高考数学重难点专项复习：解析几何（知识清单+易错分析+23年高考题+24年模拟）原卷版+解析

考前回顾07解析几何(知识清单+易错分析+23年高考真题+24

年最新模拟)

i.直线方程的五种形式

(1)点斜式：xo)(直线过点尸o(xo,jo)，且斜率为左，不包括>轴和平行于〉轴的直线).

(2)斜截式：>=而+人3为直线/在歹轴上的截距，且斜率为左，不包括y轴和平行于》轴的直线).

(3)两点式：口^==9(直线过点尸1(X1,勿)，P2(X2,H),且X1WX2,力力/,不包括坐标轴和平行于坐标

y2~yiX2-xi

轴的直线).

(4)截距式：工+2=l(a,b分别为直线的横、纵截距，且aWO,b次0,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原

ab

点的直线).

(5)一般式：/x+3y+C=0(其中/,8不同时为0).

2.直线的两种位置关系

(1)当不重合的两条直线/1和h的斜率都存在时：

①两直线平行：h//1?妗k\=ki.

②两直线垂直：Shk2=-1.

提醒当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.

(2)直线方程一般式是4x+5y+C=0.

①若直线/i：A\x-\~C\—Qlit4加+32歹+。2=0,则/i〃，20-5/2=0且41c2—ZzGWO(或SG

=

②若直线/i：B\y-\-C\Q,h：4加+82歹+。2=0,则/I_L/2O/I42+5I&=0.

提醒无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.

3.三种距离公式

(1)已知4(X1，%)5(X2，歹2)，两点间的距离

22

\AB\=\J(X2-xi)+(y2-yi).

⑵点到直线的距离1=悝独举吐口(其中点P(xo,yo),直线方程为及+为+。=0(，2+82/0)).

山2+炉

2

(3)两平行线间的距离其中两平行线方程分别为/i：Ax+By+Q=O,/2：Ax+By+C2=0(A+

52^0)).

提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x,y的系数对应相等.

4.圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x—a)2+(y—6)2=户.

(2)圆的一般方程：/+声+瓜+宜，+尸=0(r>2+N—4Q0).

5.直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.

(2)弦长的求解方法

根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系产=屋+，其中/为弦长，r为圆的半径,

d为圆心到直线的距离)，弦长/=26。.

(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含.

(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程.

6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

|尸网=PM点尸不

\PFi\+\PF2\=2a\\PFi\~\PF2\\=2a

定义在直线/上，尸

(2a>|FiF2|)(0<2a<|FiF2|)

交/于点M

|+1=1(«>Z»O)[Y=l(a>0,6>0)

标准方程俨=20加>0)

图形

范围\x\^ax20

顶点(±q,0),(0,±b)(士Q,0)

对称性关于x轴，y轴和原点对称关于X轴对称

焦点(土c,0)

几

轴长轴长2a,短轴长2b实轴长久，虚轴长额

何

_c_

性e=一=

ae=-=A/l+^(e>l)

离心率e=l

质a\laz

p

准线x=—匕

2

y=A

渐近线

a

7.直线与圆锥曲线的位置关系

判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.

弦长公式：\AB\—%2|,

或历一P2|（左WO）.

▲.易错提醒

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范

围时出错.

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情

况，直接设为工+±=1;再如，过定点尸（祝，次）的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为夕一次=左（》一xo）

aa

等.

3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜

率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合.

4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式隼二型，导致错解.

5.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有

两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，0<2心巧尸2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差

为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.

6.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a,儿c三者之间的关系，导致计算错误.

7.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.

8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的

系数是否为零，判别式/20的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式；

在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“/>0”下进行.

易错分析

易错点1忽略对参数取值的检验致误

1.［江苏宿迁2023调研］若直线ll:ax+2ay+l=0与直线Z2:（a-l）x-（«-1）j-1=0垂直，则a的值为

（）

A.0B.-1C.-2D.-3

易错点2忽视对截距为0时情况的讨论而致错

2.［浙江杭师大附中2023期中］过点尸（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.

3.［重庆一中2022期中］过点（1,2）作直线/,满足在两坐标轴上截距相等的直线/有（）.

A.1条B.2条C.3条D.4条

4.［山东背泽2023期中］已知直线/：x—y+2=0与圆C:£+必—2y—2加=0相离，则实数掰的取值范

围是（）

&［-P4］B.。­］

易错点4忽视对斜率不存在情况的讨论而致错

5.［四省八校2022质量检测］直线（2加一l）x+/即+2=0和直线加x+3y+l=0垂直，则实数加的值为

（）.

