高三数学二轮复习：立体几何与空间向量 解答题（原卷版）

第3讲立体几何与空间向量

真题速递

1.(2024•北京•高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，BC//AD,AB=3C=1,AD=3,点E在上，且

PEJ.AD,PE=DE=2.

(1)若下为线段PE中点，求证：BF〃平面PCD.

(2)若AB_L平面PAD,求平面R4B与平面PCD夹角的余弦值.

2.（2024•全国甲卷（文）•高考真题）如图，AB//CD,CD//EF,AB=DE=EF=CF=2,

CD=4,AD^BC^^/io,A£=2&,M为CD的中点.

⑴证明：EM〃平面BCF；

⑵求点M到ADE的距离.

3.(2024•全国甲卷(理)•高考真题)如图，在以A,B,C,D,E,尸为顶点的五面体中，四边形ABC。与四边

形均为等腰梯形，EF//AD,BC//AD,AD=^AB=BC=EF=2,ED=5,FB=26,M为AO的中

点.

⑴证明：3M//平面CDE；

(2)求二面角尸-⑻欣-石的正弦值.

4.(2024•天津•高考真题)如图，在四棱柱ABCD-AAG2中，平面ABC。，AB1AD,AS//DC,

AB=AAl=2,AD=DC=l.M,N分别为OR,4G的中点,

(1)求证：RN〃平面

(2)求平面C5M与平面BAGC夹角余弦值;

⑶求点B到平面C5M的距离.

5.(2024•新课标II卷•高考真题)如图，平面四边形A8CZ)中，AB=8,CD=3,AD=5>j3,ZAOC=90°,

__.9__.__.i__.

NBAD=30,点E,尸满足AE=—AD,AF=—AB,将△AEF沿EP翻折至！PEF,使得PC=4^/3.

⑴证明：EF±PD；

(2)求平面尸CD与平面尸8尸所成的二面角的正弦值.

6.(2024•新课标U卷•高考真题)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABC。，R4=AC=2,

BC=\,AB=^3.

(1)若证明：AD〃平面PBC；

(2)若ADLDC,且二面角A-CP-。的正弦值为封，求AD.

7

7.(2023•新课标I卷•高考真题)如图，在正四棱柱ABCZ)-ABGQ中，AB=2,惧=4.点4,凡仁也分别在

棱,BB[,CC],DD[上,=1,BB2=DD2=2,CC2=3.

⑴证明：22c2〃4。2；

⑵点尸在棱B片上，当二面角尸-4c2-2为150。时，求星P.

实战演练一：线面平行的判定与性质

【知识点解析】

1.线线平行的判定

（1）平行四边形的对边（2）三角形的中位线或等高线（3）线面平行与面面平行的性质

2.线面平行的判定与性质

判定性质

文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示

如果平面外一条直线l\\m一条直线与一个平面平11|a

线</2a=/||a<1u/3=>Z||m

与此平面内的一条直mua行，如果过该直线的平ad/?=m

面

平线平行，那么该直线与面与此平面相交，那么

行此平面平行.该直线与交线平行.

【实战演练】

1.（2425高三上•重庆长寿•期末•节选）如图所示，在四棱锥中，24,底面ABC。，底面ABC。为正方

形，刈=48=2,E为2。的中点.

⑴求证：尸3〃平面ACE；

2.（2425高三上•江苏扬州•期末•节选）如图，在直三棱柱ABC-4与G中，G4=3,CC1=4,二面角

为直二面角.点N为棱G片的中点，棱A片与平面AOV相交于点

3.（2425高三下•湖北武汉•开学考试•节选）在五面体ABCDEF中，CD，平面ADE,平面ADE.

⑴求证：AB//CD；

4.（2425高三上•山东青岛•期末•节选）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是正方形，侧棱尸£＞，底面

ABCD,PD=CD,E是尸C的中点，斯,依垂足为尸.

