广西桂林市2024年中考数学一模考试试卷（含答案）

广西桂林市2024年中考数学一模考试试卷

姓名：班级：考号：

题号——总分

评分

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的,

用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）

1.-2024的相反数是（）

A.-2024B.2024C.±2024D.

2.下列交通标志图形中是轴对称图形的是（）

©@

血

3.“品桂林经典，享激情桂马”，2024年3月17日上午8时，2024桂林马拉松赛在桂林市中心广场鸣枪开

跑，30000名选手全力以赴，共享桂林山水.将数据30000用科学记数法表示为（）

A.3X105B.30X103C.3x104D.0.3X105

4.下列单项式中，能够与24/2合并的是（)

A.xyB.3y2%C.2y2D.

5.直角三角形的一个锐角是70。，则它的另一个锐角是()

A.20°B.70°C.110°D.20°或70°

6.为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，心理老师从中抽取了500名学生的评估报告进行统计

分析，下列说法不正确的是（）

A.样本容量是500

B.样本是500名学生的心理健康情况

C.个体是一个学生的心理健康情况

D.总体是8000多名学生

7.如图，直线a〃b,若二135。，则42等于（）

1

8.如图，在RtAZBC中，ZC=90。，tanA=。BC=8,贝l]4C等于（）

9.据某品牌新能源汽车经销商6月至8月份统计，该品牌新能源汽车6月份销售120辆，8月份销售144辆.

设月平均增长率为％,根据题意，下列方程正确的是（）

A.120（1+%）2=144B.144（1—久下=120

C.120（1+2久）=144D.144（1-2%）=120

10.如图，把长短确定的两根木棍AB,AC的一端固定在4处，和第三根木棍BM摆出△ABC固定，木棍AC绕4

转动，得到△48。，这个实验说明（）

A.有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等

B.有两角分别相等且其中等角的对边相等的两个三角形不一定全等

C.两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

D.有两边和其中一边对角分别相等的两个三角形一定不全等

11.如图，△^。可的顶点时在第一象限，顶点N在久轴上，反比例函数y=1的图象经过点M,若MO=MN,

△MON的面积为8,贝丸的值为（）

A.32B.16C.8D.4

12.对于一个函数：当自变量支取a时，其函数值y也等于a,我们称a为这个函数的不动点.若二次函数y=

X2+2X+C（c为常数）有两个不相等的不动点，贝k的取值范围是（）

2

11

A.c-TB.c<-2C.c>—2D.c>——

44

二'填空题（共6小题，每小题2分，共12分，请将答案填在答题卡上）

13.点P（2,—3）在第象限.

14.因式分解：m2—9=.

15.如图是某地球仪的主视图，AB、CD、EF分别是赤道平面、地轴、黄道平面，我们知道地球仪的地球是倾

斜的，地球仪的地球姿态是公转时的姿态，地球公转时，地轴并不是垂直于黄道平面（地球公转轨道平面），

所以地球是斜着身子进行公转的，就产生了黄赤交角，其度数为乙40F=23。26地球仪上地轴的倾斜角度

与黄赤交角是互余的，所以地球仪上地轴的倾斜角/COF等于.

16.不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，两种球除颜色外其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到黄球

的概率是.

17.如图，在等边△ABC中，AB=6,BD平分乙ABC,点E在BC的延长线上，且ZE=30。，则CE的长

18.如图，点。是以力B为直径的半圆的圆心，。是半圆上的一动点，以。。为对角线作菱形。CDE,且NCDE=

60°,经过C、E的直线分别与半圆交于F、G点，交。。于点M.已知CE=28，贝UFG的长为.

三,解答题（本大题共8题，共72分，请将解答过程写在答题卡上）

19.计算：2义（_3）+返_（巡—1）°.

3

20.解不等式：3%-1>4-2%,并把解集表示在数轴上.

-4-3-2-101234

21.如图，在△ABC中，AC=BC,ZC=36。，点。在AC边上，且ZD=4B.

