二次函数与一元二次方程、不等式-2025年高考数学二轮复习专练

二次函数与一元二次方程、不等式经典题型专题练

2025年高考数学一轮复习备考

一、单选题

1.已知集合”={-2,—1,0,1,2},N={x\x2-%-6>0},则MCN=（）

A.{-2,-1,0,1}B.[0,1,2}C.{-2}D.{2}

2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式a/+bx+c>0的解集是（）

斗

7-2o

A.（一2,1）B.（—8,—2）U（l,+8）

C.[—2,1]D.（—8,—2]U[L+8）

3.已知A={x|"理•=0},若2C4则根的取值范围是（）

11mx-1）

1111

A.—mB.—<2

C.TH2或THD.m4一2或Tn

4.函数/（x）=急，若关于x的不等式[/（久）]2—a〃久）<o（aeR）有且仅有三个整数解，贝布的取

值范围是（）

A•[焉焉B.喘，急。・倡福）（e,焉

5.一元二次不等式a/+bx+c>0的解为{汽|一2V%V3},那么a/—fox+c>0的解集为

（）

A.{x\x>3或x<—2}B.{x\x>2或x<—3}

C.{%|-2<%<3}D.{x|—3<x<2]

6.已知不等式p：a/+人工+c<0（q。0）有实数解.结论（1）：设%）冷是P的两个解，则对

于任意的％1，冷，不等式％1+比2<和％1，第2<g恒成立；结论（2）:设%o是p的一个解，若

总存在%0，使得a%（）2一b%0+C<0,贝Uc<0,下列说法正确的是（）

A.结论①、②都成立B.结论①、②都不成立

C.结论①成立，结论②不成立D.结论①不成立，结论②成立

7.若不等式依2+（々一6）%+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围是（）

A.2</c<18B.-18<k<-2

C.2</c<18D.0</c<2

8.定义rna%{p,q}=仅£]设函数/(%)=max{2因—2,，一2ax+a},若ER使得f(x)<0

(%p<q

成立，则实数a的取值范围为().

A.(—8,0]u[1,+8)B.[—1,0]U[L+00)

C.(—8,—1)U(L+8)D.[—1,1]

二、多选题

320301

9.已知函数/(久)=1%+%eR且4<-2),且a=1.7,b=log0.31.8,c=O.9,

则下列结论正确的是()

A.f(%)为R上的增函数B./(久)无极值

C-f(b)</(c)<f(a)D.f(a)<f(b)<f(c)

10.下列说法正确的是()

A.不等式4/一5x+1>0的解集是{%|久><1}

B.不等式2——久—6W0的解集是{%|久《—|或rN2}

C.若不等式a/+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是0

D.若关于x的不等式2/+p]一3<0的解集是(q,1),则p+q的值为一段

11.下列说法正确的是()

A.若函数f(x—l)的定义域为区,3],则函数y="2工)的定义域为[―1,1]

B.当xeR时，不等式上工2一九工一1<0恒成立，贝！Jk的取值范围是(一4,0)

C.函数H%)=l°g16+%一2一)在区间(_8,$上单调递减

D.若函数"%)=lg(a%2+3久+2)的值域为R,则实数a的取值范围是[0,各

12.已知函数/(久)和实数n,则下列说法正确的是()

A.定义在R上的函数/(%)恒有/(%)=/(7H-71%),则当72=1时，函数的图象有对称轴

B.定义在R上的函数/(%)恒有/(%)=/(m一71%),则当n=—l时，函数具有周期性

1

<-

(—3x2+2x,x3

-贝HV

utG叫恒成立

C.右TH二1,n=2,/(%)={1(-f(t)>/(1-0

>-

[f(m—nx),x3

且八")的个不同的零点分别为，％久

D.若TH=4,n=1,/(%)={/4xi2,3%4,

且打V%2V%3<%4，则％1%2+X3X4-4(%3+%4)=—14

三、填空题

13.已知函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则不等式（a%+b）（bx+c）（cx+a）<0的解集

是.

14.已知函数/（%）=焉百一*>0且。工1），若关于'的不等式/（a/+人工+c）>o的解集

为（1,2）,其中be（—6,1）,则实数a的取值范围是

汽2-I-x|]xQ

15.已知函数f(%)={'—,若/(TH)V/(2-租2),则实数TH的取值范围

2%+1,%<0

是.

16.已知函数y="%）是定义域为R的偶函数，当x20时，/（久）=［（2产若关

%Z

Uogi6%，-

于x的方程［/（久）］2+a/（久）+6=og,bCR）有且仅有7个不同实数根，则a+b=.

