高一年级下册解三角形期末试题（易错40题20个考点专练）（解析版）

高一下册数学期末真题解三角形精选

（易错40题20个考点专练）

题型一：正弦定理及辨析

1.（2021春•安徽六安・高一六安市裕安区新安中学校考期末）在“BC中，"cosAvcosB"是"sinA>sinB”的（

条件

A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.非充分非必要

【答案】C

【分析】根据三角形内角的性质知：sinA>sinB>cosAccosB都有力>6,由等价法知条件"cosA<cos3"、

"sinA>sinB”之间的充分、必要关系.

Qh

【详解】"RC中，由正弦定理‘二=二，

sinAsinB

当sinA>sinB必有根据三角形中大边对大角知：A>B\

TTTT

当cosA<cos3时，在三角形中由0<A+3〈万，有万〉A>—>8>0或一>A>8>0成立，即/>笈；

22

二"cosA<cos3"是"sinA>sin3”的充要条件.

故选：C

2.（多选）（2022春广东广州•高一校联考期末）在"1BC中，角A,8,C所对的边分别为。，b,c,且匕=2,A=1

若AABC有唯一解，贝IJ。的值可以是（）

A.1B.V3C.72D.75

【答案】BD

【分析】根据正弦定理三角形有唯一解，得到a=6sinA或。2匕，即可求出参数”的取值范围，从而得解；

【详解】解：因为6=2,A=5，因为"1BC有唯一解，所以a=6sin4=g或a26=2,即ae｛百｝U[2,y）,

故选：BD

题型二：正弦定理解三角形

3.（2023春•河南周口,高一校考期末）在AABC中，角A,3,C所对应的边分别为a,b,c.若A=?,B=?a=2四,

则6=__________

【答案】273

【分析】根据正弦定理即可求解.

2。在

.、*皿、旧生ab,asinB

【详解】因为叔=荷‘所cri以u°=飞前—尸2=2收

V2

~T

故答案为：2也.

在中，已知=也，ZB=-^n

4.（2023秋・安徽宣城•高三统考期末）如图,AABC48BD=A/3-1.

1

AE

B

⑴求A。的长;

⑵若AC=g+l,点E,C在直线AO同侧，ZAED=2ZCf求+的取值范围.

兀71.兀.兀y/6—y[2,

【详解】（1）依题意,COS—7C=cos(—+—)=cos—cos——sin—sin—=

124646464

在△ABD中，由余弦定理4)2=^52+082—2Ag.Dgcos5,

222

得AD=(衣2+(73-1)-2亚若-l)cos—K=2+(A/3-1)-2形电-1)-6—垃=2，

124

所以=

.5./兀兀、.兀717C.7176+72

(2)sin—冗=sin(—+—)=sin—cos—+cos—sm—=-------

124646464

6+1A/2]

ACAB

在AABC中，由正弦定理得,即一^sinC9解得sinC=—,

sinBsinCsin——兀

12

77T7T

而Ce(0,—it),于是NC=—,有NAEO=2NC=—,

1263

AEED近一2r-

△AED中，由正弦定理得：sinNADE-sinNEAD一.兀一§一

sin——

3

27r27r

令ZAD£=g,则/丛。=7一6,O<0<—f

因止匕AE+ED=A/6sinJA/6_=-jA/6(-^-sin^+-^-cos^)=2拒sin(8+£)

mr\/■»27r|-.I兀八兀5兀/.1,/八兀、,1

因0<6<——，则一<。+—<—,有一vsin(e+—)Wl,

366626

即&<28sin（O+F）W2收，41<AE+ED<141，

所以AE+£D的取值范围为（忘,2点］.

题型三：正弦定理判断三角形解的个数

5.（2022秋•河南省直辖县级单位•高二统考期末）在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=2,8=45。,

若三角形有两解，则6的取值范围是.

