二次根式 过关检测-2025年中考数学一轮复习

专题04二次根式过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.下列根式中，最简二次根式是（）

A.V25^B.7a2+b2C.D.Vo^5

【答案】B

【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根

式应满足两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数

或因式.

按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可.

【详解】解：A.尽，被开方数25a含有能开得尽方的因数25,不是最简二次根式，故选项A不符合

题意；

B.寿，被开方数的字母因式是整式，且被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，故

选项B符合题意；

C.被开方数的因数?不是整数，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；

D.国，被开方数的因数0.5不是整数，不是最简二次根式，故选项D不符合题意；

故选：B.

2.下列计算正确的是（）

A.y/2+^3=A/5B.4v3V=1C.X=V6D.XV14=7

【答案】D

【分析】本题主要考查二次根式的加法，减法，乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法

贝人根据二次根式的运算法则逐一计算即可.

【详解】解：A.五与百不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意；

B.4百-3百=百，选项错误，不符合题意；

C.V2xV3=V6，选项错误，不符合题意；

D.j|xV14=7,选项正确，符合题意；

故选：D.

3.已知是整数，则满足条件的最小正整数"为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键.

先变形得到厉=V22.3.n-根据题意几必须是3的正奇数次方，所以满足条件的最小正整数n为3.

【详解】解：V12n=V4-3-n=V22-3而五是整数，

二最小正整数〃为3,

故选：B.

4.若2Va<3,则J层―4a+4-J(a-3>等于()

A.2a—5B.1—2aC.5—2aD.2a—1

【答案】A

【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得a-2>0,a-3<0,再利用二次根式

的性质化简即可得解.

【详解】解：：2<a<3,

••d-2>0,CL—3<0,

2—22-2-

■1•Va—4a+4V(a-3)=7(a-2)V(a-3)=d2-(3-a)=a-2—3+a=2a—5,

故选:A.

5.估计(2百+V2)X百的值应在()

A.7与8之间B.8与9之间C.9与10之间D.10与11之间

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算及无理数的估算是

解题的关键；由题意可得出(2百+伤X百=6+返，然后问题可求解.

【详解】解：由题意得：(2百+五)X百=6+尼，

,•-2<V6<3,

■,-8<6+V6<9；

故选B.

6.等腰三角形的底角是30。，腰长为2打，它的周长为()

A.4百+6B.2V3+4C.4百+4D.2打+6

【答案】A

【分析】过顶点4作4E1BC于点E,由垂线的性质可得乙4EB="EC=90。，由三线合一可得

BE=CE=^BC,即BC=2BE,由含30度角的直角三角形的性质可得力E==百，由勾股定理可得

BE=dAB2-AE2=3,进而可得BC=2BE=6,根据△4BC的周长=48+BC+AC即可求出答案.

【详解】解：如图，过顶点2作4E1BC于点E,

AB=AC,AE1BC,

BE=CE=^BC,即：BC=2BE,

•・•乙B=30°,

・•.AE=^AB=|x2V3=6,

••BE=yjAB2-AE2=J(2V3)2-(V3)2=3,

BC=2BE=2x3=6,

・•.△2BC的周长=AB+BC+AC=2q+6+2百=4q+6,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，等式的性质2,含30度角的直角三角形，勾股定理,

二次根式的加减运算，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的

关键.

7.如图，将面积分别为20和12的正方形4BCD和正方形CEFG按如图方式放置，延长力D,EF交于点H,则

图中阴影部分的面积为()

A.24B.4V15-12C.16V15-48D.60

【答案】B

【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解。。=廊=2近，CG=V12=2

百，可得DG=2芯-2百，再利用面积公式计算即可.

【详解】解：••・正方形ABC。和正方形CEFG的面积分别为20和12；

.-.CD=V20-2V5-CG=GF-V12=2V3>

-,-DG=2V5—2V3,

・•・阴影部分的面积为：2V3X（2V5-2V3）=4V15-12.

故选：B

8.如图，在△ABC中，BC=V3+1，NB=45。，zC=30°,则△ABC的面积为（）

B

A.包B,2^+lC.dD.V3+1

222

【答案】A

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含30。角直角三角形的性质，勾股定理等知识.过点/作

AD1BC,垂足为。.在RtzXABD中和中，分别用力。表示出BD、CD,根据BC的长求出4D,

再求三角形的面积.

【详解】解：如图，过点/作4D18C,垂足为D

在RtUBD中，ZB=45°,

；/BAD=45°

.-.BD=AD.

