高一数学重难点专项复习：解三角形图形类问题（六大题型）（解析版）

重难点06解三角形图形类问题

【题型归纳目录】

题型一：妙用两次正弦定理

题型二：两角使用余弦定理

题型三：张角定理与等面积法

题型四：角平分线问题

题型五：中线问题

题型六：高问题

【方法技巧与总结】

解决三角形图形类问题的方法：

方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，

相似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选

择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可

以将其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更

加直观化.

【典型例题】

题型一：妙用两次正弦定理

【例1】（2024.陕西•高三校联考阶段练习）AABC的内角A,民C的对边分别为a,6,c,A。为/BAC平分线，

c:AD:b=>/3:2:2^3.

⑴求一A；

（2）AD上有点M,ZBMC=90°,求tanZABM.

【解析】（1）

设c=«k,AD=2k,b=2^k,S4ABeS&ABD+"AOC，

.*.gbesinA=AD\-.A114z7.A

csin——F—AL)\-0sm—

22112

V3sin—=sinA,V3sin—=2sin—cos—,

2222

A

71,.0.A,——71

263

jr

(2)由(1)知：ZBAD=~,

6

△54D中，BD2=3/+4/-2•限-2hcos'=%2,

6

jrjr

^BD=k,：,BD2+AB2=AD2^故得：NABC=G，NC=7，BC=3k,DC=2k,

2o

5IT

设=中，ZAMB=n-ABAM-ZABM=——0

6

AMAB瓜

sin。.(5K.(5TI,

sm---0sm----0

U)UJ

・・•ZABM+ZMBC=-71=NMCB+NMBC,ZABM=NMCB=0,

2

jr211

AACM中，ZACM=ZACB-ZMCB=一一0,ZAMC=7i-ZM4C-ZACM=—+6>,

63

AMAC2限

/.cos2^-V3cos^sin0-2sin2^=0,*.*夕w5,.二cos。w0,

/.2tan2+V3tan^-l=0=>tan0=石±^1,

4

*/0为锐角，故tan。=.

【变式1-1］（2024・广东惠州•高三统考阶段练习）如图，在平面四边形A3CD中，ZACB=ZADC=90°9

AC=26ZBAC=30°.

B

⑴若CD=5求比)；

(2)若NC8£>=30°,求tan/BDC.

CD1

【解析】(1)在RtZXACD中，cosZACD=——=-,所以NACD=60。，

AC2

在Rt^ABC中，tanZBAC=—=—,所以3c=2,又/ACB=90。，

AC3

所以ZDCB=ZACB+ZACD=150°,

在ABCD中由余弦定理BD2=DC2+BC2-2DC-BCcos/BCD,

即必=(73)2+22-2X2XV3X^-^=13,

所以JTi.

回篇二4,

(2)由已知可得NABC=60。，又NCB£>=30。，所以/ASD=30。，

设£)C=x(0<x<26)，ZBDC=a,则位)=42_/,

^/12^

ADAB2

在△ABD中由正弦定理,即1，所以COS”后7,

sinZABDsinZADB

2

x2

DCBC

在△△工)中由正弦定理，即1sina,所以sina=

sinZCBDsinZCDBx

2

又sin%+c°s%=l,所以少历三=1'解得八号亘或八包瓷，

所以34次=丁或34*=丁

【变式1-2］（2024.江苏徐州.高一统考期末）在①———―,②sinB-cosB=迎二,③AABC

cosBcosCa+c-bc

的面积

S=1^(6sinC+ctanCcosB)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中,

并完成解答.

在AABC中，角A、B、C的对边分别为。、6、C,己知.

⑴求角C；

(2)若点。在边上，且皮)=2AD,cosB=-j1,求tanNBCD.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【解析】(1)若选择①：因为应-=「a：?结合余弦定理COSB=^^£^

