勾股定理与思想和折叠问题（原卷版）-2024-2025学年人教版八年级数学下册

勾股定理与思想和折叠问题（3大思想+6大模型）

01思维导图

目录

【思想总结］...................................................................................1

思想一方程思想...............................................................................1

思想二分类讨论思想...........................................................................7

思想三转化思想.............................................................................11

【模型总结】..................................................................................15

模型一长方形中折痕过对角线模型.............................................................15

模型二长方形中折痕过一顶点模型.............................................................19

模型三长方形中折痕过任意两点模型...........................................................25

模型四直角三角形中过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型.............................30

模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型..............................................34

模型六直角三角形中过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型.............................38

02思想总结

思想一方程思想

适用情况：

1.直角三角形中两条边长未知，当两边长存在一定数量关系;

2.直接三角形中存在公共边（或作高，构造公共边）；

3.折叠问题；

4.实际应用问题.

例题：（23-24七年级下•山东淄博・期末）如图，在23C中，乙43c=90。，AB=3,BC=4,E是边8c上

一点，将沿NE折叠，使点8的对应点"恰好落在边/C上，则3E的长等于.

巩固训练

1.（23-24八年级下•广东珠海•期中）如图，在笔直的铁路上/、8两点相距7km,C,。为两村庄，

。/=31011,酸=41011,。/，48于4,CBLAB于B.现要在上建一个中转站E,使得C,。两村到E站

的距离相等，求ZE的长.

AEB

□/\□

/「\\

/\

/\

D\

\

\

化

2

2.（23-24八年级下•新疆喀什•期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度48=8米，A点

到地面C点（8,C两点处于同一水平面）的距离/C=10米.

⑴求出8C的长度；

（2）若小鸟竖直下降到达。点（。点在线段上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟

下降的距离.

3

3.(23-24八年级下•安徽合肥・期中)如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时,

竹竿底端。到左墙角的距离OC为2米，顶端8距墙顶的距离42为1米，若保持竹竿底端位置不动，将竹

竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离。尸为3米，顶端E距墙顶。的距离。£为2米，点4B、C在

一条直线上，点。、E、尸在一条直线上，AC1CF,DFLCF.求:

⑴墙的高度；

(2)竹竿的长度.

4

4.（23-24八年级上•江苏南京•阶段练习）已知中，AB=AC=5,BC=8,点。在5c边上.请从

A,B两题中任选一题作答.

图1图2

A.如图1,若ZD_L4B；

B.如图2,若BD=AB；

我选择A题，则的长为；

我选择8题，则的长为.

5

思想二分类讨论思想

适用情况：

1.高在三角形内，外不明确；

2.直角边、斜边不明确；

3.动态问题或存在性问题中，直角顶点的位置不明确.

例题：（2024•黑龙江哈尔滨•二模）在RtZ\48C中，AB=AC,点。是直线AB上一点，BD=\,

4D=3,连接CD,则线段的长为.

巩固训练

1.（23-24八年级下•湖北孝感•期末）如图，在Rt^ASC中，ZC=90°,AC=3,3C=4,点尸为射线3c

上一点，将沿AP所在直线翻折，点C的对应点为点G，如果点G在射线BA上，那么PC=.

2.（23-24八年级下•安徽合肥•期末）已知中，/8=15,AC=13,8C边上的高40=12,求边

的长.

3.（23-24八年级下•河北张家口•期中）如图，在Rt448C中，ZC=90°,AB=5m,AC=3m,动点尸从

点8出发沿射线3c以Im/s的速度移动，设运动的时间为ts.

⑴求边的长；

（2）当为直角三角形时，求f的值.

6

思想三转化思想

适用情况：

1.最短路径问题（未知转化为已知，化曲为直）；

2.等线段转化（几何证明）.

例题:⑵-24八年级上•四川达州•阶段练习）如图，A两个村在河流CD的同侧，分别到河的距离为/C=10

千米，9=30千米，且8=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、8俩村供水，铺设水管的费用

为每千米1万，请你在河流上选择水厂的位置产，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

B

A

..…Q...................D.

巩固训练

1.（22-23八年级下广东广州•期中）如图，/、3两个村子在笔直河岸的同侧，/、3两村到河岸的距离分

别为NC=2km,BD=5km,CD=6km,现在要在河岸CD上建一水厂E向/、8两村输送自来水，要求

水厂E到/、2两村的距离之和最短.

B

A

clD

（1）在图中作出水厂£的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）;

（2）求水厂E到4、2两村的距离之和的最小值.

2.（23-24八年级下•山东聊城•期中）综合与实践

7

【问题情境】

数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20、3、2,A

和B是一个台阶两个相对的端点.