⑴求证：R4//平面3DE；

5.（2425高三上•广东深圳•阶段练习•节选）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面A2CD为菱形，ZBAD=60°,平

面尸平面ABCD,瓦厂分别为A5,尸。的中点，AD=EF=2,PB=20,平面CEF与平面交于直线/.

⑴证明：EF//h

6.（2425高二上•山东泰安•期中•节选）如图，在四面体ABCD中，平面BCD,M,P分别是线段AD,BM

的中点，点Q在线段AC上，且AQ=3QC.

⑴求证：PQ〃平面BCD；

实战演练二：面面平行的判定与性质

【知识点解析】

1.面面平行的判定与性质

判定性质

文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示

如果一个平面内的两m\\a(1)两个平面平行，如

<=>m||df

n\\a八mu0

面<^a\\6果另一个平面与这两个

条相交直线与另一个m[\n-0

面平面相交，那么两条交

m、iiuB

平平面平行，那么这两个线平行.

行平面平行.(2)两个平面平行，一a||£

个平面内的任意一条直<=m=>m\\n

j3C\/=n

线与另外一个平面平

行.

【实战演练】

1.(2425高三上•安徽亳州•期末•节选)如图，在六面体ABCD砂中，/加工平面ABC。，CEL平面A3C£),四边

形ABC。为菱形，ABAD=60u,AD=DF=2,CE=1.

(1)证明：平面ADF〃平面BCE；

F

B

2.（2425高三上•湖北•期中•节选）已知圆柱。。2如图所示，其中正方形9CD为轴截面，点E,G为圆。?上异于

A,3且同侧的点，且NGO/+/EBa=180°，点下为线段DE的中点.

（1）求证：平面尸GO"/平面CBE；

3.（2425高二上•山东潍坊•期中）如图，在直三棱柱A3C-A4G中，42=2攻，M=3>AC±BC,

AC=BC,D,E分别是A3,A片的中点.

（1）证明：平面AOC//平面BEC1；

4.（2425高三上•湖南长沙•阶段练习•节选）如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。为等腰梯形，平面尸8,

平面ABCD,AB=AD=1,CD=2,PD=PC=y/2.

⑴若瓦尸分别为PA8C的中点，求证：所//平面PCD；

5.（2425高三上•福建•期中•节选）如图，在四棱柱ABC。-中，底面A5C。为直角梯形，AD//BC,

ADLCD,AAX_1平面45。。,。4=。。=。。1=25。=2,后为62的中点.

（1）设平面5C石与平面4内。12的交线为/,求证：BC//Z；

6.（2425高三上•湖南•阶段练习•节选）如图，直四棱柱A8C£>-A4G2的体积为12,AB//DC,DC=2AB,

△ABC的面积为20.

⑴求证：4c〃平面

D

实战演练三：线面垂直的判定与性质

【知识点解析】

1.线线垂直的判定

（1）等腰三角形中线（2）勾股逆定理（3）菱形对角线（4）矩形邻边（5）正方形对角线与邻边

（6）圆直径所对圆周角（7）线面垂直的性质（8）向量的数量积

※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质

※若菱形有一内角为60。，则120。角顶点与对边中点的连线与对边垂直

2.线面垂直的判定与性质

判定性质

文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示

如果一条直线与一个1.Lm一条直线与一个平面垂1.La

<=>/_L机

1.Lnmua

线n/_La

平面内的两条相交直m\\n-0直，该直线与该平面内

面

m、nua

垂线垂直，那么该直线与任意一条直线垂直.

直此平面垂直.

【实战演练】

1.（2425高三上•江西南昌•期末•节选）已知边长为4的菱形ABC。（如图1）,ZBAD=IjT,AC与8。相交于点

O,E为线段49上一点，将三角形ABD沿折叠成三棱锥（如图2）.

（1）证明：BD1CE；

2.（2025•浙江温州•模拟预测•节选）如图，已知四棱锥P-中，顶点尸在底面ABC。上的射影H落在线段

AC上（不含端点），底面A3C£＞为直角梯形，AD//BC,AB±AD,AB=2,BC=2AD=2^2.