在RtUCD中，ZC=30°,

.■.AC=2AD,

■■CD=>JAC2-AD2=^(2AD)2-AD2=曲AD,

:BD+CD=BC,

-t-AD+y/~^AD=+1,

即AD=1,

"△ABC=5BC,AD=/(V3+1)x1=

故选：A.

9.已知一列数据为。，瓜2,V6.2vLV10-2百，…，若第10个数据用字母。表示，则下列各数中,

与(3+a)的积为有理数的是()

A.2V^—1B.2y[^)+2C.1D.V^—1

【答案】D

【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点.由题干中数据总结规律求得a=3

瓜再根据有理化因式计算即可.

【详解】解：第1个数据为0=71又5

第2个数据为五=72X1，

第3个数据为2=方=x2,

第4个数据为尼=-2X3,

则第10个数据为a=V2x9=3VL

■••(3+a)为(3+3&)=3(1+际，

•••与(3+a)的积为有理数的是加T，

敢选：D.

10-已知Ti=J+\=JI=|'&=[1+/+/=根=3？3=J1+/+*]图

Tn=+其中"为正整数.设Sn=7\+T2+T3+…+7>则52024值是()

2024202411

A.2024—B.2025—C.202号万D.2025—

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关

键.根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案.

【详解】解：由题意，可得

r=Jl+3+[=]=l+(1一

i+/+*=K=i+GT

Tn=i+F+^=i+C，

,.$2024=71+72+73+…+72024

1111111

I2)(23；(34J(20242025J

1111111

=1x2024+(1--+---+---+-+^-^)

1

=2024+(1-荻)

=2。2喘

故选：A.

二、填空题(本题共6题，每小题2分，共12分)

11.化简：，(-3)2=.

【答案】3

【分析】本题考查二次根式化简.根据题意直接计算即可得到本题答案.

【详解】解：•••布可=再=3,

故答案为：3.

12.代数式百二五有意义，则x的取值范围为.

【答案】x<l

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数非负是解题的关键.根据被开方数是

非负数，可得答案.

【详解】解：依题意，3—2x20,

解得％w|.

故答案为：x<|.

13.若久，y满足+1|+12-丫=。，则无"=.

【答案】1

【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0,则这几个非负数分别等于

0,并正确得出未知数的值是解题的关键.根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代

数式计算即可.

【详解】解：:\x+11+V2—y—0>

.­-x+1=0,2—y=0,

x=-1,y=2,

xy-(—I)2-1,

故答案为：L

14.已知直角三角形的周长为5+g,斜边长为后，则这个直角三角形的面积为.

【答案】3

【分析】本题考查了勾股定理，完全平方公式，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的

关键.

设两直角边分别为。，6,根据三角形周长得到a+b=5,根据斜边长为后可得。2+反=13,从而可

得面积.

【详解】解：设直角三角形的两直角边为a、b,

22

则a+b+V13=5+V13fa+b=(V13)=13,

.•-a+b=5,(a+fo)2—2ad=13,

解得:ab=6,

所以这个直角三角形的面积为y匕=3.

故答案为：3.

11

15.已知X=不后、=有取则久2+盯+;/的值为.

【答案】15

【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键.

先分母有理化可得久=2-打、y=2+V3,则x+y=4、xy=1,再运用完全平方公式可得/+%y+y2

=(x+y)2—孙，然后整体代入即可解答・

【详解】解：「久=熹=而悬鬲=2—b'y=点=(2+,；场=2+百,

...x+y=2-V3+2+V3=4,久y=（2—百）（2+V3）=4-3=1,

■■■x2+xy+y2=(x+y)2-xy=42-l=15.

故答案为：15.

16.若y=71—x+Jx—J的最大值为a,最小值为6,则的值为.

【答案】|

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根

据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边

平方得到/="21—Q—J+》利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出2J—Q—J+2的

最大值和最小值，从而求出y2的最大值和最小值，即为a2、庐，代入即可.

