动到。2,则鬻=.

A~pyB

CQ~D~

22

14.设0为坐标原点，A为椭圆£:三+与=1（。＞匕＞0）的上顶点，点8在E上，线段交

ab

试卷第2页，共4页

X轴于点Af.若4403=135。，且忸闾=三4叫，则E的离心率等于.

四、解答题

15.四边形ABCD中，AB〃C£>,NABC=45。,A8=4,AC=舟(7.

⑴求sin/ACB；

(2)若AD=JF7,求四边形ABC。的面积.

16.如图，四棱台ABCD-EFGH中,底面ABCD是边长为4的菱形，HD=HG=2,AE=20,

(1)证明：曲//平面Ab；

(2)证明：HE>_L平面ABCD；

(3)若该四棱台的体积等于""，且64>所，求直线BC到平面AFG的距离.

3

17.设函数”了)=1+1-炉-米.

⑴当左=0时，求曲线y=〃x)在点处的切线方程；

⑵若在区间［-1,内)上单调递增，求上的取值范围；

⑶当X2-1时，/(x)>f(-l),求上的取值范围.

22

18.已知双曲线C:二-乙=1,点/在C上，过河分别作X轴和y轴的垂线，垂足分别为

1616

A和B,记线段48的中点N的轨迹为1\

⑴求r的方程；

⑵过"的直线/与c有且只有一个公共点，且与r交于P,Q两点.

证明：(i)Z1AB；

(ii)\MP\=\MQ\.

19.编号为1,2,3,…,〃(“22,”eN*)的〃个球依次被等可能地涂成黑色或白色，设编号为奇

数的黑色球的个数为x,编号为偶数的白色球的个数为y,记事件“X>Y”为4,尸(4)=。〃.

⑴求生吗,尸(A14)；

(2)当力=2G+1(左eN*)时，求%；

(3)当〃=2后(左eN*)时,设『+区_周,证明：E®=2k(l-aQ.

试卷第4页，共4页

《福建省泉州市2025届高三下学期质量检测(三)数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ACDBADBCACAD

题号11

答案ABD

1.A

【分析】根据交集的定义，即可求解.

【详解】满足2,<9的正整数只有123,所以N*ck|2x<9}={l,2,3}.

故选：A

2.C

【分析】利用数量积的运算律求出75,进而求出夹角.

【详解】由—2B卜君，得二一4小+宕=3,而I沁M=l,贝=

cos〈a,B〉=1匕=工,而04〈£石〉(兀，

\a\\b\2

——TT

所以G与5的夹角〈。,，〉=葭

故选：C

3.D

【分析】根据复数的模得到方程求出”的值，即可求出z,再根据复数代数形式的运算法则

判断即可.

【详解】因为z=a+ai(a*O,aeR),所以z-l=a-l+ai,

又所以‘牛一丁+片=1,解得。=1或0=0(舍去)，

所以z=l+i,贝!Jc=l—i，所以z,z=—i)=2,z+z=(l+i)+(l—i)=2.

故选：D

4.B

【分析】根据圆柱侧面积和球表面积公式列方程，解方程即可.

【详解】设圆柱的母线长为x,则2n-x=4n,解得尤=2.

故选：B.

5.A

答案第1页，共20页

【分析】根据给定条件，求出两个二项式展开式中的系数即可得解.

【详解】依题意，(2x+2)6展开式中V项为c：(2x)3.23=26c*3,其系数为26或=1280,

a(x+l)3展开式中炉项改3,其系数为。，由展开式中d的系数为0,得。+1280=0,

所以。=-1280.

故选：A

6.D

【分析】根据相切的到点P(r-l,r)然后代入抛物线方程得到「，最后利用勾股定理求弦长.

【详解】抛物线C：V=4尤的准线方程为x=-l,不妨取点尸在第一象限，

设以尸为圆心的圆的半径为「，

因为以尸为圆心的圆与/和x轴都相切，所以尸

将P代入抛物线方程得r=4(r-l),解得厂=2,

贝UP至UP轴的距离为1,该圆被,轴截得的弦长为2万1=26.

故选：D.

7.B

【分析】根据/(一力=一/(同得至】Ja=-无2,然后根据x的范围求a的范围即可.

【详解】由题意得，sin(-j;)+(-x+a)(-x+l)=-sinx-(^+a)(x+l),

整理得a=f2,

因为xe(-2,0),则-ae(-4,0).

故选：B.

