高一数学重难点专项复习：妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题（五大题型）（解析版）

重难点专题04妙用等和线解决平面向量系数和差商方问题

【题型归纳目录】

题型一：x+y问题（系数为1）

题型二：侬:+型问题（系数不为1）

题型三：〃既-利问题

题型四：一+—问题

xy

题型五：mx2+町2问题

【方法技巧与总结】

（1）平面向量共线定理

已知乐=2而+〃无，若2+〃=1,则A,3,C三点共线；反之亦然。

（2）等和线

平面内一组基底函，砺及任一向量而，历=2次+〃丽（2,〃eR）,若点P在直线钻上或者在平行

于的的直线上，则彳+〃=左（定值），反之也成立，我们把直线钻以及与直线AB平行的直线称为等和线。

①当等和线恰为直线AB时，k=l；

②当等和线在O点和直线9之间时，*£（0,1）;

③当直线"在点O和等和线之间时，）te（l,+w）；

④当等和线过O点时，k=O;

⑤若两等和线关于。点对称，则定值%互为相反数；

【典型例题】

题型一：x+y问题（系数为1）

【例1】（2024•山东滨州・统考一模）在AABC中，M为3c边上任意一点，N为线段AM上任意一点，若

AN=AAB+//AC（2,，wR）,则2+〃的取值范围是（）

A.0,|B.C.[0,1]D.[1,2]

【答案】C

【解析】由题意，设丽=/布T，（0<?<1）,

A

当，=0时，丽=6，所以丸通+以*=6,

所以4=〃=0,从而有4+4=0；

当。<141时，因为丽=2屈+〃正(A,〃£R),

所以tAM=A,AB+uA.C'>即AA/=—AB+—AC,

tt

因为M、B、C三点共线，所以3+：=1,即2+〃=re（O』.

综上，几+〃的取值范围是[。/].

故选：C.

【变式7】如图，O河〃AB,点P由射线OM,线段。3及A5的延长线围成的阴影区域内（不含边界）,

且QP=MM+yO3，则实数对（乂y）可以是（）

22£7

C.D.

5,5

【解析】由OM〃AB,设初=4加，且丸>0,

uunuun、uunuunuuix

OB-AB\+yOB=(x+y)OB-xWM

|x+y>0Ix+y>0

由图可知,因…,所以…,故人。错;

1

X=——

7^时，x+y>l

当点尸在A3的右上方，不满足题意，故D错.

故选：B.

TT

【变式1-2X2024•上海浦东新•高三上海市建平中学校考开学考试）已知AABC的外接圆圆心为0,=f，

6

^AO=xAB+yAC（x,y&R）,则*+>的最大值为（）

A.4+2石B.4-2括C.BD.逅

24

【答案】B

【解析】如图，过点。作COLM,OE1AC

­.OA=OB,OA=OC,••.VQ48和AOAC是等腰三角形，

，。为A3中点，E为AC中点，

4叫I____JUUflUUJflIUUDIlUlffli

设网=a,M=b,则48.4。=网./回看7r=三油

UUttuumiuuniIUUHIuufliiuumii

ABAO=\ABi\AO\cosZBAO=AB^AD^=-a2

uumuuoIUUHIlUumiIUUKIiuunii

AC-AO=|AC|-1AO|cosZCAO=|AB|-|AE|=-Z?2

UUIULILIUUUU

QAO=xAB+yAC,

uunuunuun/uunuumuunuunumn15

ABAO=AB•(xAB+yACjx=xAB2+yABAC,BR-i-tz2

uunuumuum/uunuumxumn2uunuumiR

ACAO=AC•yxAB+yACj=yAC+xABAC9即+三皿

联立解得：x=2-叵，y=2-县

ab

x+y=2-息+2-&=4-同&3卜4-2反归2=4-2君

ab^（7b）\ab

当且仅当2=1,即。=6时，等号成立.