A.0或TB.-1C.3+46D.3+46

易错点5忽视二次方程表示圆的条件而致错

6.［浙江2022模拟］已知圆C的方程是x2+y2+2x+m=0,则实数m的取值范围是,若C上

恰有三个点到直线x+y-l=0的距离为1,则实数m=

易错点6对双曲线定义的理解不透彻致错

7.［河南TOP二十名校2023二模］已知"BC的顶点2（—6,0）,8（6,0）.若A/BC的内切圆圆心在直线

x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）

4二-光=1B,=-武=1C,二-廿=l（x〉3）D.二-匕=1（X〉3G）

8.［天津和平区2022期中］已知点2（2,3）,8（5,7）,若归/|—|必|=5,则点P的轨迹为（）.

A.椭圆B,双曲线C.双曲线的一支D.射线

易错点7忽视抛物线焦点所在轴而丢解致错

9.（多选）［重庆巴蜀中学2023第六次月考］已知抛物线C的焦点在直线x+2y+3=0上，则抛物线C的标

准方程为（）

A.y2=12xB.y2=-12xC.x2=-6yD.x2=6y

10.顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为

（）

A.x2--12y或俨=16xB.x2-12y或）二-16%

C.x2=9y或J?=12%D.x2=—9,或y2=-12%

易错点8求轨迹时忽视限制条件致错

11.[辽宁名校2022联考]已知点2(-5,0),8(5,0),动点尸(/〃,")满足：直线PZ的斜率与直线必的斜率

之积为-竺，贝l]4疗+/的取值范围为().

25

A.[16,100]B.[25,100]C.[16,100)D.[25,100)

高考真题

一.选择题(共15小题)

1.(2023•乙卷)已知实数x,y^&x2+y2-4x-2y-4=Q,则x-y的最大值是()

3/?

A.1+—B.4C.1+3V2D.7

2

2.(2023•全国)抛物线/=2px过点(1,百)，求焦点()

A.(―,0)B.(―,0)C.(-,0)D.(-,0)

12642

3.(2023•新高考I)过点(0,-2)与圆尤2+y2-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,贝!]sine=()

4.(2023•北京)已知抛物线C:/=8x的焦点为尸，点M在C上，若M到直线x=-3的距离为5,则||=(

)

A.7B.6C.5D.4

22

5.(2023•新高考I)设椭圆G：A+/=l(a>l),C,:工+「=1的离心率分别为q,e2.若q=出外,则

a4

”()

A.毡B.V2C.V3D.V6

3

6.(2023•全国)。为原点，P在圆C(无-2)2+(y-1)2=1上，O尸与圆C相切，则|OP|=()

A.2B.2V3C.V13D.V14

丫2_.

7.(2023•甲卷)设片，鸟为椭圆C：g+/=1的两个焦点，点P在C上，若尸不产居=0,贝小尸片HP修=(

)

A.1B.2C.4D.5

8.(2023•新高考^)已知椭圆C：q+必=1的左焦点和右焦点分别为£和直线y=x+/与C交于点/,

3两点，若△片/B面积是△6A3面积的两倍，则m=（）

2*5

RV2n

AD.C.----------D.

-1333

22

9.（2023•天津）双曲线二-彳=1（"0,6>0）的左、右焦点分别为片，F,.过用作其中一条渐近线的垂

a"b-

线，垂足为尸.已知|尸月|=2,直线期的斜率为中，则双曲线的方程为（）

22222222

AX>1

A.------=1B.土-匕=1C.土-匕=1D.土-匕=1

84484224

22

10.(2023•甲卷)已知双曲线二-《=1（。>0,6>0）的离心率为石，其中一条渐近线与圆

ab

(x—2)2+Q-3)2=1交于4,B两点，贝!!|/切=()

„V5„275D.拽

A.-D.-------C.-----

5555

22

已知椭圆上+匕=1，

11.(2023•甲卷)Fx,月为两个焦点，。为原点，尸为椭圆上一点，COSZFPF=-

96{2

贝U|PO|=()

