概率与统计的综合应用与高级分析（13大题型）练习-2025年高考数学二轮复习

专题22概率与统计的综合应用与高级分析

目录

01模拟基础练.....................................................2

题型一：求概率及随机变量的分布列与期望............................2

题型二：超几何分布与二项分布......................................4

题型三：概率与其它知识的交汇问题..................................6

题型四：期望与方差的实际应用......................................8

题型五：正态分布与标准正态分布...................................11

题型六：统计图表及数字特征.......................................12

题型七：线性回归与非线性回归分析.................................13

题型八：独立性检验...............................................15

题型九：与体育比赛规则有关的概率问题.............................19

题型十：决策型问题...............................................20

题型十一：递推型概率命题.........................................22

题型十二：条件概率、全概率公式、贝叶斯公式.......................23

重难点突破：高等背景下的概统问题.................................24

02重难创新练....................................................29

题型一：求概率及随机变量的分布列与期望

1.2024年5月某数据挖掘与分析机构发布《2024年中国国货消费品牌500强》，统计榜单前20名品牌所

在行业，得到如下频数表.

行业汽车出行3c数码家用电器食品饮料生鲜水果珠宝文玩

频数744311

(1)从表中家用电器、生鲜水果、珠宝文玩行业的6个品牌中随机抽3个，求抽取的3个品牌恰好来自2个

不同行业的概率；

(2)从来自汽车出行、3c数码及家用电器的15个品牌中抽取4个品牌，且来自3c数码及家用电器的品牌

抽取的数目相同，记该数目为X,求X的分布列与期望.

【解析】(1)从这6个品牌中随机抽3个，抽取的3个品牌恰好来自2个不同行业，

抽取结果数为C：C；=12,

123

所以所求概率为弓？=5-

(2)X的取值依次为0,1,2,

从15个品牌中抽取4个品牌，且来自3c数码及家用电器的品牌抽取的数目相同的总数为

C+CcC+c；C=407,

C：35

p(x=0)=

407—407

P(X=1)=724336

407407

C：c；:36

P(X=2)=

407~407

所以X的分布列为

X012

3533636

P

407407407

c36408

E（X）=Ox正+lx受+2x-----

407407407407

2.甲、乙、丙3人进行跳棋比赛，3人两两各进行1局，共进行3局，赢的局数多者获胜，且这3人只有1

人可获胜，若没有获胜者，则这3人两两再各进行1局，若还没有获胜者，则比赛结束.假设甲、乙、丙每

人每局赢的概率均为;，每局是平局的概率均为g,每人每局的结果相互独立.设每赢1局得2分，平1局得

1分，输1局得0分.

(1)求该跳棋比赛前3局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率；

(2)已知前3局中甲、乙、丙各赢1局，这3人两两再各进行1局，记甲在这6局中获得的总分为X,求X的

分布列与数学期望.

【解析】(1)依题意可得乙和丙不可能都得。分或1分，

则乙和丙可能都得2分或3分，

当乙和丙都得2分时，这3局均为平局或这3局每人各赢1局；

当乙和丙都得3分时，乙与丙都赢了甲且乙与丙的对局结果为平局.

所以该跳棋比赛前3局没有获胜者且乙和丙的得分相等的概率为(口+&[x2+gj=(.

(2)依题意可得X的可能取值为6,5,4,3,2,

|=:'尸（X=5）=2x

则尸(X=6)II

p（X=4）=2x

则X的分布列为:

X65432

£212]_

P

99399

121

i^E（X）=（6+2）x-+（5+3）x-+4x-=4.