⑴求证：应平面PAC；

♦CP

3.(2425高三上•浙江宁波•期末•节选)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，其中

AD±BD,PA=PD=AD=BD=2,PB=2立,点尸为棱PD上一点.

(I)当尸为的中点时，证明：AFYBP-,

4.(2025•江西九江•一模•节选)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，ZABC=6Q\PA±

平面ABC。，瓦厂分别为线段产民CD的中点，PF=BF.

(1)求证：依，平面AEF；

5.(2425高三上•广东广州•阶段练习•节选)如图，四棱锥P-ABCD中，PA=PD=AD=CD=2,底面ABCD是

个直角梯形，AD//BC,ZDAB=90°,ZADC=60°.

(1)证明：PC1AD；

6.(2425高三上♦内蒙古赤峰•期末•节选)如图，在正四棱台A2CD-ABC，中，ZB}BA=m,AB=A,\BX=2,E

是C。的中点，。1,。分别为上下底面的中心、

(1)求证：直线AC，平面80〃得

实战演练四：面面垂直的判定与性质

【知识点解析】

1.面面垂直的判定与性质

判定性质

文字表示数学语言表示文字表示数学语言表示

如果一个平面过另一1.La两个平面垂直，如果一aL)3

[/<=/?ap|£="2,.

面n/_La

个平面的垂线，那么这个平面内有一直线垂直Il.m

面

lu0

垂两个平面垂直.于这两个平面的交线，

直那么这条直线与另一个

平面垂直.

【实战演练】

1.（2025•福建•模拟预测•节选）如图，在四棱锥尸-ABCD中，上4，平面A5CD,AD，A3,3C〃AD,

4£）=23。=245=2如=2,e为4。的中点.

（D证明：平面尸3E_L平面B4C；

2.（2025•福建厦门•一模•节选）如图，在三棱柱A3C-A4G中，\B=\C=\A=2,BA1BC,BA=BC.

（1）证明：平面ABC_L平面ACGA；

3.（2425高三上•辽宁丹东•期末•节选）如图，在边长为4的正方形中，A为线段MB的中点，沿A。将

翻折至使得PC=4.

(1)求证：平面己4B_L平面PCD；

4.(2425高三上•河南周口•期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面平面ABCD,ABJ.AC,

AD//BC,ADLCD,且△上为正三角形，3C=2PA=8,点M为尸3的中点，点N为棱尸£＞上一点，且

PN=APD，＞te[O,l].

⑴证明：依，平面MAC；

5.(2025•广东肇庆•二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为平行四边形，丛，平面ABC。，平面

APC_L平面PCD.

(1)证明：CD,平面PAC.

B

6.（2425高三上•青海•期末）如图，已知VABC和VBDE都是等边三角形，BD=2BC=4,平面ABC，平面

点尸在线段AC上（不含线段的端点）.

（1）证明：CELBF-,

实战演练五：几何法求空间角度、空间距离问题

【知识点解析】

1.异面直线成角

步骤：(1)证线线平行，转化为相交直线所成角；

(2)找锐角(或直角)作为夹角；

(3)利用余弦定理或三角函数求解.

注意：取值范围：R-.

_2_

2.表示角的方法：

(1)在中，C为直角，贝UsinA=/，cosA=+,tanA=外.

ABABAC

y+2—2

(2)余弦定理：在VABC中，a92=b-9+c92-2bc-cosA,cosA=^^——

2bc

3.直线与平面所成之角

(1)定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面重合，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫

做斜足.过斜线上斜足以外的一点向平面引垂足，过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条

斜线和它在平面上的射影所成的夹角，叫做这条直线和这个平面所成的角.

(2)规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于上；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们

2

7T

所成的角等于0.因此，直线与平面所成的角。的范围是0,-.

2

垂线

0

射影

4.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形

如图：在二面角。一/一，中，。为交线/上一点，OA^a,OBu/3,且。4，/,OBU,则NAQfi为二面角

。一/一，的平面角；

TT

取值范围：面a与面"的夹角的取值范围为0,—.