ab

所以x+y的最大值为4-2后

故选：B

A

题型二：+问题（系数不为1）

【例2】（2024•江苏南京•高一南京师大附中校考期末）在扇形中，ZAOB=60。，|况|=1,C为弧A3上

的一个动点，且元=砺.则x+4y的取值范围为（）

A.[1,4）B.[1,4]C.[2,3）D.[2,3]

【答案】B

又OC=xOA+yOB,

八元

cos"=一+y

2

则

si.n6a=——出x

2

1

。

y=cos6-忑sin

则

2.八

x=—sine

V3

贝Ux+3y=-2fsing+4cos0,

又de[0。,60。],

易矢口/（0）=-¥sin0+4cos。为减函数，

由单调性易得其值域为[1,4].

故选：B.

【变式2-1]（2024.安徽合肥•高三阶段练习）如图，在扇形中，ZAOB=60°,C为弧A3上且与A,8不

重合的一个动点，且觉=x35+y砺，若〃=（2>0）存在最大值，则4的取值范围为（）

A

A.(1,3)B.(1,3)C.(1,1)D.(1,2)

【答案】D

【解析】设扇形所在圆的半径为1,以所在的直线为x轴，。为原点建立平面直角坐标系,

设"02=。(。€呜))，则C(cos0,sind),8(1,0),尺,当，由题意可得

厂cos^=x+—yx=-j=sin6

(cos0,sin0)=x(l,0)+y(：,=)n{/={'.〃

22.73asin.

sin0=——yy=cos6---j=-

2—2(

令/⑻=〃=%+4>=—sin+2cos0,0\0,

则f(0)在ee[o,上不是单调函数，从而广⑹=宠cos"2sine在ejo,上一定有零点

2—2(。,口时有解,

即tan0――-j=—在6£可得道彳e(0,6)

A/3Z

解得/leg,2),经检验此时/G)取得最大值

故答案选。

【变式2-21(多选题)(2024•河北唐山・高二唐山一中校考阶段练习)如图，圆。是边长为2道的等边三角

形A8C的内切圆，其与BC边相切于点。，点M为圆上任意一点，BM=xBA+yBD(x,yeR),贝|2x+y

可以取值为()

【答案】CD

【解析】根据三角形面积公式得到|xZwxr=5=1xABxACxsin600,可得到内切圆的半径为1；

以。点为原点，BC所在直线为x轴，所在直线为y轴，建立坐标系,

可得到点的坐标为：B(-V3,0),C(>/3,0),A(0,3),0(0,0),"(cos。,1+sin6),

W=(cos6>+A/3,1+sin6»),丽=(百,3),而=也0),

"：BM=xBA+yBD

.•.两=(cos6»+G,l+sine)=(岛+6y,3x),

:.cos®=4x+6y-6,sin，=3x-l,

1+sin6

x-

3cos。sin。42.(

••COS0sinO2'2尤+U百+3+3-3sm[

广若一3+3

-1<sin(e+])<1,

2

:.—<2x+y<2,

故选项CD满足.

故选：CD.

题型三：mx-利问题

【例3】(2024.上海嘉定•高二校考期末)如图,QM〃A5,点P在由射线OM、线段。3及A3的延长线围成

的区域内(不含边界)运动，且OP=xOA+yOB.当x=-；时

y的取值范围是（）

、、X

、、

P\B

%，

oA

A.(0,+co)B.g'jC.t'+0°）D.信9

【答案】B

【解析】

点尸在由射线OM、线段02及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，

UUUUULULU

且OP=xOA+yOB.，

由向量加法的平行四边形法则，

。尸为平行四边形的对角线，

该四边形应是以与Q4的反向延长线为两邻边，

二当x=时，要使尸点落在指定区域内，即尸点应落在OE上，

2

13

CD=-OB,CE=—OB,

22

二y的取值范围为g，|]

故选：B

【变式3-1]（2024•河南平顶山•高一统考期末）如图所示，点尸在由线段AB,AC的延长线及线段2C围成

的阴影区域内（不含边界），则下列说法中正确的是.（填写所有正确说法的序号）

―.1—._.

