根的判别式（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年北京中考数学复习专练（解析版）

热点01根的判别式

明考情.知方向

根的判别式是中考数学的常考考点，一般出现在北京中考的第4题，第5题。第6题，第10题等。选择题

和填空题均有出现。以简单题为主，针对性的计算训练可提高解题速度和正确率，选择题用排除法也可提

高解题速度。

热点题型解读

题型1判断根的情况

题型2有两个相等的实根

根的判别式题型3有两个不相等的实根

题型4有实根

题型5无实根

【题型1判断根的情况】

主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握炉—4川与一元二次方程根之间的关系是解题的关键.即当

b2-4ac>0时，一元二次方程a/+5%+。=o（aH0）有两个不相等的实数根；当炉-4ac=0时，一元

二次方程a/++。=o（a。0）有两个相等的实数根；当一4acV0时，一元二次方程QM+ft%+c=

0（aW0）没有实数根.

1.（2022年北京市朝阳区中考数学模拟）一元二次方程x2+5x+3=0的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.无法确定

【答案】B

【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况.

【详解】Ea=1,b=5,c=3,

0A=b2—4ac=52-4x1x3=13>0,

回方程有两个不相等实数根.

故选：B.

2.（2023年北京市十一学校中考模拟）关于x的一元二次方程/一（k+3）x+2k+1=0根的情况是（）

A.无实根B.有实根

C.有两个不相等实根D.有两个相等实根

【答案】C

【分析】先求出62-4ac,再根据结果判断即可.

【详解】根据题意，得炉-4ac=（k+3）2-4（2/c+1）=fc2+6/c+9-8fc-4=/c2-2fc+5=（fc-l）2+

4>4,

团这个方程有两个不相等的实数根.

故选：C.

3.（2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模）关于x的一元二次方程/+2小久+62-i=o的根

的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.实数根的个数由机的值确定

【答案】A

【详解】解：0%2+2mx+m2—1—0

EA=d2-4ac=（2m）2—4x1x（m2-1）=4m2-4m2+4=4>0

故选：A

4.（2022年北京市东城区中考数学二模）关于x的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【答案】D

【详解】团El=a2+4>0,国方程有两个不相等的实数根.故选D.

5.（北京市大兴区2024-2025学年九年级上学期期末）关于x的一元二次方程/+kx-2=。的根的情况

是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程a/+版+c=0（a力0）中，当A>0时,

方程有两个不相等的实数根是解题的关键.根据一元二次方程根的判别式解答即可.

22

【详解】解：「EIMfc-4X1X（-2）=fc+8>0,

••.方程有两个不相等的实数根.

故选：A.

【题型2有两个相等的实根】

考查一元二次方程的判别式与根的个数之间的关系.熟练掌握判别式等于0,方程有两个相等的实数根，

是解题的关键.

6.（2023年北京市丰台区中考一模）若关于久的方程/-x+a=0有两个相等的实数根，则实数a的值是

（）

A.-4B.4C.—D.—

44

【答案】D

【详解】解：••・关于x的方程/-尤+a=0有两个相等的实数根

•••（-1）2-4xlxa=0

1

a=-

4

故选：D.

7.（2024年北京市首都师范大学附属中学大兴北校区中考模拟）关于x的一元二次方程/+2x+m=0有两

个相等的实数根，则小的值为（）

A.-1B.1C.-4D.4

【答案】B

【分析】根据方程有两个相等的实数根，判别式等于零，进行求解即可.

【详解】解：回关于％的一元二次方程/+2x+m=0有两个相等的实数根，

0Z?2-4ac=4—4m=0,

Em=1；

故选B.

8.（北京市海淀区人大附中2024-2025学年下学期九年级开学）若关于x的一元二次方程i+6久+c=0有

两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.-36B.36C.-9D.9

【答案】D

根据根的判别式=b2-4ac>0,方程有两个不相等的实数根；A=b2-4ac=0,方程有两个相等额实

数根；J=h2-4ac<0,方程无实数根〃，由此求参数即可.

【详解】解：关于x的一元二次方程，+6%+c=0有两个相等的实数根，

021=62—4c=0,

解得，c=9,

故选：D.