(1)定义：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的

长度叫做这个点到该平面的距离

(2)等体积法：等体积法就是通过变换三棱锥(或四面体)的顶点、底面来求三棱锥(或四面体)的体积的方法。等体

积法就是一个几何体利用不同的底面积和高来求体积，利用体积相等，可以求出某一底面所对应的高或某一条高所

对应的底面积。立体几何中一般用来求点到面的距离。等体积法就是要类比等面积法。

(3)求三角形面积的常见方法：S=—dh=—ab-sinC=—ac-sinB=—be-sinA

△MAReC2222

6.直线到平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这

个平面的距离.

7.平面到平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把

它叫做这两个平行平面间的距离

【实战演练】

1.（2425高三上•上海•期末）在如图所示的圆锥中底面半径为2,尸是顶点，。是底面的圆心，A、B是圆周上两

点，且OA1OB.

⑴若圆锥的侧面积为6兀，求圆锥的体积；

⑵设圆锥的高为2,M是线段上一点，且满足求直线PM与平面所成角的大小.

2.（2425高二上•陕西安康•期末）如图，三棱柱ABC-A用G中，是边长为2&的正三角形,

4台=A4=26,AG=2向

⑴证明：平面48月，平面84£；

（2）求直线CA,与平面ABQ所成角的正弦值.

3.（2025•福建厦门•一模）如图，在三棱柱4BC-ABC中，4B=4C=AA=2>BA1BC,BA=BC.

（1）证明：平面ABC,平面ACGA；

⑵若直线与平面ABC所成角为60。，求平面\BXC与平面ABC夹角的余弦值.

4.（2425高三上•浙江杭州•期末）如图，三棱锥尸-ABC的底面是边长为2的正三角形ABC,且=平面

ABC_L平面PAC.

⑴证明：PC，平面ABC；

(2)若BC与平面R4S所成角的正弦值为叵，求平面R4B与平面PAC夹角的余弦值.

8

5.(2425高三上•宁夏银川•期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABC。是直角梯形，ZBAD=ZCDA=90°,

PA，平面ABCD,。是P8的中点，PA=AD=OC=1,AB=2.

(1)证明：C。〃平面PAQ；

(2)求点Q到平面PAC的距离.

6.(2425高三下•贵州•开学考试)如图，在三棱柱ABC-ABCI中，平面ACGA_L底面

ABC,ZA.AC=45。,4A=2,AC=&,AC，3c,与平面ABC所成角的余弦值为孚.

(1)求4到平面BCC内的距离；

⑵求二面角C-4瓦的正弦值.

实战演练六：空间向量与立体几何

【知识点解析】

1.平面的法向量的定义：法向量，是空间解析几何的一个概念，垂直于平面内所有的直线所表示的向量为该平面

的法向量。法向量适用于解析几何。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向

量。

2.平面的法向量的求解：已知平面ABC,且4(玉,％,zj、B(x2,y2,z2)>C(x3,y3,z3)

(1)表示平面ABC中两条相交直线所形成的向量.(2)设记=(x,y,z)为平面ABC的一个法向量.

(3)利用法向量与平面ABC的所有直线垂直列方程.(4)赋值求解法向量.

3.空间向量与空间位置关系

空间位置关系AB//CDAB//面CDE面ABC//面。砂

向量关系AB//CD而，面CDE的法向量面钙弼法向量//面DM的法向量

空间位置关系AB±CD面45(7_1面£＞砂

向量关系通//面CDE的法向量面ABC的法向量1面。EF的法向量

4.求异面直线所成的角

求法：己知凡6为两异面直线，A,B与C,。分别是上的任意两点,

JUQULH\

记所成的角为氏则cos6=cos(/IB,C。).

解题步骤：若求直线与直线CD所称之角

(1)表示A、B、C>£)四点的坐标.

⑵表示通与CD.

uuouum

/uunuunixABCD

(3)记直线。、Z?所成之角为氏cos0=Cos(AB,CD)==nm-.

