高一数学重难点专项复习：利用传统方法解决二面角问题（五大题型）（原卷版）

重难点专题14利用传统方法解决二面角问题

【题型归纳目录】

题型一：定义法

题型二：三垂线法

题型三：垂面法

题型四：射影面积法

题型五：补棱法

【方法技巧与总结】

二面角的求法

法一：定义法

在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角，如

图在二面角。-/-力的棱上任取一点O,以。为垂足，分别在半平面。和户内作垂直于棱的射线和OB,

则射线Q4和OB所成的角称为二面角的平面角（当然两条垂线的垂足点可以不相同，那求二面角就相当于

求两条异面直线的夹角即可）.

法二：三垂线法

在面a或面刀内找一合适的点A,作AO_L分于O,过A作AB_Lc于3,则30为斜线在面£内的

射影，为二面角a-c-"的平面角.如图1,具体步骤：

①找点做面的垂线；即过点A,作A0_L/于O；

②过点（与①中是同一个点）做交线的垂线；即过A作ABLc于3,连接30；

③计算：NA5O为二面角a-c-尸的平面角，在也中解三角形.

图1图2图3

法三：射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面

S射_S△A'B'C'

积公式（cos<9=如图2）求出二面角的大小;

S斜S«ABC

法四：补棱法

当构成二面角的两个半平面没有明确交线时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补

棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题.当二平面没有明确的交线时，也可直接用法三的摄影面积法

解题.

法五：垂面法

由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二

面角的平面角.

【典型例题】

题型一：定义法

【典例1-1】（2024.高一.浙江金华•期中）如图，在三棱锥尸—ABC中，AB^AC,。为BC的中点，PO1

平面A5C,垂足。落在线段AD上.

⑴证明：AP1BC；

⑵已知BC=8,AO=3,OD=2,且直线尸3与平面PAD所成角的正弦值为石.

①求此三棱锥P-ABC的体积；

②求二面角3-AP-C的大小.

【典例1-2】（2024.高二.全国・专题练习）四边形ABCD是正方形，PAL平面ABC。，且上4=求:

p

(1)二面角A-PD-C的平面角的度数;

(2)二面角B-R4-O的平面角的度数;

(3)二面角B-24-C的平面角的度数.

【变式1-1](2024•高三・甘肃•阶段练习)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ADHBC,

ZBCD=90°,PA=PB,PC=PD.

P

(1)证明：8与平面PAD不垂直；

(2)证明：平面PAB_L平面ABCD；

(3)如果8=")+3。，二面角尸—3C-A等于60。，求二面角尸―CD—A的大小.

题型二：三垂线法

【典例2-1】(2024.高二.浙江金华.期末)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，AB=2,ZBAD=60°,

对角线人。,8。交于点。,尸。，平面458,平面。是过直线AB的一个平面，与棱PC,交于点瓦尸，且

PE=-PC.

4

p

(2)若平面口交尸。于点T,求黑的值;

⑶若二面角£-AB-C的大小为45。，求尸O的长.

【典例2-2】(2024・高二•上海普陀・期末)如图，在三棱锥O-ABC中，平面ACDL平面ABC,

AD1.AC,ABJ.BC,E、尸分别为棱3C、8的中点.

(1)求证：直线所〃平面ABD;

(2)若直线8与平面ABC所成的角为45。，直线8与平面所成角为30。，求二面角3-AD-C的大

小.

【变式2-1](2024・高三.全国・专题练习)如图，正方体ABCD-ABGA的棱长为1.在棱AB上是否存在

一点使得二面角A-叫-C等于12。。？若存在，求出需的值；若不存在，说明理由.

题型三：垂面法

【典例3-1](2024.高二・四川成都•阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为矩形，平面

PAD，底面ABCD,为正三角形，E是的中点，AD=2,AB=4.

⑴求点C到平面PDE的距离.

(2)求二面角D-PE-C的余弦值.

【典例3-2】（2024•高一・江苏苏州•阶段练习）在三棱台ABC-A再G中，

AB±AC,AB=2AlBl=2,AC=272,CQ=2,ZA,AC=ZA,CA,且平面ACAG_L平面ABC.

(1)求证：平面ABC,平面ABG;

(2)求二面角A-AC-8的正弦值.

题型四：射影面积法

【典例4-1】(2024・四川宜宾.一模)如图所示，AABC是正三角形，平面ABC,AE//CD,

AE=AB=2,CD=1,且尸为8E的中点.

(1)求证：叱〃平面ABC；

(2)求平面与平面ABC所成二面角的正弦值.

【典例4-2】(2024•高二・广东广州•期中)如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点C是下底面圆周上异

(1)求证：A8_L平面BCOE；

(2)若AB=6,BC=3,圆柱的母线长为26，求平面ADE与平面A3C所成的锐二面角的余弦值.

【变式4-1］如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为正方形，平面

ABCD,PA=AB=a,求平面PBA与平面PDC所成二面角的大小.

题型五：补棱法

【典例5-1】（2024•山东淄博.高一统考期末）如图，已知正方体ABCD-AgC.的棱长为2,M、N分别

为棱2瓦、3C的中点.

（1）证明：直线DN〃平面AMR；

⑵设平面AMR与平面A3CD的交线为/,求点M到直线/的距离及二面角A-/-。的余弦值.

