高一数学重难点专项复习：轻松解决空间几何体的体积问题（四大题型）（原卷版）

重难点10轻松解决空间几何体的体积问题

【题型归纳目录】

题型一：直接法

题型二：割补法

题型三：换底法

题型四：祖迪原理

【典型例题】

题型一：直接法

【典例1-1】(2024・高三•四川・期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面平面

ABCD,△口是边长为2的正三角形，延长DP至点E,使得尸为线段DE的中点.

(1)证明：3E7/平面PAC.

(2)若ACLPB,求四棱锥E—ABCD的体积.

【典例1-2】(2024.高三.内蒙古锡林郭勒盟.期末)如图，在四棱锥S-ABCD中，平面ABCD,

AB//CD,NCZM=60。，AB=2AD=2CD=S,尸为棱SA上的一点，且AP=2尸S=4.

D——C

(1)证明：SC〃平面。尸3；

⑵求四棱锥S-ABCD的体积.

【变式1-1](2024.高二.陕西咸阳•阶段练习)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。是正方形，且尸B=PD.

⑴若丛，平面ABCD,AB=2PA=2,求三棱锥P-BCD的体积;

(2)求证：BD1PC.

题型二：割补法

【典例2-1】(2024•全国•高三专题练习)在多面体ASBCGA中，四边形BCC内为矩形，。，M分别为

AC,BC的中点，4S/AB用，\S=^BBX,CCX=8,A瓦=^G=4,幺与G=90°.

(1)求多面体ASBCG瓦的体积;

(2)求三棱锥瓦的体积.

【典例2-2】(2024•广东东莞•高一校考阶段练习)如图，在棱长为2的正方体A8CD-A耳GR中，截去三

棱锥4-A8。，求

（i）截去的三棱锥4-AB。的表面积；

（2）剩余的几何体AB£2-DBC的体积.

【变式2-1］（2024•辽宁沈阳•高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去

一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（）

题型三：换底法

【典例3-1】（2024.高一.湖南张家界.期中）如图，在四棱锥尸-ABCD中，ZABC=ZACD=90°,

ZBAC=ZCAD=6O°,R4_L平面ABC。，PA=2,AB=1.设M,N分别为PD,AD的中点.

（1）求证：平面C^W〃平面E4B；

（2）求三棱锥C-PAB的体积.

【典例3-2】（2024.高三.四川成都.期末）如图，四棱锥P-ABCD中，AD//BC,BCLCD,

BC=2CD=2.AD=272,平面ABCD4平面PAC.

p

(1)证明：PC1AB；

(2)若PA=PC=^AC,M是丛的中点，求三棱锥C-P3M的体积.

2

【变式3-1](2024・高三・全国•阶段练习)如图，在五面体MCDE中，四边形A3CD的对角线AC/D交于

4J3

点尸，AABC为等边三角形，AB±AD,BC±CD,AE=CE=*,AB=2.

3

⑴证明：AC_L平面3OE；

(2)若求五面体的体积.

题型四：祖晅原理

【典例4-1】(2024・高一・安徽合肥・期中)我国古代数学家祖唯求几何体的体积时，提出一个原理：塞势即

同，则积不容异.意思是：夹在两个平行平面之间的两个等高的几何体被平行于这两个面的平面去截，若

截面积相等，则两个几何体的体积相等，这个定理的推广是：夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这

两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为上则两个几何体的体积比也为左.已知线段长为4,

直线/过点A且与A2垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕/旋转一周，得到环体/；以A,B分别为上

下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与/垂直的平面为夕，平面&〃£，且距离为〃，

若平面a截圆柱体N所得截面面积为每，平面a截环体M所得截面面积为邑，我们可以求出"的比值，

进而求出环体M体积为

【典例4-2］（2024•高一・河北邢台•阶段练习）祖眶Cgeng）（5世纪—6世纪），字景烁，祖冲之之子，范阳

郡道县（今河北省流水县）人，南北朝时期的伟大科学家.他在实践的基础上，于5世纪末提出了下面的体

积计算原理：“塞势既同，则积不容异”.这就是“祖晅原理”.用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间

的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积

相等”.例如可以用祖晅原理推导半球的体积公式，如图，半径为R的半球与底面半径和高都为R的圆柱放

置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R,高为R的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个

平行于底面的平面a去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体

2

的体积相等.若球心到平面a的距离为则平面a截半球所得的较小部分的几何体的体积等

【变式4-1］（2024•江西九江•二模）根据祖眶原理，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于

这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图1所示，一个容器

是半径为R的半球，另一个容器是底面半径和高均为R的圆柱内嵌一个底面半径和高均为R的圆锥，这两

个容器的容积相等.若将这两容器置于同一平面，注入等体积的水，则其水面高度也相同.如图2,一个

圆柱形容器的底面半径为4cm,高为10cm,里面注入高为1cm的水，将一个半径为4cm的实心球缓慢放入

容器内，当球沉到容器底端时，水面的高度为cm.（注：次、1.26）

图1图2

【过关测试】

1.（2024.高二.贵州六盘水•期末）我国南北朝时期的数学家祖唯提出了一个原理：“累势既同，则积不容

异”.也就是说“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两

个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现有某几何体和一个圆锥满足祖晅原理的条件，若

该圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆，则该几何体的体积为.

