反比例函数（讲义）-2025年中考数学一轮复习（解析版）

第12讲反比例函数［2大考点10大题型】

知识网络1

题型1反比例函数的图象与性质

题型2反比例函数图象的对称性

题型3反比例函数中比例系数k的几何意义

题型4反比例函数解析式的确定

题型5与反比例函数有关的面积问题

题型6反比例函数与网格作图结合

题型7反比例函数的实际应用

题型8反比例函数与一次函数的实际应用

题型9反比例函数与其他函数的综合应用

题型10反比例函数与几何图形的实际应用

］新考向：新考法）

|新考向：新趋势）

|新考向：新情境）

［新考向：跨学科）

考点一反比例函数的图象与性质

知识导航

1、反比例函数的概念

一般的，形如y=&（是常数，厚0）的函数叫做反比例函数。其它表示形式：y=或肛=%。

x

因为a0,厚0,相应地y值也不能为0,所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴永不

相交.

2、反比例函数的图象与性质

反比例函数j=|（k为常数，原0）的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影

响.

k

fc>0k<0

（左为常数，原0）

yy

J

图象OO

X

所在象限一、三（%,y同号）二、四（%,y异号）

在每个象限内，y在每个象限内，y

性质

随X的增大而减小随X的增大而增大

3、反比例函数的左的几何意义

k

由［（，）的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为应.

y=XkO

如图①和②，S矩形丛OB=PAPB=lyHR=|冲|=|川；

同理可得SAOPA=SA0PB=；|xy|=|跳

4、反比例函数解析式的确定

（1）待定系数法。由于在反比例函数y=&中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一

x

个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。

（2）利用反比例函数中反比例系数的几何意义

若已知某点到坐标轴的垂线与坐标轴所围成的面积，根据函数图象所在象限判断k的正负，从而确定k

值，再将k值代入反比例函数解析式即可。

典例分析

【题型1反比例函数的图象与性质】

【例1】（2024•山西•中考真题）已知点4（勺,月），8（如光），。（孙，乃）都在反比例函数丫=/（卜<0）的图像

上，且与<久2<0<修，贝!!％，丫2，%的大小关系是（）

A.y2>yr>y3B.%>%>%C.y】>%>为D.y3>Yi>y2

【答案】A

【分析】首先画出反比例函数y=§（fc<0）,利用函数图像的性质得到当<%2<0<%3时，为，、2，%的

大小关系.

【详解】解：•；反比例函数y=：伏<0）,

故选A.

【点睛】本题考查的是反比例函数的图像与性质，掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键.

【变式1-1]（2024•广东深圳・中考真题）反比例函数y=|的图象在（）

A.第一、二象限B.第一、三象限

C.第二、三象限D.第二、四象限

【答案】B

【分析】反比例函数y中，k>0图象在一，三象限，k<0图象在二、四象限

【详解】Vfc=2>0

=2的图象在第一，三现象

X

故选择：B

【点睛】熟练掌握反比例函数图象的决定因素是解题关键

'-（%>0）

【变式1-2]（2024.河北.中考真题）如图，函数y={\的图象所在坐标系的原点是（）

--（%<0）

C.点PD.点Q

【答案】A

【分析】由函数解析式可知函数关于y轴对称，当x>0时，图象在一象限，当x<0时，图象在二象限，即

可求解.

退〉0)，

【详解】由已知可知函数>=关于y轴对称，轴与直线PM重合.当x>0时，图象在一象限,

-；(xVO)

当x<0时，图象在二象限，即图象在x轴上方，所以点M是原点.

故选A.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质；熟练掌握函数的解析式与函数图象的关系是解题的关键.

【变式1-3](2024.辽宁丹东.中考真题)如图，点A是反比例函数y=^(x>0)的图象上一点，过点A作AC1%

轴，垂足为点C,延长4C至点3,使BC=24C,点。是y轴上任意一点，连接AD,BD,若△48。的面积

是6,贝瞌=.

【答案】4

【分析】连结。4OB,AB1x轴，由。。||AB得到SA。.=S^ABD=6.由BC=22C得到440c=j|fc|=

1S“OB=2,则|k|=4,再根据反比例函数图象所在象限即可得到满足条件的人的值.

【详解】解：如图，连结。4、0B,

9：AB1/轴，

：.0D||AB.

••$△0/8=SLABD=6.

•；BC=2AC,

=

•S^AOC=5网3S2AOB=2,

|fc|=4,

•・,图象位于第一象限，贝必＞0,

k=4.