cosBcosCa+c-blac

sinA2asinAa

--------------=--------------，即nn--=-

cosBcosClac-cosBcosCc

由正弦定理可得色=粤，所以当=粤，

csinCcosCsmC

又4«0,兀)，所以sinA>0,所以」一=」一，即tanC=l,

cosCsmC

又Ce（O,兀），所以C=；；

若选择②：因为sinB-cosB=®^,

c

结合正弦定理可得sinB-cosB=&sin2-sinA,

sinC

即sinBsinC-cosBsinC=也sinB-sinA=也sinB一sin［兀一（5+C）］,

=夜sinB—sin（5+C）=V2sinB-（sinBcosC+cosBsinC）,

即sinBsinC=V2sinB-sinBcosC，

又3£（0,兀），sinB>0,故sinC=0-cosC，即sinC+cosC=，

所以A/2sin（c+a）=,即sin［c+—=1,

因为C«。，兀），C+斗］，所以C+；=g，得C=3；

'，4<44J424

若选择③：条件即sinCsinA={sinBsinC+sinCsinCeos,

2IcosC）

又。«0,兀），sinC>0,

所以sinAcosC=(sinBcosC+sinCcosB^=sin(B+C),

即sin(兀一A)=sinAcosC,所以^^sinA=sinAcosC,

又因为人£（0,兀），则sinA>0,所以cosC=孝,

又因为。£（0,兀），所以c三.

TT

(2)设NBCD=6,贝UNACO=一—0.

4

所以sinA=sin[兀一(8+0]

CDADCD

在△ACD中，由正弦定理可得即而=

sinA-sinZACD，

12

在△△工）中，同理可得，CD=B,

BD~sin0

iQ__J2——

因为=所以---7--x=­Z，即26—13,

2sin[j-eJ^2cos0-41sin6sin8

2424

整理得tan6»=wpBPtanZBCD=—.

题型二：两角使用余弦定理

【例2】（2024•湖北武汉•统考一模）如图，AABC内一点尸满足尸3,尸C,AC=3P=2.

(1)若A8=«,PC=0,求sin/ACP的值;

(2)若A2=J?,sin』ACP=^-,求"的长.

【解析】(1)BC=yjBP2+PC2止匕时cosNPC8=%=¥=3,sin/PCB="=,=，^

BC，63BC。63

AC2+BC2-AB2_76

在“IBC中,cos/ACB=

2ACBC~~6

廊

又sirL/ACB>0,故sin—ACB=

~6~

所以sin^ACP=sin(/ACB-NPCB)=sinNACBcosNPCB-cos-ACBsin/PCB

V30昱_显V6V10-2

~~6~~36~'~3~~~6~

AP+BPAB

(2)设AP=x(x>0),在A4P8中，cos^APB='~-'=

2APBP4x

APAri

在△•(7中,------------，代入得：sin^APC=—.

sin/ACPsin/APC--------------------------------5x

又/APB+NAPC=—,故cos/APB=cos1万-/APCj=一sin/APC.

即f=-1，解得.一=£,所以”看

【变式2-1](2024・广东汕头.高一统考期末)如图，在AABC中，点尸在3C边上，AOAP,NR4c=60。,

PC=2币，AP+AC=10.

(1)求sinZACP的值；

(2)若AAP3的面积是96,求A3的长.

【解析】分析：(1)在AAPC中，由余弦定理得Ap2-10AP+24=0,解得AP=4,再由正弦定理即可得出

答案；

（2）利用三角形面积公式可求C8=5A/7,进而利用余弦定理可求AB.

（1）在MFC中，ZPAC=60°,PC=2币,AP+AC=10,

2

由余弦定理得PC?=+（io-AP）-2AP（10-AP）cos60°,

28=AP2+（10-AP）2-AP（10-AP）

整理得AP2_10Ap+24=0,解得AP=4或AP=6,

因为AC>AP,所以AP=4,AC=6,

由正弦定理———=———得一--=包二，

sinZACPsinZPACsinZACPsin60°

解得sin/ACP=画.

7

（2）因为NR4c=60。,由（1）知AP=4,AC=6.

所以AAPC的面积5AApc=；x4x6sin60°=6若，

又AAPB的面积是96，

所以\ACB的面积SMCB=9右+6白=15右

S.ArK=-CBCA-sinZACP=-CB-6x—=156,

AACB227

解得CB=5币,

又因为AP<AC,所以/ACP必为锐角，

cosZACP=Vl-sin2ZACP=-,

在AABC中，由余弦定理得AB?=C42+CB2_2C4C8-COSZACP,=G+6币Y-2x6x5币-=91

7

AB=5

PCAPAC

（1）解法2：设NACP=6,在AAPC中，由正弦定理得不=荷=8n万），

3I3；

5币下）回\V21

=---X--------X—=----

1421427

I—PCAP

1--------=----------------

（2）解法2：由（1）知sin/ACP=",在AAPC中，由正弦定理得.冗sinZACP

7sm—

/3

解得AP=4,AC=6,

在MPC中，由余弦定理得cos/APC=4?+仅⑺-6?=也，

2x4x2近14

cosZAPB=-cosZAPC=--，

14

sinZAPC=sinZAPB=.1——

V2814

又AAPB的面积是94，

=白4.尸小＜呼=9班,

..SAAPB

解得PB=3币,

在AAPB中，由余弦定理得,

222

AB=（3A/7）+4-2x3-77x4x=91,

AB=屈.