①存在点尸，使得AP=]A3+2AC；

②存在点P,使得4尸=-548+24？；

_.1.—.

③存在点尸，使得AP=5A3-2AC；

_-,1—>3—►

④存在点P,使得APujAB+eAC.

【答案】①④

【解析】设丽=几通+〃记（4〃eR），由图可知:

①④正确，

故答案为：①④

___,3___►___,1____,___

【变式3-2］（2024.高一课时练习）已知△ABC中，W=--BC,EC=-AC,AFk=1AB,若点尸为四边形

AEDF内一点（不含边界）且DP=-^DC+xDE,则实数尤的取值范围为

【答案】段）

__,1__.

【解析】如图所示，在线段8。上取一点G,使得。G=-1DC,

设DC=3a,则DG=a,BC=5afBG=a；

过点G作GH//DE,分别交DF^AE于K、H,

连接尸H,则点K、”为临界点；

I24

GH//DE,所以AH=—EC,HG=—DE,

333

AH_1_AF

HC~2~FB?

所以bH〃3C；

所以尸

FHKH

所以——二——，

DGKG

3

所以KG=^HK,

31

KG=-HG=-DE.

82

14

所以实数x的取值范围是《小

14

故答案为：（嗟§>

【例4】（2024.安徽合肥・合肥市第六中学校考模拟预测）如图，在中，M,N分别是线段AB,AC上

21____._

的点，且AM=§AB,AN=-AC,D,E是线段上的两个动点，S.AD+AE=xAM+yAN（x,y&R）,

则工+2的的最小值是（）

%y

49

A.4B.-C.-D.2

34

【答案】B

uuwuuuuum-------►----►

^AD=mAB+nAC^m+n=l9AE=AAB+JLLAC,X+〃=l,

__kkk3___.______________

贝lj而+通=mAB+nAC+AAB+JLIAC=(m+2)A8+(n+//)AC=-(m+A)AM+3(〃+4)戏=xAM+yANf

32121

—(m+A)=x,3(〃+〃)=y=根+/1=,n+ju=—y,m+A+n+/2=2=>—x+—y=2^>2x+y=6.

1214

所以一+—二^(2x+y)

xyo3

3

当且仅当X=1,y=3时等号成立.

所以工+2的的最小值是g.

xy3

故选：B

【变式4-1］（2024•广东汕头•高一金山中学校考期中）如图，在AABC中，分别是AB,AC的中点，D,E

14

是线段8C上两个动点，^.AD+AE=xAM+yAN,则一+一的最小值为（）

尤>

【答案】B

AD=mAB+nAC^其中m+n=l

【解析】•・・民。，及。四点共线，.•.可设

AE=AAB+JLIACA+//=1

___.1—.—.1—.

•・,”,N分别是AB,AC的中点，:.AM=-ABfAN=—AC,

22

...莅+荏=2根磁+2〃丽+24丽+2〃丽=（2加+2丸）说+（2〃+2〃）.，

.\x=2m+22,y=2〃+2〃,...x+y=2（w+〃）+2（4+〃）=4,

・・,。,石是线段J3C上两个动点，厂.x〉。，y＞。,

41五y、o4xV

6+;=*+，）5+把+打”5+2=-（当且仅当一=2，即y=2x时取等号）,

yzy%4y%

149

.Tj的最小值为“

故选：B.

【变式4-2]（2024.山东荷泽・高一统考期末）在AABC中，点。是线段BC上的点，且满足|困=3画，过

12

点。的直线分别交直线A民AC于点瓦/，且丽=机亚，AC=nAF，其中机〉0且〃〉0,若士+*的最小

mn

值为.

