广东省部分学校2024-2025学年高二年级上册期末考试数学试卷（含答案解析）

广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.若数列｛%｝的前5项为则它的一个通项公式为()

A.-------B.-------C.-------D.—

3n-l2/z+l2"-13"

、右焦点，且|尸阊=2,则耦=

2.己知P为椭圆C:无2+2y2=i6上一点，耳区分别为C的左

()

A.1B.2C.3D.4

3.如图，在四面体。43。中，。为3C的中点，3记=2而，且P为OG的中点，则砺=()

1—.5—►1—、

B.——OA+-OB+-OC

666

1—►2—►1—►2—►1—►1—.

C.-OA+-OB——OCD.-OA——OB+-OC

336363

4.直线小京=1与圆/+/=625的公共点个数为()

A.0B.1C.2D.无法判断

丫2

5.已知双曲线。过点(3,6),且与双曲线方-丁=1有相同的渐近线，则。的方程为()

6.已知圆G：。—I)?+('—1)2=4与圆Q：(x—%?+"—5)2=41—根有三条公切线，则机=()

A.5B.16C.32D.36

7.已知数列出｝的通项公式为，则当〃取得最小值时，"=)

b,

("+1)2

A.3B.4C.5D.6

8.在正方体AB。-ABIGA中，空间中一动点尸满足

XAB+^)=AP+v4A(0<//<l,0<v<l),则直线2P与直线4G所成角正弦值的取值范

围为()

二、多选题

9.已知向量衣=(2,0,-1),国=(0,1,1),则()

A.|AC|=5B.而同方向上的单位向量的坐标为

I22

C.AC.CB=iD.就在衣上的投影向量的模为好

5

10.记等差数列｛%｝的前附项和为九已知S“=n?+Qz+M,其中p,Q,M为实数，则()

A.M=0B.若｛%｝单调递增，则P>0

C.若Q=。，则。3=4〃ID.P+Q+M=0,则%=0

11.已知。为坐标原点，抛物线Af：/=2px(p>0),N;y2^2qx(q>0),0片4,点A,B

分别在N上(均异于点。)，M,N的焦点分别为％F2,若次=彳砺(XWR),则

下列说法正确的有()

A.XwlB.当;1=2时，P=2q

C.PS&ABF\=qSAABF,D.SsOAF]=$4086

三、填空题

12.已知直线4:ax-y-2025=0,/2：(34-2)x+ay+l=0(4R0)满足4"L/?，贝!!4=.

13.已知正项等比数列｛%｝满足5百q+(5-6)%=%,则其公比4=.

22

14.已知双曲线。:三-2=1(。>0*>0)的左、右焦点分别为月,耳，过点尸।的直线与C交

试卷第2页，共4页

于A,8两点，且3亚=2而，以A3为直径的圆过点工，设C的离心率为e,贝4/=.

四、解答题

15.已知点A(—1,3),B(5,—5),C(2,4)

(1)求线段AC的垂直平分线的方程；

⑵己知圆M'过点A,3,C,求圆Af的方程.

16.已知点A。,%)是抛物线C:y?=2px(p>0)上一点，/为C的焦点，且|AF|=2.

(1)求C的准线方程；

⑵若点A位于第一象限，求C在点A处的切线/的方程.

17.如图，三棱锥尸-MC的棱2C上存在一点。，使得平面PAD,底面4BC,点E在棱AO

上，且平面上钻.

⑴证明：AB_L平面PAD；

⑵若AB=AD=2,AP=PD,BD=2CD,求平面PAB与平面PAC夹角的余弦值.

22

18.已知椭圆氏会+/=l(a>b>0)的左焦点为尸(TO),过尸且斜率不为。的直线/交E于

AB两点，过点A8分别作/的垂线，交E于M，N两点.当/的斜率不存在时，四边形AMVB

的面积为6.

(1)求E的方程；

⑵求|人尸|的取值范围；

|AF|_BF

⑶证明:画「而

19.已知无穷数列｛七｝中的每一项均为正整数，其前〃项和为S“，若数列｛%｝中任意相异三

项不成等差数列，则称该数列为“玫瑰数列”.

(1)对于每一项均为正整数的无穷等比数列｛%｝.

(i)若数列｛券｝的公比为1,判断其是否为“玫瑰数列”；

(ii)若数列｛%｝的公比不为1,证明：该数列为“玫瑰数列

⑵若离|是所有玫瑰数列中，对任意正整数机，在黑最小的前提下，恒使S,用最小的玫瑰数

列.设左为正整数，证明：SgS2kss2M2成等差数列.