题型二：超几何分布与二项分布

3.某学校为了了解学生平时的运动时长情况，现从全校500名学生中随机抽取20名学生，统计出他们的

运动时长(单位：分钟)，将这些运动时长按(20,25］、(25,30］、L、(40,45］分成五组，得到如图所示的

(1)求出。的值，并估计全校学生中运动时长超过30分钟的人数；

(2)在上述选取的20名学生中任意选取2名学生，设y为运动时长超过30分钟的人数，求y的分布列与期

望石⑶；

(3)现将运动时长高于35分钟的学生称为“热爱运动者”，现从样本中任意选取4名学生，求恰有2名学生是

“热爱运动者”的概率.

【解析】(1)由于频率分布直方图中所有矩形面积之和为1,

贝ija=一5x(0.03+0.04+0.05+0.01)］=0.07.

全校学生运动时长超过30分钟的人数约为500x5x(0.07+0.05+0.01)=325.

(2)由图可知，运动时长超过30分钟的人数为20*5*(0.07+0。5+0。1)=13,

运动时长不超过30分钟的人数为20x5x(0.03+0.04)=7,

由题意可知¥的可能取值为0、1、2,

则叩=。)=旨=奇,W=l)=譬喘,叩=2)僧=||，

所以y的分布列为

Y012

219139

P

19019095

所以3=0x2+1x21+23="=".

,71901909519010

(3)运动时长超过35分钟的人数为20x5x(0.05+0.01)=6,

运动时长不超过35分钟的人数为20X5X(0.07+0.03+0.04)=14,

所以从样本中任意选取4名学生，

Cg43x5x7x1391

恰有2名学生是“热爱运动者”的概率=~C^~=20xl9xl8x"=运.

4x3x2xl

4.某公司拟通过摸球的方式给员工发放节日红包，在一个不透明的袋子中装有5个标有红包金额的球，

其中2个球分别标注40元，2个球分别标注50元，1个球标注60元，这5个球除标注的金额外完全相

同.每名员工从袋中一次摸出1个球，共摸〃次，摸出的球上所标注的金额之和为该员工所获得的红包金

额.

(1)若〃=1,求一名员工所获得的红包金额不低于50元的概率；

(2)若〃=2,且每次摸出的球放回袋中，设事件A为“一名员工所获得的红包金额不大于100元”，事件8

为“一名员工所获得的红包金额不小于100元”，试判断4B是否相互独立，并说明理由.

【解析】(1)一名员工所获得的红包金额不低于50元，即获得50元或60元，

故所求概率为(2+21=：3.

(2)由题意，事件表示“一名员工所获得的红包金额为100元”.

因为100=50+50=40+60=60+40,

所以尸（明=仕］+-x-x2=—.

⑸5525

A=”一名员工所获得的红包金额为80元或90元或100元”,

因为80=40+40,90=40+50=50+40,

22c84

所以尸(A)=+—x—x2+—=

55255

B=”一名员工所获得的红包金额为100元或110元或120元,

因为H0=50+60=60+50,120=60+60,

g、i…、82irn13

所以P(5)=----1—x—x2+—=—

2555⑸25

52

所以P(A)尸(5)=正wP(AB),

所以A,8不相互独立.

题型三：概率与其它知识的交汇问题

5.某工业流水线生产一种零件，该流水线的次品率为P(O<P<1),且各个零件的生产互不影响.

(1)若流水线生产零件共有两道工序，且互不影响，其次品率依次为R=《,0=(.

①求P；

②现对该流水线生产的零件进行质量检测，检测分为两个环节：先进行自动智能检测，若为次品，零件就

会被自动淘汰；若智能检测结果为合格，则进行人工抽检.已知自动智能检测显示该批零件的合格率为

99%,求人工抽检时，抽检的一个零件是合格品的概率(合格品不会被误检成次品).

(2)视p为概率，记从该流水线生产的零件中随机抽取“个产品，其中恰好含有加(">：力个次品的概率为

/(P),求函数"0最大值.

【解析】(1)①因为两道生产工序互不影响，

所以夕=1_(1_口)(1_02)=1-11_\卜1——=康.