故答案为：4.

【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，掌握反比例函数的图象与性质并能熟练运用数形

结合的思想是解答问题的关键.

【题型2反比例函数图象的对称性】

[例2]（2024•广西河池・中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数y=2久与反比例函数y=1（k手0）的图

象交于2（*1，Vi）,8（%2，%）两点，则为+丫2的值是-

【答案】0

【分析】根据正比例函数和反比例函数的图像关于原点对称，则交点也关于原点对称，即可求得当+力

【详解】••,一'次函数y=2x与反比例函数y=£（k70）的图象交于AO1,月）,B（久2，%）两点，

一次函数y=2x与反比例函数y=三%丰0）的图象关于原点对称,

•••yi+y2=°

故答案为：o

【点睛】本题考查了正比例函数和反比例函数图像的性质，掌握以上性质是解题的关键.

【变式2-1](2024•江苏宿迁•中考真题)如图，直线y=2%与双曲线y=3的图象的一个交点坐标为(2,4),则

它们的另一个交点坐标是

A.(—2,—4)B.(—2,4)C.(—4,—2)D.(2,—4)

【答案】A

【分析】本题考查的是正比例函数图象与反比例函数图象交点问题，根据正比例函数图象与反比例函数图象

都是中心对称图形直接写出答案即可

【详解】解：由于反比例函数是中心对称图形，所以正比例函数y=2x与反比例函数y=g的两交点4、3关

于原点对称.

又因为点(2,4)关于原点对称点的坐标为(-2,-4).

故选A.

【变式2-2](2024•江苏南通・中考真题)如图，直线y=公纸＞0)与双曲线y=£交于A5,经)，B(也,

/)两点，贝!I2幻”—7尤2刃=

【答案】20

【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点找出A、B两点坐标的关系，再根据反比例函数图象上点的坐标

特点，即可求解.

【详解】解，观察图象得：直线广入(左＞0)过原点和一、三象限，且与双曲线y=:交于两点,

这两点关于原点对称，

..xi=-X2,yi=-y2>

又；点A、点2在双曲线y=£上，

.•.尤/竺=4,尤2*>2=4,

.".XlXy2=-4,X2Xj7=-4,

2xiy2-Tx2yi=2x-(-4)-7x(-4)=20.

故答案为：20

【点睛】本题主要考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，属于一般性的题目，掌握两交点坐标关

于原点对称是解题的关键.

【变式2-3](2024•山东聊城・中考真题)如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组

对边与x轴平行，点P(3a,a)是反比例函数y=§(左>0)的图象上与正方形的一个交点.若图中阴影部

分的面积等于9,则这个反比例函数的解析式为—.

【答案】y=2

JX

【分析】由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为小正方形面积的，设小正方形的边长为b,图

中阴影部分的面积等于9可求出6的值，从而可得出直线的表达式，再根据点P(3a,a)在直线AB上

可求出a的值，从而得出反比例函数的解析式：

【详解】•••反比例函数的图象关于原点对称，

,阴影部分的面积和正好为小正方形的面积.

设正方形的边长为6,则/=9,

解得：6=3.(负值舍去)

・・•正方形的中心在原点0,且正方形的一组对边与X轴平行,

，直线A8的解析式为：x=3.

丁点尸（3〃，a）在直线A3上，

3〃=3,

解得：a=l,

：.P（3,1）.

•.•点尸在反比例函数y=£（匕＞0）的图象上,

仁3x1=3.

•・.此反比例函数的解析式为：y=|.

【点睛】本题考查反比例函数图象的对称性及正方形的性质，根据反比例函数的对称性得出小正方形的边长

是解题关键.

【题型3反比例函数中比例系数k的几何意义】

【例3】（2024・湖南湘西•中考真题）如图，点A在函数y=|（久＞0）的图象上，点8在函数y=：（久＞0）的

C,则四边形ABC。的面积为（）

C.3D.4

【答案】B

【分析】延长84交y轴于点D,根据反比例函数k值的几何意义得到S-DO=]x2=1,S矩形℃BD=3,根据

四边形4BC。的面积等于S矩形OCBD-Su。。，即可得解.

【详解】解：延长BA交y轴于点D,

轴,

DA1y轴，

;点A在函数y=：(x>0)的图象上，

,,SAADO=&x2=L

•；8。1》轴于点。，轴，点2在函数y=久X>0)的图象上，

,•S矩形OCBD=3，

.,•四边形4BC。的面积等于S矩形OCBD-SNDO=3-1=2；

故选B.