8.C

答案第2页，共20页

【分析】勾股得到。C，从而得到当DP最大时，言最大，然后根据截面得到截面,

根据勾股得到当。尸最大时，DP最大,再结合截面得到。尸的最大值，从而得到D言P的最大

值.

【详解】

过点。作EF_LAB,交底面圆于瓦尸两点，连接SO,DO,CO,

设&4=SB=2,贝！jDC=—AB=A/2,

2

所以当DP最大时，器DP最大,

由圆锥的性质得SO,底面，

因为EFu底面，所以SOLE尸，

又S(?nA3=O,SO,ABu平面&4B,所以平面S45,

因为SAu平面&W,所以SA_LEF,

因为C,。分别是SA,AB的中点，所以CO〃S3,则COL5A,

因为COIEP=O,CO,EFu平面CEF,所以SA_L平面CEF,

则平面CEF为截面，

因为R。为中点，所以所以ODL平面CEF,

因为OPu平面CEF,所以O£>_LO尸，所以DP=1oif+OP?=&+OP。，

则当。尸最大时，DP最大，

如图为截面的平面图，

以c为原点，co为x轴，过点c垂直c。向上的方向为y轴正方向建系,

答案第3页，共20页

CO=1,OE=OF=叵，0（1,0）,则抛物线方程为=2x,

设P了，“J，则Qp卜

所以1°%=四，

则此时op=g=5变=噌=亚

DCV22

故选：C.

【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于找到截面，然后转化为平面几何求最值.

9.AC

【分析】根据平均数、极差、中位数和方差的定义判断.

.、“左力、j业心-_.EJ+2+3+4+51+2+3+4+5+%+y左力,白，,,

【详解】右平均数不变111r，则-----------=------------------,解得x+y=6,故A正

确；

当x=y=2时，极差不变，但无+yw6,故B错；

若x+y=6,则羽＞为1,5或2,4或3,3,每一种情况对应的中位数都是3,故C正确；

原数据的平均数为3,原数据的方差为［x（4+l+0+l+4）=2,

新数据的平均数为3,新数据的方差为

；［（X-3）2+（丫-3）2+4+1+0+1+4］=^^2^^=?，当且仅当了=〉=3时等号成立,

所以方差有可能改变，故D错.

故选：AC.

10.AD

【分析】A选项，y=sin2"Dy=sinx的最小正周期，得到“尤）的最小正周期；B选项,

/（兀一,B错误；C选项，变形得至!］/（%）=25也彳（005%—1）,令〃尤）=。得sinx=0

或cosx=l,从而得到在区间［-2兀,2对上有5个零点，C错误；D选项，求导，得到

/'（X）=4（cosx—j-；＜0在上恒成立，D正确.

【详解】A选项，y=sin2尤的最小正周期为兀，y=sin尤的最小正周期为2兀,

两者的最小公倍数为2兀，故了（无）的最小正周期为2兀，A正确；

答案第4页，共20页

B选项,/(兀一x)=sin(2兀-2x)—2sin(兀一x)=-sin2x—2sinx手于(x),

故曲线y=〃尤)不关于直线％=］对称，B错误；

C选项，/(x)=sin2x-2sinx=2sinxcosx-2sinx=2sinx(cosx-1),

令〃x)=0得2sinx(cosx-1)=0,故sin%=。或8sx=1，

因为工£［—2兀,2兀］,所以sin%=0的解为再=一2兀，x2=-nfx3=0f%=兀，/=2兀，

cosx=l的解为再=一2兀，％3=°，/=2兀，

综上，/(%)在区间［-2兀,2可上有5个零点，C错误；

D选项，/'(%)=2cos2x-2cos^=4cos2x-2-2cosx=4^cos%-

当尤叫书时—4"龙t-河-加，

即广(x)=4卜osx-j-:<0,所以〃x)在区间内单调递减，D正确

故选：AD

11.ABD

【分析1A选项,根据等差数列前n项和公式判断;B选项，利用an=Sn-S,-,(«>2)得到an,

q

然后根据增减性列不等式即可；C选项，列不等式，然后解不等式即可；D选项，将'的

n

最小值为3转化为&=初+1+士工23恒成立，然后分〃=1和〃N2两种情况分析即可.

nn

【详解】若｛风｝为等差数列，贝氏=叫+当辿八夕%、一9〃，

2

所以—k+2=0,解得k=2,Sn=2n+n,故A正确；

S〃_i=左(〃一1)+(〃一1)—左+2,(〃之2),则%=Sn—=2切—左+1,(、22),

当〃=］时，。］=5］=k+1_k+2=3,

3,〃=1

所以为二

2kn—k+l,n>2

答案第5页，共20页

,、供>02,A

因为｛g｝不是递增数列，所以心0或。、C7c71，则心W，故B正确；

[32，化•，-Zc+1j

若S〃<Sn+2,贝I碗2+〃一女+2<々（〃+2）2+（鹿+2）—女+2,

,-1-1-111

整理得心许,又砺短4西币5二一"所以八一“故C错；

qq-kA-?