【变式2-2］（2021•全国•统考高考真题）记AASC是内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知b1=ac,

点。在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2OC,求cos/ABC.

【解析】(1)设AABC的外接圆半径为凡由正弦定理,

hC

得sinZABC=——,sinC=——,

2R2R

bc

因为5DsinNABC=〃sinC,所以BD•——=a•——,即乃=〃c.

2R2R

又因为Z;2=QC,所以BD=b.

（2）［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理

因为4）=20。，如图，在AABC中，cosC=3汇~,①

2ab

3

由①②得。=3/+(§)2_人2,整理得2/一丁=。.

又因为〃=心所以6/—11改+3，=0,解得〃或〃=+，

当。=£,"=ac=J时，a+b——+-<c(舍去).

3333

当〃=——,Z?12=ac=――时，cosZ.ABC=-----二—

220z--3-c--c12

2

7

所以cos/4BC=—.

12

［方法二］:等面积法和三角形相似

2

如图，已知AD=2DC,则4A8D=_S^ABC，

1221

即一x—〃sinZADB=—x—acxsinZABC,

2332

A

故有/4ZM=NABC,从而NABD=NC.

hr

nnCABARn

由〃=ac,即2=即---=---,即△AC50°AABZ），

abCBBD

2b

,,ADAB

故一=—即3=c，

ABAC

cb

2

又b1=ac,所以c=§〃，

则cosZABC=0+L"7

lac12

［方法三］：正弦定理、余弦定理相结合

21

由（1）知5D=〃=AC,再由AT>=2O。得AO=—b,CO=—b.

33

ADBD

在△4)5中，由正弦定理得

sinZABDsinA

2

又/4BD=NC,所以3b,化简得sinC=—sinA.

------=-------3

sinCsinA

2?

在AABC中，由正弦定理知c=§a,又由所以廿=§].

24222

2.272ciH—a—3a7

在URC中，由余弦定理，得cos/A8C=":一=—=4

2ac2cx—2a212

3

7

故cosZ4BC=—.

［方法四］:构造辅助线利用相似的性质

如图，作。石〃AB,交BC于点E,则△DECs△/Re.

由AD=2OC,得DE=£,EC=4,BE="

333

（手+qi

在ABED中，cos/BED=

c2ac

33

„22_,2

在^ABC中cosZABC=巴士——

2ac

因为cosZABC=-cosABED,

a2+c2-b2苧+（f）2"

所以

2ac2-fi

整理得6/_1m2+3C2=0.

又因为Zj=ac,所以6/-llac+3c2=0,

r3

即〃=—或〃=—C.

32

下同解法1.

［方法五］:平面向量基本定理

,一一UUIUUUUL

因为AD=2OC,所以AD=2r)C.

___2__.1__.

以向量A4,3c为基底，BD=—BC+—BA.

所以而2d配Qd丽+1丽2,

999

441

即b1=—a2+—accosAABC+—c2,

999

又因为〃=ac,所以9ac=4a2+4ac-cosZABC+c2-③

由余弦定理得b2=a2+c2-2accosZABC，

所以QC=/+，一2〃ccosZABC④

联立③④,得6片-ll〃c+3c2=0.

31

所以〃=一。或〃=一

23

下同解法1.

［方法六］:建系求解

以。为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点。垂直于AC的直线为y轴,

DC长为单位长度建立直角坐标系，

如图所示，则0（0,0）,A（—2,0）,C（1,0）.

由（1）知，BD=b=AC=3,所以点8在以。为圆心，3为半径的圆上运动.

设g（x,y）（-3<x<3）,则*2+城=9.⑤

由匕2=改知，忸却忸6=恒4，

即J（尤+2］+/.］（尤_1）2+9=9.@

77Q5

联立⑤⑥解得X=-—或元（舍去），

4216

代入⑥式得a=|5C|=c=\BA\=V6,/?=3,

2

由余弦定理得cosZABC=--------------=—.

2ac12

【整体点评】（2）方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的

性质解题；

方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似

是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；

方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；

方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将

其与余弦定理充分结合到一起；

方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直

观化.

题型三：张角定理与等面积法

【例3】（2024•广东・统考一模）已知△ABC中，。，4c分别为内角A,B,C的对边，且

2asinA=（2Z>+c）sinB+（2c+Z?）sinC.