②记该款芯片自动智能检测合格为事件4人工抽检合格为事件8,

33

且P(A)=99%,P(AB)=l-p=—,

33

则人工抽检时，抽检的一个芯片恰是合格品的概率为A)=°(叫-35_20.

I1'P(A)99%21

(2)因为各个芯片的生产互不影响，所以/(p)=C：p"Cl-p)i(o<p<i),

所以f\p)=(1-PL-(n-m)/"Q-p)""一］=C：pm-A(1-pL、(m-np),

令T(P)=O,得°=生，又则0<‘<l,

nn

所以当0<p<二时，((P)>OJ(P)为单调增函数，

n

当竺<p<l时，/'(p)<o,f(p)为单调减函数，

n

所以，当。='时，/(。)取得最大值，

n

mz、n—f/i

则最大值为/(-)==C：mg?.

nnnn

6.袋中有大小、形状完全相同的4个红球，2个白球，采用有放回摸球，从袋中随机摸出1个球，定义T

变换为：若摸出的球是白球，则把/•(》)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)；若摸出

的是红球，则将/'(尤)图象上所有的点向上平移1个单位，函数/(X)经过1次T变换后的函数记为工(元)，

经过2次T变换后的函数记为力(%),…，经过"次T变换后的函数记为力(x)(〃wN*).现对函数

f(x)=log2X进行连续的T变换.

(1)若第一次摸出的是白球，第二次摸出的是红球，求力(X)；

(2)记X=£(l),求随机变量X的分布列及数学期望.

【解析】(1)第一次从袋中摸出的是白球，把函数/(x)=log2X变换为工(尤)=log2[g，=log2X-l,

第二次从袋中摸出的是红球，把函数工。)=1。82耳-1变换为力(工)=1。82工，

所以力(x)=log2X.

(2)经过3次T变换后，力(x)有4种情况：

若摸出的3个球都是白球，则力(尤)=log2x-3"⑴=-3；

若摸出的3个球为2个白球、1个红球，则力(x)=logzx-l"⑴=-1；

若摸出的3个球为1个白球、2个红球，则力(x)=log2X+l,力⑴=1；

若摸出的3个球都是红球，则力⑺=log2x+3,力⑴=3；

所以随机变量X的可能取值为-3,-M,3.

12

因为从袋中随机摸出1个球，是白球的概率为是红球的概率为:，

6

P(X=-1)=C；

27

2

p(x=l)=c；I

2

尸(X=3)=C；I*

所以所求随机变量X的分布列为

X-3-113

16128

P

27272727

所以，E(X)=(-3)x—+(-l)x—+lx—+3x—=1

27272727

题型四：期望与方差的实际应用

7.随着巴黎奥运会的举办，中国义乌再度吸引全球目光，“义乌制造”再次被奥运“带火”.某义乌体育用品

公司承接了部分巴黎奥运会体育产品的制造，假设该产品在试产阶段采用A3两种不同的方案进行生产，

已知每种方案均有三道加工工序，每道工序的加工结果相互独立，且只有每道加工工序都合格，该产品方

能出厂进行销售，若某道加工工序不合格，则该产品停止加工.已知方案A：每道加工工序合格的概率均

为:；方案第一、二、三道加工工序合格的概率分别为.

(1)若分别采用AI两种方案各自生产一件产品，求生产的两件产品中只有一件产品可以出厂销售的概率；

(2)若方案A：每件产品每道工序的加工成本为10元，销售时单价为100元；方案8：每件产品的第一、

二、三道工序的加工成本分别为5元，10元和15元，销售时单价为100元.若以每件产品获利的数学期

望为决策依据，请判断该公司应采用哪种方案进行加工生产.

【解析】(1)采用方案A加工的产品可以出厂销售的概率为=—■,

⑷64

采用方案8加工的产品可以出厂销售的概4率2为3=：2,

5345

77(2、(27、D31

故生产的两件产品只有一件可以出厂销售的概率尸=77、1--+1--><-=—.