12.（2023•乙卷）已知。。的半径为1,直线尸/与。。相切于点/,直线P5与。。交于8,C两点，D为

3C的中点，若|尸。|=&,则莎・丽的最大值为（）

A.9口1+2收

r).---------C.1+V2D.2+V2

22

22_

13.（2023•甲卷）已知双曲线。:1-勺=1（"0乃>0）的离心率为后，C的一条渐近线与圆

ab

（x—2）2+0—3）2=1交于N,8两点，贝力/切=（）

,V5D2^/5_3V5c4石

5555

2

14.（2023•乙卷）设/,3为双曲线，-5=1上两点，下列四个点中，可为线段N5中点的是（）

A.（1,1）B.（-1,2）C.（1,3）D.（-1,-4）

15.（2023•上海）已知产，。是曲线T上两点，若存在〃点，使得曲线「上任意一点尸都存在。使得

\MP\-\MQ\=\,则称曲线「是“自相关曲线”.现有如下两个命题：①任意椭圆都是“自相关曲线”；②存

在双曲线是“自相关曲线”，则（）

A.①成立，②成立B.①成立，②不成立

C.①不成立，②成立D.①不成立，②不成立

二.多选题（共1小题）

16.（2023•新高考II）设。为坐标原点,直线>=-百（x-1）过抛物线C:/=2px（o>0）的焦点，且与C交

于N两点，/为。的准线，则（）

O

A.p=2B.\MN\=-

C.以为直径的圆与/相切D.AOMN为等腰三角形

三.填空题（共8小题）

17.（2023•乙卷）已知点/（I,石）在抛物线C:/=2/上，则A到C的准线的距离为

18.（2023•北京）已知双曲线C的焦点为（-2,0）和（2,0）,离心率为血，则C的方程为

19.（2023•上海）已知圆C的一般方程为/+2x+y2=0,则圆C的半径为

20.（2023•上海）已知圆X2+y2-4x-m=0的面积为1,贝加=

若双曲线C焦点在X轴上，渐近线为>=土咚X,则C离心率为

21.（2023•全国）

22.（2023•新高考H）已知直线x-肛y+l=0与。C:（x-l）2+j?=4交于N,5两点，写出满足“A42c面

积为的〃z的一个值

5

22

23.（2023•新高考I）已知双曲线C:三-==1（。>0,6>0）的左、右焦点分别为片，鸟.点/在C上，点

ab

8在y轴上，~F\AY1\B,事=-|亭，则C的离心率为.

24.（2023・天津）过原点的一条直线与圆6：0+2）2+/=3相切，交曲线/=2。X0>0）于点尸，若|。尸|=8,

则p的值为

四.解答题（共10小题）

25.（2023•甲卷）设抛物线。：/=28（夕〉0）,直线x—2>+1=0与。交于4,3两点,且［45|=4A.

<1）求p的值;

（2）尸为炉=2px的焦点，M,N为抛物线上的两点，且砺•沛=0,求AWF面积的最小值.

26.（2023•上海）已知椭圆「二+2=1（加＞0且加片6）.

m3

（1）若加=2,求椭圆「的离心率；

（2）设4、4为椭圆「的左右顶点，椭圆「上一点E的纵坐标为1,且词•就=-2,求实数加的值；

22

（3）过椭圆r上一点p作斜率为3的直线/,若直线/与双曲线二-土=1有且仅有一个公共点，求实数

5m25

m的取值范围.

27.（2023•上海）已知抛物线「:/=4x,在:T上有一点/位于第一象限，设/的纵坐标为＞0）.

（1）若/到抛物线「准线的距离为3,求a的值；

（2）当。=4时，若x轴上存在一点8,使N5的中点在抛物线「上，求。到直线AS的距离；

（3）直线/:x=-3,P是第一象限内「上异于/的动点，尸在直线/上的投影为点“，直线/尸与直线/的

交点为。.若在P的位置变化过程中，|〃0|＞4恒成立，求a的取值范围.

22]

28.(2023•全国)己知椭圆C:\+4=l(a>6>0)的离心率为工，直线>=-!■交C于/、3两点,

ab32

\AB|=36.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右焦点分别为耳、F2,过耳斜率为1的直线交C于G、”两点，求△BGH的周长.

29.（2023•天津）设椭圆］+《=1（。>6>0）的左、右顶点分别为4，4,右焦点为尸，已知刃=3,

ab

"1=1•

（I）求椭圆方程及其离心率；

（II）已知点尸是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线4P交y轴于点。，若的面积是△玲£?面

积的二倍，求直线4尸的方程.

30.（2023•北京）已知椭圆£:0+3=l（a>b>O）的离心率为三-,A>C分别为E的上、下顶点，B、

。分别为£的左、右顶点，|/C|=4.

（1）求£的方程；

⑵点P为第一象限内E上的一个动点，直线PD与直线BC交于点M,直线产/与直线y=-2交于点N.求

证：MN//CD.