【答案】山"

4

【解析】依题意，作出图形如下,

因为|因=3画，AB=mAE，AC=nAF,则由=；前,

I1QI

所以+丽=荏+：反?=荏+；国_砌=:而=网五+二襦,

44

3H7Y]

因为E,。，三点共线,所以彳+71,

因为m>0,n>0,

所以工+2=13mn5n6m5n6m5.2A/6

+——+—=-+——+——>-+2=—H---------，

mnm14444m4n44m4n44

当且仅当力*即〃=晶=4回2）时取等号,

所以工+2的最小值为出园.

mn4

故答案为：“2、

4

题型五：mx~+ny~问题

【例5】（2024•全国•高三专题练习）在AABC中，点。满足丽=觉，当E点在线段AD上移动时，若

AE=AAB+//AC,则f=（2一的最小值为.

【答案】|

【解析】BD=DC'.

.:。为边3。的中点，如图，

•.•E在线段AD上；

：.^AE=kAD=^AB+^AC,0i女1；

5LAE=AAB+juAC-,

k

A=一

,2

"k'

即几=〃，且噫山I；

t—（,_i）2+F

—〃2—2〃+1+42

=2（4—（）2+g;

「•4=!时，t取最小值g.

2/

故答案为：g.

【变式5-1］（2024.重庆北培.高三西南大学附中校考阶段练习）在△ABC中，〃为边3c上任意一点，N为

AM中点，且满足丽=2而+〃/，则储+的最小值为（）

【答案】C

【解析】在AABC中，M为边8C上任意一点，则的=/宓=/恁-/而,

-----►1►1.1—t—►t►

于是得河=/AM=5（AB+3M）=^A5+]AC,而AN=XA3+〃AC,且而与XT不共线,

则％=---,〃=一,即有尤=fJ,,因此,万十〃2=（4）2+"之=2筋_〃=2（〃）242一,

22224488

当且仅当彳=〃=1时取"=”,此时M为BC中点，

4

所以3+〃2的最小值为:

O

故选：C

【变式5-2］（2024•全国•高三专题练习）如图，在AABC中，/为边BC上不同于8,C的任意一点，点N

___________ULimULIULILUU

满足丽=2而乙若㈤V=xAB+yAC,贝!|丁+9/的最小值为.

2

【答案】1/0.4

___,3___.3__

【解析】根据题意，＜AM=-A7V--xAB+2yAC.

因为Al,B,C三点共线，设丽=4画（0＜九＜1）,则瓯一通=川正一南）,

所以痂=（1一2）在+4/，

所以

33

所以有5彳+5>=1,

所以炉+9/=

12

所以当y=上时，V+9/取得最小值

2

故答案为：y

【同步练习】

一、单选题

1.（2024・上海金山・统考一模）已知AABC的外接圆圆心为。，乙4=120。，若瓦=x^+yH（x,yR）,

则无+》的最小值为（）

123

A.gB.-C.-D.2

232

【答案】D

【解析】设。4与BC交点为E,设|。回=加，圆的半径为R,。为BC中点，如图所示：

则衣=△-屈，设通=4通+〃正，因为氏C,E三点共线，则彳+〃=1

R-m

所以=/=—荏+〃/），故尤+y=—（2+〃）=—

R—m^/R—mR—m

因为NA=120。，则ZCOD=60。所以|。胃=Rcos60。=：R

R工2上=2

则式（根＜7?,故R-机口R所以％+丁的最小值为2

2R-2

故选：D

2.（2024・重庆•高三重庆南开中学校考阶段练习）已知点。为AABC所在平面内一点，满足加+丽+宓=6,

M为A3中点，点尸在AAOC内（不含边界），若前:天丽+丫西，则x+y的取值范围是（）

A.（1,2）B.1,2）C.削D-Q4）

【答案】A

【解析】如图:

A

Q

N~~~

■.■OA+OB+OC=0^

.•.点。是AABC的重心，点N是3C的中点，

—►—-—►—►2----►——►2/---->--\1—»?—►

BO=BC+CO=BC+-CM=BC+-（BM-BC\=-BC+-BM,

33、'33

13N=^BC,BA=2BM

当点P在AAOC内（不含边界），

BP=BO+OP=BO+AOQ=BO+A,^OA+AQ^,0<A<1

="BO+A^NA+]LiAC^=Bd+A|■（丽一前）+〃（而-丽）,0<“<1

=前+心（2询+〃麻-2丽■）

1__.2—-4--1—..__.