2.（2024.四川泸州.三模）如图，已知直四棱柱■的底面是边长为2的正方形，E,尸分别

为AA，A8的中点.

G

（1）求证：直线CF、ZM交于一点;

⑵若M=4,求多面体BCDtEF的体积.

3.（2024・高一•陕西西安•期中）如图甲，在直角三角形ABC中，已知ABLBC,3c=4,AB=8,D,E分别

是AS,AC的中点.将△AOE沿。E折起，使点A到达点A的位置，且平面其£>£，平面。8CE,连接

得到如图乙所示的四棱锥A-O8CE，M为线段AQ上一点.

⑴证明：平面。BCE；

（2）过B,C,〃三点的平面与线段4石相交于点N,直线EM与2C所成角的大小为45。，求三棱锥

A-BCN的体积.

4.（2024.高一.陕西渭南.期末）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，平面ABCD人平面ABEF,

AF//BE,AB±BE,BE=2,AF=1.

⑴求证：AC_L平面5£>E；

（2）求三棱锥a-zxy的体积.

5.（2024・高一•福建宁德•阶段练习）点£,P分别是边长为6的正方形ABCD的边AB,3C的中点，沿图

1中的虚线DE,EF,FD将VAZ）E,ABEF,ACDF,折起使A,B,C三点重合，重合后的点记为点

P,如图2.

（1）顶点尸在平面DE尸内的正投影为点。，点0在平面尸EF的正投影为点连接并延长交E尸于点

G证明：G是E尸的中点；

（2）作出点M在平面尸的上的正投影R（说明做法的理由）并求四面体PQMR的体积

6.（2024・高一.湖南永州•阶段练习）如图，四棱锥P-AfiCD的底面为正方形，底面ABCD设平面

PAD与平面PBC的交线为I.

p

⑴证明：△平面PDC；

(2)0为/上的一点，当PD=45=2时求三棱锥。-ABC的体积;

7.(2024.高一.广东深圳•期中)如图，在三棱柱ABC-A耳G中，侧面ACQA为菱形，ZA,AC=60°,

AC=2,侧面为正方形.点M为4C的中点，点N为AB的中点，点7/为AC的中点，且

1AB.

⑴证明：〃平面BCG瓦；

(2)证明：3C1平面ACGA；

(3)求三棱锥A-ABG的体积

8.(2024.高三.河南•阶段练习)己知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为菱形，阳，平面ABCD,

TT

PD=AD=CD=2,ZBAD=-,E为尸C上一点.

p

(1)平面P4Dc平面25C=/,证明：BC//1.

jr

(2)当直线BE与平面BCD的夹角为二时，求三棱锥P—BDE的体积.

9.(2024・高一.北京密云.期末)如图，在四棱柱ABCD-A4GA中，底面是边长为1的正方形，侧棱

抽，平面ABCD,例=2,M是。A的中点.

⑴求证：22〃平面AWC；

(2)证明：AC1BD,；

(3)求三棱锥3-M4c的体积.

10.(2024・高一•黑龙江大庆.期末)在四棱锥P-/1BCD中，平面ABCD,四边形A8CD是ZZMB=60。

的菱形，上4=AB=2,点〃是PC的中点.

⑴证明：B4〃平面MD8；

(2)求三棱锥尸-ADM的体积.

11.(2024・高一•河南许昌•阶段练习)如图，正方体ABCD-A宣C。'的棱长为°,连接

AC',A'D,AB,BD,BC',C'D,,得到一个三棱锥；求：

(1)三棱锥A-BCD的表面积与正方体表面积的比值;

⑵三棱锥A-3C'。的体积.

12.(9-10高二下•广东佛山・期末)如图，在三棱柱ABC-A/£中，AC=3,BC=4,A5=5,

例=4,点。是AB的中点，CG，平面ABC.

(1)求证：AC±BC、

(2)求证：AG//平面C。与；

⑶求三棱锥G-瓦。的体积.

13.（2024・高一.福建福州・期末）如图，正方形A8C。中，点