（1）求NB4c的度数；

（2）尺规作图：作ZBAC的平分线，交BC于点E,连接DE；（保留作图痕迹，不要求写作法）

（3）在（2）的条件下，求证：BE=CD.

22.某校开学初对七年级学生进行一次安全知识问答测试，设成绩为％分（久为整数），将成绩评定为优秀、良

好、合格，不合格四个等级（优秀，良好，合格、不合格分别用A,B,C,。表示），A等级：90<%<100,

B等级：80<x<90,C等级，60W久<80,。等级：0W久<60.该校随机抽取了一部分学生的成绩进行调

查，并绘制成如图不完整的统计图表.

等级频数（人数）

4(90<x<100)a

8(80<90)16

C(60<%<80)C

£)(0<x<60)4

请你根据统计图表提供的信息解答下列问题：

(1)直接写出图表中的a,c,m的值；

(2)请判断这组数据的中位数所在的等级；

(3)该校决定对分数低于80分的学生进行安全再教育，已知该校七年级共有1000名学生，请通过计算估

计该校七年级需要进行安全再教育的学生有多少人？

23.为了响应“绿色环保，节能减排”的号召，小华家准备购买4B两种型号的节能灯，已知购买1盏A型和2

盏B型节能灯共需要40元，购买2盏4型和3盏B型节能灯共需要70元.

(1)A,B两种型号节能灯的单价分别是多少元？

(2)若要求这两种节能灯都买，且恰好用了50元，则有哪几种购买方案？

24.联想与思考

【提出问题】同学们已经研究过锐角三角形面积与内切圆半径之间的关系，即：如图1,在锐角AABC中，

乙4、乙B、NC的对边分别是a、b、c,设△ABC的内切圆。。半径为r,△ABC的面积为S,贝心=空竽虫.小

明同学在学习了以上的知识后提出了另一个问题：任意一个锐角三角形都有内切圆与外接圆，那么锐角三角

形的面积S与它的外接圆半径有怎样的关系呢？

BaC

图1

【分析问题】为解决该问题，老师让同学们进行了如下的思考与探究：

(1)如图2,设锐角△ABC的外接圆半径为R,同学们得出猜想：忌=2兄

在证明的过程中，同学们发现该猜想的结论与sin4有关，由此启发：添加辅助线构建直角三角形来解决问

5

题.小明经过思考做了以下尝试解答，请你补全证明过程:

（2）请你根据上述启发，结合图3,证明：S=：bcsin4

（3）【解决问题】

结合（1）、（2）的结论，请探究出锐角三角形的面积S与它的外接圆半径R之间的关系（用含有a、b、c和R

的式子表示S）,并说明理由.

25.综合与实践

【材料阅读】我们知道，（迎—7^）2之0（a>0,b>0）,展开移项得a+b之当a=b时，取到等

号；我们可以利用它解决形如“X+・（久>0,n为常数且n>0）的最小值”问题.

例如：求式子尤+q（久〉0）的最小值.

解：l0=4-当久=缉寸，即久=2时，式子有最小值，最小值为4.

x+X->27Xx

【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为12租）的矩形篱笆

花园（如图1所示）的面积S和篱笆总长Z与力3的长度。之间的关系进行了研究分析.

6

墙长12

图1

(1)当该矩形花园的面积S为3262,篱笆总长/为20m时，求a的值;

(2)当篱笆总长/为20nl时,

①写出S关于a的函数关系式，并写出a的取值范围;

②当a取何值时，S有最大值？最大值是多少？

(3)当面积S为32加2时,/关于a的函数解析式为/=2a+半,数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出

了其函数图象如图2所示，点P为图象的最低点，观察图象并结合［材料阅读］,当自变量a的取值范围为多少

时，1随a的增大而减小？(直接写出a的取值范围)

26.探究与推理

如图1,在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,连AC,点P为OC上的一个动点，点P从。点出发，以每秒4个

单位的速度沿DC向终点C运动.过点P作AC的平行线交于点Q,将APOQ沿PQ对折，点O落在点E处，连DE

交PQ于点G,设运动的时间为t秒;

备用图

(1)用含有t的式子表示DG.