因为土的最小值为3,所以2=加+1+—王23恒成立，

nnn

即Z（〃~—1）22〃一2,当九=1时，成立，

222

当〃之2时，k>----,贝！J女2------=一,故D正确.

〃+12+13

故选：ABD.

12.5

【分析】根据给定条件，利用等比数列项间关系列式求出公比，进而求出前4项和.

【详解】设等比数列｛%｝的公比为4，由4+%=1，%+%=8,得/=互誉=8,

解得q=2,因此4+&=（q+的）/=4,

所以｛%｝的前4项和等于5.

故答案为：5

13.-/0.5

2

【分析】根据指数式和对数式的转化得到CQrCQz，然后利用换底公式计算.

【详解】令>=㈣，则它WO,

，整理得x=l()71n2,即CQ|=1071n2,

22r

7

令y=9,贝I]12i=iff整理得x=107m4,BPCg2=10In4,

44UJ

CQ_ln2_1

所以CQ^~ln4~2,

故答案为：

14.且

4

【分析】根据所给的角确定8所在直线，设出8点坐标，再由三角形相似得出B点坐标代

入椭圆方程，化简即可得解.

答案第6页，共20页

【详解】因为NAO3=135。，所以直线的斜率为1或-1,

不妨取上OB=T，则如图,

设3（%8，一演），过8作8V_Lx轴于点N,

由\BM\=^\AM\,\O^b,

44<44

可得忸N|=WAO|,即/^B\-b,--b

代入椭圆方程可得：中［［一9）_,

a2+b1

故答案为：也

【分析】（1）方法一，根据余弦定理求边BC和AC,再根据正弦定理求sinZACB；方法二:

VABC中，利用正弦定理，求sinZBAC,再根据两角和的正弦公式

sinZACB=sin（ZABC+ABAC）,即可求解；

（2）方法一：根据平行线的性质，以及余弦定理求C。，再分别求VABC和AACD的面积,

即可求解；方法二：同样先求C。，再求梯形的高，即可求解.

【详解】（1）

解法一：在VABC中，AB=4,AC=45BC,ZABC=45°,

答案第7页，共20页

由AC2=BC1+AB2-2BC-ABcosZABC,

^5BC2=BC2+16-8-—BC,整理得BC2+应BC-4=0,

2

得BC=&或BC=-2及（舍）

XAC=A/5BC=V10,

4_Vio

,ABAC

rn_____________=______________BPsinZACB~

sinZACB-sinZABC

解得sin/AC8=X5.

5

BCAC

解法二：在VABC,由

sinZBAC~sinZABC

得sinNBAC=&sin/ABC=J立=巫,

ACy/5210

故…心噜

sinZACB=sin（ZAJ3C+ZBAC）=sinZA5CcosZBAC+cosZABCsinABAC

_>/2<VTo32指

]0厂丁

（2）方法一：因为AB〃CD,所以NZ）CA=/BAC,

在VABC中，由余弦定理，得cos/BAC=+心—BC2=

2ABAC10

故cos/OCA=次的，

10

在AACD中，由AD?=AC?+CD2-2ACCDcosZDAC，

即17=10+CD2-2师.CD豆边，整理得CD2-6CD-1=0,

10

解得CD=-1（舍去）或CD=7,

在VABC中，SAABC=|AB-BC-sin45°=1x472x^=2

CD77

由AB//CD可得，5AAeo=,SAABC=彳x2=彳，

AD4Z

711

故四边形ABC。的面积为2+7=彳.

22

方法二：因为AB〃CD,所以NDC4=NB4C,

由（1）可得cosNBAC=题，

10

答案第8页，共20页

在AACD中，由Ap2=AC?+CD2_2ACCDCOSZDAC,

gpi7=10+Cr>2-2V10-CD整理得C£>2-6CD-7=0，

10

解得CD=-1（舍去）或CD=7,

在VABC中，AB边上的高为BC-sin45o=VL】L=l,

2

a11

故四边形的面积为了（42+。）=耳.