【典例5-2】（2024.湖南常德•高一临澧县第一中学校考期末）《九章算术》是中国古代的一部数学专著，是

《算经十书》中最重要的一部，成于公元一世纪左右.它是一本综合性的历史著作，是当时世界上最简练有

效的应用数学，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系.《九章算术》中将由四个直角三角形组成

的四面体称为“鳖麝”，己知在三棱锥尸-ABC中，PAL平面ABC.

p

(l)从三棱锥尸-ABC中选择合适的两条棱填空：1,则三棱锥尸-ABC为“鳖赚;

(2)如图，已知垂足为£),AELPC,垂足为E,ZABC=90°.

(i)证明：平面ADE_L平面PAC；

(ii)设平面ADE与平面ABC交线为/,若PA=2石，AC=2,求二面角E-/-C的大小.

【变式5-1](2024.黑龙江牡丹江•高一牡丹江一中校考期末)如图，A3是圆。的直径，点C是圆。上异

于A,8的点，直线PC,平面ABC,E,尸分别是R4,PC的中点.

(1)记平面BEF与平面ABC的交线为/,试判断直线/与平面PAC的位置关系，并加以证明;

(2)设PC=2AB=4,求二面角E-/-C大小的取值范围.

【过关测试】

1.(2024.高一.辽宁丹东•期末)如图(1)所示，ZABC=ZACD=90°,AB=BC=®/G4D=3O。，如

图(2)所示，把AABC沿AC折起，使平面ABC4平面ACD,E为AO的中点，连接3£),BE,EC.

图⑴图⑵

(1)求证：平面ABD_L平面BCD；

(2)求二面角E-BC—O的正弦值.

2.(2024.高一.福建三明・期末)如图,在四棱锥P—ASCD中，PAJL平面ABC，AD//BC,ADLCD,

5.AD=CD=2,BC=4,PA=^2.

⑴求证：AB1PC；

⑵在线段PO上是否存在一点M‘使得与平面ABCD所成角的正切值为等‘若存在‘求二面角

V-AC-D的大小，若不存在，请说明理由.

3.(2024・高一・贵州安顺•期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，24,平面

ABCD,/是边AD上一点，且满足A5cM是正方形，AB=l,PA=2.

p

(1)求证：平面PBM_L平面PAC；

(2)已知：ATO=2(0<^<2),二面角尸-CD-A的平面角为。.是否存在4,使得tan。=血？若存在,

求出2；若不存在，说明理由.

4.(2024・高一・河南商丘・期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCO是菱形.

(1)若点£■是PD的中点，证明：PF〃平面ACE；

(2)若上4=PD=AD,ABAD=120°,且平面平面ABCD,求二面角尸-AC-O的正弦值.

5.(2024•高一.云南玉溪•期末)如图，三棱锥尸-MC的底面“IfiC是等腰直角三角形，其中

AB=AC=PA=PB=2,平面平面A8C,点E,N分别是AB,8c的中点.

(1)证明：EN1平面B4B；

⑵求二面角C-PB-A的余弦值.

6.（2024・高一・安徽芜湖・期末）如图，在三棱台ABC-D防中，ZACB=90\BF±AD,BC=2,

BE=EF=FC=1.

(1)求证：平面3CEE_L平面ABC；

JT

(2)若直线AE与平面BCFE所成角为§,求平面DEC和平面ABC所成角的正切值.

7.(2024.高一.江西萍乡•期末)在如图所示的空间几何体中，两等边三角形AACD与AABC互相垂直,

AC=BE=2,DE〃平面48C,且点E在平面ABC内的射影落在/48C的平分线上.

⑴求证：/汨/平面48；

(2)求二面角。-AC—E的正切值.

8.(2024.高一.重庆江津.期末)如图，已知四棱锥尸一ABC。的底面ABCD是边长为2的正方形,

PA=PB=3,E,尸分别是A瓦的中点.

(1)求证：平面PCD_L平面PEF；

(2)当直线R4与平面PC。所成角的正弦值最大时，求此时二面角P-AB-C的余弦值.

9.(2024・高一・浙江湖州•阶段练习)已知平面四边形ABC。，AB=AD^2,Z&4D=60°,ZBCD30°,

现将△AB。沿80边折起，使得平面平面BCD,此时AD，8,点尸为线段A£＞的中点.

C

(1)求证：平面ACD；

(2)若M为8的中点，求与平面3PC所成角的正弦值；

(3)在(2)的条件下，求二面角尸-NM-O的平面角的余弦值.

10.(2024.高一.河南开封.期末)如图1,四边形48(第是边长为2的正方形，将AACD沿AC折叠，使点

。到达点E的位置(如图2),且EB=&.

图1图2

(1)求证：AClEfi；

(2)求二面角E-AC-8的大小.

11.(2024・高一・贵州铜仁・期末)四棱锥尸-ASCD中，底面ABCD为矩形，AB=1,AD=BPA=2,

PD=1.

BC

(1)平面BBC与平面上的交线为/,证明：1//AD-,

⑵PB=m,求二面角A—依―D的余弦值.

12.(2024・高一・福建福州・期末)如图1所示，在矩形ABCD中AB=4,8