（1）求角A的大小；

（2）设点。为BC上一点，AD是"1BC的角平分线，且AD=2,b=3,求U1BC的面积.

【解析】（1）在△ABC中，由正弦定理及2asinA=（2/?+c）sinB+（2c+b）sinC得：a2-b2-bc^c2,..

由余弦定理得cosA=

2bc2

X0<A<7t,所以4=看

IT

（2）AD是AABC的角平分线，ZBAD=ZDAC=~,

[271171171

由SAABC=SJBD+S.CAD可得/人—=~cxADxsin-+-bxADxsm-

因为Z?=3,AD=2,即有3c=2c+6,c=6,

1

+frQ1,..OA973

改SARC=—t?csinA=—x3x6x——=-----

△ABC2222

【变式3-1]（2024.贵州黔东南.凯里一中校考一模）已知△A3C的内角A,B,。的对边分别为〃，b,c,且

2asinA=（2Z?+c）sin5+（2c+Z?）sinC.

⑴求A的大小；

（2）设点。为5。上一点，AZ）是△A3C的角平分线，且AZ）=4,AC=6,求△A3C的面积.

【解析】（1）因为2asinA=（2Z?+c）sin_B+（2c+））sinC

所以根据正弦定理得：24=（给+。）》+（2。+3。

BP+/+儿

由余弦定理得：a2=c2+b2-2bccosA

4A1

故cosA=——

2

又A«0㈤

所以4=专.

（2）因为AD是△ABC的角平分线，由JABD+=Sjsc，

得：—AB-4sin—+—x4x6sin—=—AB-6sin^,

232323

所以A5=12

故=-AB-ACsin—=-xl2x6x^-=18V3.

△ABC2322

【变式3-2］（2024.山西晋中•统考模拟预测）在41BC中，角A,2,C的对边分别是a,b,c,且2&cosC=2a+c.

（1）求角2的大小；

（2）若6=2百，。为AC边上的一点，BD=1,且______,求AABC的面积.

①3。是N3的平分线；②。为线段AC的中点.（从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作

答）.

【解析】（1）由正弦定理知：2sinBcosC=2sinA+sinC

又：sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC

代入上式可得：2cos5sinC+sinC=。

Ce（0,7i）,则sinC>0

故有：cosB=——

又3e（O,兀），则8=彳

2兀

故的大小为：y

（2）若选①：

由BD平分/ABC得：^AABC-S^ABD+

则有：—tzcsin——=-xlxcsin—+—xlxdfsin—,即ac=a+c

32

在AABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c2—2accos

又Z?=2A/5，则有：a2+c2+ac=12

ac=a+c

联立

a2+c2+ac—12

可得：（ac-ac-12=0

解得：QC=4（ac=—3舍去）

若选②：

可得：BD=-\BA+BC\fBD=-BA+BC=-BA+2BABC+BC

c2+2cQCCOS——乙儿+a可得：a2+c2—ac=4

3

在AABC中，由余弦定理可得：b2=a2+c~-2accosa2+c2+ac=12

、，、a?+—ac—4

联立

/+/+（2C=12

解得：ac=4

_LL12711yfinr

nxd=—acsm——=—x4x——=73

△AA4BRCr2322

题型四：角平分线问题

【例4】（2024•江苏盐城•高一统考期末）已知三角形ABC,AB=4,AC=2

（1）若A=g且为N1MC的平分线，D为BC上点、,求怨的值.

（2）若BC=3,BD=2DC>求4。的长

【解析】（1）由S.=5皿+久48，

^-ABACsin-=-ADABsin-+-ADACsin-,

232626

BP-x4x2x^-=-.AZ)x4x-+l.ADx2x-,

222222

得4。=拽

3

在AABC中，BCAAB?+这一2池•ACcosA=2今

由2AD2

所以法=]

(2)因为5C=3,彷=2或知&)=2,DC=\,

2

Vr,品Tt/八l4l/Ar\T->BD?+AZ)—A.B^4+心一16

在二角形ABD中cosZADB=-----------------------

2BDAD4AD

在三角形A。中c°s/AOC=包洸产1+4。2-4

--2AD-

因为/4D3+/ADC=TT,所以cosNADB+cos/ADC=0,

4+AD2-16l+AZ)2-4八

即Hn----------+----------=0，

4AD2AD

解得AD=

【变式4-1]（2024・四川成都.高一树德中学校考阶段练习）在&4BC中，角A民C所对的边分别为。力,c,

且垂ibsin'：0=qsinB,边BC上有一动点。.