64I5J164/564

(2)用X表示方案A每件产品的利润，

则X的所有可能取值为T0,-20,-30,70,

P（X=TO）=l[[，"=-2。）=3|1高丁，

所以X的分布列为:

X-10-20-3070

3927

P

4166464

1QQ97305

贝l]E(X)=-10xa+(一20)x布+(—30)XR+70XW

用y表示方案8每件产品的利润,

则y的所有可能取值为-5,-15,-30,70,

因为E（x）>E（y）,所以该公司应采用方案A进行加工生产.

8.近些年天然气使用逐渐普及，为了百姓能够安全用气，国务院办公厅印发《城市燃气管道等老化更新

改造实施方案（2022—2025年）》.某市在实施管道老化更新的过程中，从本市某社区1000个家庭中随机

抽取了100个家庭燃气使用情况进行调查，统计了这100个家庭一个月的燃气使用量（单位：n?）,得到

如下频数分布表：

燃气

使用

[6.5,9.5)[9.5,12.5)[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)[24.5,27.5]

量

（单

位：

m3）

频数614183016124

（1）若采用分层抽样的方法从燃气使用量在［21.5,24.5）和［24.5,27.5］这两组的家庭中随机抽取8个家庭，市

政府决定从这8个家庭中抽取4个跟踪调查其使用情况，记随机变量X表示这4个家庭中燃气使用量在

［24.5,27.5］内的家庭个数，求X的分布列和数学期望；

（2）将这一个月燃气使用量超过22而的家庭定为“超标”家庭.若该社区这一个月燃气使用量服从正态分布

N（〃,5.362）,其中〃近似为io。个样本家庭的平均值，估计该社区中，，超标,，家庭的户数.（结果四舍五入取

整数）

附：若X服从正态分布则P（〃一bWXV〃+b）e0.6826,P（〃-2bVXW〃+2。）“0.9544,

一3bWXV〃+3o■卜0.9974.

12

【解析】（1）燃气使用量在［21.5,24.5）的家庭个数为：8x-^-=6（个）,

12+4

在［r24.5,27.51］的家庭个数为：8x4^=2（个），

则X的所有可能取值有0,1,2,

340202

3尸(x=i)=詈「1C♦…33

尸(X=O)T——，

'，C；1414'

则X的分布列为

X012

343

P

14714

3

所以E（X）=0x1+lx—+2x—=1.

714

8x6+11x14+14x18+17x30+20x16+23x12+26x4

（2）由题意知这100个样本家庭的平均值元=

100

=16.64,

所以P(X>22)=P(X>〃+b)J=o1587

又1000x0.1587a159,估计该社区中“超标”家庭的户数为159个.

题型五：正态分布与标准正态分布

9.某同学进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为05

(1)若该同学共投篮4次，求在投中2次的条件下，第二次没有投中的概率;

(2)设随机变量J服从二项分布8(a,p),记〃=则当心20时,可认为〃服从标准正态分布

N(0,l).若保证投中的频率在区间［04,0.6)的概率不低于90%,求该同学至少要投多少次.

附：若”N(0,l),贝士尸(〃<1.28)=0.9,P(7<1.645)=0.95.

【解析】(1)该同学投篮了四次，设48分别表示“第二次没有投中”和“恰投中两次”.

则有尸(4忸)=2^=

(2)随机变量J代表〃次投篮后命中的次数，则4服从二项分布5卜,；

尸1

2£-n/、

然后令随机变量〃=—f=~=女l，并近似视为其服从正态分布N(0,1).

题目条件即为0.4M<^<0.6〃,即一0.2夜<r)<02金的概率至少为90%.

由于我们有P(-l-645<?7<1.645)=2P(0V〃<1.645)=2(P(〃<1.645)-0.5)=2x0.45=0.9,

故命题等价于0.2册>1,645,解得n>67.650625.

综上，该同学至少要投68次.