四'解答题

17.某市随着东部新城迅猛发展，从老城区到新城区的道路交通压力变大.某高中数学建模小组

调查了新城上班族S从居住地到工作地的平均用时，上班族S中的成员仅以公交或自驾的方式通勤,

分析显示：当S中无%（0<久<100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间与久满足函数关系

为：

30,0<%<30

/（%）={1800（单位：分钟）•

2%+^^-90,30<%<100

x

而公交群体的人均通勤时间不受%影响，恒为40分钟.

（1）当支在什么范围时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？

（2）求新城上班族S的人均通勤时间g（%）的表达式，讨论9。）的单调性，并说明其实际意义.

18.已知函数/（久）=|久一t|+|久+t|,tER.

（1）若t=l,求不等式〃久）W8-久2的解集；

（2）已知m+n=4,若对任意％CR,都存在血>0,几>0使得“%）=细％,求实数t的

7k7mn

取值范围.

19.已知函数/(%)=3lnx+ax2—4%+b(a>0,bER).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

⑵当。=寺时，方程/Q)=0有三个不相等的实数根，分别记为々0=1,2,3).

①求b的取值范围；

②证明代—勺|<4(i=1,2,3；j=1,2,3).

答案解析部分

IC

解：N={x}x2-x-6>0]=(-03,-2]U[3,+03),XM={-2,-1,0,1,2),

所以MCN={-2}.

2A

解：由图像可知：函数图象与x的交点横坐标为-2,1,即方程a/+以+c=0的两个根为-2,1,

结合函数的图象可得：不等式a/+法+c>0的解集(-2,1).

3A

解：因为2”,所以件彳口，等价于产士)*。，解得

2m-l(.2m-1022

4A

解；函数/'(久)=高定义域为(一8,1)u(1,+8),求导可得/(%)=

令/''(£)>0，解得久>e,令/''(%)<0，解得0<£<e,当In久=0时，x=1,

所以〃无)的单调递增区间为®+8),单调递减区间为(0,1)和(l,e),

作出图象，如图所示：

当a<0时，由，(x)]2—a(Q)《0,可得a4/(x)W0,由图象可知，不存在整数点满足条件;

当a=0时，由[/(久)]2—afQ)<0,可得=0,由图象可知，不存在整数点满足条件；

当a>0时，由[/〉)]2一生久久)W0,可得0W/(%)Wa,

「244，

又f(2)=位=扃，f(包=扃，/(5)=隔，

由/(x)的递增区间为(e,+8),所以f(2)=f(4)<f(5),

所以要使0</(久)<a有三个整数解，则备《a(磊，

所以关于％的不等式/(久)]2-af(x)<0(a£R)有且仅有三个整数解，

则a的取值范围为[焉，磊).

5、D

解：由一元二次不等式a%?+ft%+c>0的解为{%|-2<%<3},

I—2+3=—=1

可得—2,3是方程*2+5%+。=（）的解，且。<0,由韦达定理得《产,解得

（（一2）X3=-=-6

［"一:"，代入得a/+ax-6a>0,即％2+x-6<0,解得一3<%<2,贝!Ja/—ft%+c>0

ic=—6a

的解集为{%|-3<%V2}.

6B

解：当a<0,且4=b2-4ac<0时，

J

不等式p；a/+办％+cV0（aW0）的解为全体实数，故对任意的%—x2%1+%2与一，的关系

不确定，例如：p：-x2+2x-2<0,取％1=1,%2=4,而一，=2,所以%1-%2=4>-=2,

故结论①不成立.

当a<。且4=b2—4ac>0时，p：ax2+bx+c<0的解为{%|%〈p或r〉q},其中p,q是a/+

bx+c=0的两个根.当x0<P，-%0>q此时a%。？一bx0+c<0,但c值不确定，

比如：p：一%2+%+2<0,取%o=-3,则一%0z一％0+2<0,但c>0,故结论②不成立.

7C

解：当々=0时，不等式Ze/+（女一6）%+2>0转化为一6%+2>0,解得汽<寺，不合题意；

当忆W0时,由Ze/+（忆_6）x+2>0的解为全体实数，

贝山=（仆6%1°轨义2<0,解得2<卜<18，

综上实数k的取值范围为：2<k<18.