【答案】（忘,2）

【分析】由正弦定理可得sinA=竺学，由"LBC有两解，可得sinA=4^<l,且2=。>6,从而即可求解.

bb

【详解】由正弦定理可得工=上，即sinA=竺?0,又8=45。,。=2,

smAsinBb

2

9正

所以..TV2，

sinA=----=——

bb

因为“IBC有两解，所以sinA=4^<l,且2=a>b,

b

所以后<b<2,

所以b的取值范围为（点,2）,

故答案为：（点,2）.

6.（多选）（2023春•河北衡水•高三衡水市第二中学期末）在AABC中，内角A、B、C的对边分别是。、b、c,

下列结论正确的是（）

A.若asinA=AsinB,则AA5c为等腰三角形

B.若acosA=bcosB,则AABC为等腰三角形

C.若8=60。，b-=ac,则AABC为等边三角形

D.若A=30",b=10,a=4,则8有两解

【答案】AC

【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用正弦定理、二倍角公式可判断B选项；利用余弦定理可判断C选项；利

用正弦定理求出sin3的值，可判断D选项.

【详解】对于A选项，若asinA=bsinB,由正弦定理可得/=廿，则〃=

所以，AABC为等腰三角形，A对；

对于B选项，因为acosA=bcos5,由正弦定理可得sinAcosA=sin5cos5,

因为A、B中至少有一个是锐角，JJl!jsinAcosA=siii5cos5>0,

从而可知A、3均为锐角，由sinAcos24=51113853可得511124=$11125,

因为A、,则24、2Be（0,n）,所以，2A=2B或2A+28=兀，

冗

所以，A=3或4+8=5,故AABC为等腰三角形或直角三角形，B错；

对于C选项，因为2=60°,b2=ac,

2222

由余弦定理可得6?=（r+c-2accos60°=a+c-ac=ac,BP（a-c）=0,

所以，a=c,因此，AABC为等边三角形，C对；

对于D选项，因为A=30°,8=10，。=4,

ab10x―

由正弦定理得a；nA_"sinA_lUX2_5所以，金。不存在，D错.

sinAsinBsinD=--=----——

a44

故选：AC.

题型四：正弦定理求外接圆半径

7.（2021春•陕西延安•高一校考期末）在44BC中，sinA=；,且"RC的外接圆的半径R=2,则边BC=

【答案】|4

【分析】应用正弦定理求解即可.

3

【详解】在AABC中，sinA=1,

a

77—=4A4A

由正弦定理「=27?,可得1，所以BC=a=；,

sinA-3

4

故答案为：

8.（2022春•上海普陀•高一校考期末）AABC中，角A、8、C所对的边分别为。、b、c,己知b=4A反A=30。,3=120。.

⑴求边。、c的长度；

（2）求AABC的面积及其外接圆半径.

【详解】（1）因为A=30。,8=120。，所以在中，C=180。—4—3=30。，

由正弦定理得：~7~=.C>也即一--==---,

sinAsinBsinCsin30°sin120°sin30°

所以〃=c=4；

（2）由三角形的面积公式可得：AABC的面积S=；“csinB=4占，

由正弦定理可得：外接圆半径R=g'==4.

2sinA

题型五：正弦定理边角互化的应用

9.（2022秋•河南焦作•高二统考期末）在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,若"tanB=〃tanA,

则角A与角8的关系为（）

A.A=BB.A+B=90°

C.A=3且A+8=90°D.A=8或A+B=90。

【答案】D

【分析】利用正弦定理和余弦定理求得。，b,c之间的关系，进而得到角A与角8的关系.

【详解】由/tanB=/tanA,可得…0=少当，

cosBcosA

贝I]ab_ba,则.cosA-Z?cosB=Q,

cosBcosA

b1+C1-a2a2+c2-b1

贝miUl--------------a=---------------b7,

2bclac

贝Ij+。2一々2）々2一（〃2+。2一〃）〃=0,

整理得（合—廿乂/一储一万）=0,

则或。2=储+>2,则4=5或4+3=90。.

故选：D

10.（2023秋•云南昆明•高二统考期末）在“LBC中，角A,B,。的对边分别为。，b,c,&sin2C=csinB,^ABC

的外接圆半径为冥1,

3

⑴求角C；

（2）若AABC的面积为46，求AABC的周长.