'/AB-CD

5.求直线和平面所成的角

求法：设直线/的方向向量为。，平面a的法向量为M,直线与平面所成的角为。，。与〃的夹角为0,则。为夕

/「r

的余角或。的补角的余角.即有：sind=cos(a,M

解题步骤：若求直线A3与平面C0E所成之角

⑴表示A、B、C、D、E五点的坐标.

(2)表示AB与平面CDE两条相交直线所形成的向量.

(3)设平面CDE的一个法向量为m=(x,y,z),利用法向量与平面CDE的所有直线垂直列方程，赋值求解.

uunur

,uuuir、ABm

(4)记直线AB与平面CDE所成之角为氏sin0=cos(AB,=-wn-tr-

'/AB'm

6.求二面角

二面角的平面角是指在二面角a-l-/3的棱上任取一点。，分别在两个半平面内作射线AO±l,BO±l,

则NA03为二面角a-l-(3的平面角.

求法：设二面角，的两个半平面的法向量分别为£、〃，再设味、〃的夹角为0,二面角。-/-，的平面角

为。，则二面角。为根、〃的夹角0或其补角万—0.

根据具体图形确定。是锐角或是钝角:

,irr、m-n

如果。是锐角，则＜：05夕=|85同=＜：05(加,")=11rlJ,

ITfi

/irrm-n

如果。是钝角，贝ljcose=—|cos°|-cos(m,n

I4H,

解题步骤：若求平面ABC与平面OEF所成之角

⑴表示A、B、C、D、E、尸五点的坐标.

⑵分别表示平面ABC与平面DEF两条相交直线所形成的向量.

⑶设平面A5C的一个法向量为祇=(匹y,z),利用法向量与平面ABC的所有直线垂直列方程，赋值求解,

同理求平面DEF的一个法向量〃.

(4)记平面ABC与平面DEF所成之角为凡

7.点A到平面a的距离:

1uum

若点P为平面a外一点，点M为平面a内任一点，平面a的法向量为〃，则P到平面a的距离就等于“尸在

法向量,方向上的投影的绝对值.

|UUH|,ruuun

即d=cos(n,MP

8.点A到直线/的距离：

若点A为直线/外一点，B为直线/上一点，直线/的方向向量为7,则点低到直线/方向上的投影向量，再

利用勾股定理可得。

uun2

即d=AB

9.平行平面的距离

已知平面a与平面夕平行，若点A为平面。内一点，点8为平面夕内一点，平面夕的一个法向量为。，则平

面a与平面夕的距离为点A到平面夕的距离，即距离等于港在法向量。上的投影的绝对值.

即d二―尸j—.

H

10.异面直线的距离

uumuumia

已知直线A3与CO为异面直线，与A8与CO均垂直的向量为九，直线A3与上各取一点形成加，则异

面直线AB与CD的距离为)在3方向上的投影的绝对值.

\n-rn

即d=

H

【实战演练】

1.(2425高三上•重庆长寿•期末)如图所示，在四棱锥尸-ABCD中，上4,底面ABCD,底面ABCD为正方形,

PA=48=2,E为尸。的中点.

(1)求证：P3〃平面ACE；

⑵求二面角P-AC-E的余弦值.

2.(2425高二上•北京昌平•期末)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A瓦GR中，E为的中点，片，与平面

ACE交于点

⑴求证：EF//AC；

(2)求直线DE与平面ACE所成角的正弦值；

⑶求点与到平面ACE的距离.

3.(2025•福建•模拟预测)如图，在四棱锥P-ABCD中，B4_L平面

ABCD,A£>_LAB,BCW,AD=2BC=2AB=2尸4=2,£■为4。的中点.

⑴证明：平面尸跳;_L平面B4C；

(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值.

4.(2025•江西九江•一模)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，/ABC=60。,尸A，平面

ABCD,E产分别为线段尸氏C。的中点，PF=BF.

