抚州市2024-2025学年高二（上期）期末考试数学试题（含答案详解）

抚州市2024-2025学年度上学期学生学业质量监测

高二数学试题卷

说明：1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.

2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合

题目要求.

1.已知直线Z：x+2y=0,，2：办+勿+1=0,若4U,贝匹+28=()

A.0B.1C.-1D.2

2.圆心为(4,0)且过点(0,-3)的圆的标准方程为()

A.x2+(j-4)2=25B.x2+(v+4)2=25

C.(x-4)2+y2=25D.(x+4)2+v2=25

2

3.设片，匕为椭圆C：A+)?=i的两个焦点，点。在。上，若可.朋=o,则|刊讣［尸闾二()

A.1B.2C.4D.5

_____3___.____„1___»

4如图，三棱锥O—45C中，O4^a>~OB=b>OC=c>且而=］厉，CN=—C8,则加=

,42

()

C1-1f1-

A.--a+-b+-cB.—aH—bH—c

433433

3-1r1-

D.—a+—b+—c

422

345

5.若(2%-1)5=4+%(%-1)+42(、-1)2+tz3(x-l)+tz4(x-l)+(25(X-1),则下列结论中正确的是

A.4=—1B.%=—80

1-310

5

C.Ia0I+I«1I+I«2I+I«3I+I«4I+I«51=3D.(4+4+%)(%+%+%)=——

6.已知过原点的直线/与圆C:(x—3『+"—4)2=49相交于48两点，则以目的最小值为()

A.6B.V39C.4石D.476

7.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个

服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有()

A.25种B.150种C.300种D.50种

22

8.如图，已知片,用是双曲线c二—4=1的左、右焦点，尸，。为双曲线c上两点，满足片尸〃8。，

ab

且=囚尸1=3闺尸I，则双曲线。的离心率为()

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.

9.已知空间向量浣=(—1,2,4),3=(2,-4,x),则下列选项中正确的是()

A.当前时，x=3B.当前/不时，x=-8

C.当辰+^=6时，x=-3D.当x=l时，sin,,0=F

10.如图，在直三棱柱ABC-44cl中，NR4c=90°,AB=AC=g4^=2,瓦&G分别是棱

BC,4G，的中点，。在线段4G上，则下列说法中正确的有()

A.ER//平面力448B,8£>//平面£/6

C.存在点。，满足BD1EFD.三棱锥Q-EEG的体积不变

11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常

数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知两定片(-2,0),月(2,0),动点尸(%,%)满足|0/讣|尸闾=4,设p

的轨迹为曲线C,下列说法中正确的有()

A.尸的横坐标最大值是2B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.存在点P,使得/与，尸6D.△片尸鸟面积最大值2

三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.

12.双曲线上+上^=1的离心率为2,求加=.

mm+1

13.设“为正整数,展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为

14.在平面凸四边形48c。中，CB=CD=41<ABAD,且N84D=60°,NBCD=90。,将四边

一.兀2兀

形4BCD沿对角线8。折起，使点/到达点E的位置.若二面角E-8。-C的大小范围是,则三

棱锥£-8。的外接球表面积的取值范围是.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写

在答题卡上的指定区域内.

15.设直线4:mx+3my-6=0与乙：(4-加)x+碎v+m？-4m=0.

(1)若“〃2,求4、4之间的距离；

(2)当直线4与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求加的值.

16.已知。为原点，直线X+2y—3=0与圆C：x2+y2+x-6y+加=0交于尸、。两点.

（1）若|尸。|=25，求加的值；

（2）若过。点作圆的两条切线，切点为M、N,求四边形ONCAZ面积的最大值.

22

17.已知抛物线E：/=2px（夕〉0）与双曲线（-\=1的渐近线在第一象限的交点为0,且。点的横坐

标为3.

（1）求抛物线£的方程；

（2）过点（2,1）作一直线交抛物线£于48两点，求弦4B的中点轨迹方程.

18.如图，在三棱锥尸—48C中，ABJ.AC,APLBP,CALAP,BC=5M、N分别为

PB、P/中点.

（2）证明：平面CMN与平面Z8C的交线///平面尸48；

（3）若PA=PB,二面角C—MN—Z的正切值为2,求ZC的长.