解：三为€氏使得“久）<0成立的否定为对\/尢6/?,〃久）>0成立，

因为当％>1或久<一1时，2团一2>0;

当一时，2因一2<0，所以当x>1或x<—1时，f（x）>0,

若WrCR,/（久）>0为真命题，则当一1=%<1时，/—2ax+a>0恒成立，

所以（/一2ar+a）mm>0，其中％

设gQ）=x2-2ax+a（-1<%<1）,

当aW—1时，函数。（久）在［-1,1］单调递增，

所以当尤=一1时，函数g（%）取最小值，所以l+2a+a>0,解得a>《，矛盾;

当a>1时，函数g（X）在［—1,1］单调递减，

所以当x=l时，函数g（x）取最小值，所以1一2a+a>0,解得a<1,矛盾；

当—1<a<1时，函数g（x）在［-l,a）上单调递减，在（a,1］上单调递增，

所以％=a时，函数g(%)取最小值，所以小—2小+Q>o,解得0<a<1,

所以当0<a<1时，命题V、ER,f(%)>0为真命题，

所以若GR使得/(%)<0成立，则a的取值范围为(一8,0]u[L+8).

9A,B,C

解：已知函数/(%)=+%2一/%(26<—2),

则f(%)=x2+2%—义入，则4=4+2A<0,

所以/'(%)20,故/(%)在R上单调递增，A选项正确；

因为/(%)为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；

因为y=1.7尤是增函数，所以a=1.70-3>1.7°=1,

因为y=log。'是减函数，所以b=log0.3l-8<log031=0,

因为y=0.9尤是减函数，所以c=O.901<0.9°=1,

综上可知，b<c<a,又/(%)为增函数，则f(6)</(c)V/(a)，C选项正确，D选项错误；

10C,D

解：A、4/一5%+1>0等价于。一1)(4%-1)>0,解得％V,或%>1,故A错误；

B、2/一久一640等价于(久一2)(2%+3)<0,解得一|〈久〈2,故B错误；

C、若不等式a/+Qax+21<0恒成立，当a=0时，21<。不成立；

要使不等式。/+8取+21<0恒成立，则°不等式组无解，故C正确；

(4=64az-84a<0

—3

D、易知/1是一元二次方程2/+p久一3=0的两根，由韦达定理可得=丁，

2+p—3=0

解得p=Lq=—去当。=1，9=—S时，一'兀二次不等式2/+%—3<0,等价于(％—1)(2%+

3)<0解得一|<%<1,满足题意，贝加+q的值为一去故D正确.

11A,D

解：A、函数/(久一1)的定义域为[|,3],即|〈久〈3,则达久一142,

对于函数/(2丫)，令:〈2、〈2,解得一1WKW1,则函数y=f(2支)的定义域为[―1,1]，故A正

确；

B、当k=。时,不等式Ze/-/ex-1<0转化为一1V0恒成立，满足要求；

当kHO时，不等式k/一乙一1<0恒成立，贝皿解得一4<k<0,

14=(―fc)+4/c<0

综上，k的取值范围是(—4,0],故B错误;

C、由6+%—2/>0,解得一|<%<2,即函数f(无)=吗(6+久—2%2)的定义域为(_|,2),

对数函数丫=l°g罗为减函数，函数y=6+K—2/的单调递增区间为(一号，专，所以函数

〃尢)=108产+%-2%2)在区间(_会》上单调递减，故C错误；

D、若函数f(%)=lg(ax2+3%+2)的值域为R,则y=ax2+3%+2能够取到所有正数,

当。=0时，y=3%+2能够取到所有正数，满足要求；

当a70时，需满足]宜、即卜Vtn-解得0<。4，

"INUIV—oaNUo

综上，实数a的取值范围是[0,看，故D正确.

12A,C,D

解：A、若ri=1,则/(%)=/(TH-则函数/(%)的图象的对称轴为直线％二当，故A正确；

B、当九=一1时，/(%)=f(m+%),

若血=0,则/(%)=/(%),函数不具有周期性，故B错误；

f—3x2+2x,x<«

C、若TH=1,71=2,贝！]/(%)=<[,

当%>|■时，1—2%V

则f(%)=-3(1-2%)2+2(1-2%)=-3(4x2-4x+1)+2(1-2%)=-12/+8%-1,

即当%>4时，/(%)=-12%2+8%-1.

121

当te(—8,可)时，w—七e。，+8),

所以f(t)—f—£)=—3t2+2t—[—12(,—t)2+8(,—t)—1]

=9/—6t+l=(3t—1)2>0,所以〃t)>/(|一t)恒成立，故C正确；

D、当%e(2,4)时，4-%€(0,2),财⑺=(|]Jin±|tVx(e(24),

令=1IlnxLxe(0,2]

-l|ln(4-x)b%G(2,4)'

作出函数g(%)的图象和直线y=a,如图所示：

要使/(%)有4个不同的零点，则函数g(%)的图象与直线y=。有4个不同的交点.