(2)当t为何值时，点E恰好落在线段AC上；

(3)如图2,在点P运动过程中，以PE为直径作。0,当t为何值时，。。与矩形的边相切？请说明理由.

7

8

答案解析部分

L【答案】B

【解析】【解答】解：-2024的相反数是2024,

故答案为：B.

【分析】根据相反数的定义即可求出答案.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：A、\•该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，二A不符合题意；

B、•.•该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，.。上不符合题意；

C、•.•该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，.•.€：不符合题意；

D、•.•该图形是轴对称图形，；.D符合题意；

故答案为：D.

【分析】根据轴对称图形的定义逐项分析判断即可。

3.【答案】C

【解析】【解答】解：30000=3X103

故答案为：C.

【分析】将一个数表示成ax1(F的形式，其中1<⑷<io,n为整数，这种记数方法叫做科学记数法.

4.【答案】B

【解析】【解答】解：A、xy与2%必不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；

B、3y2久与2久y2是同类项，能合并，故本选项符合题意；

C、2y2与2xy2不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；

D、与2%y2不是同类项，无法合并，故本选项不符合题意；

故答案为：B

【分析】根据同类项定义，合并同类项法则逐项进行判断即可求出答案.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：•••直角三角形的一个锐角是70。，

它的另一个锐角是90。一70°=20°,

故答案为：A.

【分析】利用直角三角形的两锐角互余，可求出结果.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：•••为了解某县七年级8000多名学生的心理健康情况，

二总体是8000多名学生的心理健康情况，

9

•*.D选项不正确，

故答案为：D.

【分析】根据数据统计中样本容量定义，样本定义，总体定义逐项进行判断即可求出答案.

7.【答案】C

【解析】【解答】解：如图：

'：a//b,

.,.Z2+Z3=180°,

VZ1=Z3,Zl=135°,

.-.Z3=135°,

.\Z2=45°,

故答案为：C.

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可得N2+N3=180。，根据对顶角相等可得N3=135。，即可求解.

8.【答案】B

9.【答案】A

10.【答案】A

【解析】【解答】解：在AABC和AABD中，AB=AB,AC=AD,ZABC=ZABD,

此时△ABC和4ABD不全等，

,有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等.

故答案为：A.

【分析】根据有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即可求解.

n.【答案】c

【解析】【解答】解：过M作MA±ON于A,

；.OA=AN,

10

设M点的坐标为（a,b）,

贝ljOA=AN=a,AM=b,

,/△MON的面积为8,

1

••2,x2axb=8,

ab=8,

在反比例函数y=1上，

/.ab=k,

即k=8,

故答案为：c.

【分析】过M作MALON于A,根据等腰三角形底边上的高和底边上的中线重合可得OA=AN,设M点的

坐标为（a,b）,结合三角形的面积和反比例函数的几何意义即可求解.

12.【答案】A

【解析】【解答】解：•..二次函数y=/+2久+c（c为常数）有两个不相等的不动点，

.•.二次函数y=x2+2x+c与函数y=%有两个交点

.,.x2+2x+c=久有两个不相等的实数根

.'.x2+x+c=0

A=非—4ac=12—4xlXc>0

解得c<J.

故答案为：A.

【分析】根据题意得到二次函数y=/+2%+c与函数y=x有两个交点，即方程/+久+。=。有两个不相等

的实数根，则判别式4=所-4ac>0,解不等式即可求出答案.

13.【答案】四

【解析】【解答】解：（2,-3）的横坐标大于0,纵坐标小于0,

.•.点P（2,-3）在第四象限，

故答案为：四.

【分析】根据象限内点的坐标特征：第一象限（+，+）;第二象限（-,+）;第三象限第四象限（+,

-）,即可求解.

14.【答案】（m+3）（m-3）

【解析】【解答】m2-9=（m+3）（m-3）

故答案为：（m+3）（加一3）.