试卷第4页，共4页

《广东省部分学校2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BCACDCBBBDABD

题号11

答案ABD

1.B

【分析】根据数列的每一项与项数之间的关系即可推出数列的通项，再代值检验排除其他选

项即得.

==

【详尚犁］S~~~-,6Z=A7,…，

32x1+12x2+132x3+12x4+1

故数列｛凡｝的一个通项公式为。,=丁二，

将〃=1代入A,C都不符合，把〃=2代入D,不符合.

故选：B.

2.C

【分析】由椭圆方程求出。=4,利用椭圆的定义式，求得|「匐=6,代入计算即得.

22

【详解】由C:x?+2y2=i6可得：—+^=1,则。=4,

168

6

因|「制+|?段=2a=8,则归耳|=8-|尸阊=6,3

2

故选：C.

3.A

【分析】根据空间向量的线性运算求解即可.

【详解】由题意，历=；前=；()+而)=.函+：砺卜;丽(记+超)

=-OA+-(OC-OA+OB-OA\=-OA+-OB+-OC,

26、>666

故选：A

4.C

【分析】求出圆心到直线距离，和半径比较后得到答案.

【详解】1+产=625的圆心为。(0,0),半径为25,

|1|

o(o,o)至U4+/=1的距离为d=Ji；1=24

V900+1600

答案第1页，共14页

故直线2+需=1与圆一+丁=625相交，公共点个数为2.

故选：C

5.D

【分析】设双曲线方程为:-y=相(加/0),将(3,6)代入，求出机，可求双曲线的标准方

程.

【详解】因为双曲线C过点(3,6),且与双曲线三-丁=1有相同的渐近线，

3

所以设双曲线方程为：-丫2=加(相20),

32

将(3,6)代入，可得2_-62=m，则加=—33,

3

22

所求双曲线的标准方程是匕-二=1.

3399

故选：D.

6.C

【分析】根据两圆有三条公切线可判断两圆外切，再利用两圆外切的判定方法列方程即得.

【详解】由弓曰-1)2+('-1)2=4可知圆心为0(1,1),半径为2；

由G：(%-4)2+(y-5)2=41-机可知m<41且圆心为。2(4,5),半径为J41—m.

因两个圆有三条公切线可知两圆外切,

解得：m=32.

故选：C.

7.B

【分析】利用作商法判断数列单调性，得出数列的最小值即可得解.

3b3("2+2/7+1j

【详解】由，，则针彳

b“=勿2(a?+4w+4)'

b

令贵>1,贝I*—2〃—5>0,由〃£N+，解得〃24,

bn

bb

所以当〃V3时，会<1,当“24时，常1>1,

"么

即当〃V3时，数列｛2｝单调递减，当〃24时，数列加,｝单调递增,

答案第2页，共14页

又a=三，d=2》所以即/为数列色｝的最小值,

12o41)0

故当耳取得最小值时，n=4.

故选：B

8.B

【分析】设正方体的棱长为1,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，设点尸(x,y,z),由

条件求得P(〃,〃W),设直线2P与直线4G所成角为。，利用空间向量夹角公式求出

如。=瓦胃言—，通过换元(2〃-1)?=s,2(吁1)2+1=，，将其化成sin?。,

利用si的范围和不等式性质即可求得.

【详解】

如图，设正方体的棱长为1,以点A为坐标原点建立空间直角坐标系.

贝I」A(0,0,0),5(1,0,0),0(0,1,0),A(0,0,l)，2(0,l,l)，G(l,l,l),

设点P(x,y,z),则通+罚=(1,1,0),中=(0,0,-1),

元二〃

由〃(通+而)=/+丫取可得：//(l,l,0)=(x,y,z)+v(0,0,-l),解得,y=〃，

Z=V

则P(〃,〃,〃)，印=(〃,〃一14-1),隔=(1,1,0),

设直线2P与直线AG所成角为。，则

■e=।印•隔।==

I^PI-IAGI72-7A2+(A-1)2+(^-1)2A/2•小2)+/-22V+2

(2〃-1)?