4

【详解】(1)因为csin3=/?sin2C=2/?sinCcosC,

由正弦定理可得sinCsinB=2sinBsinCeosC,

又因为用。«0,兀)，贝(Jsin5wO,sinCwO,

1TT

可得l=2cosC,BPcosC=-,所以C=—.

23

(2)由正弦定理，=迪，可得c=生叵sinC=t8x也=2,

sinC3332

因为AABC的面积LBc=："sinC,即Lbx走=4若，可得必=16,

222

由余弦定理cosC="+廿一片=(。+小2/,

2ab2ab

即工=("+9-32-4,解得a+6=2而或a+6=-2耳(舍去)，

232

所以44BC的周长为a+b+c=2jf?+2.

题型六：三角形面积公式及其应用

11.(2023秋•陕西西安・高二长安一中校考期末)已知AABC的三个内角A,B,C的对边分别为。，b,c,a=6,

且(6+6XsinA-sin3)=(c-6)sinC,则AABC面积的取值范围为.

【答案】(。，9如］

TT1

【分析】根据正弦定理化简已知表达式，再结合余弦定理即可求得A=g,表达面积S=5"sinA,再用基本不等式

即可求得.

［详解】因为(6+〃)(sinA—sin3)=(c—b)sinC,

22

则由正弦定理得：(6+6)(a—6)=(c—?。，化简得，6a-6b+ab-b=c-cb

因为a=6,代入化简得，cb=c2+b2-a2,则cosA="十：——=^-,

2bc2

所以A=g,AABCS=—besinA=^-bc;

324

5Lcb+36=c2+b2>2bc,解得历工36,当且仅当6=。时，等号成立，

所以5=¥儿49石，故三角形面积的取值范围是仅,9码.

故答案为：(0,96］

12.(2021春・湖南岳阳•高一岳阳一中校考期末)在AABC中，内角A、2、C的对边分别为a、b、c,且acos3+bsinA=c.

(1)求角A的大小；

⑵若a=0，"BC的面积为在二1,求b+c的值.

2

【详解】(1)由已知及正弦定理得sinAcos5+sinBsinA=sinC,

,/sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

*/sinBsinA=cosAsinB,

,/sin3w0/.sinA=cosA

5

e/Ae(0,71)/.A=

(2)•「S^ABC=^bcsinA=^^-bc=be=2—A/2,

又,「a2=b2+c2—2Z?ccosA「.2=(/?+o)?-(2+0)bc,

所以(Z?+c)2=4,b+c=2.

题型七：余弦定理及辨析

13.(2023秋•陕西渭南•高二统考期末)在△ABC中，角A、B、。的对边分别为〃、b、c.若A=6(T,c=21=1,则

Q=.

【答案】6

【分析】已知两边及夹角，由余弦定理直接求得结果.

【详解】已知4=60。,。=21=1,

由余弦定理得6?=Z72+C2-Z?C=12+22-1X2=3,解得。=石.

故答案为：拒.

14.(多选)(2023秋•浙江杭州•高二校考期末)在AABC中，角A,B,C所对的边分别为。，b,c,则下列关系

式中正确的是()

A.(Z?+c)(Z?-c)=2absmC-a2B.(b+c)(b-c)=labcosC-er

C.sin(A+B)sin(A-B)=sin2A-sin2BD.cos(A+B)cos(A-B)=cos2A-cos2B

【答案】BC

【分析】利用余弦定理可判断出选项AB,再根据两角和与差的正弦、余弦公式以及平方关系化简可得C正确，D

错误.

【详解】根据余弦定理=储+廿-2"cosC可得Z?-°2-2abcosC-a2;

即0+c)(b-c)=2%osC-4，所以B正确，A错误；

根据两角和与差的正弦公式可得：

sin(A+B)sin(A-B)=(sinAcosB+sinBcosA)(sinAcosB-sinBcosA)

=sin2Acos2B-sin2Bcos2A=sin2A^l-sin23)-sin2B^l-sin2A)=sin2A-sin2B

即C正确；

对于D：cos(A+B)cos(A-B)=cos2Acos2B-sin2Asin2B

=COS2ACOS2B-(1-COS2A^1-COS2=cos2A+cos2B-1

=cos2A-sin2B)所以D错误.