10.怀远石榴是安徽省怀远县的特产，国家地理标志产品，唐代已有栽植.怀远石榴籽白莹澈如水晶，果

实大如碗，皮黄而透红，肉肥核细，汁多味甘.现按照怀远石榴的果径大小分为四类：特级果，一级果，

二级果，三级果.某果农从其果园采摘的石榴中随机选取50个，测量果径对照分类标准得到数据如表所

zK：

等级特级果一级果二级果三级果

个数51020a

(1)求a的值并计算三级果所占的百分比；

(2)用样本估计总体，该果农参考以下两种销售方案进行销售.

方案1:分类出售，各等级石榴的市场价如表所示:

等级特级果一级果二级果三级果

售价(元/个)10852

方案2：不分类出售，均按二级果售价出售.

从果农的收益考虑，不考虑其它因素应该采用哪种方案较好？说明理由.

【解析】⑴0=50-5-10-20=15,三级果所占的百分比为||xl00%=30%.

(2)用样本估计总体的分布，可得方案1的石榴的平均售价为

10x^-+8x—+5x^（）+2x—=5.2（:元）,

50505050

因为5.2>5,所以选择方案1较好.

题型六：统计图表及数字特征

11.为激发户外运动爱好者健身热情，增进群众健身获得感、幸福感.某市体育部门随机抽取200名群众

进行每天体育运动时间的调查，按照时长(单位:分钟)分成6组:[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),

[70,80),[80,90],处理后绘制了如下图的频率分布直方图.

(2)求运动时长在[50,70)的样本群众人数；

(3)估计该市群众每天体育运动时间的众数、平均数、中位数(保留1位小数).

【解析】(1)根据题意，

10x（0.01+0.02+0.03+2a+0.01）=1,解得a=0.015.

(2)运动时长为[50,70)的频率为(0.03+0.015)x10=0.45

所以运动时长为[50,70)的样本群众人数为200x0.45=90(人)

（3）由图可知，该市群众每天体育运动时间的众数约为=55.

该市群众每天体育运动时间的平均数约为

0.01x10x35+0.02x10x45+0.03x10x55+0.015x10x65+0.015x10x75+0.01x10x85=58.5

由题意知，前两组的频率为0.01x10+0.02x10=0.3,

前三组的频率为0.01x10+0.02*10+0.03x10=0.6>0.5.

所以中位数在50和60之间，设为x,则0.3+（x—50）x0.03=0.5,解得x=56.7,

即该市群众每天体育运动时间的中位数约为56.7.

题型七：线性回归与非线性回归分析

12.某乒乓球训练机构以培训青少年为主，其中有一项打定点训练，就是把乒乓球打到对方球台的指定位

置（称为“准点球”），每周记录每个接受训练的学员在训练时打的所有球中“准点球”的百分比（y%）,A学

员已经训练了1年，下表记录了A学员最近七周“准点球”的百分比：

周次（尤）1234567

y(%)5252.853.55454.554.955.3

若z=A/X.

（1）根据上表数据，计算y与z的相关系数r,并说明y与z的线性相关性的强弱；（若0.754%归1，则认为

y与z线性相关性很强；0.3<|r|<0.75,则认为y与z线性相关性一般；若卜|<。3,则认为y与z线性相

关性较弱）（精确到0.01）

（2）求y关于x的线性回归方程，并预测第9周“准点球”的百分比（精确到0.01）；

（3）若现在认为A学员“准点球”的百分比为55%,并以此为概率，现让A学员打3个球，以X表示“准点球”

的个数，求X的数学期望.

参考公式和数据：对于一组数据

一Zuivi~nuv

（%,匕）,（牡，%），’（"〃，匕），r=i,，2号------—,金=

i=i

V/=1i=\

7_27_

Zz；-7z~B2.05,产729.98,1.926，y=53.86,103.73,

1=1Z=1

\忙匕-2)2£(%一寸=4.13.