【点睛】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用.熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键.

【变式3-1](2024•吉林・中考真题)如图，在平面直角坐标系中，。为坐标原点，点4,B在函数y=：(x>0)

的图象上(点B的横坐标大于点2的横坐标)，点4的坐示为(2,4),过点4作4D1%轴于点0,过点B作BC1久

轴于点C,连接。4AB.

(1)求k的值.

(2)若。为。C中点，求四边形。4BC的面积.

【答案】(1)8；(2)10.

【分析】(1)将点4的坐标为(2,4)代入y=；(x>0),可得结果；

(2)利用反比例函数的解析式可得点B的坐标，利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果.

【详解】解：⑴将点力的坐标为(2,4)代入y=：(x>0),

可得k=xy=2x4=8,

k的值为8；

(2)的值为8,

・•・函数y=：的解析式为y=%

•••£>为。C中点，OD=2,

・•.OC=4,

・••点B的横坐标为4,将久=4代入y=p

可得y=2,

・••点B的坐标为(4,2),

11

S四边形OABC=S/40D+S^^ABCD=-x2x4+-(2+4)x2=10.

【点睛】本题主要考查了反比例函数的系数k的几何意义，运用数形结合思想是解答此题的关键.

【变式3-2](2024.浙江衢州•中考真题)如图，点A、B在x轴上，分别以。4A8为边，在x轴上方作正方

形Q4CD,4BEF.反比例函数y=：(k>0)的图象分别交边CD,BE于点P,。.作PM1x轴于点M,QNLy

轴于点N.若。4=248,。为BE的中点，且阴影部分面积等于6,则k的值为.

【答案】24

【分析】设。4=4a,则力B=2a,从而可得力(4a,0)、B(6a,0),由正方形的性质可得C(4a,4a),由QNly

轴，点尸在CD上，可得P《,4a),由于。为BE的中点，BElx轴，可得BQ=»B=a,则Q(6a,a),由

于点。在反比例函数y=£(k>0)的图象上可得k=6a2,根据阴影部分为矩形，且长为卷，宽为a,面积

为6,从而可得12x4凝xa=6,即可求解.

【详解】解：设。Z=4a,

VOA=2AB,

'•AB—2a,

OB—AB+OA—6a,

.\B(6a,0),

在正方形ABEF中，AB=BE=2a,

・・・Q为BE的中点，

1

••BQ=-AB=a,

••Q(6a,a)，

在反比例函数y=久卜>°)的图象上，

••k—6aXa=6a2,

•..四边形。4CD是正方形，

C(4a,4a),

在CD上，

尸点纵坐标为4a,

点在反比例函数y=g(k>0)的图象上，

...P点横坐标为x=白，

4a

•・《闻，

VzHMO=乙HNO=4NOM=90°,

・••四边形。MHN是矩形，

k

NH=—,MH=a,

4a

k

・・S口OMHN=NHxMH=--xa=6,

：.k=24,

故答案为：24.

【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形的面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识

是解题的关键.

【变式3-3］（2024•黑龙江•中考真题）如图，AABC是等腰三角形，过原点。，底边BC||x轴，双曲线y=£

过4B两点，过点C作CDIIy轴交双曲线于点。，若SABCO=12,则k的值是（）

【答案】C

【分析】设B（若）,根据反比例函数的中心对称性可得”-4-林然后过点A作4E1BC于E,求出BC=46,

点。的横坐标为-3b,再根据SABCD=12列式求出CD,进而可得点D的纵坐标，将点。坐标代入反比例函

数解析式即可求出k的值.

【详解】解：由题意，设8（瓦§，

过原点。,

.•*（一济―匀，

过点A作AE1BC于E,

•..△4BC是等腰三角形，

:.CE=BE=b-（-b）=2b,

；.BC=4b,点。的横坐标为—3b,

:底边BCIIx轴，CD||yft,

:・SXBCD=^BC-CD=l-4b-CD=12,

•"T，

...点。的纵坐标为9一（一9=一，

皿-3》,等），

•*.k=-3b■b=-3(6+k),

解得：k=-三,

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，中心对称的性质，等腰三角形的性质等知识，设出点8坐标,

正确表示出点D的坐标是解题的关键.