故选：BC

题型八：余弦定理解三角形

15.(2022秋•河南焦作•高二统考期末)在“1BC中，其三边分别为a,b,c且三角形的面积S=巴卫上，则角

4

C=.

77

【答案】9/45。

4

6

【分析】根据面积公式结合余弦定理计算出tanC的值，即可求解出C的值.

1〃24序_2

【详解】因为S=—absinC=---------------，所以2absin。："+/一/二2a0cosC,

24

则tanC=1,

又。40,兀），所以C=

故答案为：—.

4

16.（2023春・重庆・高三重庆市长寿中学校校考期末）在△A8C中，角A、B、。的对边分别为a、b、c,若

bcosC+ccosB=2bsinA,且sinA2sinB.

⑴求角8的值；

（2）若cosC+sinB=0,且AABC的面积为4石，求8。边上的中线AM的长.

【详解】（1）因为Z?cosC+ccos3=2Z?sinA

由正弦定理得sinBcosC+sinCeosB=2sinBsinA=sin（B+C）=sinA

所以sin3=g,B或学

2o6

又因为sinANsinB,则人金修学],故3=]

oJo

故答案为：S=J

6

（2）由（1）知⑶吟又cosC+sin3=0,所以cosC=-1,C=y,则A=7i—5—。=三，所以b=〃.

2

X5AABC=—basinC=—asin—=4A/3,所以.=4,

223

在△ABM中，CM=—a=2,

2

27r

由余弦定理得=AC?+CM?-2AC•CMcosy=16+4+8=28,

所以AM=2j7.

故答案为：2"

题型九：余弦定理边角互化及应用

17.（2022秋•陕西渭南•高二统考期末）在AABC中，若（a+b+c）S+c-a）=3A,且sinA=2sin3cosC,则AABC

是（）.

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

7

【答案】B

【分析】将(a+b+c)0+c-a)=3历化简并结合余弦定理可得A的值，再对

sinA=2sin3cosc结合正余弦定理化简可得边长关系，进行判定三角形形状.

【详解】由(a+b+c)(6+c-a)=36c,(b+c)2-a2=3bc,

整理得62+02一/=历，则cosA=3+f

2bc2

因为4«0,兀)，所以A=%

2A.h2-r2

又由sinA=2sinBcosC,得a=2b-n---------

lab

化简得Z?=c,所以AABC为等边三角形，

故选：B

18.(2023秋•河北邢台・高三统考期末)〃，b,c分别为△ABC的内角A,B,。的对边，已知ccos3=l.

(1)若［=2,证明：△ABC为等腰三角形；

(2)若sir?A+sin2C=sin2B+sinAsinC,求b的最小值.

〃2_(_2_*022_72

【详解】(1)因为。=2,ccos3=l,所以由余弦定理可得ex"+c-。=i,即+c一》=i,

2ac2x2xc

整理得"=。2,即6=c,所以△ABC为等腰三角形.

(2)因为sin2A+sin2C=sin2B+sinAsinC，

所以由正弦定理可得"+。2=6+研,

所以由余弦定理可得cosB="一+―=

2ac2

又ccos3=l,所以c=2,

以b~—a?+c?—cic=a~+4—2a=(a—1)+3,

当a=l时，b取最小值，且最小值为否.

题型十：余弦定理判断三角形形状

19.(2022春•上海普陀•高一校考期末)AABC中，角A,2,C所对的边分别为且满足a=2Z7cosC,则此三角形

的形状是.

【答案】等腰三角形

【分析】利用正弦定理边角互化，由A=7t-(B+C)结合三角函数和差公式和角的范围即可得B=C,即可得到结果.