=-BC+-BM+-ABM——ABC+AuBC-2AuBM

3333

,“+、=；一？+/1〃+尹？一24〃

=1+4—丸〃=1+%（1一4）,

QO<2<1,。<〃<1,

/.0<1-//<1,0<2（1-//）<1,

1<1+2（1-//）<2,

故选：A

3.（2024・山东烟台・统考三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆0,尸为圆。上任一点，若

AP=xAB+yAC,则2x+2y的最大值为（）

D.1

【答案】A

【解析】

作BC的平行线与圆相交于点尸，与直线A8相交于点E,与直线AC相交于点尸,

^AP=AAE+/JAF,贝1］彳+〃=1,

4

,.•BC//EF,则去e[0,y]

ABAC

：.AE=kAB,AF=kAC,AP=AAE+juAF=AkAB+jukAC

/.x=Ak,y=juk

Q

/.2x+2y=2(X+4)k-2k<—

故选：A.

4.（2024•辽宁沈阳•高三统考期中）如图，在扇形Q4B中，ZAOB=30°,。为弧A5上且与43不重合的一

个动点，且无=xC5+y砺，若〃=x+（2>0）存在最大值，则X的取值范围是（）

A

OB

【答案】D

【解析】

设射线。3上存在为"，使。8'=7。8,AZT交0C于C',

uumuuruunuuriutmuuruuir

由于OC=xOA+yOB=xOA+Ay—OB=xOA+AyOBr,

4

ULUUUUUUUUUULUUU

设OC=toe，OC=xfOA+AyOBr，

由A凡C三点共线可知/+R=1,

所以"=%+/1>=比'+，或)/=1,

UUU

OC

则以=也*存在最大值1，即在弧AB(不包括端点)上存在与AE平行的切线,

OC

向“7R2⑻

所以Xe—.

I2J1

MiJ62⑹

故答案为—

5.(2024•辽宁丹东•高三统考期末)已知扇形OAB的圆心角是60。，半径是1,C是弧人？上不与AB重合的

一点，设反=xE+y砺(x,yeR),若“=尤+4》存在最大值，则实数2的取值范围为()

A.(1,2)B.(1,1)C.(1,3)D.(1,3)

【答案】A

【解析】依题意可知三角形。钻是等边三角形，以。为原点建立如图所示平面直角坐标系，

则A,2(1,0),设C(cosasin<9),0o<e<60。，

由于灰=HH+y区,

’1%](16]

所以(cos。,sin6)=—X,—X+(%。)=

22IF

八12・八

cos^=—x+yx=—j=sine

2百

所以，解得

.q四r

sm，二——xy=cos0-sin0

2

所以w=x+4y=—^=sin8+4cos0-—^sin8

6A/3

2-2

sin6+4cos0—J。3%)+%sin(e+p)，

2V32

其中tan°=Fj

2—4，

由于0°<e<60°,0°<cp<360°,0°<e+0<420°,

要使M有最大值，则存在6+9=90。，贝U30°<9<90°,

^^332134

所以tan(p=------>—,------->1,---------1>0

2—X32—42-2

42-21

-------->0<^(4A-2)(2-2)>0«-<A<2.