【题型4反比例函数解析式的确定】

【例4】（2024.云南昆明.中考真题）如图，直线y=x—1与y轴交于点4与反比例函数y=§的图象交于点

B,过点B作BCLy轴于点C,AABC的面积为2,则反比例函数的解析式为（）

【答案】A

【分析】对于反比例函数问题，关注的焦点就是反比例函数图象上的点，按照题意，设B（a,a-1）,根据AABC

的面积为2列出关于a的方程求解即可得出反比例函数解析式.

【详解】解：,,直线y=x-l与y轴交于点力，

/.X（0,-1）,即04=1,

•・・直线y=x—1与反比例函数y=5的图象交于点则设-1）,

•・・A4BC的面积为2,

xcix（a-1+1）—2-）

，@=2或。=—2（根据图象在第一象限，舍），

•••8（2,1）,即k=^y=2xl=2,

反比例函数的解析式为：y=-,

故选：A.

【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，求反比例函数解析式的关键是找到反比例函数图象上一点的

坐标.

【变式4-1］（2024•上海・中考真题）已知反比例函数的图象经过点（2,-4）,那么这个反比例函数的解析式

是（）

A.y=-B.y=--C.y=&D.y=--

【答案】D

【分析】设解析式产%代入点（2,-4）求出k即可.

【详解】解：设反比例函数解析式为尸与

将（2,-4）代入，得：-4甘，

解得：28,

所以这个反比例函数解析式为

，y=-X-.

故选：D.

【点睛】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，求反比例函数解析式只需要知道其图像上一点的坐

标即可.

【变式4-2］（2024.西藏•中考真题）已知点4是直线y=2x与双曲线丫=号（加为常数）一支的交点，过点4作

无轴的垂线，垂足为B,且。8=2,则m的值为（）

A.-7B.-8C.8D.7

【答案】D

【分析】易求得力点的坐标，代入丫=嗜（巾为常数）即可求出

【详解】由题意，可知点4的横坐标是±2,由点4在正比例函数y=2久的图象上，

.••点4的坐标为（2,4）或（-2,-4；,

又•••点力在反比例函数丫=等（爪为常数）的图象上，

m+1=8,即m=7,

故选D.

【点睛】本题综合考查反比例函数与一次函数的交点问题.先由正比例函数解析式求点的坐标是解题关键.

【变式4-3]（2024•山东潍坊・中考真题）如图，正比例函数y=—?光的图象与反比例函数y=:的图象的一

个交点是V5）.点尸（2声,71）在直线y=-乎X上，过点P作y轴的平行线，交y=三的图象于点Q.

（1）求这个反比例函数的表达式；

⑵求AOPQ的面积.

【答案】（l）y=-乎；

⑵*

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的表达式，坐标与图形，三角形的面积，利用待定系数法求出

反比例函数的表达式是解题的关键.

（1）利用正比例函数求出点4的坐标，再代入反比例函数的表达式即可求解；

（2）分别求出P、Q的坐标，得到PQ的长度，再根据坐标与图形以及三角形的面积公式计算即可求解；

【详解】（1）解：把代入y=得，V3=-y

'.m=-3,

.,.4（-3,V3）,

把4（-3,句代入y=甯，遥=g

k——3^3,

...反比例函数的表达式为y=-誓；

（2）解：把P（2V5,n）代入y=-fx得，n=-yx2V3=-2,

.".P（2V3,-2）,

：PQ||y轴,

..•点Q的横坐标为2g,

把x=2百代入学得，y=-|^=-|,

.,.Q（2V3,-j）,

=1xix2V3=f.

【题型5与反比例函数有关的面积问题】

【例5】（2024.山东烟台・中考真题）如图，正比例函数丫=比与反比例函数y=£的图象交于点4（份,a）,将

正比例函数图象向下平移n（n>0）个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点8,C,与x轴，y

轴交于点。，E,且满足=3:2.过点B作BFLx轴，垂足为点P,G为x轴上一点，直线BC与BG关

于直线BF成轴对称，连接CG.

（1）求反比例函数的表达式;

⑵求n的值及△BCG的面积.

【答案】（l）y=：

（2）1,10

【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用：

（1）先求出a的值，进而求出反比例函数的解析式即可;

（2）根据平移规则，得到平移后的解析式y=乂-九，联立两个解析式，表示出B,C的坐标，过点B,C作x轴

的平行线交y轴于点根据BE:CE=3:2,进而求出n的值，进而根据对称性得出NCBG=90。，勾股定理

求得BD,进而求得BG,BC的长，即可求解.