【详解】因为。=26cosC,所以由正弦定理可得sinA=2sin3cosC,

又在AABC中A=TI—(8+C),

所以sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=2sinBcosC,

所以sinCcosB—sinBcosC=0即sin(C-B)=0,

由反Ce(0,7t),故3=<7,则此三角形的形状是等腰三角形，

故答案为：等腰三角形

P0cAA

20.(2022春•云南丽江,高二统考期末)在“8C中，若一-=则AABC的形状是_________.

cosBa

8

【答案】等腰三角形或直角三角形

【分析】由已知及余弦定理可得（。2-62）（。2-1-4）=0,即可判断AABC的形状.

b2+c2-a2

【详解】［方法一］：由余弦定理，岑=22%上,化简得（后一⑻炉一"一⑻二。，

cosBa+c-ba

2ac

222

a=b^c=a+bf

AABC为等腰三角形或直角三角形.

故答案为：等腰三角形或直角三角形.

［方法二］:由c°s*=2可知cos4>0,cosB>0,即

cosBa

由正弦定理结合题意可得y=*,

cosBsinA

.11

BPsinAcosA=sinBcosB,—sin2A=—sinIB,

22

据此有2A=25或2A+25=%,

TT

即A=B或A+B=?.

AABC为等腰三角形或直角三角形.

故答案为：等腰三角形或直角三角形.

题型十一：证明三角形中恒等式或不等式

21.（2020•浙江•高一期末）AABC的三边分别为a,b,c,若AABC是锐角三角形，则（）

A.sinA<cosBB.tanAtanB>lC.cos（A+B）>0D.sin（A+B）>sinC

【答案】B

【解析】根据AABC是锐角三角形，令A=3=C=60°，然后逐项判断排除即可.

【详解】解:•・•△MC是锐角三角形，可令4=5=。=60。厮114=走>358=’小错误；

22

cos（A+B）=cosl20°=-^<0,C错误；

sin（A+B）=sin120。=sinC=孝,D错误；

tanAtanB=3>l,B正确.

故选:B

【点睛】本题考查三角形内角和定理，以及三角形内角的正余弦值之间的关系，可用排除法得出正确选项.

22.（多选）（2021春•浙江•高二期末）在AABC中，下列说法正确的是（）

A.若44BC是锐角三角形，贝UsinA<cos3

B.若A>8,则sinA>sin3

C.不存在AABC满足cosA+cos340

JI

D.若。>万，则sinC>sin?A+sin?3

【答案】BCD

9

【分析】逐一判断，对A,两角和大于90。，利用正弦定理以及诱导公式即可判断正误；对B使用正弦定理判断即

可；对C,由4+8<180。化简计算；对D,利用02>片+>2,化简即可.

【详解】对A,由AABC是锐角三角形，所以A+B>90。，贝1">90°-8,

所以sinA>sin(9(y-B)=cos3,即sinA>cos3,故A错；

对B,由/>6,则a>b,故sinA>sin3,所以B正确；

对C,在“1BC中，由A+8<180。，则4<180。-3，故cosA>cos(180°-B)=-cos3,贝ijcosA+cos3>0,所以C

正确

TT

对D,由C〉,，所以/>々2+82,贝ljsin?。,sin?A+sin?5,

又sinC>sin2。,所以sinC>sin?A+sin?3,故D正确

故选：BCD

题型十二：求三角形中周长或边长的取值范围

23.(2023•广东广州•统考模拟预测)在锐角加。中，角A,3,C所对的边分别为〃也c,且

2c之=(/+。2-02)(tanA+tanB).

⑴求角A的大小；

(2)若边〃=0,边3C的中点为。，求中线AD长的取值范围.

【详解】(1)由余弦定理得2c2=2accosB(tanA+tanB),

即c=acosB(tanA+tanB),

sinAsinB

由正弦定理得sinC=sinAcosB(tanA+tanB)=sinAcosB-----1-----

cosAcosB

.sin(A+B)sinAsinC

=sinAcosB----------=--------

cosAcosBcosA

,/sinC0,/.sinA=cosA,即tanA=l,

(2)由余弦定理得：2=/+°2一•c，则/+c2=2+J^6c.

|初2=J(而+/)2=；/2+62+血儿)=3(1+0历)

b

由正弦定理得『-±-=-^—=2

sinBsinCsinA

所以b=2sinB,c=2sinC,

be=4sinBsinC=4sinBsinsinBeosB+sin2B)=&(-cos2B+sin2B)+忘

=2sin2B-^+四

10

7元冗

因为是锐角三角形，所以2,即:

八兀口兀

0<-3----B<—42

[42

贝—；<牛，,<sin[2B—£）Wl,;.6ccb0,2+^].