【探究实践】

老师让同学们探究：如图①，若/点处有一只蚂蚁要到2点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶爬到2点

的最短路程是多少？

(1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图②，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20,宽为15

的长方形，连接经过计算得到长度为,就是最短路程.

【变式探究】

(2)如图③，是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30c%,高是8c小，若蚂蚁从点/出发沿着玻

璃杯的侧面到点5,则蚂蚁爬行的最短距离为一

A20二

---一、

图①图②图③图④

【拓展应用】

(3)如图④，圆柱形玻璃杯的高9c%,底面周长为16CTM,在杯内壁离杯底4c机的点/处有一滴蜂蜜,

此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1c加，且与蜂蜜相对的点3处，则蚂蚁从外壁2处到内壁/处所

爬行的最短路程是多少？(杯壁厚度不计)

8

03模型总结

模型一长方形中折痕过对角线模型

【模型解读】沿着长方形的对角线所在直线进行翻折。

已知矩形ABC。中，以对角线AC为折痕，折叠△ABC,点B的对应点为B’.

1

结论1:^ABC-小ABC;

结论2：折痕AC垂直平方BB'；

D

结论3：△AEC是等腰三角形。

B'

例题：（23-24八年级下•北京海淀•期中）如图所示，把一张长方形纸片沿对角线2。折叠，若

AB=4,BC=3,求肝的长.

【变式训练】

9

1.如图，长方形48co中，BC=4,DC=2,如果将该长方形沿对角线2。折叠，使点C落在点尸处,

2.如图，在长方形纸片Z8CD中，AB=8cm,ND=6cm.把长方形纸片沿直线NC折叠，点8落在点E

处，AE交DC于点、F,则4F的长为()

A.—cmB.—cmC.1cmD.一cm

422

3.（22-23八年级上•江苏徐州•期中）如图，长方形48CD中，NDAB=NB=NDCB=ND=90°,AD=BC=6,

48=CD=10.点E为。C上的一个动点，把沿直线NE翻折得△///£.

u

图1图2

(1)当。点落在48边上时，NDAE=

⑵如图2,当E点与C点重合时，D'C与AB交点尸，求在'长.

模型二长方形中折痕过一顶点模型

10

【模型解读】沿着长方形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。

已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B1.

结论1："BE三"B'E；

B

E折在矩形内

结论2:折痕AC垂直平方BB'。

_______

D1L

结论1：“ABE三E；

)7严AAB'

卜折在矩形边上

结论2：折痕AC垂直平方BB'。

DH'C

结论1：四边形4BCE三四边形/Z'C'E';

IB

r折在矩形外结论2：折痕AC垂直平方BB'；

B'结论3：AAEF是等腰三角形。

例题：（23-24八年级上•四川成都•期末）如图，长方形纸片/BCD中，已知力。=8,折叠纸片使42边与对

角线NC重合，点2落在点尸处，折痕为4E,且BE=3.

⑴求CF的长;

（2）求48的长.

【变式训练】

1.（23-24七年级下•重庆・期末）如图，将长方形N8C。沿ZE折叠，点。恰好落在8c边的尸点上，已知CF=4,

11

2.（23-24八年级下•河南南阳・期末）如图所示，有一张长方形纸片280,AB=%,AD=6.现折叠该纸

片使得边与对角线DB重合，折痕为DG,点A落在尸处，求NG=.

3.（23-24八年级下•重庆万州・期末）如图，在矩形/3CD中，/8=10,3c=12,点£为线段的中点,

连接CE,点尸在边/。上，连接CF,将AC。尸沿C尸翻折得到△CGP,点G在线段CE上，则斯的长

为—,

4.（23-24八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，长方形纸片/BCD,^=10,50=8,点P在8c边上，将

△C。尸沿DP折叠，点C落在£处，PE,分别交4B于点。，F,且0P=。/，则肝长为.

5.（23-24八年级下•山东淄博•期中）在四边形/BCD中，

ZDAB=NB=NC=4D=90°,AB=CD=10,BC=AD=S.

12

DEC

ABABAB

图②备用图

⑴若P为边8c上一点，如图①将尸沿直线/P翻折至△/£尸的位置，当点8落在边上点E处时,

求的长；

(2)如图②，点0为射线。C上的一个动点，将△40。沿工。翻折，点。恰好落在直线3。上的点。处，求

。。的长.

模型三长方形中折痕过任意两点模型

【模型解读】沿着长方形边上的任意两点所在直线进行翻折。

已知矩形ABC。中，以E,F为折痕，点B的对应点为3',点C的对应点为U

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Ag8结论1：^BEF=AB'EF；

v折在矩形内

结论2：折痕EF垂直平方则。

1)C

AEKB结论1:四边形E8CF三四边形E‘3'CH';

8折在矩形边上

二c结论2：折痕AC垂直平方B8'。

c

E/结论1:四边形E2C尸三四边形E‘B'CH';

!