⑴求证：平面AEF;

(2)求二面角尸-5尸-A的余弦值.

5.(2425高三上•甘肃定西•期末)如图，在三棱柱ABC-A用G中，A4t，平面ABC,

AB±AC,AB=2AC=2AAl,E,尸分别为棱43,BC的中点.

(1)证明：耳E_L平面AEF.

(2)求平面\EF与平面BCC国夹角的余弦值.

6.(2425高三上•黑龙江•期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BC。为矩形，PAL平面ABC。，E是。尸的

中点，AF1CP,垂足为尸，AB=y[2AP=^2AD,

⑴证明：PC,平面AEF；

⑵求二面角3-AF-E的正弦值.

实战演练七：动点问题与边长缺失问题

【知识点解析】

1.动点的表示方法：

(1)若动点所在直线与坐标轴平行或重合，则直接设动点坐标.

①若动点P所在直线与X轴平行或重合，则动点P的坐标可设为，其中〃2、〃为常数.

②若动点P所在直线与X轴平行或重合，则动点P的坐标可设为(m,％”),其中力7、”为常数.

③若动点P所在直线与X轴平行或重合，则动点P的坐标可设为(m,a,z),其中根、〃为常数.

(2)若动点所在直线与坐标轴不平行，已知点K，ZJ、B(x2,y2,z2),动点P(毛,为，Z3)在直线AB上运动，

uuuuim_____,

则AB//AP,所以而=2AB,由此可表示出P点坐标或直接利用AP表示出目标向量.

2.边长缺失问题

条件缺失型问题为近年常考问题，条件缺失型主要是指缺少边长问题或动点问题，导致无法在空间直角坐标系

中表示点的坐标。

但此类问题经常会给出其他条件，通过翻译该条件可以求出几何体的所有边长或动点位置。

【实战演练】

1.(2425高三上•江苏常州•阶段练习)如图，三棱柱ABC-A片G中，=60°,AC±BC,AC±AB,

AC=1,A4,=2.

(1)求证：AC，平面ABC；

(2)直线BA与平面BCC内所成角的正弦值为B,求平面AB4与平面BCC4夹角的余弦值.

2.(2425高三上•江苏扬州•期末)如图，在直三棱柱A3C-A与G中，CA=3,CC1=4,二面角A-CC「B为直二

面角.点N为棱G片的中点，棱4瓦与平面ACN相交于点Af.

⑴求证：M为棱A片的中点;

(2)若直线AG与平面AQV所成角的正弦值为士石，求CB的长.

3.(2425高三上•北京石景山•期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，己4,平面ABC。，四边形A3CD是边长为1

的正方形，E是上4的中点.

⑴求证：PC〃平面3DE；

⑵求证：PC±BD；

(3)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为典，求PA的长度.

4.(2425高三上•河南周口•期中)如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面PDC，平面ABC。，DC〃平面E4B,

AB±BC,PA=PB,AB=2DC.

⑴求证：P£>_L平面ABC。.

(2)若3C=DC=1,平面上4B与平面尸3c夹角的余弦值为:，求。尸的长.

5.(2425高三上•安徽阜阳•期末)如图，多面体ABCDE中，E4_L平面ABC,OC_L平面ABC,取=2£＞C,P是£8的

中点.

⑴证明：。///平面ABC.

(2)若出=48=2,/347=90。，且二面角3-少E-C的余弦值为老叵，求AC的长.

6.(2425高三上•广东•期末)如图，已知以，平面ABC,平面己平面P3C.

⑴证明：BC_L平面R4B；

(2)若＞1B=3C=2,且平面PAC与平面P2C的夹角的余弦值为画,求PA的长.

10

7.(2425高三上•河南•期末)如图，在多面体ABCDGE产中，四边形ABCD为直角梯形，且满足相＞_LC»,EG〃

AD,EG=AD=DC=DG=2BC=2,CD//尸G,£>G_L平面A3CD

⑴证明：AG,平面CUE；

(2)在线段的上是否存在一点尸，使得直线DP与平面ABE所成角的正弦值为返？若存在，求出尸点的位置；若

85

不存在，说明理由.