【详解】解：■■-y=V1-%+

fl-x>0

0,i>0

1

解得：EWxWl，

将等式两边平方，得多="1—久）+2«i—久）（j—+（jx—j,

-'-y2=1-x+2〔（1—%）Q—+x—1,

•■-y2=1+2J%-%2-1+|x

'-y2=l+2J-x2+lx-^

--y2=I+2J—（D+/

•••（久-吴0,

・••-(久-|)《

•一(光—3)

'-y2=I+2J—(D+<芸+2x；=1,

-,-a2=1,

当久=9时，=Vo=°>

又,•[_(*_3+.20,

•,•d+b2=l+|=|

故答案为：

三、解答题(本题共7题，共58分)。

17.(8分)计算：

(l)V8-V27-3xJ1；

(2)(V12-VT5)(V12+V15)-V3+|V3-V5|-

【答案】(1)2五-4百

(2)-273+V5

【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键:

(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；

(2)根据二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解：V8-V27-3x

=2V2-3V3-3X—

=2V2-3V3-V3

=2V2-4V3

(2)解：(位―任)(711+任)+打+|百一返|

=(12-15)4-V3+V5-V3

=—Vs+V5—V3

=-2V3+Vs

、11

18.(8分)已知a=厂厂,

V3+V2b-V-3-=Vp2.

⑴求a+b的值；

(2)求a2-3ab+户的值.

【答案】(1)2百

(2)7

【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化.

(1)先根据分母有理化求出。=百一五，6=百+逐，即可求出a+b=2百;

(2)由a+b=2百，ab=l,将原式整理成(a+b)?—5a6,再整体代入计算即可得解.

【详解】⑴解：a=加亮葛1r打一伤

百+被

=V3+V2>

(V3+V2)(V3-V2)

.♦.a+b=V3--\/2+V3+V2=2V3；

(2)解：••・ab=(百_际(百+VI)=1,

••.a2-3ah+b2

=(a+b)2—5a6

=(2>/3)2-5X1

=12-5

=7.

19.(8分)如图是学校的一块正方形绿地，其边长为(同+2)m,现要在正方形绿地内修建四个大小、形

状相同的矩形花坛，每个花坛的长为(尼+Dm,宽为(遥-l)m,并将花坛以外的地方全部修建成通道,

且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖.若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？(参

考数据：6=1.41)

【答案】497.6元

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键.先

用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据"通道上要铺上造价为8元/平方米的地

砖”即可求出购买地砖需要的花费.

【详解】解：通道的面积为(同+2)-4(76+1)(76-1)

=50+4V50+4-4x(6-1)

=50+20a+4—4x5

=34+20立

«34+20x1.41

=62.2(平方米)，

二购买地砖需要花费62.2x8=497.6元.

20.(8分)通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：0=()2,2=

(V2),3=(V3),4=22,5=(75),那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的

题：

例：求3+26的算术平方根.

22

解：V3+2V2=2+2V2+1=(V2)+2V2+I2=(V2+1),

■-3+2五的算术平方根是叁+1.

请根据上面的方法化简下列式子：

(1)V7-4V3;

(2)J6,7-示.

【答案】⑴2-百

(2)3-73

【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数

相加是解题的关键.

(1)将7分成4+3,利用完全平方公式即可求出结论；

(2)由(1)可得［6,7-4百=J6(2-场,整理得J12-6百,再将12分成9+3,利用完全平方公

式即可求出结论.

【详解】(1)解：V7-4V3

=J4-4V3+3

=J22-4V3+(V3)2

=J(2-V3)2

=|2-V3|

=2-V3；

(2)解：J677-4V3

=J32-6A/3+(V3)2

=|3-V3|

=3-V3.

21.(8分)【阅读材料】在二次根式的计算中，$□：(V3+V2)(V3-V2)=1,(3+V3)(3-V3)=6,它们的

积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式.于是我们可以利用这样的两个二次根式，进行

分母有理化(通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程)，例如：三=亭"=

V3V3xV3

V3

~T，

]VS—!—!—

V3+V2-(V3+V2)(V3-V2)-32.

【解决问题】

1

⑴化简一的结果为________;

2—V3

11

⑵已知.=存市8=后第后求商一帅的值;

⑶计算启+五+a+京+…+后+21.

【答案】(1)2+73

(2)4V3

(3)2V6—1

【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的

关键.

(1)利用分母有理化、平方差公式计算；

(2)利用分母有理化化简a,b,利用提公因式法把原式变形，代入算即可；

(3)根据(1)的结论计算即可.

11><(2+百)

【详解】(1)解:2-V3-(2-73)(2+V3)=2+V3,

故答案为：2+V3；

/、1V13+2V^1—/—

a-V13-2V3-(V13-2V3)(V13+2V3)-*+3，

'-V13+2V3-(V13+2V3)(V13-2V3)--2V3，

.・・^b-ab2=ab(a-b)=(V13+2V3)(V13-2V3)(V13+2V3-V13+2圾=4百；

1111

⑶启+4+百+江+…+后+2正

=V2-1+V3-V2+2-V3+…+2V6-V23

—2V6-1.