Vi=l1=1

夯

729.98-7x103.73

［解析］(1)r=「T7。0.94>0.75

4.13

但(Z—)3(%7)2

V三i1=1

故y与z线性相关性很强.

729.98-7x103.73

(2)另=*--------®1.888,

»；-77Z05

«=1

a=y-1.888z=53.86-1.888x1.926«50.22,

所以)关于z的线性回归方程为£=L89Z+50.22,

将z=&代入5=L89Z+50.22,

得亍=1.89«+50.22.

当x=9时，y=1.89x79+50.22=55.89,

故预测第9周“准点球”的百分比为55.89%.

（3）现在A学员任打一球是“准点球”的概率为：尸=芸==，

1002U

<11A1133

由题意X~B3焉卜数学期望E（X）=3X[=京.

\ZU）ZXJZU

13.某市某医疗器械公司转型升级，从9月1日开始投入呼吸机生产，该公司9月1日~9月9日连续9天

的呼吸机日生产量为力（单位:百台，i=l,2,L,9）,数据作了初步处理，得到如图所示的散点图.

99

Z1

i=l«=1

2.731952851095

1日生产量M单位：百台）

4-l---r-

3---1--------：-------j--1--*---；---；

万i23456789日赢码/

19

注：图中日期代码1~9分别对应9月1日~9月9日；表中z,=e»,z=-^z;.

9z=i

(1)从9个样本点中任意选取2个，在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，求2个样本点都高于

200台的概率；

⑵由散点图分析，样本点都集中在曲线y=ln例+a)的附近，求y关于r的方程>=山(初+。)，并估计该

公司从生产之日起，需要多少天呼吸机日生产量可超过500台.

参考数据：e5»148.4.

【解析】(1)由散点图知，不高于300台的样本点有5个，其中高于200台的样本点有4个，

C23

则在2个样本点的生产量都不高于300台的条件下，2个样本点都高于200台的概率为尸=清=1

(2)y=In(初+Q)oz=e，=9+a

则由回归直线方程系数求解公式知，

9

…tz1095-9x5x19-

*5285一9x52

Z=1

a=z-fo=19-4x5=-l>

故y=ln(4f_l).

j=ln(4/-l)>5^>4r-l>e5«148.4=>/>37.35,

所以需要38天呼吸机日生产量可超过500台.

题型八：独立性检验

14.为了解2024年长春市居民网购消费情况，在全市随机抽取了100人，对其2024年全年网购消费金额

(单位：千元)进行了统计，所统计的金额均在区间［。,3。］内，并按［0,5),［5,10),…，［25,30］分成6

组，制成如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值，并估计居民网购消费金额的中位数.

(2)若将全年网购消费金额在20千元及以上者称为网购迷，结合图表数据，补全下面的2x2列联表，并判

断能否依据小概率值«=0.05的/独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.

男女合计

网购迷20

非网购迷45

合计

2n(ad—be，,

附：/=(a+b)(c+l)(a+c)S+d)'其中〃i+b7+c+/

a0.100.050.0100.0050.001

%2.7063.8416.6357.87910,828

【解析】(1)由题意得：(0.01+0.02+0.03+24+0.06)x5=1,

解得。=0.04；

设中位数为居前3组的频率为：(0.01+0.02+0.04)x5=0.35,

前4组的频率为：(0.01+0.02+0.04+0.06)x5=0.65,

所以中位数在第四组，则(彳一15)*5=0.15,解得x=15.03；

(2)由(1)知：网购迷人数为：100x(0.04+0.03)x5=35人，非网购迷人数为65人,

贝12x2歹U联表如下:

男女合计

网购迷152035

非网购迷452065

合计6040100

因为幽”丑叱型咨^6.593>3.841,

35x65x60x40

所以依据小概率值«=0.05的z2独立性检验认为样本数据中网购迷与性别有关.