又％1V冷<%3V%4，则一In/=lnx2=ln(4—x3)=-ln(4—x4),

所以In%1+lnx2=0,in(4—%3)+in(4—x4)=0,

所以％i%2=L(4—%3)(4—x4)=1,

则16—4(x3+x4)+%3x4=1,

所以％i%2+x3x4-4(%3+x4)=-14,故D正确.

i2

"(一歹3)U(3,+8)

根据函数y=ax2+bx+c的图像可知：

a>0,c>0,1+2=3=——,b<0,1x2=2=—,即b=-3a,c=2a，

Clci

不等式(a%+b)(b%+c)(cx+a)<0可化为(a%—3a)(—3ax+2a)(2ax+a)<0,

即(％-3)(3x-2)(2%+1)>0,

解得—(氯X>3,

所以不等式3+b)(b久+c)(cx+a)<0的解集是(一寺，|)U(3,+oo).

故答案为：(―3，刍U(3,+oo)

14(1,2)

由题意知若y(久)>o,即谟

；.O<ax<1,

/.当0<a<1时，X>0；当a>1时，%<0,

V/(a%2+bx+c)>0的解集为(1,2),

2

/.a>lfax+bx+c<0,且a/+fex+c<0的解集为(1,2),

Ax=1与％=2是a/+ft%+c=0的两根，

A.fa+b+c=0.入

+故Uz+2b+c=0'/=-3Qa,

又bE(—6,1),-6<-3a<1,

又a>1,/.1<a<2,

故答案为：(1,2)

15(-2,1)

函数/(X)图像如下图所示:

由图像可知函数/'(久)连续且在R上单调递增，所以f(m)<f(2一血2)转化为血<2-m2,即加+

m-2<0,解得：mG(-2,1).

16-1

由题意画出/(久)图象如下

令”以X),由图象知当”上时，方程有两个根，当teG，1)时，方程有四个根，当t=1时，

方程有三个根，当te(1,+8)时，方程有两个根，

关于％的方程[/(%)]2+af(x)+b-0有且仅有7个不同实数根,即方程产+at+b=0必有两

个根ti，,其中ti=1,上e(上，1),二13+a+b=0,即a+b=-1.

故答案为：-1

17(1)解：由题意知，当30<久<100时，

/(%)=2%+1800-90>40即久2-65久+900>0解得尤<20或久>45.

当xC(45,100),时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；

(2)解：当0<%<30时g(K)=30­%%+40(1-%%)=40—者.

当30<x<100时g(x)=(2%+--90)-x%+40(1一K％)=差—密+58

XbU_LU

X

40-]0,0<%<30

9(无)=13%

+58,30<x<100

10

当0<久<32.5时，g(x)单调递减

当32.5<久<100时，g(x)单调递增，

说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的，有大于32.5%的人自驾

时，人均通勤时间是递增的.

2x,x>1

2,-1<X<1,

{-2.x,x<—1

因为/(%)M8—久2,

当久时，Bp[2x-87%2,1<%<2；

(%>1

28%2

当一14％<1时,BP(d~-.,-1<x<1；

(-1<%<1

当％<—1时，即『2x48一_2<久<_i,

IX<-1

综上可得不等式的解集为[-2,2]

(2)解：•・・/(%)=|x-t|+|x+t|>|(x—t)—(%+t)|=2\t\,

当且仅当(%-t)(X+t)<0时取等号，・•・=2\t\,

又m>0,n>0且6+n=4,

4m2+n4m,14m,m+n、1,。4mn9

•*----------=-----1—=-----1—i—之了+2/—,-；—=彳，

mnnmn4m4\n4m4

当且仅当地=U-,即6=3几=害时等号成立，

n4m55

所以修泞，+8)

根据题意可得台2|t|,解得土喘或tW—卷，

QQ

・。.t的取值氾围是(—8,—g]U[g,+00).

19(1)解：函数/■(>:)的定义域为(0,+oo),尸Q)=,+2a久一4=的与生2.

又a>0,令/(%)=0，得2a%2—4%+3=0,J=16—24a.

当440,即a>|时，2a/一轨+3>0在(0,+8)恒成立，/'(%)》0.

当4>0,即0<a<|时，方程2a/-4%+3=。有两根,可求得:打="三旦,冷=土三包

312a22a

当xe(0,刈)和。2，+8)时，/(x)>o，当外)时，/(x)<0.

综上：当a泻时，f(x)在(0,+8)上单调递增，当0<a<|时，/⑺在(0,三方雪和

(2+J4-6a,+8)上单调递增，在(2-y-6气2+?-6a)上单调递减.

2CL2CL