31.（2023•乙卷）已知椭圆C:g+|^=l（a>6>0）的离心率为，，点/（-2,0）在C上.

（1）求。的方程；

（2）过点（-2,3）的直线交C于点P,。两点，直线/尸，与y轴的交点分别为/,N,证明：线段“N

的中点为定点.

32.（2023•新高考H）已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（-20，0）,离心率为退.

（1）求C的方程；

（2）记C的左、右顶点分别为4，4,过点（-4,0）的直线与。的左支交于W,N两点，M在第二象限,

直线"4与私交于尸，证明尸在定直线上.

33.（2023•甲卷）已知直线x-2y+l=0与抛物线C:/=2px（°>0）交于N,8两点，|/为=4而.

C1）求p；

（2）设尸为。的焦点，M,N为C上两点，且两•两=0,求AAffN面积的最小值.

34.（2023•新高考I）在直角坐标系附中，点P到x轴的距离等于点P到点（0,式的距离，记动点P的轨

迹为少.

（1）求沙的方程；

（2）已知矩形48CD有三个顶点在沙上，证明：矩形48CD的周长大于36.

最新模拟

一.选择题（共5小题）

22

1.（2024•曲靖模拟）已知片，凡分别为双曲线餐-==1（。>0,6>0）的左、右焦点，P为双曲线左支上任

ab

一点，若此广的最小值为8a,则双曲线的离心率e的取值范围是（）

陷1

A.(l,+oo)B.(0,3]C.(1,3]D.(0,2]

22

2.（2024•昌乐县校级模拟）已知圆C:x2+v2-10y+21=0与双曲线二-乌=l(a>0,6>0)的渐近线相切,

ab

则该双曲线的离心率是（）

A.V2B.-C.-D.V5

32

22

3.（2024•兴庆区校级一模）如图，已知双曲线。:二-勺=1（。>0,6>0）的左焦点为片，右焦点为巴，双

ab

曲线C的右支上一点它关于原点。的对称点为2,满足/月/月=120。，且I因|=3|/工I，则双曲线C

D.叵

2

4.（2024•越秀区校级一模）经过第一、二、三象限的直线/:ax-by+4=0与圆C:x2+y2+2x-2y-l=0相

交于4,5两点，若|45|=6,则仍的最大值是（）

A.8B.4C.2D.1

5.（2024•重庆模拟）已知椭圆二+二=1（。>6>0）的左焦点片，。为坐标原点，点P在椭圆上，点。在

ab

—.>FPFO

椭圆的右准线上，若尸0=2片0,耳0=〃^^+』~）（2>0）则椭圆的禺心率为（）

C垂-1D.^±1

AD.-------

-I2,24

二.多选题（共4小题）

6.（2024•南昌一模）己知圆O:x?+『=4与直线/:》=叼+若交于/,B两点，设AO48的面积为S（m）,

则下列说法正确的是（）

A.SO）有最大值2B.5（间无最小值

C.若加尸加z，贝!]S（叫）wS（吗）D.若S（%）（加2），则加]片牝

7.（2024•云南一模）已知P是直线/:y=x+20上的动点，。为坐标原点，过尸作圆。:/+/口的两条

切线，切点分别为/、3,则（）

A.当点P为直线/与x轴的交点时，直线N3经过点（-?,-4后）

B.当AAP2为等边三角形时，点P的坐标为（-百，&）

C.N4P8的取值范围是（0,§

D.|尸。|的最小值为血

8.（2024•中山市校级模拟）如图，过抛物线C:Y=4了焦点下的直线/与抛物线交于4,3两点，弦48的

中点为M,过/,B,M分别作准线4的垂线，垂足分别为4，用,N,则下列说法正确的是（）

A.以为直径的圆与4相切B.NFVAB

11D咛+工的最小值为4

----------1----------

FA\\FB\

9.（2024•晋城一模）双曲线。:/_「=机2（机＞o）的左、右焦点分别为片，此,p@,S）（SN0）为C的右

支上一点，分别以线段P片，P耳为直径作圆圆a，线段。仪与圆。2相交于点“，其中。为坐标原点,

则（）

A.||=y/im

B.|OM|=m

c.点0,0）为圆q和圆a的另一个交点

D.圆q与圆■有一条公切线的倾斜角为£

三.填空题（共3小题）

10.（2024•芝景区校级模拟）圆X?+y2-2x-6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是.