19.如图所示，在圆锥内放入两个球它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这

两个球都与平面a相切，切点分别为片，鸟，数学家丹德林利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线

为椭圆，记为「，片,用为椭圆「的两个焦点.设直线大与分别与该圆锥的母线交于43两点，过点A的

母线分别与球Q相切于两点，已知以。|=2-百，以0=2+百.以直线与耳为x轴，在平面

a内，以线段片耳的中垂线为了轴，建立平面直角坐标系.

（1）求椭圆「的标准方程;

(2)过点(1,0)作斜率不为0的直线/,直线/与椭圆「交于P,。两点，48分别为椭圆左右顶点，记

/P的斜率为左，3。的斜率为质.求出

«2

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高二数学试题卷

说明：1.本卷共有4大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟.

2.本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试题卷上作答，否则不给分.

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，仅有一项符合

题目要求.

1.已知直线Z：x+2y=0,，2：办+勿+1=0,若4U,贝匹+28=（）

A.0B.1C.-1D.2

【答案】A

【解析】

【分析】利用垂直的关系可得斜率之积为-1,即可得解.

【详解】由直线4：x+2y=0,Z2\ax+by+\=Q,满足/，乙可得，

-5义1—j=-1,可得a+2b=0,

故选：A.

2.圆心为（4,0）且过点（0,-3）的圆的标准方程为（）

A.x2+（j-4）2=25B.V+（y+4『=25

C.（x-4）2+v2=25D.（x+4）2+v2=25

【答案】C

【解析】

【分析】根据各项给定圆的方程确定圆心，判断（0,-3）是否在圆上即可.

【详解】由一+（y—4）2=25的圆心为（0,4）,人错；

由/+（了+4）2=25的圆心为（0,-4）,B错；

由（—4）2+）=25的圆心为（4,0）,显然点（0,-3）在圆上,C对;

由（x+4）2+/=25的圆心为（一4,0）,D错;

故选：c.

3.设片，鸟为椭圆C:?+/=1的两个焦点，点尸在C上，若画•朋=0,则户用•|尸照=()

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】根据条件得到a=2,b=l,c=JL设PFi=m,P,3=〃，再利用椭圆的定义及条件得到

阴+〃=4且机2+/=06)2,即可求出结果.

V2r

【详解】因为椭圆C:亍+「=1,所以0=21=l,c=J

又因为两•朋=0,所以所_1两，即尸々，盟，

设PF\=m,PF2=n,则加+〃=4①，且加2+〃2=QJ»②，

由①2—②得到2加及=4,即加〃=2,所以附•尸6=2

故选：B.

,且血=；方，CN=^CB,则丽=

4.如图，三棱锥O-48C中，厉=万，OB=b，OC^c

()

O

B

1

A.--a+-b+-cB.-C-lH—bfH—1C-

433433

c-+ZDTQ-H--1b2H--1C-

422422

【答案】c

【解析】

【分析】利用空间向量的运算法则求解即可.

【详解】如图所示：

MN=MO+OC+CN

=-OM+OC+-CB

2

=-^OA+OC+^(OB-OC)

=--OA+-OB+-OC

422

3_1z1-

=——a+—o+—c.

422

故选：C.

2345

5.若(2x—l)5=a0+ax(x-l)+a2(x-l)+a3(x-1)+a4(x-l)+a5(x-l),则下列结论中正确的是

()

A.。()=-1B.a4=-80

1-310

5

C.|a01+1«1|+1a21+1a31+1a4|+1a51=3D.(旬+4+&)(%+%+%)=--—

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定条件，利用赋值法逐项计算判断.

【详解】对于A,取x=l,得a°=r=l,A错误；

对于B,[2(x—1)+厅展开式中。一。项的系数为c；"=80,B错误;

对于C,二项式[2(x-l)+l1展开式中各项系数均为正，取》=2,

[a。||||a2|+|%I+I04I+I051=00+4]+42+a3+^4+“5=梦，C正?^;

对于D,取X=2,得+4]+a。+/+。4+05=3，，取X=0,得旬—+。2—。3+。4—。5=-1，

、一，35-135+1310-1,

联立解得a0+a2+a4=---,ax+a3+a5=---,因此(a0+出+%)(%+%+%)=一~一，D错误.