【详解】（1）解：•••正比例函数y=x与反比例函数y=：的图象交于点4（«,a）,

a=V6,

**.i4（V6,V6）,

k—V6,V6=6；

・6

・・y-

（2）Vi4（V6,V6）

=

•，XAVA

/.tanZ-AOD=蒋=1

：.Z-AOD=45°

•・,将正比例函数图象向下平移以九＞0）个单位，

平移后的解析式为：y=x—n,

如图所示，过点8,C作%轴的平行线交y轴于点M,N,则ABME,△CNE是等腰直角三角形，

・••乙BEM=乙CEN=45°

A△BMEfCNE

.BM_BE_3

**CN-CE-2

设8（3皿£）,则BM=3m

:.CN=2m,

•"(-2犯-5)，

**B(3)72,—fC(—2.7X1,——,在y=X-?!上

(2、

——3m—n

・•・1

-=—2m—n

vm

解得：｛:二:(负值舍去)

；.B(3,2),C(-2,-3),

；.BC的解析式为y=x-1,BC=J(3+2产+(3+2==5企

当y=0时，x=1,则0(1,0),

:.BF=DF=2,OE=OD=1,则DE=&

•..直线BC与BG关于直线BF成轴对称，BF1x轴，

：.DF=FG=2,ABF。和ABFG是等腰直角三角形，

.•.G(5,0)

：.BD=BG=2V2,

BFG是等腰直角三角形，4DBF=Z.GBF=45°

."DBG=90°

:.S&BCG=3BG义BC=三义2V2x5V2=10

【变式5-1](2024•甘肃兰州•中考真题)如图，反比例函数、=§(久＞0)与一次函数y=mx+l的图象交于

点4(2,3),点8是反比例函数图象上一点，BC1久轴于点C,交一次函数的图象于点Q,连接力B.

(1)求反比例函数y=B与一次函数y=mx+1的表达式;

(2)当。C=4时，求ATIB。的面积.

【答案】(l)y=5，y-x+1

【分析】本题主要考查了一次函数与反例函数的综合问题，待定系数法求反比例函数以及一次函数的解析

式.一次函数与反比例函数的交点问题，两点之间的距离公式等知识，掌握反比例函数的性质以及一次函

数的性质是解题的关键.

(1)利用待定系数法即可求出反比例函数以及一次函数的解析式.

(2)由已知条件求出点C,点2,点。的坐标，过点2作BE||x轴交一次函数丁=比+1的图象交于点E,

过点A作4F1BE与点F,利用两点之间的距离公式分别求出8。，BE,力产的值，最后根据工的。=S4DBE-

SAEAB即可求出答案.

【详解】(1)解：；反比例函数丫=：(久＞0)与一次函数丫=爪％+1的图象交于点4(2,3),

3=­,3=2m+1,

2

:・k=6,m=

.•.反比例函数为：y=p一次函数的解析式为：y=%+l.

(2),：0C=4,

，C(4,0),

•；3。1%轴于点(7,交一次函数的图象于点。，

•••点B的横坐标为4.点。的横坐标为4.

,犯=[=|'yD=4+1=5

0(4,5)

37

：.BD=5--=-

22

过点B作BE||%轴交一次函数y=汽+1的图象交于点E,过点A作AF1BE与点、F,

：・BD上BE,点E的纵坐标为|,

：

.AF=3--2=-2.

把|代入y=%+1,得|=%+1,

,・^LABD=S^DBE~^LEAB

11

=—BD•BE——AF•BE

22

177137

=-X-X--------X-X-

222222

7

【变式5-2](2024•山东泰安・中考真题)直线为=kx+b(k丰0)与反比例函数月=-?的图象相交于点

4(一2,m),B(n,-1),与y轴交于点C.

(1)求直线力的表达式；

(2)若乃〉为，请直接写出满足条件的工的取值范围；

(3)过C点作x轴的平行线交反比例函数的图象于点D,求△ACD的面积.

【答案】(1)为=-|x+3

(2)%<—2或0<%<8

4

⑶孑

【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题、根据函数图像求不等式解集、三角形的面积等知

识点，掌握运用待定系数法求解析式及数形结合思想是解题的关键.

(1)分别将点4(—2,zn)、点—1)代入丫2=-3，求出小、”的值，再分别代入yi=-+b中即可解答；

(2)根据函数图像确定不等式的解集即可；

(3)先把y=3代入丫2=-5中，求出点D的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.