9.（北京市密云区2024-2025学年九年级上学期期末）若方程%2+4%+血=0有两个相等的实数根，则m

的值为（）

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】C

根据一元二次方程根与判别式的关系可得，A=42-4m=0,求解即可.

【详解】解：团关于%的方程/+4%+血=0有两个相等的实数根，

0A=42-47n=0,即16—4m=0,

解得：m=4,

故选：C.

10.（2024•北京・中考真题）若关于％的一元二次方程%2—轨+c=。有两个相等的实数根，则实数c的值为

（）

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【详解】回方程/—4%+c=0有两个相等的实数根，a=lfb=—4,c=c,

回△=炉_4ac=（-4）2—4xlxc=0,

团4c=16,

解得c=4.

故选C.

【题型3有两个不相等的实根】

考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的情况与判别式的关系是解的关键.根据△>（）时，方程

ax?+bx+c=0（a*0）有两个不相等的实数根，建立不等式求解即可.

11.（北京市第十九中学2024—2025学年上学期九年级期中）己知关于工的一元二次方程产+2x+m-l=0

有两个不相等的实数根，下列结论正确的是（）

A.m<2B.m>2C.m>2D.m<-2

【答案】A

【详解】解：关于x的一元二次方程/+2久+6-1=0有两个不相等的实数根，

•••△=22-4（m-1）>0,

解得：m<2；

故选：A.

12.（北京市大兴区2024-2025学年上学期九年级数学期中）若关于x的一元二次方程a/+2x+1=0有两

个不相等的实数根，贝b的取值范围是（）

A.a>—1B.a<1

C.a>—1且aW0D.a<1且aH0

【答案】D

【详解】解：团一元二次方程a/+2x+l=0有两个不相等的实数根，

0A=22-4xlXa>O,

4—4a>0,

a<1,

13a片0,

0a<1且a中0,

故选：D.

13.（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022学年九年级上学期数学九月）若关于x的一元二次

方程k/-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A.k>一1B.k>—1且k丰0

C.fc<1D.fc<1且k丰0

【答案】B

【详解】解：国关于x的一元二次方程入2—2x-1=0有两个不相等的实数根，

0A=Z?2-4ac=（—2）2-4/cx（-1）>0,且k力0,

解得：k>一1且k*0.

故选：B.

14.（北京市顺义牛栏山第一中学实验学校2024-2025学年九年级下学期开学）若关于x的方程爪/+3x-1=

0有两个不相等的实数根，则实数加的取值范围是（）

99

A.m>——B.m>——且THH0

44

aa

C.m<——D.m<——且mW0

44

【答案】B

【详解】解：由条件可知：尸32-4mX（-1）>o,

Em>—：且丰0,

故选：B

15.（北京市第四十三中学2022-2023学年九年级上学期期中）若方程/一钮+c=0有两个不相等的实数

根，则实数c的值可以是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】D

【详解】解：团方程/一轨+c=0有两个不相等的实数根，

0A=/?2—4ac=16-4c>0,解得c<4,

观察四个选项，选项D符合题意，

故选：D.

【题型4有实根】

0屯后W

考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程aX2+bx+c=0（aKO）,则有

b2-4ac>00方程有两实根，b2-4ac>0国方程有两不等实根，b2-4ac=0回方程有两相等实根，b2-4ac<00

方程没有实根.也考查了一元二次方程的定义.解题关键是掌握一元二次方程根的判别式及一元二次方

程的定义.根据一元二次方程的定义和根的判别式可得k丰0且4=b2-4ac=（-2）2-4xkx1=4-

4k>0,解之得出k的范围.

16.（北京市清华大学附属中学2023-2024学年九年级下学期开学）若关于x的一元二次方程k/-6%+9=0

有实数根，则人的取值范围是（）

A.fc<1B.fc<1C.k<1且kK0D.kW1且k片0

【答案】D

【详解】解：回关于久的一元二次方程kF-6久+9=0有实数根，

△=炉―4ac=（-6>—4xkx9=36-36kN0,

解得：fc<1,

k是二次项系数不能为0,k丰0,

即k<1且，*0.

故选：D.