故选：C

6.已知过原点的直线/与圆C:(x—3)2+"—4『=49相交于48两点，则|幺回的最小值为()

A.6B.V39C.475D.476

【答案】D

【解析】

【分析】判断原点与圆的位置关系，再由以8|最小有直线/ACO,最后应用几何法求弦长即可.

【详解】由（0—3丫+（0—4）2=25<49,即原点在已知圆内部，且圆心C（3,4）,r=7,

若原点为。，要使|48|最小，只需直线/人CO,而|。0=行邛=5，

所以最小\AB\=2xJ49-25=4^/6.

故选：D

7.在“文化抚州，梦想之舟”半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校5名同学到甲、乙、丙三个

服务点做志愿者，每名同学只去1个服务点，每个服务点至少1人，则不同的安排方法共有（）

A.25种B.150种C.300种D.50种

【答案】B

【解析】

【分析】利用先分组后分配来解题，分组中要注意均分组消序思想.

【详解】五名同学分三个小组，

「2「2

若按2人，2人，1人来分有=15种,

若按3人，1人，1人来分有C；=10种,

再把这三个小组排列到三个服务站去共有A；=6种，

所以每个服务点至少有1人的不同安排方法有：（15+10）x6=150种，

故选：B.

8.如图，已知片，鸟是双曲线—?=1的左、右焦点，尸，。为双曲线C上两点，满足「尸〃鸟0,

一crb，

5232

【答案】D

【解析】

【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得，=。，进而可得一片P'0=一片M=90。，结合勾股定理运算

求解.

【详解】延长0g与双曲线交于点P，

因为公尸〃因P,根据对称性可知阳尸|=\F2P'\,

设内P[=|4P|=t,则囚尸月片。=37,

可得囚尸|—闺尸|=2/=2a,即/=a,

所以尸。|=今=4°,则|0周=|空|+2a=5a,1Gpi=|gP|=3a,

2

即\P'Qf+闺尸'「=\QFX|,可知NFFQ=NFiPF2=90°,

在AP'G心中，由勾股定理得|用产'「+阳尸’『=闺月

即/+（3。）2=402,解得6=二=巫.

V7a2

故选：D.

【点睛】方法点睛：1.双曲线离心率（离心率范围）的求法

求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定。，6,c的等量关系或不等关系，然后把6

用a,c代换，求e=9的值；

a

2.焦点三角形的作用

在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来.

二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分.

9.已知空间向量蔡=（—1,2,4）,】=（2,—4,x）,则下列选项中正确的是（）

A.当面_L［时，x=3B.当三〃-时，x=-8

C.当卜+“=痴时，x=-3D.当x=l时，sinun,«

7

【答案】BD

【解析】

【分析】根据向量垂直、平行的坐标表示列方程求参数判断A、B；应用向量坐标加法及模长的坐标运算列

方程求参数判断C；由向量夹角的坐标表示求余弦值，进而确定正弦值判断D.

【详解】A：m，则—2—8+4x=0,可得x=—,错；

2

_2-4x

B：mlIn则--——­二:，可得X二—8，对；

-124

C：+“=J1+4+（4+X）2=A/6,可得x=-3或x=-5,错;

—2—8+4

D：x=l,则1=（2,-4,1）,故cos（私〃）~>则sin（7〃,〃）=丁丁，对.

VHXV21

故选：BD

10.如图，在直三棱柱4BC-44G中，NR4c=90°,AB=AC=6,AA1=2,E,RG分别是棱

BC,4G，的中点，。在线段4G上，则下列说法中正确的有（）

A,所//平面24用8B.AD//平面ERG

C.存在点。，满足BDLEFD,三棱锥。-EEG的体积不变

【答案】AD

【解析】

【分析】根据已知易得3跖G为平行四边形，有EE//8G,应用线面平行的判定判定A；由直线AD与面

5EFG相交判断B；假设ADLETL即AD，5G,令与。=xe[0,2]并应用勾股定理列方程求解判断

C；首先证用C"/平面ERG,再由棱锥的体积公式判断D.