【详解】(1)解：分别将点/(一2,血)、点8(几一1)代入为=一?中，可得：-2血=-8,-n=-8,解得：m=4,

n=8,

・・•/点坐标为(一2,4),8点坐标为(8,-1),

把A点坐标(一2,4),B点坐标(8,-1)分别代入%=—+》,可得仁2"匕=?,解得：

IH/C-Tu=-1

「7，

Ib=3

・•・一次函数表达式为yi=4-3.

(2)解：・・,直线比=依+」(女工0)与反比例函数、2=-^的图象相交于点4(一2,4),8(8,-1)

「・由图象可知，当丫1>丫2时，％<-2或0<%<8.

(3)解：把y=3时代入力=—：中，得久=—p

.•.£>点坐标为(―*3),即CD="

S“CD=|x|x(4-3)=|.

【变式5-3](2024•辽宁鞍山•中考真题)如图，直线4B与反比例函数y=£(x<0)的图象交于点4(—2即)，

B(n,2),过点A作47lly轴交x轴于点C,在x轴正半轴上取一点。，使。C=2。。，连接BC,AD.^AACD

的面积是6.

(2)点尸为第一象限内直线上一点，且△P4C的面积等于△BAC面积的2倍，求点尸的坐标.

【答案】⑴y=—*

⑵P(2,8)

【分析】(1)根据OC=2。。，可得三角形面积之比，计算出AAOC的面积，面积乘2即为由=8,解析式

可得；

(2)根据点的坐标求出直线ZB的解析式为y=x+6,设符合条件的点P(M,m+6),利用面积的倍数关系建

立方程解出即可.

【详解】(1)解：=2。。，AaCD的面积是6,

•・SAAOC=4,

|fc|=8,

•.•图象在第二象限，

k=-8,

...反比例函数解析式为：y=--；

(2):点4(一2,爪)，B(n,2),在y=-=的图象上，

•\m=4,n=—4,

・・・4(-2,4),B(-4,2),

设直线4B的解析式为y=kx+b,

(—2k+力=4

t—4fc+b=2，

解得：*=!，

1.0=6

，直线4B的解析式为y=x+6,

'.'AC||y轴交x轴于点C,

."(—2,0),

^LABC=)X4x2=4,

设直线4B上在第一象限的点P(m,m+6),

SAPAC--x4x(m+2)=2sA.c—8,

2m+4=8,

.'.m=2,

；.P(2,8).

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数关系式.

【题型6反比例函数与网格作图结合】

【例6】(2024•河南.中考真题)如图，反比例函数(x>0)的图象过格点(网格线的交点)P.

(1)求反比例函数的解析式;

(2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法)，要求每个矩形均需满足下列两个条件:

①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O,点P;

②矩形的面积等于k的值.

【答案】⑴y=%⑵作图见解析.

【详解】分析：(1)将P点坐标代入y4，利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式;

(2)根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可.

详解：(1)..•反比例函数y=：(x>0)的图象过格点P(2,2),

k=2x2=4,

・••反比例函数的解析式为y4

(2)如图所示：矩形OAPB、矩形OCDP即为所求作的图形.

点睛：本题考查了作图-应用与设计作图，反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析

式，矩形的判定与性质，正确求出反比例函数的解析式是解题的关键.

【变式6-1](2024•河北保定.一模)如图，点4,B均为格点，反比例函数y=：(x>0)的图象为L.

(1)若L经过点4贝心=;

(2)若L与线段有交点(包括端点)，则满足条件的整数k的个数是

【答案】36

【分析】本题考查求反比例函数图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图像与性质.(1)由图可知

4(1,3),将2(1,3)代入反比例函数丫=?0>0),即可求解；(2)由(1)知当L经过点4(1,3)时，k=3,

再求出当L经过点B时k的值，进而求出k的范围，即可求解.

【详解】(1)由图可知2(1,3),

若L经过点力(1,3),

则k=3x1=3；

(2)由图可知8(4,2)

若L经过点B,

则k=2X4=8,

•••L与线段4B有公共点，

3<fc<8,

故整数k的个数是6,

故答案为：3；6.

【变式6-2](2024・河南.二模)如图，矩形04BC的顶点均在格点(网格线的交点)上，双曲线y=：(x>0)经

过格点B.

-1|012345678X

—1......—■

(1)求双曲线y=>0)的解析式；

(2)经过点B的直线y=ax+6将矩形。ABC分为面积比为1:2的两部分，求该直线的解析式.