于是sin*=l-cos20=l-

2(2//+/-2〃-21/+2)

4//2-4^+1_2V2-4V+32(V-1)2+1

22-2222

4yu+2v-4//-4v+44//+2v-4it/-4v+4-(2//-1)+2(v-l)+1

设(2〃-1)2=S,2W-1)2+1=»,因0W〃<1,0WVV1,^0<5<1,1<Z<3,

答案第3页，共14页

则Sin2e=，即sm."二二，因则04上41‘则l"""，

s+t-+13tt-+1

tt

i5

即二4sin?6>VI,因sin0>0,则得Y-Wsinewl.

22

故选：B.

【点睛】方法点睛：求解异面直线的夹角的方法主要有：

平移法：将异面直线中的一条或两条利用平移使其相交，通过解三角形求得；

坐标法：通过建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标和向量坐标，利用空间向量夹角的坐

标公式求解.

9.BD

【分析】根据空间向量的运算逐项判断即可.

【详解】因为北=（2,0,-1）,屈=（0,1,1）,所以配=（0,-1,-1）.

对于A：因为|同=•+㈠）?=非,故A错误；

CB（0,1,1）g友0）一（屈

对于B：因为同万一,空-）,即CB方向上的单位向量是［。，事，方-）故B

正确；

对于C：因为/.0=（2,0,—1）.（0,1,1）=-1,故C错误;

\BC-AC\1（0,-1,-1）.（2,0,-1）1出

对于D：由\一「』-----/==一=当，故D正确.

\AC\VF+l5

故选：BD.

10.ABD

【分析】利用S“的关系式求得%=2尸〃-尸+。，再由｛%｝是等差数列，推出M=0,确定A

项，再根据各选项的要求依次判断即得.

【详解】由S,=PW2+Q〃+M①，可得：当〃=1时，G=，=P+Q+M；

当〃22时，Si=尸（〃-+。5-1）+M②,

a

由①-②:n=2Pn-P+Q,

因｛%｝是等差数列，则〃=1时，P+Q=al=P+Q+M.

对于A,由上分析易得A1=0,故A正确；

答案第4页，共14页

对于B,由上分析，可得数列｛4｝的通项公式为：an=2Pn-P+Q,

它是关于〃的一次函数，故当｛%｝单调递增时，必有尸＞0,即B正确；

对于C,当。=0时，a„=2P»-P,则%=6尸一尸=5尸=5%,故C错误;

对于D,由A项已得M=0,由P+Q+M=0可得尸+。=0,则q=尸+。=。，故D正确.

故选：ABD.

11.ABD

【分析】运用抛物线的性质，结合直线曲线联立求出交点，将三角形面积比转化为关于p,

q式子之比，逐个计算判断即可.

【详解】因为所以抛物线N不重合，故A,B不可能共点，即群1,故A正

确；

由于西=兄砺，不妨设点A,3均在直线〉=丘上，A（xA,yA）,B（xB,yB）,

将其与M的方程联立，得r/_2px=0,故》=0或普，即乙=与，同理/=普，

KK,K

故彳=上=‘，当％=2时，P=2q,故B正确；

4q

由于直线＞="过原点，故片，工到直线＞="的距离之比等同于其到原点的距离之比“，

故节,故赘AAMI=PSAABF?，故C错误；

S

.ABF2q

'△。明=|。周|力|二I。玛瓦I=q，P=1痂n7F稚

%如问曲|。闻园PU'故正确.

故选：ABD.

12.1

【分析】由两直线垂直的判定方法列方程求解即得.

【详解】由《，乙可得：a（3a-^-a=0,解得:。=1或a=0（舍去），

即a=1.

故答案为：1.

13.5

【分析】根据等比数列的基本量关系求解即可.

答案第5页，共14页

【详解】因为正项等比数列｛4｝满足5国+（5-有）%=%，

所以5y/3ci^+（5—,

则/_（5_石）夕-56=0,解得4=5或g=_g,

因为｛%｝为正项等比数，所以4=5.

故答案为：5.

294

14.—/5-

55

【分析】分析题意可知：过点耳的直线与双曲线C的左支交于48两点.设|明|=2m（租＞0）,

则闺耳=3加.由双曲线定义可知|隹|=2a+2〃z,优卸=24+3加.又以为直径的圆过点F?,

所以卜6「+忸阊2=a却，解得根=2°.在RtAA居8和AA居片中，分别求cosA即可得到关于

Y与c?的二次齐次式，离心率即可求解.

【详解】分析可知：过点《的直线与双曲线C的左支交于A,8两点，如图所示.