22.(8分)认识概念:

、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化

因式；

如：V3xV3=3；(V2+1)x(V2-1)=2-1=1,我们称打的一个有理化因式为百，五+1的一个有

理化因式是血-1;

二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含

根号，这种变形叫做分母有理化.

上1x(2.旬0

如,2+西(2+V3).(2-V3)"S'

理解应用：

(1)填空：标-2的有理化因式是；将靠分母有理化得；

33S

(2)化简：Vt——10+V/7-+~V7F+-2~V10

拓展应用：

(3)利用以上解题方法比较3-2五与5-2遍的大小，并说明理由.

【答案】(1)V5+2,当；⑵|V10-2；(3)3-2加＞5-2心理由见解析

【分析】本题主要考查二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题

的关键.

(1)根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解；

(2)根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解；

(3)根据题意可得3-2五=9石，5-2点:白片，再根据实数比较大小的方法即可求解.

3+2v25+2Y6

_2

［详解］解：(1)・•,(代—2)X(而+2)=(代)-22=5-4=1,

.••代-2的有理化因式是赤+2,

2xV2_V2

,3V2xV23'

・・・将金分母有理化得序

故答案为：V5+2,学；

335

(2)——

V10+V7V7+2V10

3(V10-V7)3(V7-2)5-V10

=---------------------1---------------------------

(V10+V7)(V10-V7)(V7+2)(V7-2)V10-V10

3(V10-V7)3(V7-2)5-V10

=-----------1------------------

3310

1

=(V10-V7)+(V7-2)--V10

1

=V10-V7+V7-2--V10

=|V10-2：

(3)3-2V2>5-2V6，理由如下：

由题意得：3-2五后5-2尼=袤，

1.'3+2V^<5+2V6>

.1.3—>5—2^6•

23.(10分)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离

分家万事休数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件

下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了

如下的问题探索与分析.

【提出问题】已知0<久<1,求J1+d+Jl+(1一久)2的最小值.

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为11+久2和51+(1一幻2

的线段，将代数求和转化为线段求和问题.

(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形ABC。，尸为BC边上的动点.设BP=x,贝|PC=lr.则

>/1+久2+，1+(1—尤)2的最小值等于.

(2)运用以上数形结合的方法，求J9+好++(6-久产的最小值;

(3)运用以上数形结合的方法，求42+9-J久2一12久+37的最大值.

【答案】(1)V5；(2)2V13：(3)2V10

【分析】本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用.

(1)构造边长为1的正方形4BCD,尸为BC边上的动点，设BP=x,则PC=l—x,AP=y/AB2+BP2=

71+x2-DP=7CD2+CP2=V1+(l-x)2-71+x2+V1+(1-x)2=AP+DP,延长AB至点4,使

A,B=AB=\,当点P在4。与BC的交点处时，4P+DP的长最短，从而2P+DP的长最短，最小值为

线段AD的长，A,D=<AA,2+4£)2=7z2+l2=V5>即可求得71+x2+Jl+(l-x)2的最小值;

(2)构造两个边长为3的正方形2BFE和CMEF,P为BC边上的动点，CD=1,设BP=久，则

CP=6-x,DP=7CD2+CP2+Vl+(6-%)2-,9+*2+Ji+(6—)2=/P+DP,点夕在4。与BC

的交点处时，4P+DP的长最短，从而4P+DP的长最短，最小值为线段AD的长，过点。作DGIIBC

交4B于点G,A'D=y/DG2+A,G2=762+42=2V13，进而求出我+/++(6-无尸的最小值;

(3)Jx2+9—7K2一\2久+37-Vx2+9—71+(x—6)2>设48=x,点、E在AB匕，

==90。,8c=3,DE=1,BE=6,过点。作DF1BC于点R由勾股定理可知：AC=

7XS2+BC2=7X2+32-AD=^AE2+DE2=V1+(x-6)2,VX2+9-VX2-12X+37=^4C-XD,证

明四边形BEDF是矩形,

CD=VDF2+CF2=V62+22=2V10.分情况讨论，若点。不在线段力C上则力C—AD<CD,若点。在

线段4c上，则AC-力D=CD,进而求得，/+9—7久2一12。+37的最大值.

【详解】(1)已知图中，构造边长为1的正方形4BCD,尸为BC边上的动点，

设BP=K,贝IJPC=1—久，

在RtWBP中，

AP=JAB2+BP2=+/,

在Rt^CDP中，

DP=VCD2