【答案】⑴y=?(x>0)

(2)y=-x-5或y=-x+l

【分析】此题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式.

(1将点8(6,3)代入y=>0)求解即可；

（2）分为过点B的直线与线段。4相交和过点B的直线与线段0C相交，根据三角形的面积分两种情况求出交

点的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可.

【详解】（1）解：根据题意得：8（6,3）,

3=-,

6

k=18,

•••双曲线的解析式为：y=F（x>0）；

（2）解：如图，当过点8的直线与线段。4相交时，设交点为R

由题意得：S矩形4BCD=6X3=18,

•••矩形0aBe的面积分成1:2的两部分,

•'•SAABF为］x18=6或|义18=12，

V5(6,3),

二①若|x34F=6,解得：AF=4,

•・,0A—6,

.・.。尸=6—4=2,

此时点B的坐标为(2,0),

...当3(6,3),尸(2,0)时,仁=鼠兽

(0=2。+b

(a=-3

4

解得：31

b=~-

I2

此时直线的解析式为y=|x-|,

②若之x3AF=12,解得：AF=8,

•・•。4=6<8,

此时，过点8的直线与线段。&没有交点,

如图，当过点B的直线与线段0C相交时，设交点为F,

•.•矩形O4BC的面积分成1:2的两部分，

,SABCF为!x18=6或|x18=12,

VB(6,3),

；・①若：x6CF=6,解得：CF=2,

-：0C=3,

OF=3-2=1,

此时点尸的坐标为(0,1),

.•.当B(6,3),F(0,l)时，户：6a3b

解得：卜=)

lb=1

此时直线的解析式为y=[x+1，

②若[x6CF=12,解得：CF=4,

•••OC=3<4,

此时，过点8的直线与线段OC没有交点，

综上，此时直线的解析式为y=《久—|或y=[x+l.

【变式6-3](2024.河南•中考真题)如图，矩形4BCD的四个顶点都在格点(网格线的交点)上，对角线AC,

BD相交于点E,反比例函数y=，(久>0)的图象经过点A.

(1)求这个反比例函数的表达式.

(2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象.

(3)将矩形4BCD向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为.

【答案】(l)y=：

(2)见解析

熊

【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是:

(1)利用待定系数法求解即可；

(2)分别求出久=1,x=2,x=6对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可；

(3)求出平移后点£对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解.

【详解】(D解：反比例函数y=§的图象经过点4(3,2),

・

・・，c=一k,

3

/.k=6,

这个反比例函数的表达式为y=*

(2)解：当x=1时，y=6,

当％=2时，y=3,

当％=6时，y=1,

反比例函数y的图象经过(1,6),(2,3),(6,1),

画图如下:

(3)解：•；E(6,4)向左平移后，E在反比例函数的图象上,

...平移后点E对应点的纵坐标为4,

当y=4时，4=：,

解得x=I，

平移距离为6—1=:

故答案为：,

【题型7反比例函数的实际应用】

【例7】(2024•吉林・中考真题)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流/(单位：A)与电阻R(单

位：Q)是反比例函数关系，它的图象如图所示.

(1)求这个反比例函数的解析式(不要求写出自变量R的取值范围).

(2)当电阻R为3。时，求此时的电流/.

【答案】⑴/=言

K

(2)12A

【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用：

(1)直接利用待定系数法求解即可；

(2)根据(1)所求求出当R=3。时/的值即可得到答案.

【详解】(1)解：设这个反比例函数的解析式为/=《(U40),

R

把(9,4)代入/=£(UK0)中得：4=?(U#0),

解得U=36,

...这个反比例函数的解析式为/=~

R

(2)解：在/中，当R=3Q时，/=¥=12A,

R3

.,.此时的电流/为12A.

【变式7-1](2024.宁夏.中考真题)给某气球充满一定质量的气体，在温度不变时，气球内气体的气压p

(KPa)是气体体积U(m3)的反比例函数，其图象如图所示.

AP/KPa

(1)当气球内的气压超过150KPa时，气球会爆炸.若将气球近似看成一个球体，试估计气球的半径至少为多

少时气球不会爆炸(球体的体积公式V=]兀「3,兀取3)；

(2)请你利用p与1/的关系试解释为什么超载的车辆容易爆胎.

【答案】(1)气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；

(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎.

【分析】(1)设函数关系式为p=5用待定系数法可得p=詈，即可得当p=150时，17=^=0.032,从

而求出r=0.2；

(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎.