(1)当。为边BC中点时，若AD=C,b=2,求c的长度；

(2)当AD为/SAC的平分线时，若a=4,求AD的最大值.

【解析】(1)因为6bsinB+C=asinB,

2

所以石bsin—~—=asinB,即-S/3/JCOS—=asinB.

22

LA

由正弦定理，得v3sinBcos—=sinA-sinB.

2

广AAA

因为sinBwO,所以，(：05—=51114=25111—以)5—.

222

因为cos^wO,所以sin4=W.

222

又因为。＜5＜会所以「三，所以A=g.

因为。为边BC中点，所以2而=都+/，则4瓦42=(通+/y.

又AD=Rb=2,A=2,

3

27r

2

所以12=c2+4+4c-cos5，gpc-2c-8=0,即(c-4)(c+2)=0,

所以c=4.

(2)在"1BC中，由余弦定理，得片=62+c2-2bc.cos/A4C.

又。=4,/胡C=§27r,所以16=廿+，+6。，

2

所以16=(。+c)2-be2(Z?+c)2一S+"=—(b+c),当且仅当Z?=c时取等号,

44

所以S+c)24",所以4＜6+cV逆.

33

27r

因为=S,ABD+^ACD,AD平分ZBAC,ZBAC=—,

r-r-［、I17,27r1,.c.兀14y-».TC

所以一0c•sm——=—b-AD•sm—+—c•AD-sin—,

232323

所以Z?c=AD•伍+c),

所以AO=匹(6+C)2-16,16

---------------=b+c---------

b+cb+cb+c

令，=/?+c,贝!1A0=£-：,4</W4.

因为y=人?在［4,孚］上单调递增，

所以当"延即6=c=勺8时，y取得最大值为其1,

333

所以AD的最大值为2叵.

3

题型五：中线问题

【例5】(2024.辽宁大连.高一校联考期末)在A/RC中，内角A,B,。的对边分别为mb,c,c=2b,

2sinA=3sin2C.

(l^sinC；

⑵若AABC的面积为6占，求A5边上的中线的长.

【解析】(1)因为2sinA=3sin2C,

所以2sinA=6sinCeosC,

所以2〃=6ccosC,

即〃=3ccosC,

所以cosC=9,

3c

由余弦定理及c=2Z?得:

cosC+i/+6-4匕八36?

2ablablab

又cosC=-=—,

3c6b

所以芸

日口3^2

即〃=---b,

2

11f—

(2)由SAM=—〃bsinC=一仓必b-----=6近，

a224

所以"二24后，

i,,1、3A/2

由（I）a=-----b，

2

所以Z?=4,a=6^2,

因为CD为A3边上的中线,

所以国+阚，

/

1

=—x16+72+2x4x6^/2x

4

=28,

所以幽=2近，

所以A8边上的中线CD的长为2g.

【变式5-1］（2024.四川雅安・高一雅安中学校考阶段练习）如图，在AABC中，内角A,B,C的对边分别

为a,b,c.已知万=3,c=6,sin2C=sin3,且AD为8C边上的中线，AE为NB4C的角平分线.

A

⑴求cosC及线段3c的长；

(2)求丫4)£的面积.

【解析】(1)由题意在AABC中,sin2C=sinB,2sinCeosC=sinB,

/.2ccosC=b,而Z?=3,c=6,cosC=—,

4

由余弦定理得cosC=——=—a=6(Q=—x舍去)，BPBC=6.

6a42

(2)在AABC中，cosC=!>0,g],；.sinC=巫，

4I2j4

S=ic4-CBsinC=ix3x6x^-=^^-,

iABC2244

平分/BAC,sinZBAE=sinZCAE,

BE_A3CE_AC

由正弦定理得:

sinNBAEsin/AEB'sinZCAEsinZAEC

其中sinZAEB=sinZAEC,

:墨啮=2,贝"“0=；A'、「•S"c=|SAABC，

为BC边的中线，...心4=：1.，

•<_c_c_lv1、,9后3后

d-X~

,*2ADE—之犯C-AEC一工3AABCT---Q-"

Ao648

【变式5-2］（2024.福建厦门.高一厦门市松柏中学校考阶段练习）在AABC中，角A、B、。的对边分别为服

b、c,且满足〃2-/-02+^c=0,2Z?sinA=a,8c边上中线AM的长为J7.

（1）求角A和角8的大小；

（2）求AABC的面积.