中线A。长的取值范围是（W，红出.

24.(2023春•山东滨州•高一统考期末)记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

sin2A—sin2C—sin2B=sinCsinB•

⑴求角A；

(2)若〃=百，求AABC周长的取值范围.

【详解】(1)因为sin?A—sin?。—sin25=sinCsin5,

所以sin?C+sin2B—sin2A=—sinCsinB,

由正弦定理==-7^；,得/+。2一々2=一儿.

sinAsinBsinC

故COSAJ%：-"、」，因为Ae(0,?r),故4=营.

2bc23

b_c_a_yJ3_

(2)由正弦定理得：sin5sinCsinA.2兀，

sin——

3

所以，Z?+c=2sin5+2sinC=2^sinB+sin—Bjj

=2—sinB+^-cosB=2sinfB+—1.

122JI3j

又Bq。,]],则B+所以。+C£(&2],又〃=百,

题型十三：几何图形中的计算

25.（2023秋•福建龙岩・高一统考期末）如图，已知是半径为2的圆的直径，点C,。在圆上运动且CD//AB,

则当梯形ABC。的周长最大时，梯形ABCD的面积为.

【详解】连接AC,设NBAC=6,e0,1,过点。作CE1AB交A5于点E,过点。作。尸交于点尸,

设圆的半径为R,则尺=2,

11

则BC=2Rsva0,BE=BCcos（g-。）=27?sin26,

因为CD//AB,所以存c=加，则AD=3C,即梯形ABCD为等腰梯形，

所以CD=EF=AB—2BE=2R—4Rsin24，

所以GBC。=AB+BC+C£>+ZM=2R+4Rsin0+2R—4Rsin?6»

=8+8sin6»-8sin26>=-8^sin6>-1^+10,

所以当sin9=1，即e=£时，（Gm）1mx=10,

2O

所以3C=2,AB=4,ZABC=-,所以CE=BCsin^=若，C£>=4-8xW=2,

33⑵

所以SABCD=5X（2+4）X形=3,.

故答案为：30

26.（2023秋・浙江•高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在"RC中，点。在边8C上,

BDsin^CAD=ABsm^BAD

⑵若8=23D,sin/BAr>=：,求cosC.

【详解】（1）在△ABD中，由正弦定理知：———=———,BPfiD-sinZBDA=ABsinZBAD

sinABDAsinABAD

又3Dsin/C4D=AB-sin—SAD,

可得sinZCAD=sinNBDA=sinZADC,

在AACD中，所以NC4D=NADC,所以AC=CD.

（2）不妨设80=1,则AC=CD=23D=2

在八406中，由余弦定理知；AD2=AC2+CD2-2ACCDCOSC=8-8COSC

在AABC中同理可知：AB2=13-12cosC

12

在△ABD中，cos/BAD=Vl-sin2^BAD二—二+"'一

42ADAB

岳lO(l-cosC)

gn有--=''

4J(8-8cosc)(13-12cosC)

解得cosC=J.

题型十四：求三角形面积的最值或范围

27.我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法"三斜求积术”,

即的面积S=+,其中“涉,0分别为融。的内角AB,C的对边，若6=1,且

tanC=彩，则AABC的面积的最大值为()

l-V2cosB

A.—B.&C.BD.石

22

【答案】A

【分析】先根据tanC=也芈求出a，c关系,代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.

1-V2cosB

【详解】因为tanC=,所以sinC=0sinCcos5+0cosCsin3，

1—。2cos3

即sinC=V2sin(C+B)=0sinA；

由正弦定理可付c=，所以S=J]ac—I-------------I=—y—ct+6a—1

当a=6时，S取到最大值走.

2

故选：A.