16.（1）证明见解析

（2）证明见解析

⑶坦

7

【分析】（1）根据棱台的性质得到平面ABCD〃平面EFG”，然后利用面面平行的性质定

理得到8D//HF,然后根据棱台和菱形的性质得到阻=。/,即可得至（JHD//77,最后证

明线面平行即可;

（2）利用勾股定理得到LAD,根据等腰三角形的性质得到77LAC,然后证明线面垂

直即可;

（3）解法一：根据棱台的体积公式列方程，得到乙BA。：1,然后建系，利用空间向量的

方法求距离；

7T

解法二：根据棱台的体积公式列方程，得到484。=：,然后构建平面„平面SDM,

利用面面垂直的性质定理得到MK为直线BC到平面ABG的距离，然后利用等面积求距离.

【详解】（1）

连结AC,3。，交于点/,连结尸/,则/为ACBO的中点,

由四棱台ABCD-EFGH,得平面ABCD//平面EFGH,

又平面BDHF0平面ABCD=BD,平面BDHFA面EFGH=HF,

所以BD//HF,

FH1

因为灰=5'所以——=-

BD2

答案第9页，共20页

因为/为AC,8£＞的中点，所以FH=DI=；BD,

所以四边形。毋7为平行四边形，故HD//F/,

又川)《平面ABC,3u平面A3C,所以"D〃平面ACP.

(2)取D4的中点J,连结

由四棱台ABCD—EFG〃得，EH=HG=2,AJ=-AD=2,EHI/AJ,

2

所以四边形A/HE为平行四边形，EA=HJ,

则HJ=EA=2曰DJ=HD=2,

所以Dff2+DJ2=HJ2,所以HDLAP,

由(1),知A/=/C,又FA=FC,所以77JLAC,

因为77//HD,所以HD_LAC,

又AC,AZ)u平面A8CD,ACp|仞=A,

所以EDJ_平面ABC。.

(3)解法一：菱形A5C£>的面积S=2x!xA8xA£>xsinN3AO=16sinN54。，

2

由四棱台ABCD-EFGH且£7/=JAD,

可得S菱形EFGH=W§菱形ABCD=4sinNBA。，

四棱台ABCD-EFGH的体积V=g(1+邪和+S2)/z=1x28sinZBA£>x2,

从而-x28sinZBA£>x2=型回，

33

解得sin/BAO=3,

2

因为FA>FB,IA=N-F/，IB=《FB?-FI2，所以ZA>/3，

故tan/ZAB="<l,从而N/AB〈工所以/A4Z)Jo，M，

IA4I2J

TT

所以ZR4£)=§,

取AB的中点K,则。C,。”,OK两两垂直，如图，以。为坐标原点，分别而，DC，DH

的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系。-个z,

则0(0,0,0),A(273,-2,0),G(0,2,2),C(0,4,0),

DA=(2A/3,-2,0),OG=(0,2,2),DC=(0,4,0),

答案第10页，共20页

设平面AFG即平面ADGF的法向量五=(x,y,z),

nDA=Q,/2氐-2y=0,

->即I

w-DG=0,[2y+2z=0,

整理，得[广33y，令y=0得力=(L括,-白卜

、z=-y,

从而点C到平面.G的距离公彳=唳等,

所以直线3C到平面AFG的距离为生旦.

解法二:

延长BRCGAE交于点S,取BC的中点连结交FG于点N,连结DM,DN,则

FG,SM的中点均为N,2C_LDM,

因为BCu平面ABC。，所以BC_LSD,

因为依〃3(7,所以PGLDM.FGLS。，

又DM,SDu平面SDM,DM^\SD=D,所以PG_L平面SDM,

又尸Gu平面AfG,所以平面AFG_L平面SDM,

过点M作MK_LDN于K,且平面AFGc平面SDM=DN,"u平面SDW,所以仆_1平

面APG,

故MK为点M到平面AFG的距离即为直线BC到平面AFG的距离,

因为ND=NM,所以点M到。N的距离等于点。到的距离，

答案第11页，共20页

又RtASDAf中，SD=4,DM=26,SM=2币,

设点D到NM的距离为d,则SASDM=：xOSxDM=^xSMxd,

所以4义26=2百d,解得d=,

7

所以直线BC到平面AFG的距离为士巨.