不；折在矩形外结论2：折痕AC垂直平方BB'；

G\/C结论3：AGC?是直角三角形。

c

例题：（23-24七年级下•山东济南•期末）如图，长方形纸片/BCD中，AB=6,AD=1S,将此长方形纸片

折叠，使点。与点B重合，点C落在点//的位置，折痕为EF,则8E的长度为（）

C.24D.48

【变式训练】

1.（23-24八年级下•江西赣州•期中）如图，将长方形纸片NBCD沿E尸折叠，使顶点C恰好落在N8边的中

点C上.若/B=4,BC=6,求B尸的长.

2.（23-24八年级上•广东深圳•阶段练习）如图，长方形/BCD中4D〃3C,边48=4,5C=8.将此长方

形沿EF折叠，使点。与点B重合，点C落在点G处.

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(1)证明BE=8尸；

(2)求昉的面积.

3.(22-23八年级上•广东揭阳•期末)如图，把一张长方形纸片/BCD折叠起来，E尸为折痕，使其对角顶点

A与C重合，。与G重合.若长方形的长8c为8,宽AB为4.

⑴求的长；

⑵求EF的长；

(3)求阴影部分AGED的面积.

模型四直角三角形中过一个顶点所在直线(落点在一边上)翻折模型

【模型解读】

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（1）沿过点/的直线翻折使得点2的对应点为"落在斜边NC上，折痕为4D;

（2）沿过点C的直线翻折使得点8的对应点为8’落在斜边NC上，折痕为CO；

（3）沿过点3的直线翻折使得点/的对应点为E落在3c边上，折痕为AD。

例题：（23-24八年级下•湖北十堰•阶段练习）如图，有一块RtA43C的纸片，ZABC=90°,4B=6,

BC=S,将"BC沿ND折叠，使点8落在4C上的E处，连接ED,则8。的长为（）

A.3B.4C.5D.6.

【变式训练】

1.（23-24八年级下•安徽芜湖•期中）如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,5C=6cm,

/B=10cm,将斜边N3翻折，使得点2恰好落在直角边/C的延长线上的点£处，折痕为4）,则8。的长

为（）

2.（22-23八年级下•江西南昌•期中）如图，在等腰直角三角形48c中，ABAC=9Q°,AB=6，点、P是

边3c上任意一点，连接北，将沿4P翻折，点8的对应点为",当尸夕有一边与3c垂直时，BP

的长为.

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A

3.(23-24八年级下•江西南昌・期中)如图是一张直角三角形/8C纸片，ZC=90°,AC=6,BC=8.

(1)在图1中，将直角边/C沿4。折叠，使点C落在斜边上的点E处，求CD的长;

(2)在图2中，将ABFG沿FG折叠，使点B与点A重合，求昉的长.

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模型五直角三角形中过斜边中点所在直线翻折模型

【模型解读】

（1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点/与点C重合;

（2）沿中线翻折，使得点/落在点尸处，连结/尸，FC,4F与BE交于点a

（3）沿中线BE翻折，使得点C落在点。处，连结N。，CD.

例题：（23-24八年级下•河南安阳•期末）如图，直角三角形纸片4BC的两直角边长分别为6,8,现将“8C

如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为OE.则CE的长是（）

4

D.

7

【变式训练】

I.（23-24八年级下•四川广安•期中）如图，。。在直角坐标系中，0A=亚,03=2,C点在线段03上,

。点在线段月8上，将△88沿直线折叠后，2点与/重合，则点C坐标是

2.（23-24八年级下•河南漠河•阶段练习）如图，在小8。中，NB4c=90°,AC=10,BC=26.将“8C

按如图所示的方式折叠，使2,C两点重合，折痕为求的长.

C

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3.(23-24八年级下•辽宁葫芦岛•阶段练习)如图、08C为一块直角三角形纸片，ZC=90°.

【问题初探】：直角三角形纸片的对折问题，可以通过全等变换把所求线段转化成直角三角形的边，进而通

过勾股定理来解决，体现数学中的转化思想.

(1)如图1,现将纸片沿直线AD折叠，使直角边/C落在斜边43上，C的对应点为E,若

AC=6cm,SC=8cm,求CZ)的长.

【学以致用】

(2)如图2,若将直角/C沿折叠，点、C与AB中点b重合，点分别在/C,2C上，则/

之间有怎样的数量关系？并证明你的结论.