A

8.(2425高三上•天津和平•期末)如图，已知四边形A8CD是矩形，AB=2BC=2,三角形PCD是正三角形，且

平面ABCD_L平面PCD.

(1)若。是CD的中点，证明:3O，R4；

(2)求二面角8-唐-。的正弦值；

(3)在线段CP上是否存在点。，使得直线A。与平面A3P所成角的正弦值为也，若存在，确定点。的位置，若不

存在，请说明理由

9.(2425高三上•山东日照•期末)如图，ADUBC,AD±AB,点瓦/在平面ABCD的同侧，CF//AE,AD=1,

AB=BC=2,iP®ACFE±ABCD,EA=EC=43.

⑴求证：ACLBE,

⑵若直线EC与平面EB。所成角的正弦值为孚，求线段CF的长.

10.(2425高三上•甘肃酒泉•期末)如图，四棱锥尸-ABCD的底面是边长为3的正方形，PA±AB,

PA=PC=30.

⑴证明：PD1,平面ABC。；

(2)已知点E在线段AC上，S.AE=AEC(A>0),若直线P8与平面PDE所成角的正弦值为叵，求力的值.

AB

11.（2025•江西•一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCZ）是平行四边形，E是的中点，点下在线段PB

上.

⑴证明：依〃平面ACE.

⑵若PA_L平面ABC。，R4=AB=3,BC=5,AC=4,平面丛D与平面PAC夹角的余弦值为上叵，求生的

29FB

值.

12.（2425高三上•浙江丽水•期末）如图，在三棱柱ABC-A用G中，平面44。。，平面A3C,ABJ.AC,

AB=2,N4AC=12。。，AC=AAl=2y/3,尸为线段上一点，M1?=2^（0<2<1）.

（1）求证：\C±BC1；

（2）是否存在实数力,使得平面8PG与平面A3C的夹角余弦值为迫？若存在，求出实数％的值；若不存在，请

7

说明理由.

13.（2425高三上•山东潍坊•期末）如图，在直平行六面体ABCD-AB|G2中，AB1AC,且

AB=AC=AAt=l,E,歹分别为BC,C5的中点.

（1）证明：AF_L平面44E；

⑵点M在棱A片上，当平面与平面MAC所成角的余弦值为巫时，求AM.

110

实战演练八：最值问题

【知识点解析】

代数法求最值的常见方法

(1)单调性法

(2)二次函数法

(3)三角函数法

(4)换元法

(5)基本不等式法

(6)分离常数法

(7)判别式法

【实战演练】

1.(2024•江西•模拟预测)如图，在直三棱柱ABC-A4cl中，平面AdC，侧面A3与A,点A到平面A^C的距离

等于L

(1)求证：AB^BC；

(2)若AA=BC,设直线AC与平面ABC所成的角为仇求。的最大值.

2.（2425高三上•安徽马鞍山•阶段练习）如图，四棱锥尸-ABCD的底面ABCD为正方形，侧面尸CD，底面

ABCD.设平面PAD与平面P2C的交线为/.

⑴证明：/_L平面PCD；

（2）已知AD=2,PC=PD=也,Q为/上的点，求直线P8与平面QCD所成角的正弦值的最大值.

3.（2425高三上•广西河池•期末）如图，在多面体A8C-AB£中，VA5C是边长为2的等边三角形，AA，平面

ABC,%AIIB\B,QC//BjB,=2BBI=4,CCt=3,设。为4月的中点.

⑴证明：6。，平面42瓦4；

⑵设D为棱AG上的动点，求B,D与平面\BCX所成角的正弦值的最大值.

B

4.（2425高三上•广东潮州•期末）如图，在四棱锥尸-ABCD中，上4,平面ABC£>,底面ABCD是边长为2的正

方形，PA=2A/3,G为CD的中点，E,尸是棱PD上两点"在E的上方），且