【详解】由题设，易得5。。1片是边长为2的正方形，豆GFIIB[G〃BC,GF=^BXCX=^BC,

又E是8c的中点，则GP//5E且GE=8£,故8E尸G为平行四边形，

所以EF//BG,£E<Z面44148,BGu面则跖//平面池出出，A对；

由上分析知，面EEG即为面8EFG,显然直线与面5EFG相交，B错；

由EE//8G,若BD工EF,即5DL5G,

22

令5Q=xe[0,2],则8。2=》2+4，GE)2=x+I_2XCOS45°=X-V2x+b

而8G2=5，则BQ2+BG2=G£>2,即8+JIX=0，显然无解，C错；

由GF〃司q,吕。1<2面EEG,Gbu面EPG,则4G//平面EEG,

又Q在线段4G上，故。到面EEG距离为定值，且A£EG的面积为定值，

所以三棱锥。-EPG的体积不变，D对；

11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常

数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知两定片(-2,0),月(2,0),动点尸(%,%)满足|刊讣|尸闾=4,设P

的轨迹为曲线C,下列说法中正确的有()

A.尸的横坐标最大值是2B.曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形

C.存在点P,使得尸片_1_「耳D.△片尸鸟面积最大值2

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用轨迹方程的代数关系来证明相关选项，对于A利用纵坐标放缩去求横坐标范围，对于B则利

用-不，-%的代入检验就可作出判断，对于C则利用方程组消元看看是否有解，对于D,则利用定义来求

面积，只需要看是否存在直角.

【详解】由|年;卜|尸阊=4可得：1国+2)2+了；'国一2)2+需=4,

即［（x：+Jo+4）+4xo］［（x：+Jo+4）-4x0J=16,

即（x；+Jo+4、一16x；=16n（x：+y；+4/=16（片+l）=＞x；+y；+4=4&+1,

则Jo=~xo+4Jv；+1-4,

对于A,由-xj+4dx；+1-420,得x1+4W4Jxj+1,

平方展开化简得：解得—2后Wx。W2JL

即P的横坐标最大值是2后，故A错误；

对于B,由（一须），一＞0）满足（X；+V；+4）~—16x；=16,所以曲线C关于原点对称，

又由（一%,%），（%,-乂））也满足（X：+脚+4）'-16x；=16,所以曲线C关于坐标轴对称，故B正确;

对于C,若存在点尸，使得尸片，尸与，则有焉+点=4,

又由于则诉=-片+4旧石-4联立，消去犬可得：

4-x；=-X：+4Jx；+l_4njx；+l=2=＞x；=3,即有解，所以存在点尸，故C正确；

对于D,5有明=J尸制|尸闾sin，=2sin。，△片因面积最大值2,由选项C可知，

7T

存在，=—的最大值点尸，故D正确.

2

故选：BCD.

三、填空题：共3小题，每题5分，共15分.

22

12.双曲线上+一匚=1的离心率为2,求"?=.

mm+1

3

【答案】—-##-0.75

4

【解析】

【分析】根据双曲线的方程及离心率公式列方程求参数值即可.

【详解】由题设，易知加＜0＜加+1,则a=Tm+l,b=,所以。=1,

c13

由一=乙=^=2,可得机=——.

a，加+14

3

故答案为：—

4

13.设〃为正整数，|%-4|展开式中仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为

【答案】112

【解析】

G(-2)y”，令

【详解】由展开式中仅有第5项的二项式系数最大得〃=8则Tr+i=8f

8-4r=0,r=2则展开式中的常数项为C；(—2)2=112

14.在平面凸四边形4BCD中，CB=CD=垃,AB=AD,且N84D=60°,ZBCD=90°,将四边

n27i

形4BCD沿对角线8。折起，使点/到达点E的位置.若二面角C的大小范围是,则三

133」

棱锥£-BCD的外接球表面积的取值范围是.

.…小、「16兀5271

【答案】9

【解析】

【分析】取AD中点02,连接O2E,取AEBD的外心已,过点&作/，平面BCD,过点。作0。，平

面E8D交/于点。，进而确定球心的位置及二面角E-8。-C的平面角为NE。2c并确定范围，利用几何

关系求球体半径，即可得球体表面积的范围.