2—42

二、多选题

6.（2024.浙江宁波.高一宁波市北仑中学校考期中）已知。是AABC内一点，且函+而+3e=6,点M在

△O3C内（不含边界），^AM=AAB+juAC,则2+2〃的值可能为（）

9„11_13_15

A.-B.—C.—D.—

7777

【答案】ABC

【解析】因为。是AABC内一点，且西+瓦+阮=0

所以。为AABC的重心

加在△O3C内（不含边界），且当M与。重合时，力+2〃最小，止匕时

W=2AB+^AC=|x|（AB+AC）=|AB+|AC

所以X=；,〃=g,即4+2〃=1

当M与C重合时，2+2〃最大，此时

AM=AC

所以4=0,〃=1,即2+2〃=2

因为M在△03C内且不含边界

所以取开区间,即彳+2〃«1,2）,

结合选项可知ABC符合，D不符合

故选：ABC

7.（2024.黑龙江哈尔滨•高一哈尔滨三中校考阶段练习）如图，圆。是边长为2的等边三角形AASC的内切

圆，其与BC边相切于点，点M为圆上任意一点，曲二彳丽+y丽（x,yeR）,则4x+y可以的取值为（）

【答案】BCD

【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A（0，¥）,0（0,-

等边三角形AABC的内切圆的半径为亚=走，

233

故可设,其中

uuirULU

故=,而丽=（1，石）50=(1,0),

cos6+l=x+y

结合两=）丽+丫丽可得《二

V3sind+冬后

下

x=—sin6+一

33

故4%+y=—cos0+sin6+2=-----sin6+—|+2,

6A1•AJ33I6j

y=——cos"——sm"+一

333

因为-IVsin.+fwl,故2一与V4x+”2+半,

2工1=1一"o,1<2+洛

因为。住2—,2+

333

2一亚一2一"o,2+空一3=空一1>0,2工3―W<0,

333333

故le12一半2+,26^2--,2+,3』2一型,2+

33

8.（2024.福建三明.高二三明一中校考开学考试）如图，在扇形。钻中，ZAOB=,C为弧AB上的一个

动点，若历=%方+丁诙，则％+4〉的取值范围是.

【答案】[1,4]

所在直线为x轴，建立平面直角坐标系,

,设C（cosasin。），0啜］960°.

2.八

cos6=y+/x=—j=smU

V3

由反=x05+y砺，得＜

.y/3八sin。

sin〃a=——xy=cos3-----

2V3

.•.x+4y=4cos"乎si®

点C在弧AB上由A运动，。在［0,手上逐渐变大，cos。变小，sin。逐渐变大，

.•.当9=0。时尤+4〉取得最大值4,当。=60°时无+4y取得最小值1.

1+4y的取值范围是［1,4］.

故答案为：［1,4］.

9.（2024•四川绵阳•高一统考期中）在扇形Q4B中，ZAOB=60°，C为弧AB上的一动点，若觉=尤次+^

则3x+y的取值范围是.

【答案】［1,3］

【解析】以。为原点，而分别为无，y轴正方向建立平面直角坐标系.

.不妨设=(cos8,sine),0<0<

c1,3V3.

cosc/=x+—Vx=cos°------sin8

23

因为碇=%函+,砺，所以＜r;，解得:

.A代2A/3.0

sin8=——yy=-----sin0

23

所以3x+y=3cos6一日sin。.

因为y=cos。在0,|上单调递减，y=-sin。在。£0,|上单调递减，所以3x+y=3cos。-^sin。在

TT

o,-上单调递减.

所以当6=0时3x+y=3最大；当6=g时3x+y=3cos工-^-sin—=—--^--^-=1最小.

3,333232

所以3x+y的取值范围是［1,3］.

故答案为：［1,3］.

TT

10.（2024.全国•高三专题练习）在扇形0AB中，。4=1,AAOB=~,C为弧A8上的一个动点，若

OC=xOA+yOB,则x+3y的取值范围是.