•.•3福=2池，；.设|前|=2租（租＞0）,则忸4=3根.

由双曲线定义可知|钻|=2a+2租，\F2B\=2a+3m.

,：以AB为直径的圆过点F,,:.\AF^\+\BF^=|AB「，BP（2a+2m）2+（2a+3/??）2=25m2,

化简整理得2/+5力箱-3/=0,即（a+3㈤（2。-租）=0,解得利一：（舍去），或〃?=2°.

|AF；|=4a,-6a,\AF2\=6a,|7^B|=8a.

IARI6a3

在Rt^A区8中,cosA=p-=

1明10。5

词213a2-2_3

在AA工耳中,血片上局«2

Bp5（13a2-c2）=3xl2a2,^5c2=29a2.

2c229

.*.e=-7=—•

a25

29

故答案为：—.

答案第6页，共14页

15.(l)3x+y-5=0

(2)(x-2)2+(y+l)2=25

【分析】(1)依次求出线段AC的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段AC的垂直平分线

的斜率，即可写出方程；

(2)求出线段的垂直平分线的方程，再将线段48、AC的中垂线方程联立，求出圆心，

再求出半径，即得圆的方程.

【详解】⑴依题意，设线段AC的中点为。，因A(T3),C(2,4),则叫[J，

直线AC的斜率为：廉=2十1)=7则线段AC的垂直平分线的斜率为-3,

71

故其直线方程为：y--=-3(x--),即3尤+y-5=0.

(2)设线段A3的中点为E,因A(-L3),5(5-5),则E(2,-l),

-5-343

直线43的斜率为：宜=5_(_])=-耳，则线段A8的垂直平分线的斜率为了，

3

得线段A5的垂直平分线的方程为y+1=：(x-2)，即3x-4y-10=0,

4

由(1)线段AC的垂直平分线方程为3尤+y-5=0,

3x+y—5=0

由,解得:x=2,y=.l,

3x—4y—10=0

即圆心为M(2,-l),圆Af的半径为：r=|MA|=J(2+l)2+(_l-3)2=5,

故圆M的方程为：(x-2)2+(y+iy=25.

16.⑴x=—1

(2)x-y+l=0

【分析】(1)根据抛物线焦半径公式计算得出0=2,再得出抛物线方程进而得出准线方程

即可；

答案第7页，共14页

（2）先设直线方程，再联立方程组，再分发二0和.左=0.两种情况，直线,与C相切求参即

可得出直线方程.

【详解】⑴因为抛物线C：y2=2px（p〉0）,4（1,%）,

所以网=1+台2,所以p=2,可得0:丁=4工

所以C的准线方程为x=T.

（2）因为点A。,%）在抛物线C上，所以公=4,

又A0,%）位于第一象限，所以为=2,所以4（1,2）,

过点A的直线/与C相切，若直线/斜率不存在，不符合题意；

设直线/：y-2=Mx—1）与C:/=4x,

由12，得62_4y+8_4k=0,

[y=4x

当左w0时，A=16-4Z（8—4Z）=0,BPA：2-2A：+1=0,即左=1,

当左=0时，-4y+8=0,y=2与抛物线相交，不符合题意；

所以/的方程为＞一2=%-1,即X—y+l=0.

17.（1）证明见解析

⑵年

【分析】（1）由面面垂直可得线面垂直，再得线线垂直，可得线面垂直；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求平面R4B与平面R4C夹角的余弦即可.

【详解】（1）因为平面R4D_L底面A3C,平面%De平面=PEJ.AD,PEu平

面PAD,

所以PE_L平面ABC,又ABu平面ABC,所以ABJLPE.

又因为PD_L平面上4B,ABu平面上钻，所以AB_LPD.

又PECPD=P,平面/MD,所以AB,平面皿）.

答案第8页，共14页

(2)由(1)知ABJ_平面PAD,ADu平面PAD,所以AB_LA£),

以点A为坐标原点，人民仞所在直线分别为苍丁轴，过点A垂直底面ABC的直线为z轴,

建立如图所示的空直角坐标系.

因为PD_L平面APu平面上钻，所以AP_LPD.

又AP=PD,所以仞2=”2+尸£>2=2转2=4，得AP=0.

则4(0,0,0),3(2,0,0),0(0,2,0),C(-l,3,0),P(0,l,l),

故加=(0,-1,1),丽=(0,1,1),沅=(一1,3,0),

依题意，平面的一个法向量为由=(0,-1,1).