【详解】由题意知，和△£8。是等边三角形，

取AD中点。2,连接仪£，取的外心O1,则Q是的外心，

C

过点Q作/，平面BCD,则三棱锥E-BCD的外接球球心在I上

过点。作010±平面EBD交/于点。，则点。即为三棱锥E-BCD的外接球球心，

由8DLQE知，NE。2c为二面角£—8。—C的平面角，则NEQCe

7T7T2兀7T兀

设/OQq=0,则0V。Vmax

2-i?T-26

V32

。。21

又。1。2=1XVsX所以。Q

3-TCOS。J^cos。V57

因为。2。，平面C8£1,5Qu平面C5£),所以。2。，8。,

2

所以三棱锥E-BCD的外接球半径R=02B-+00}=1+00；e

1久

所以三棱锥£-BCD外接球的表面积S=4兀7?~e———

16K52n

故答案为:

【点睛】关键点点睛：根据球心的性质确定位置，并求出二面角£-8。-C的平面角NE&C的范围为

关键.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.解答写

在答题卡上的指定区域内.

15.设直线4:mx+3my-6=0与乙：(4一机)x+叼+机？-4m=0.

(1)若〃〃2,求4、4之间的距离；

(2)当直线4与两坐标轴正半轴围成的三角形的面积最大时，求加的值.

【答案】(1)叵;

10

(2)m=2.

【解析】

【分析】(1)由直线平行的判定列方程求参数，再由平行线的距离公式求距离；

12

(2)根据已知可得0＜加＜4,再由三角形面积公式有5=-](m-2)+2,即可确定面积最大时加的值.

【小问1详解】

由〃〃2，则"—3祖一(4一切)=0,化简得4机2—12机=0，可得加=0或机=3,

当加=0时，不成立，

当加=3时，4:x+3y—2=0,4：%+3y—3=0,

此时，i，，2之间的距禺为d=/—=----.

<12+3210

【小问2详解】

fm>0

•••直线乙与两坐标轴的正半轴围成三角形，｛4-机〉。，则0<m<4，

11,

：.12与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为S=耳机(4—机)=--(m-2)+2,

...当加=2时，S有最大.

16.已知。为原点，直线x+2y-3=0与圆C：/+/+工一6^+机=o交于尸、。两点.

(1)若|PQ|=2j7,求皿的值；

(2)若过。点作圆的两条切线，切点为“、N,求四边形ONCM面积的最大值.

37

【答案】(1)1(2)—

【解析】

【分析】(1)利用垂径定理来求直线与圆相交的弦长，从而可得方程求解机的值；

(2)利用勾股定理来求切线长，从而可计算面积，然后可用基本不等式来求最值即可.

【小问1详解】

由圆》2+>2+》-67+加=0可得：

圆心为（一半径r="I-4m,其中机<卫，

I2）24

（11—J_+6-3r-

而圆心-不3到直线x+2y-3=0的距离426，

I2Jd=-----=—

V1+42

所以|尸@=2〃2_/=2/714〃_；=26,解得机=1,

即加的值为I.

【小问2详解】

由勾股定理可得|0叫=7<9C2-r2f37~4m=而

四边形ONCW由两个全等的直角三角形组成。所以

37

/—V37-4mJm（37-4m）/（37mH----m

S=2x^\OM\37.

xr=Vmx--------=-...........=Jm----m<4

22,I4J28

当且仅当掰-时成立

8

3737

所以当机=——四边形ONCM有最大面积——.

88

22

17.已知抛物线E：/=2RX（P〉0）与双曲线:-,=1的渐近线在第一象限的交点为。，且。点的横坐

标为3.

（1）求抛物线E的方程;

（2）过点（2,1）作一直线交抛物线£于43两点，求弦4B的中点轨迹方程.