15.向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展.以人工智能的应用为例，人工智能

中的文生视频模型Sora(以下简称Sora),能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查

Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行

调查，结果如下表所示.

视频从业人员

Sora的应用情况合计

减少未减少

应用5472

没有应用42

合计90150

(1)根据所给数据完成题中表格，并判断是否有99.9%的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？

(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到

211

“优秀”的概率分别为每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora.

(i)求员工经过培训能应用Sora的概率；

(ii)已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的

员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划

先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润

不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？

2_n(ad-bcf

'”(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)其中n=a+b+c+d.

a=P^X2>k)0.0100.0050.001

k6.6357.87910.828

【解析】(1)依题意，2x2列联表如下:

视频从业人员

Sora的应用情况合计

减少未减少

应用541872

没有应用364278

合计9060150

零假设《为：Sora的应用与视频从业人员的减少独立，Sora的应用前后视频从业人员无差异,

2

由列联表中数据得，z=150x(54x42-18x36)2=675。129gl>10828

72x78x90x6052

根据小概率值a=0.001的/的独立性检验，推断H。不成立，

所以有99.9%的把握认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关；

(2)⑴设4="员工第i轮获得优秀”[=1,2,3),且4相互独立.

设3=“员工经过培训能应用Sora”，则

尸(0=尸(444)+尸

2111112112121

=—X—X—+—X—X—H--X—X—H——X—X—=一,

3233233233232

故员工经过培训能应用Sora的概率是1.

(ii)设视频部调了人至其他部门，无eN,X为培训后视频部能应用Sora的人数,

则X〜因此E(X)=*3,

调整后视频部的年利润为

纳宁义10+11-；](100一x)x6-(100一x)=(700-7x)(万元)，

令700—7x2100x6,解得—214.3,又xeN,所以％max=N.

因此，视频部最多可以调14人到其他部门.

题型九：与体育比赛规则有关的概率问题

16.第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育场开幕，“冬奥热”在国民中迅速升温.某电视台举办

“冬奥会”知识挑战赛，初赛环节，每位选手先从A(滑雪)，B(滑冰)，C(冰球)三类问题中选择一类.该

类题库随机提出一个问题，该选手若回答错误则被淘汰，若回答正确则需从余下两类问题中选择一类继续

回答.该类题库随机提出一个问题，该选手若回答正确则取得复赛资格，本轮比赛结束，否则该选手需要回

答由最后一类题库随机提出的两个问题，两个问题均回答正确该选手才可取得复赛资格，否则被淘汰.已知

选手甲能正确回答48两类问题的概率均为g,能正确回答C类问题的概率为每题是否回答正确与

回答顺序无关，且各题回答正确与否相互独立.

(1)已知选手甲先选择A类问题且回答正确，接下来他等可能地选择2,C中的一类问题继续回答，求他能

取得复赛资格的概率；

(2)为使取得复赛资格的概率最大，选手甲应如何选择各类问题的回答顺序？请说明理由.

1(2111、3

【解析】(1)甲接下来选择回答B类问题并取得复赛资格的概率为彳乂7+彳乂彳乂彳二三，

2y332Zyo

1<1122、13

甲接下来选择回答C类问题并取得复赛资格的概率为不X+XX=

Z235)JO

・•・所求概率为三3十213=353.

83672

(2)由于甲回答A,8两类问题的概率相同，故只需考虑ABC,ACB,C4B这三种回答顺序，

按A3C顺序回答，取得复赛资格的概率为弓+=

JkJJ乙乙)乙

2(1122、13

按ACS顺序回答，取得复赛资格的概率为可乂—+—x—x—=—,

按C4B顺序回答，取得复赛资格的概率为+=3,

乙kJJJJJ乙/

11311

•:—>—>—,

22727

.•.按A3C或BAC顺序回答问题取得复资资格的概率最大.