设平面PAC的一个法向量为方=(°,4c),

APn=0|Z?+c=0

则＜即一心0,取I则if

AC-n=Q

设平面上钻与平面PAC的夹角为6,

2_V22

所以

11网同V2XVTT-11

因此平面E4B与平面PAC夹角的余弦值为叵.

11

r22

18.⑴土+匕v=1

43

⑵(L3)

(3)证明见解析

22

【分析】(1)当/的斜率不存在时，椭圆方程二+当=1中，令x=-l,得A8坐标，则由

四边形面积建立方程，结合c=i=77方解方程组可得；

(2)设点4周,%)，则才=3_1玉2,利用两点距离公式得以刊=，士+1『+3一］;求函数

最值可得；

答案第9页，共14页

AF\BF

(3)设相关各点坐标，结合(2)式，化斜为直，将所证结论心=

~NF转化为证明

L=7T一再设出直线A"方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得须，退关系进而消参,

同样的方法处理三,匕，再利用直线方程分别化简产土，把迄可得相等关系.

4+%34+14

【详解】(1)由题意可得片一〃=°2=1,①

22

当/的斜率不存在时，在椭圆方程与+2=1中，令x=-l,

ab

可得A(-l,且]

Ia/a

所以|A同=*幺，由题意可知四边形AWB为矩形,

a

则其面积S=2X3L=6,②

a

[a2=4

联立①②解得｛,2I

忻=3,

22

故E的方程为上+匕=1.

43

(2)设A(%,yJ,因为点A在椭圆E上，且/的斜率不为0,

22O

则玉e(-2,2),且士v+工=1,所以犬=3一=龙;，

434

则|AF|=J(X|+1J+3=J(X]+1)2+3_：x；=%；4,由%e(-2,2),

故|AF|e(l,3).

(3)设3优,%),加(£,%)，双(%4，%)，且现,超e(-2,2),x3,x4e[-2,2]

故x,+4>0,且4y2-12=-3靖,1=1,2,3,4.

由(2)可得，|A司=4『，同理有忸制=玉『,伽阳=王『,|八叼=也『.

答案第10页，共14页

4+x.4+x

故要证\A%F\i=\BF\即证=?（*）­

\MF\NF|4+w4+X4

由题意直线A8斜率不为0,则直线40和N3的斜率存在,

设斜率为％，则AM的方程为了=左（%一百）+%,

[x2y2,

联立'43,

得3尤2+4左2（%_石）2+8如（％_%）+4y；—12=0,

艮[J（3+4k2）%2+8左）冗+（4左2—3）无：—=0,

当士片。时，由韦达定理得XX=（4，

13

3+4左2

故x：（4r一3b「8双.

33+4公

当占=0时，由韦达定理得士+电=尤3=-普M，也适合上式;

I'IIV

(4人~—3)%—8份2

故马;同理可得％=

3+4/3+4/

所以代入（*）式化简整理可得,

,,、六斗4+不(4+xJ(3+4用

(*)/T=----=-------------------.

4+鼻16k2+12+(4左2-3)%一8@]'

,,、士04+尤2(4+尤2乂3+4用

(*)右边—---—=-------------------------.

J4+%16Z?+12+(4左之一3)尤2-8打2'

①当直线/的斜率存在且不为0时，/的方程为y=-卜尤+1）,

k

贝=8(±+1),且一8外2=8(%+1),

(4+3乂3+4左2)3+4k2

则（*）左边=

16左2+20+(4左2+5)%4/+5；

答案第11页，共14页

、七斗(4+々乂3+423+4〃

*)右功=-----------------------=-------

16左2+20+(4/+5)尤24k2+5

②当/的斜率不存在即左=0时，则%=%,鼻=Z,

4+芯_4+々

寸队4+昼4+匕显然成立.

\AF\\BF\

综上所述,师二网得证.

【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是借助椭圆方程坐标代入，将|4月化简为

空(利用椭圆第二定义也可得到)，同理可化简怛目进而将所证结论

扁=/转化为证明石£=石;；二是联立直线与椭圆方程，应用韦达定理得到占，尤3

及9,X’的关系，进而代入消参、化简求证结论.

19.(1)(i)不是"玫瑰数列"；(ii)证明见解析；

(2)证明见解析.

【分析】(1)(i)直接根据等比数列概念和“玫瑰数列”定义即可判断;

(ii)利用反证法结合