【详解】(1)设函数关系式为p=[,

根据图象可得：k=pV=120x0.04=4.8,

.•.当p=150时，V=—=0.032,

L150

-x3r3=0.032,

3

解得：r=0.2,

k=4.8>0,

•••p随V的增大而减小，

•••要使气球不会爆炸，V>0.032,此时r20.2,

•••气球的半径至少为0.2m时，气球不会爆炸；

(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内气压增大导致爆胎.

【点睛】本题考查反比例函数的应用，涉及立方根等知识，解题的关键是读懂题意，掌握待定系数法求出反

比例函数的解析式.

【变式7-2](2024•浙江・中考真题)小明同学训练某种运算技能，每次训练完成相同数量的题目，各次训练

题目难度相当.当训练次数不超过15次时，完成一次训练所需要的时间y(单位：秒)与训练次数x(单

位：次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第3次训练所需时间为400秒.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)当x的值为6,8,10时,对应的函数值分别为yi，y2，y3，比较Cyi-y2)与(y2-ys)的大小：yi-y2_y2-y3.

【分析】⑴设反比例函数解析式为y=3将点(3,400)代入求出k即可，最后注意自变量的取值范围.

(2)分别将x的值为6,8,10时，对应的函数值分别为"，以，》的值求出，然后再比较大小求解.

【详解】解：(1)设反比例函数解析式为y=40)

将点(3,400)代入，即得k=3x400=1200

故反比例函数的解析式为：y=詈。>0）.

故答案为：y-（x>0）.

（2）当产6时，代入反比例函数中，解得丫］=等=200,

O

当x=8时，代入反比例函数中，解得丫2=等=150,

O

当410时，代入反比例函数中，解得丫3=警=120,

-y2~200—150=50

y2—y3=150—120=30

：.当一丫2>丫2一乃一

故答案为：>.

【点睛】本题考查了反比例函数的解析式求法、反比例函数的图像性质等，点在反比例函数上，则将点的坐

标代入解析式中，得到等式进而求解.

【变式7-3］（2024•浙江台州•中考真题）科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同

的液体中时，浸在液体中的高度力（单位：cm）是液体的密度p（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计

悬浮在密度为lg/cm3的水中时，h=20cm.

（1）求Zz关于p的函数解析式.

（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h=25cm,求该液体的密度p.

【答案】（l）h=£.

（2）该液体的密度p为0.8g/cm3.

【分析】（1）由题意可得，设八=2把p=Lh=20代入解析式，求解即可;

P

（2）把九=25cm代入（1）中的解析式，求解即可.

【详解】（1）解：设场关于P的函数解析式为八=1

把p=1,h=20代入解析式，得k=1x20=20.

关于P的函数解析式为九=£.

(2)解：把％=25代入八=史，得25=丑.

pp

解得：p=0.8.

答：该液体的密度p为0.8g/cm3.

【点睛】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是理解题意，灵活利

用反比例函数的性质进行求解.

【题型8反比例函数与一次函数的实际应用】

【例8】(2024.四川乐山.中考真题)通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变

化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散.学生

注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0<*<10和10式比<20时，图象是线段；当

20〈久W45时，图象是反比例函数的一部分.

(1)求点4对应的指标值；

(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要17分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题

的讲解时，注意力指标都不低于36?请说明理由.

【答案】(1)20；(2)能，见解析

【分析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将x=45代入，即可得出A对应的指标值

(2)先用待定系数法写出一次函数的解析式,再根据注意力指标都不低于36得出|x+20>36(0<%<10),

亭>36(20<%<45)得出自变量的取值范围曰<%<25,即可得出结论

【详解】解：(1)令反比例函数为y=乳%>0),由图可知点(20,45)在y=?的图象上，

：.k=20X45=900,

.*.y=—.将x=45代入

将x=45代入得：

点a对应的指标值为婴=20.

(2)设直线4B的解析式为y=依+b,将4(0,20)、B(10,45)代入y=依+b中，

得｛蓝二,s’解得｛祥.

直线2B的解析式为y=jx+20.

f|x+20>36(0<x<10)

由题得(45>36(10<x<20)，解得

(>36(20<x<45)

V25-R-2=-94>17,

55

二张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36.

【点睛】本题考查一次函数的解析式、反比例函数的解析式、不等式组的解集、利用函数图像解决实际问题

是中考的常考题型。

【变式8-1](2024・湖南益阳・中考真题)我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一

种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚

内温度y(