【答案】[1,3]

【解析】如图所示，建立平面直角坐标系以。为坐标原点，Q4所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则A。,。）,

cos。=x+—y,

由反=尤9+y而得《广

sin9=@y,

[2

x=cos0——sin8,

故V=/(e)=cos8+3百sin6=J型sin(6+e)在0,-^-上单调递增，

3V3_3_

Vmin=/(0)=1,ymax=/(—)=cos—+-^^-sin—=-+-=3.

-max333322

故x+3ye[l,3].

故答案为：口,3]

11.(2024・全国•高三专题练习)扇形。中，ZAOB=120°,C为45上的一个动点，且反=xE+y砺,

其中尤,yeR.

(1)的取值范围为；

(2)2x+y的取值范围为.

【答案】[1.2]口，考L

【解析】（1）解法一：（等和线）设0c与A3相交于点O,OD=AOC=AxOA+AyOB,Ax+Ay=l,

1oc

x+y=-e[l,2].

AOD

27r

解法二：(坐标法)C(cosa,sintz),6/G[0,—],

1.V30.26.

cosa=x——y,sma=——y,x=cosan-----sina,y=-----sma，

22,33

x+y=cosa+V^sina=2sin(a+—)e[1,2].

6

27r

解法三：设NAOC=ae[0，wd，

1

cosa=x——y

OCOA=xOA-OA+yOB-OA,2

一.一.—»一.—«，即V

OC-OB=xOA-OB+yOBOB,cos(120°-a)=-：x+y

x+y=2[cosa+cos（120°-a）]=cosa+百sincr=2sin（a+—）e[1,2].

6

（2）解法一：（等和线）

解法二：2x+y=2cosa+4fsina=sin（a+夕）s[1,^^^]，其中sin（a+6）先增后减.

12.（2024•河南平顶山.高一统考期末）如图所示，点尸在由线段AB,AC的延长线及线段BC围成的阴影区

域内（不含边界），则下列说法中正确的是.（填写所有正确说法的序号）

—.1—.—.

①存在点P,使得AP=5A2+2AC；

②存在点P,使得Q=-g通+21T；

③存在点P,使得Q都一2而；

—.1—，3—►

④存在点P,使得APujAB+gAC.

【答案】①④

【解析】设Q=X通+（4〃eR）,由图可知:

丸>0,">0,且4+〃>1,

...①④正确，

故答案为：①④

13.（2024・全国•高一专题练习）在矩形ABC。中，A3=4,AO=3,M,N分别是AB,上的动点，且满

足2AM+A/V=1,AC=xAM+y~AN,则2尤+3y的最小值为

【答案】49

【解析】如图所示建立直角坐标系，设M=（。,。），N=（O⑼

AC=（4,3）,AM=（A,0）,AN=（O,b）

D

N

B

则2AM+AN=l^>2a+b=

ox=489

AC^xAM+yAN^—+—

by=3ab

898Z?18。，八

—+—•（2a+Z?）=2+—+>49

ab

故答案为：49

14.（2024・全国•高一专题练习）如图，矩形ABCD中，AB=3,AD=4,M,N分别为线段BC、CO上的

=1,若AC=xAM+yAN,则尤+V的最小值为.

【解析】由题意，易知羽）不为0,建立如图所不坐标系,

设点M(3,a),N(。,4),0<a<4,0<b<3,

AC=(3,4),AM=(3,a),AN=(b,4),

AC=xAM+yAN,（3,4）一（3,加巡4）,即

b_3-3>_4-4y

y，%，

iij炉i_iJ/

CM2~(4-tz)2-16(x+y-1)2'CN2-(3-Z?)2-9(x+y-1)2'

故,--~~-+~―-~r=l,即三+J(x+y_l)2,

]6(x+y-1)-9(x+y-1)-169'

设x+y=〃z,

当M,N,C三点共线时尤+y=l,AC在直线肱V的异侧，故勿>1,则x=〃-y,

贝(]y)+上=(加_i)2,即25y2-18根y+9m2-144(根-I)2=0,

1