11.（2024•泉州模拟）已知直线/:x+y=2,圆C被/所截得到的两段弧的长度之比为1:3,则圆C的方程

可以为—.（只需写出一个满足条件的方程即可）

12.（2024•广州一模）已知曲线C是平面内到定点F（0,-2）与到定直线/:夕=2的距离之和等于6的点的轨

迹，若点P在C上，对给定的点T（-2J）,用m（t）表示|PF|+1P71的最小值，则加⑺的最小值为.

四.解答题（共6小题）

13.（2024•陕西模拟）已知抛物线V=2px（0>O）的焦点为歹，点/（2,%）为抛物线上一点，且|AF|=4.

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的直线/:y=x+m与抛物线交于不同两点P,Q,若OP，。。，求加的值.

14.（2024•当阳市校级模拟）已知椭圆。:[+口=15>6>0）的长轴长为2若，且过点（T立）.

ab3

（1）求椭圆C的方程；

（2）若直线y=©x-0）（左>0），与椭圆C相交于/，3两点（点/在点B的右侧），点B关于x轴的对称

点为点玄，设直线。夕的斜率分别为尢，k2,且右-左=2,求后的值.

15.(2024•厦门模拟)已知N(2,0),5(-2,0),P为平面上的一个动点.设直线AP,AP的斜率分别为尢，

1

k2,且满足瓦•内=-;，记P的轨迹为曲线

(1)求「的轨迹方程；

(2)直线尸/,尸8分别交动直线x=l于点C、D,过点C作网的垂线交x轴于点〃.成•丽是否存在

最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由.

16.(2024•惠州模拟)如图，已知半圆。］：/+了2=62(%0)与》轴交于/、3两点，与》轴交于£点，半

椭圆C?:与+j=l(v>0,a>6>0)的上焦点为尸，并且A43歹是面积为G的等边三角形，将由6、C,构

ab~

成的曲线，记为

(1)求实数a、6的值；

(2)直线/:y=6x与曲线「交于“、N两点，在曲线「上再取两点5、7(5、T分别在直线/两侧)，使

得这四个点形成的四边形MSN7的面积最大，求此最大面积；

(3)设点K(0,P是曲线「上任意一点，求|PK|的最小值.

17.（2024•垫江县校级模拟）在平面直角坐标系xQy中，椭圆。:4+/=1，圆。：/+/=5,P为圆。上

任意一点.

（1）过尸作椭圆。的两条切线12,当与坐标轴不垂直时，记两切线斜率分别为左，k2,求左•右

的值；

（2）动点。满足诙=（而，设点。的轨迹为曲线E.

⑴求曲线£的方程；

（拓）过点/（当,手）作曲线£的两条切线分别交椭圆于R,T,判断直线RT与曲线£的位置关系，并说

明理由.

18.（2024•辽宁模拟）已知直线/与椭圆交于尸（国，%），Q（X2,力）两不同点，且AOP。的

面积SA8O=^，其中。为坐标原点•

（I）证明X；+考和）；+式均为定值；

（II）设线段P。的中点为求|。河川尸0的最大值；

（IID椭圆C上是否存在点。，E,G,使得若存在’判断皿TG的形状；

若不存在，请说明理由.

考前回顾07解析几何(知识清单+易错分析+23年高考真题+24

年最新模拟)

1.直线方程的五种形式

(1)点斜式：y—vo=A：(x—xo)(直线过点Po(xo,yo),且斜率为左，不包括y轴和平行于y轴的直线).

(2)斜截式：夕=日+以6为直线/在夕轴上的截距，且斜率为比不包括y轴和平行于y轴的直线).

(3)两点式："©(直线过点尸1(X1,J1),尸2(X2,㈤，且X1WX2,力力加不包括坐标轴和平行于坐标

y2~yiX2-xi

轴的直线).

(4)截距式：工+'=1(°,6分别为直线的横、纵截距，且aWO,bKO,不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原

ab

点的直线).

(5)一般式：/x+3y+C=0(其中/,8不同时为0).

2.直线的两种位置关系

(1)当不重合的两条直线/1和4的斜率都存在时：

①两直线平行：(〃120kl=k%

②两直线垂直：(_1_/2<=>左血=-1.

提醒当一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略.

(2)直线方程一般式是/x+3y+C=0.

①若直线/i：^ix+Sij+Ci=O,Z2：A2X+B2y+C2=0,贝U/1〃/20432—31也=0且4c2一色。1/0(或8C2

—民"0).