7

17.(l)y=3x+3

(2)^<4-21n2

(3)^<e

【分析】(1)利用导数的几何意义，即可求解；

(2)由条件转化为了目-1,+力),/'(力20恒成立.再转化为导函数的最小值大于等于0,即

可求解；

(3)方法一：首先将不等式整理为2％a+i),再参变分离为转化为

X+1

x+12

求函数G(x)=%^匚,xe(T,+e)的最小值；方法二：根据(2)的结果，由/'(%)的值,

讨论上的取值，判断不等式是否成立，即可求解；方法三：从命题成立的必要条件入手，再

证明命题成立的充分条件，即可求解女的取值范围.

【详解】(1)当左=0时,/(x)=ex+1-x2,贝"(x)=eZ—2x,

则曲线，=/(x)在点(T"(T)处的切线斜率为/'(T=3,

又〃-1)=0，

所以曲线y=/(x)在点(-"(-i))处的切线方程为y=3x+3.

(2)(x)=eA+1-2x-k,

由题意得，xe[T,+8)，r(x”0恒成立.

令P(x)=f(x),贝iJP'(x)=e向一2,且P'(x)在卜1,内)单调递增，

令k(x)=0,解得x=ln2-l>-l,

所以当xe(-Un2—1)时，尸(x)<0,故P(x)单调递减；

当％«ln2-1,+。)时,F(x)>0,故户(x)单调递增；

答案第12页，共20页

所以Rx)*=/(ln2—1)=4-21n2-k，

又/'(x)20,当且仅当尸(尤焉》0,故心4-21n2.

(3)解法一：因为〃-1)=3所以题意等价于当x>-l时，f(x)>k.

BPVxe(-l,+oo),ex+1-x2-kx>k,

整理，得e*+i—x22Mx+1),

x+1_2

因为X>-1,所以x+l>0,故题意等价于Nk.

设G(x)=----—,xe(-l,+oo),

e、'"i一2x)(x+1)--x2)

G(x)的导函数G，(X)=

(x+l)2

Y

化简得G'(X)=E

考察函数g(尤)=e，-x-l,xe(r»,+oo),其导函数为g'(x)=e*-l,

当x<0,g，(x)<0,g(x)单调递减；当x>0,g，(x)>0,g(x)单调递增；

故在x=0时，g(x)取到最小值，即g(x)2g(O)=O,

即ex>x+l,

所以2x+2oeH-x-220，

所以当xe(-l,0),G(x)<0,G(x)单调递减;

当尤e(0,+“),G(x)>0,G(x)单调递增；

所以G(x)的最小值为G(0)=e,

故％Ve.

解法二：先考察=2x,由⑵分析可得尸(XU=7'(5),

情况1：当广⑺血>0,即左W4-21n2,

此时/(x)在区间［-1,-)单调递增，

故/⑺血n=/(T)，即/⑺2/(—1),符合题意；

答案第13页，共20页

情况2：若左＞4—21n2,则八%iL/'UkO，

注意至1]2＜4-21n2＜3,且/''(-1)=3-左，故对左进一步讨论.

①当左23时，即/■'(-1)=3-心0

且由(2)分析知:当龙武一1,飞)"'⑺单调递减，

故当xe(-1,毛),/'(毛)＜/'(―1)W。，即“力单调递减，

故恒有/(x)＜/(-l)=Z,不符合题意，舍去；

②当4—21n2(人＜3时，

注意到在区间(-1,%),/'(月单调递减，且/'(-1)=3-左＞0,又/'(%)＜0,

故在区间(-1,%)存在唯一的占满足/'&)=0；

同理在区间,+动,/(力单调递增，且/(％)(0,/■'⑴=e?-2-Q0,

故在区间(5,+e)存在唯一的马满足/'(々)=0;故可得

X(T，xJ为（%,%）%（孙+R）

广⑺+0-0+

“X）/极大值极小值/

所以当＞/(-!),符合题意；

故题意等价于/(%)2/(T),即/(%)“.

又因为/'(々)=0，即廿+1-2々-左=0,化简，得e也+1=2尤2+左

所以丁仁)2左02%+左一君一包2左，整理得々[々一仅一左)]V0.

注意至Ij2＜4-21n2(左，所以2—左＜0,

故解得马《2-％,0],

e3-k>4-k,

由之前分析得＜即＜

r（o）>o,k&e,

答案第14页，共20页

考察函数g(x)=e*-x-l,xe(-oo,+oo),其导函数为g'(x)=e*-l,

当x<O,g[x)<O,g(x)单调递减；

当x>O,g<x)>O,g(x)单调递增；

故在x=0时，g(x)取到最小值，即g(x)2g(O)=O,

BPex>x+l,所以e3Y24-4恒成立，

fe"&>4-k

故"'=k&e,又注意到情况(2)讨论范围为4-21n2<A<3,

所以4-21n2<k<e也符合题意.