28.在AABC中，角AB,C的对边分别为a,》,c,且满足叵2双=£.

sinBb

⑵点。为边AC的中点，BD=2,^BC=x,CD=y,求ABCD面积的最大值.

【详解】(1)因为6cosc=工,

sinBb

13

所以由正弦定理得6cosc=包£,则逐osC=sinC,故tanC=石，

sinBsinB

IT

X0<C<7t,所以c=§.

(2)在△BCD中，BC=x,CD=y,BD=2,

所以由余弦定理得=Bc2+Cr>2_2BC-CI>cosC,即4=尤2+/-斗

又4=尤2+y2-孙22孙-孙=孙，当且仅当x=y=2时，等号成立，则孙V4,

所以SHBCD=g'工V,sinC=xy<,此时x=y=2,

故△BCD面积的最大值为

题型十五：正余弦性质余与三角函数性质结合应用

29.已知函数/(x)=2sin(0x+e4[0>O,-7TTI\的部分图象如图所示.

(1)求函数AM的解析式；

(2)在锐角疑。中，角A,B,。所对的边分别为。，b,c,若f(A)=6,b=2,且加。的面积为述,

2

求。.

【详解】解：(1)据图象可得3彳7=五57r-卜(§龙"\)=3彳4，故7=万，

由7=237r=万得：0=2.

(1)

+0[=2得：sin+0)=1.

5%2sin|2x—

由/12I12

,7171,715714乃

由一彳<。<彳知，y<—+^<—>

Z2303

5»兀々力〃口兀

•0--^+^7--»斛得9=一丁，

O23

f(x)=2sin^2x-y^；

(2)"(A)=2sin(2A-g]=5.-.sinf2A--V—>

14

71

TTTTTT

2A——二一，..A二一，

333

由题意得AABC的面积为工x2xcxsin&=£^,解得。=3,

232

由余弦定理得〃2=/+。2一2历854=22+32—2、2乂385/=7,解得：a=币.

TT

30.如图所示，扇形AOB,圆心角AQB的大小等于半径为2,在半径0A上有一动点C,过点C作平行于。2

的直线交弧于点P.

(1)若C是半径。4的中点，求线段PC的大小；

(2)设/CO尸=6,求APOC面积的最大值及此时6＞的值.

由。产=OC2+PC2-2OC-PCcos—,

^PC2+PC-3=0,解得尸C=士巫

71

(2)•/CP//OB,ZCPO=ZPOB=一一e,

3

2CP

OPCP

在APOC中，由正弦定理得即21sin。，

sinZPCOsin^sin——

3

OCOP

4——--------4

/.CP=—sin6,又..2"OC=—i=sin

V3sinsm§，有

、31-4

12乃

记APOC的面积为义。)，贝iJS(0=/CPOCsinq-,

x^-=^^sin^-sin

2百

2

cos^-—sin^=2sin9cos6--^sin0

2

7V3

•CQ|百OQ布20.sa兀、6

=sin2,d-----cos2,-------=------sin(2"H——)-------

33363

8=9时，s(e)取得最大值为且.

63

15

题型十六：距离测量问题

31.（2022春•贵州•高一校联考期末）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50。方向直线航行,

30分钟后到达8处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20。，在B处观察灯塔,

其方向是北偏东65,那么B、C两点间的距离是（）

A.10底海里B.106海里C.20近海里D.206海里

【答案】A

【分析】根据给定条件，画出图形，再利用正弦定理解三角形作答.

【详解】依题意，如图，在AABC中，

ZBAC=50°-20°=30°,ZABC=400+65°=105°,则NAC3=45°，AB=40x—=20,

20x__

由正弦定理得.笠g，即=因此=f=10日（海里），

sinZBACsinZACBsm30sm45

~T

所以B、C两点间的距离是100海里.

故选：A

32.（2022春•云南文山•高一统考期末）如图所示，要在两山顶间建一索道，需测量两山顶M、N间的距离.现

选择与山脚&C在同一平面的点A为观测点，从A点测得M点的仰角ZMAC=60。,N点的仰角NNAB=30。以及

NMAN=45。,若AC=100米，48=50#米，则跖V