【答案】⑴y2=4x；

⑵-J

【解析】

【分析】（1）设点。的坐标为（3,%）,由点在双曲线的渐近线卜.确定点坐标，再由点在抛物线上求参数，

即可得方程；

（2）设2（西,必），B（x2,y2）,中点/（x,y）,y1+v2=2y,结合斜率两点式及点差法得到

2V-』」=4,整理即可得轨迹，注意验证ZBlx轴的情况.

x-2

【小问1详解】

设点。的坐标为（3,%）,因为点。在第一象限，所以为〉0,

双曲线!-;=1的渐近线方程为y=±今3》，

因为点。在双曲线的渐近线上，所以为=2百，所以点。的坐标为（3,2百卜

又点Q（3,2g）在抛物线丁=2.上，所以12=2夕x3,所以2=2,

设/(%,%),8(%2，%),中点"(x,y),y1+y2=2y,

7y—1Vi—Vo

若直线/的斜率存在，kAB=>="^,

x-2Xj-x2

由％2=4x-乂=4%2，则（必-%）（必+%）=4（再-

所以2了即二R=4,即2了.』=4,

（Xj-x2）x-2

整理得y2—y=2x—4,化简得[y—g]=2x—T，

直线/的斜率不存在，轴，弦4B中点为（2,0）也符合,

综上：轨迹方程为[y—g]=2x—

18.如图，在三棱锥尸—45C中，AB1AC,APIBP,CALAP,BC=5M、N分别为

PB、P4中点.

（1）证明：BPVAC-,

（2）证明：平面CMN与平面Z8C的交线〃/平面尸48；

（3）若PA=PB,二面角C—"N—Z的正切值为2,求NC的长.

【答案】（1）证明见解析

(2)证明见解析(3)1

【解析】

【分析】(1)利用线线垂直证明线面垂直即可得证；

(2)利用线面平行的判定和性质定理来进行推理证明即可；

(3)先把二面角的正切值转化为余弦值，再利用空间向量法来求解二面角的余弦值，从而得到方程求解

边长，也可以利用空间关系来证明线面垂直，并作图证明二面角的平面角，再求解即可.

【小问1详解】

因为ACLAP,AB\AP=A,平面尸4g,

所以ZC,平面尸48,又因为尸8u平面尸48,所以「

【小问2详解】

因为N分别是尸瓦PN的中点，

所以〃/8,因为Z8u平面Z8C,W平面Z8C,

即MN//平面Z8C,又因为MNu平面MAC,而平面MA/Cn平面Z8C=/,

所以MN〃I,而MNu平面尸48,平面尸48,

所以///平面P48；

【小问3详解】

解法一：以/为坐标原点，48,NC所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系:

由(2)知，ZC平面尸48且NCu平面48C,故平面48CJ_平面尸48,

•••平面P45的法向量1=(0,1,0),

设AS=2a,则zc=J5-4a2，C(0,,5-4』,0),

—,0,—j,则CN=1万,-，5-4〃1,NM=(1,0,0)

L1245-4/]

设平面CMN法向量％=（xj,z）,u,1,

a

\7

设二面角C—MN—Z的平面角为。，已知tanO=2,所以cos，=YS

5

cos0_〃].%_________i1_百

一丽一，4（5—吟,二三叫一5

a\a

解得：a=l.（设ZC=a也同样可以）

解法二：延长MN,过C作九W于〃点，连接力»,过P作尸GLZ8于G点

P

■：MN//AB,AB1AC:.MNA.AC

.•.肱V，面ZCH,:.MN1AH,

ZAHC为C—MN—Z所成的二面角6

AQa

设/C=a,•.•二面角C—MN—/的正切值为2,则一=2得4H=—

AH2

△PAB中PA=PB,PALPB.•.△尸48为等腰直角三角形，

二.PG=a>AB=2a

在V/8C中，AB?+AC?=BC?，代入得/+(2。,=5,

解得：a=l,AC=1.

19.如图所示，在圆锥内放入两个球a,。2,它们都与圆锥的侧面相切（即与圆锥的每条母线相切），且这

两个球都与平面a相切，切点分别为大，耳，数学家丹德林利用这个模型证明了平面a与圆锥侧面的交线

为椭圆，记为:T,片，鸟为椭圆「的两个焦点.设直线片不分别与该圆锥的母线交于48两点，过点A的

母线分别与球。1,。2相切于两点，已知|/C|=2—G，H刈=2+JT以直线片用为x轴，在平面

a内，以线段片8的中垂线为了轴，建立平面直角坐标系.

s

(1)求椭圆「的标准方程;

(2)过点(1,0)作斜率不为0的直线/,直线/与椭圆「交于P