综上①②本题所求上的取值范围为

方法三：先探究必要性，由题意知当x2-l时，/(-1)是的最小值,

则必要地/(-1)</(0),即得到必要条件为kWe；

下证人We的充分性，即证：当左We时，xe[-l,+®),/(^)

证明：由(2)可知当左V4-21n2时，f(x)在单调递增，

故f(x)的最小值为符合题意;

故只需要证明4-21112V々Ve时,/(x)>/(-l).

由(2)分析知—>4一21n2时,

X(T，xJ为(%,%)%(孙+R)

广⑺+0-0+

“X)/极大值极小值/

其中飞=-l+ln2e(-l,0),^e(—l,％G(^,+OO).

注意至Ur(O)=e-k20,据此可得尤2更精确的范围是(不，。]；

所以等价于证明/(x2)>/(-1)=k,

X2+1

又因为/'(々)=0，BPe-2x2-k=0,可得e*却=2尤？+

答案第15页，共20页

只需证明f(/)2k2x、+k—x；—kx、2k,

等价于证明%-(2-左)]V0,

注意到吃«飞,0],即-l+ln2<X2<°，

故若①当％=。，此时女=3%[9-(2-左)]<0显然成立；

若②当N<0,只要证明无2+%22,

此时4—21n2<云<e,且-1+1112<々<。

所以超+左>3-ln2>2,故得证.

综上必要性，充分性的分析，本题所求上的取值范围为(-%目.

【点睛】方法点睛：本题第三问给了三种方法，第一种参变分离比较简单实用.

22

18.⑴

44

⑵①证明见解析；②证明见解析

【分析】(1)根据坐标的关系，利用代入法，即可求解轨迹方程；

(2)(i)分直线/的斜率不存在和存在两种情况讨论，斜率不存在时，根据几何关系，直

接得到结论，当直线/的斜率存在时，设直线/：'=区+6,联立双曲线方程，以及利用切点

M的性质，直线/的斜率用坐标表示，即可证明；(五)直线/的方程与双曲线「的方程联立，

利用中点坐标公式，即可证明.

【详解】(1)设N(x,y),“(5,%),贝|」4伉,0),矶0,%),工一耳=1.

1U1U

_X

X=—o,(■

7x=二：①

又线段A3的中点为N,所以即n

二2，

将①代入式-其=1,得£=1.

161644

22

所以「的方程为土-匕=1.

44

(2)①当/的斜率不存在时，直线A8为x轴显然/LAB；同时由双曲线的对称性，也易

得M卜照.

②(i)当/的斜率存在时，设/的方程为y=Ax+Z?(左w±l),则y0=kx0+b.

答案第16页，共20页

y=kx+b,

由＜y2消去y,可得（l-/）d-2物-仅2+16）=0,

--=1

11616

所以A=4k2b2+4（1-乃）仅2+16）=0,化简，得。2=16（/_1）.

将少=%-也代入〃2=16（左2_i）,得（先一5）2=］6（后2_i）,（片一16产-2线%+¥+16=。,

又玉-16=y：,y：+16=%,

所以北女2-2g）%+*=0,（%左一工°了=0,解得％二,

%

%—0二为

又左A8=，所以公配=—1，故/_LAB.

O—%o%

（ii）设P（石，乂），。（%,%）・

y=kx+b,

由必y2［消去y,可得（］_左2）］2—2妨％_仅2+4）=0

144

2&

yo~xo'~

2kb_y（）（%

由韦达定理，得%+%2=2

l~k2

玉+X?

即为=

2

所以点M为PQ的中点，即=

综合①②，/LAB;\MP\=\MQ\.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是第二问利用直线与双曲线的位置关系转化为关于左与坐

标的关系式.

19.⑴%=；,%=；,P（AI&）=1

答案第17页，共20页

(3)证明见解析

【分析】(1)根据独立事件定义分析电，4分别对应的事件，并计算对应概率，再根据条

件概率公式计算尸(阕4)即可.

(2)当附=2左+l(%eN*)时，分析可能情况，记事件“编号为奇数的％+1个球中，被涂成黑

色的球的个数为产为C,,事件“编号为偶数的左个球中，被涂成白色的球的个数小于广为2