【解析】（1）由/一从+石儿=0,^b1+c2—a1=\［3bc.

所以由余弦定理得cosA="+02一）=立,因为Ae（o,万），所以A=g,

26c26

由2bsinA=a,根据正弦定理得2sin5sinA=sinA,

因为sinAwO,所以sinB=:，因为竽］,所以B=1；

2ko/。

2万1

(2)由(1)得。=-,所以cosC=—

^AC=BC=x,在八4。1中，由余弦定理得AMW+0-=

42(2)

解得x=2,所以%,x2x2xY^=百.

Z-\A£>C22<

题型六：高问题

【例6】(2024•山东青岛•高三青岛二中校考期末)记AABC的内角ABC的对边分别为〃也。，已知

tanB=—tanC.

2

(1)求匚竺的值；

a

(2)若°=历，且41BC的周长为7+01,求边6上的高.

【解析】(1)由tan8=：tanC,可得当=(吗，

2cosB2cosC

所以2sinBcosC=sinCcosB,

又由正弦定理和余弦定理，可得止•E=c・°Ci

2ab2ac

整理得3卜2一万2)=/,所以《卢=；.

(2)由a=0T,且AABC的周长为7+J万，可得b+c=7,

又由(1)可知，c1-b。==1,即(c+b)(c-b)=7,

、\b+c=7

所以“联立方程组一“解得U,

32+42-(V21)2_1

所以COSA/K"

2bc2x3x4~6

则sinA=A/1-COS2A

所以边b上的高为Zz=csinA=4x/Z-2A

63

【变式6・1】(2024.吉林长春.高一长春吉大附中实验学校校考期末)在“IBC中，内角A、B、。的对边分别

为〃、b、c,其面积为S,且满足百池•衣+25=疯?c.

(1)求角A的大小;

⑵设3。边上的高AD=1,求S的最小值.

【解析】(1)由道丽•/+2S=疯?。可得6b•ccosA+2x；Z?csinA=gbc,

cosA+lsinJ

即gcosA+sinA=贝I273,故sin卜十三卜

2J2

Ed471(兀4兀)712兀A71

因为人+可£鼻,-^-,i^A+—=—f贝IJA=Q.

(2)由题意S^BC=gbc#=；AO-BC=；a,所以a=/bc①

而。2=从+4—2)ccos60。=Z?2+c2—bc>2bc—bc

所以/2bc，当且仅当b=c时等号成立②

由①②两式可知，bc>^,当且仅当6=c=2叵时取等，

33

所以S；=*cN4，即AABC面积的最小值为£.

【变式6-2](2024.江苏苏州.高三统考期末)在①，BAC的平分线长为2：②。为BC中点，AD=旦;③

52

Aa为8C边上的高，4”=士巨这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题.

19

△ABC中，角A,B,。的对边为“，b,。，已知人=2,2cosA=3-acos&

⑴求。；

(2)若求/BAC的大小.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】(1)由人=2及28sA=3—acos3得bcosA=3—〃8s3,

即bcosA+acosB=3f

由余弦定理得b-+a-/+丁一二=3,

2bclac

所以c=3.

(2)若选①：

记NBAC=29,/BAC的平分线交8。于。，

则S△ABCS&ABD+S4ACD，

即-^besin20=-^b-AZ)sin0-\-^c-ADsin0,

即6sin26>=ysin6>+ysin6>,即sin2。=sin。，所以2sin9cos9=sin0,

因为所以sinOHO,从而cos6=；,即6=

所以ZBAC遣2I.T

若选②：

由于。为BC中点，所以而=g(通+无弓，

SP4AD2=AB2+AC2+2AB-AC-

又因为|而卜当，|周=3,|而|=2,所以血.正=一3,

即［通口相•cosABAC=-3,所以cosABAC=-1,

又因为NBACe（O,兀），

所以如C=q2兀.

若选③：

由于AH为BC边上的高，

222

在RtAJS4H中，BH=AB-AH=9--^^=^,所以BH=1^,

iviV1vIy

在Rt△。^中，C"2=AC2-A序=4一番系=音，所以CH=2取,

1^7A1371V

所以BC=BH+CH=屈，

由余弦定理得cosZBAC=右瞪；六9+4—191

2x3x22

又因为ZBACe（O,7r）,

2兀

所以4AC=」

3

【过关测试】

1.(2024.宁夏银川•高一银川一中校考期末)在梯形ABC。中，AB//CD,CD=2,ZADC=120°,

c°sNC3窖

(1)求AC的长