17.（北京市第十二中学2024-2025学年九年级上学期11月）若关于x的一元二次方程k/一3%—：=0有

实数根，则实数k的取值范围是（）

A.k=0B.fc>一1且k大0C.k>-lD.fc>一1且k力0

【答案】B

【详解】解：团一元二次方程k一一3久一;=0有实数根，

0fc力0,且乙=(一3)2-4kx(一320,

解得k>一1且k丰0；

故选：B.

18.(西城区北京师范大学附属中学2023-2024学年九年级上学期月考)关于久的方程(a-5)%2-4%-1=0

有实数根，贝Ua满足().

A.a>1且a^5B.a>1C.a>1且aH5D.aW5

【答案】B

【详解】解：①当a-5=0时，原方程为一4万一1=0,

解得：x=—符合题意；

4

②当a—5丰0时，

"4)2—4X(a-5)X(-1)>0,

解得：a>1且a丰5.

综上，a的取值范围为a2L

故选：B.

19.(2024年北京市燕山区中考数学模拟)如果关于久的一元二次方程--2x+巾=0有实数根，那么小的

取值范围是()

A.m>1B.m>1C.m<1D.m<1

【答案】D

【详解】解：•・・关于％的一元二次方程%2-2%+?n=0有实数根，

△=(―2)2—4m=4—4m>0,

解得：m<1.

故选：D.

2

20.(北京市十一晋元中学2024-2025学年下学期开学)已知关于久的一元二次方程/一2(/c-1)%+fc+2=

0有实数根，则k的取值范围为()

1111

A.k>—B.kV—C.kN—D.kW—

2222

【答案】D

【详解】解：,•・关于久的方程/—2(k—1)久+1+2=。是一元二次方程，

A=b2-4ac>0,

[-2(fc-l)]2-4(/c2+2)>0,

整理得：4fc2-8fc+4-4/c2-8>0,

合并同类项得：一8左一420,

解得：k<—

故选：D.

【题型5无实根】

考查了根的判别式，熟练掌握判别式大于零，方程有两个不相等的实数根；判别式等于零，方程有两个

相等的实数根；判别式小于零，方程没有实数根是解题的关键.

21.(海淀区北京理工大学附属中学2024-2025学年九年级上学期开学)下列所给方程中，没有实数根的是

()

A.x2+x—0B.5x2—2x—1=0

C.3*2—4x+1=0D.4x2—6x+3=0

【答案】D

【详解】解：A、A=l—0=1>0,故A有两个不相等的实数根.

B、△=4-4X5X(-1)=24>0,故B有两个不相等的实数根.

C、A=16-4x3xl=4>0,故C有两个不相等的实数根.

D、△=36-4x4x3=-12<0,故D没有实数根.

故选：D

22.(清华大学附属中学朝阳学校2024-2025学年九年级上学期数学9月)下列所给方程中，没有实数根的

是()

A.x2+x—0B.4/—+2=0

C.5%2—4%—1=0D.3%2—4x+1=0

【答案】B

【详解】解：A、0A=12-4X1XO=1>O,

团一元二次方程有两个不相等的实数根；

B、0A=(-5)2-4x4x2=-7<0,

团一元二次方程没有实数根；

C、EA=(-4)2-4x5x(-1)=36>0,

团一元二次方程有两个不相等的实数根；

D、0A=(-4)2-4x3xl=4>0,

回一元二次方程有两个不相等的实数根.

故选：B.

23.（北京市第八十中学2023-2024学年九年级上学期月考）在下列方程中，没有实数根的是（）

A.x2+x=0B.X2—1=0C.X2—x+3—0D.x2+2x+1=0

【答案】C

【详解】国方程/+久=0,a=l,b=l,c=0,

0A=fa2-4ac=1?_4xix0=1>0,

x2+x=0有两个不相等的实数根；

回方程*2—1=0,a—l,b—0,c——1,

回△=〃-4ac=。2_4x1x（-1）=4>0,

x2-l=0有两个不相等的实数根；

团方程%+3=0,a—l,b——1,c—3,

0A=Z?2-4ac=（-1）2-4X1X3=-ll<0,

%2-x+3=0没有实数根；

团方程一+2久+1=0,a=1,b=2,c=1,

团A=〃—4四=22—4x1x1=0,

/+2尤+1=0有两个相等的实数根；

故选C.