②若直线Zi：/ix+8iy+Ci=0,I2：/加+82夕+。2=0,则A_1_，2台/遇2+8182=0.

提醒无论直线的斜率是否存在，上式均成立，所以此公式用起来更方便.

3.三种距离公式

(1)已知/(xi,yi),3(X2,72)-两点间的距离

1=\j(x2—xi)2+(y2-yi')2.

⑵点到直线的距离d=也与”其中点尸a。，诩，直线方程为及+为+。=0(/2+4》0)).

■\IA2+B2

2

(3)两平行线间的距离其中两平行线方程分别为/1：Ax+By+Ci=O,h：Ax+By+C2=O(A+

/片0)).

提醒应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x,y的系数对应相等.

4.圆的方程的两种形式

(1)圆的标准方程：(x—a)2+(y—6)2=产.

(2)圆的一般方程：C+92+瓜+£旷+尸=0(。2+£2—4Q0).

5.直线与圆、圆与圆的位置关系

(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.

(2)弦长的求解方法

根据半径，弦心距，半弦长构成的直角三角形，构成三者间的关系户=屋+，其中/为弦长，r为圆的半径,

d为圆心到直线的距离)，弦长/=26二7.

(3)圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含.

(4)当两圆相交时，两圆方程相减即得公共弦所在直线方程.

6.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

名称椭圆双曲线抛物线

|PF|=FM点尸不

|PFi|+|PF2|=2a\\PFx\-\PF2\\=2a

定义在直线/上，尸

(2«>|FIF|)(0<2a<|FiF|)

22交/于点M

5Y=im>0,b>0)

标准方程…)y2=2px(p>0)

图形

范围X三Wx20

顶点(±Q,0),(0,±b)(士Q,0)M

对称性关于X轴，y轴和原点对称关于X轴对称

焦点(土cO)

几

轴长轴长2a,短轴长2b实轴长出,虚轴长2b

何

c

性e=~=

ae=-=A/l+^(e>l)

离心率e=l

质a7a'

(…)

p

准线x——

2

产&

渐近线

a

7.直线与圆锥曲线的位置关系

判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的方程组进行判断.

弦长公式：\AB\=A/1+P|XI—X2I，

或依尸一阳(左WO).

，^易错提醒

1.不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围确定倾斜角的范

围时出错.

2.易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽视截距为0的情

况，直接设为工+2=1；再如，过定点尸(如阳的直线往往忽视斜率不存在的情况直接设为XO)

aa

等.

3.讨论两条直线的位置关系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时，一条直线的斜

率不存在，另一条直线的斜率为0.当两条直线的斜率相等时，两直线平行或重合，易忽视重合.

4.求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式隼二导致错解.

\IA2+B2

5.利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件.如在双曲线的定义中，有

两点是缺一不可的：其一,绝对值；其二，0<2°<旧仍|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差

为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支.

6.易混淆椭圆的标准方程与双曲线的标准方程，尤其是方程中a,b,。三者之间的关系，导致计算错误.

7.已知双曲线的渐近线方程求双曲线的离心率时，易忽视讨论焦点所在坐标轴导致漏解.

8.直线与圆锥曲线相交的必要条件是它们构成的方程组有实数解，消元后得到的方程中要注意：二次项的

系数是否为零，判别式的限制.尤其是在应用根与系数的关系解决问题时，必须先有“判别式/20"；

在求交点、弦长、中点、斜率、对称或存在性问题时都应在“/>0”下进行.

易错分析

易错点1忽略对参数取值的检验致误

1.［江苏宿迁2023调研］若直线4:ax+2ay+l=0与直线〃：(a—l)x—(a—l)y—1=0垂直，则a的值为

()

A.0B.-1C.-2D.-3

本题考查根据直线一般式方程判断垂直关系，需要满足44+4月=0,求出参数值后，切记

要对参数的取值进行检验，如本题，容易误认为。=0也满足题设条件导致增解.

因为直线lx'.ax+lay+1=0与直线Z2:(<2-l)x-(«-l)v-l=0垂直，所以

-1）一2a（a+l）y-1=0,解得a=0,或a=—3.

当a=0,时，直线4不存在，故舍去；当。=-3时，满足题意，故选£）.

【答案】D

易错点2忽视对截距为0时情况的讨论而致错

2.［浙江杭师大附中2023期中］过点产（2,3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程是.

直线在两坐标轴上的截距相等，应分为直线过原点（即截距都为零）与直线不过原点（即截距

都不为零）两种情况讨论，分别求出直线方程，过原点的情况最容易被忽略.