17.在刚刚结束的杭州亚运会上，中国羽毛球队延续了传统优势项目，以4金3银2铜的成绩傲视亚

洲I.在旧制的羽毛球赛中，只有发球方赢得这一球才可以得分，即如果发球方在此回合的争夺中输球，则

双方均不得分.但发球方输掉此回合后，下一回合改为对方发球.

3

(1)在旧制羽毛球赛中，中国队某运动员每一回合比赛赢球的概率均为了，且各回合相互独立.若第一回合

4

该中国队运动员发球，求第二回合比赛有运动员得分的概率;

（2）羽毛球比赛中，先获得第一分的队员往往会更加占据心理上的优势，给出以下假设:

假设1：各回合比赛相互独立；

假设2：比赛双方运动员甲和乙的实力相当，即每回合比赛中甲获胜的概率均为:；

求第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率，并说明旧制是否合理？

【解析】（1）设事件4表示第一回合该中国队运动员赢球，事件4表示第二回合该中国队运动员赢球,

事件B表示第二回合比赛有运动员得分，

由已知，p（A）=*P（&）=；,P（4）=；,Pp；）=：，尸（根）=尸⑷，尸伊同=可可），

则尸（B）=尸⑷P（B|A）+尸闾尸（B同=p（A）尸（4）+尸闾尸区）

33115

=­X—+—X—,

44448

即第二回合比赛有运动员得分的概率为:

O

（2）设运动员甲先发球，记事件a表示第，回合该运动员甲赢球，

记事件A表示运动员甲先得第一分，

则A=A（444）..（44444）"，

则尸"）=；+&）+g）+.

所以P（A）＞:,即则第一回合发球者在整场比赛中先得第一分的概率大于:，

则比赛双方运动员实力相当的情况下，先发球者更大概率占据心理上的优势，所以旧制不合理.

题型十：决策型问题

18.贝叶斯公式尸（⑷B）JA喘A）中,尸（A）称为先验概率，尸（川2）称为后验概率.先验概率P（A）表

达了对事件A的初始判断，当新的信息8出现后，我们可以利用贝叶斯公式求出后验概率P（®8）,以此

修正自己的判断并校正决策.利用这种思想方法我们来解决如下一个实际问题.

某趣味抽奖活动准备了三个外观相同的不透明箱子，已知三个箱子中分别装有10个红球、5个红球5个白

球、10个白球（球的大小、质地相同）.抽奖活动共设计了两个轮次：

第一轮规则：抽奖者从三个箱子中随机选择一个箱子，并从该箱子中取出两球（分两次取出，每次取一

球，取出的球不放回），若取出的两个球都是红球则可以进入第二轮，否则抽奖活动结束（无奖金）.

第二轮规则：进入第二轮的抽奖者可以选择三种抽奖方案.方案一：就此停止，并获得奖金300元；方案

二：继续从第一轮抽取的箱子中再取一球，若为红球则可获得奖金400元，若为白球奖金变为0元；方案

=：不再从第一轮抽取的箱子中取球，而是从另外两个箱子中随机选择一个箱子，并从中取出一球，若为

红球则可获得奖金800元，若为白球奖金变为80元.

（1）求抽奖者在第一次取出红球的条件下，能进入第二轮的概率；

（2）在第二轮的三种抽奖方案中，从抽奖者获得奖金的数学期望的角度，找出三种抽奖方案的最佳方案.

【解析】（1）设第，次取到红球为事件A（i=L2）,

从装有10个红球、5个红球5个白球、10个白球的箱子取球分别为事件用"=1,2,3）.

P（A）=lp（B,）P（4lS,）=|xl+|x|+lx0=i

p（A&）=tp（瓦）尸（A4IB,）=|xi+|x|xl+|xo=^,

i=lJ3£y3Z/

在第一次取出红球的条件下，要进入第二轮只需第二次也取出红球，

11一22

27丁---

所以概率为尸（旬4）=,言=27