24.（朝阳区人大附中朝阳分校2022-2023学年九年级上学期月考）若关于x的方程（尤+1产=1一左没有实根,

则左的取值范围是（）

A.k<lB.k<-lC.k>lD.k>l

【答案】D

【详解】解：ffl（x+1）2=1/没有实根，

Sl-k<0,

E^>1.

故选D.

25.（2024年北京市广渠门中学中考二模）若关于久的方程--“一机=0没有实数根，则根的值可以为（）.

A.-1B.--C.0D.1

4

【答案】A

【详解】解：团关于久的方程/-“一加=0没有实数根，

团团=（-1）2—4X1x（—m）=1+4m<0,

解得：771<—

4

故选项中只有A选项满足，

故选A.

限时提升练

(建议用时：10分钟)

一、单选题

1.一元二次方程2/-3久-|=0的根的情况是()

A.没有实数根B.有两个相等的实数

C.有两个不相等的实数根D.无法判断

【答案】C

【分析】本题考查了根的判别式，正确掌握根的判别式公式是解题的关键.根据根的判别式公式，求该方

程的判别式，根据结果的正负情况即可得到答案.

【详解】解：根据题意得：A=(—3)2-4X2X(―|)=9+12=21>0,

即该方程有两个不相等的实数根，

故选：C.

2.下列方程有两个相等的实数根的是()

A.2x2+4x+1=0B.2久2+4久+2=0

C.2x2+4x+3=0D.2%2+4%=0

【答案】B

【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情

况之间的关系是解题的关键：当A>0时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实数

根；当A<0时，方程没有实数根.

根据一元二次方程根的判别式与根的情况之间的关系逐项分析判断即可.

【详解】解：A.2/+4x+1=0,

△=炉一4ac=42—4x2x1=16—8=8>0,

••.方程有两个不相等的实数根，

故选项A不符合题意；

B.2x2+4x+2=0,

△=_dac=4?—4x2x2=16—16=0,

•••方程有两个相等的实数根,

故选项B符合题意；

C.2x2+4x+3=0,

△=炉-4ac=42—4x2x3=16-24=—8<0,

•••方程没有实数根，

故选项C不符合题意；

D.2%2+4%=0

△=炉一4ac=42—4x2x0=16—0=16>0,

••.方程有两个不相等的实数根，

故选项D不符合题意；

故选：B.

3.已知关于久的方程(c—2)/一2%+1=0有实数根，贝心的取值范围是()

A.c2—3且c42B.c#2C.c<3D.cW3且c72

【答案】C

【分析】本题主要考查一元二次方程的解得情况，解题的关键是熟知根的判别式的运用.

根据一元二次方程根的判别式的应用，一元一次方程的根，分两种情况讨论即可得到答案.

【详解】解：当c—2力。时，则CK2,

由于关于x的方程(c-2)x2-2x+1=0有实数根，

•••△>0,即4-4(c-2)>0,

•1.c<3,

二c的取值范围c<3且c丰2,

当c=2时为一元一次方程，方程有一根.

综上所知c的取值范围为：cW3.

故选：C.

4.关于久的一元二次方程》2一(2-k)久-3k+6=0有两个相等的实数根，贝也的值为()

A.k=—10B.k=2

C.k=-10或k=2D.fc=10或k=-2

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式列方程求解是解题的关键.因

为关于万的一元二次方程/一(2-k)x-3k+6=0有两个相等的实数根，所以△=[-(2-fc)]2-4(-3/c+

6)=0,解方程即得答案.

【详解】解：••・关于久的一元二次方程产-(2-k)x—3k+6=0有两个相等的实数根，

A=[-(2-fc)]2-4(-3fc+6)=0,

解得k=一10或k=2.

故选：c.

5.已知关于x的一元二次方程k/+2x+1=0有两个不相等的实数根，贝味的取值范围是()

A.fc<1B.fc>1C.k<1且k力0D.kW1且k力0

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.在判断一元二次方程根的情况的问题中，必须满足

下列条件：(1)二次项系数不为零；(2)在有不相等的实数根时，必须满足乙=b2-4ac>0切记不要忽

略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件.

【详解】解：依题意可得，A=炉-4ac=2?-4k>0,解得k<1

・•・关于久的一元二次方程k/+2%+1=0,

k0

k<1且k*0.

故选：C.

二、填