【分析】观察此多项式的特点：含有；两项，都能写成平方形式，两项的符号相反，由此利用平方差公式分

11

解因式。

15.【答案】66°34'

【解析】【解答】解：•••/AOF=23O26',地球仪上地轴的倾斜角度与黄赤交角是互余的，

地球仪上地轴的倾斜角ZCOF=90°-23o26,=66°341,

故答案为：66°341.

【分析】根据如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即可求解.

16.【答案】|

【解析】【解答】解：摸到黄球的概率为：杀=|；

故答案为：|.

【分析】根据随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数即可求解.

17.【答案】3

【解析】【解答】解：ABC是等边三角形，AB=6,BD平分/ABC,

・・・AD=CD=3,NACB=60。，

VZE=30°,

:.NCDE=NACB-NE=30。，

・・・NE=NCDE=30。，

・・・CE=CD=3；

故答案为：3.

【分析】根据等边三角形的性质可得AD=CD=3,NACB=60。，结合三角形的外角等于与它不相邻的两个

内角之和可得NCDE=30。，根据等边对等角可得CE=CD=3.

18.【答案】6V3

【解析】【解答】解：如图所示，连接OF,

・・•四边形OCDE是菱形，

AOD±CE,MD=MO,CM=EM,CD=DE,

ZCDE=60°,CD=DE,

•••△CDE是等边三角形，

则CE=DE=2®

12

.".ME=百,

故DM=<DE12-ME2=J（2V3）2—（V3）2=3，

VOD1CE,

；.FM=GM,0M=DM=3,OF=OD=6,

-,-FM=VOF2-OM2=V62-32=3翼,

'.FG=2FM=6V3;

故答案为：6V3.

【分析】连接OF,根据菱形的对角线互相平分且垂直，四条边都相等可得ODLCE,MD=MO,CM=EM,

CD=DE,根据有一个角是60。角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得CE=DE=

2V3,根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出DM=3,根据垂直于弦的直径平分弦可得

FM=GM,根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出FM的值，即可求解.

19.【答案】解：2x（-3）+四一（遥-1）°

=-6+2-1

=—5.

【解析】【分析】先将算术平方根和0次幕化简，再进行计算即可.

20.【答案】解：3%—1>4—2x,

3x+2x>4+1,

5%>5,

x>1,

把其解集在数轴上表示，如图所示:

1।1।・什1।

-4^-2-101234

21.【答案】（1）解：♦.YC=BC,ZC=36°,

乙180°-zC1800-36°

•••Z-BAC=B2=2

（2）解：如图所示，射线4E、线段。E为所求.

（3）解：由（2）可知AE平分ABAC,

13

・•.^BAE=乙CAE=36°,

在434E和中，

AB=AD

乙BAE=乙CAE,

、AE=AE

BAEDAE（SAS）,

・・・乙ADE=LB=72°,BE=DE,

・•・2DEC=^ADE-ZC=72°-36°=36°=zC,

・•.DE=CD,

・•.BE=CD.

【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的两底角相等和三角形内角和是180。，求解即可；

（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；

（3）根据从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得到

ZBAE=ZCAE=36°,根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，对应角

相等可得NADE=NB=72。，BE=DE,根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得NDEC=NC,根

据等角对等边可得DE=CD,即可证明BE=CD.

22.【答案】（1）a=8,c=12,m=30.

（2）解：把这组数据从小到大排列，排在中间的两个数都在B等级，

所以这组数据的中位数所在的等级是B等级.

（3）解：1000x^^=400（人）

4U

答：该校七年级需要进行安全再教育的学生有400人.

【解析】【解答］解：（1）解：由题意得，样本容量为：16：40%=40,

・・・a=40x20%=8,

0=40-8-16-4=12,

19

m%=±^=30%,即m=30.

【分析】（1）用B等级的频数除以B等级的频率可得样本容量，再用样本容量乘A等级所占百分百20%可得

a的值；用样本容量分别减去其他三个等级的频数可C等级的频数，进而得出c和m的值；

（2）根据将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的

数就是这组数据的中位数，如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数即

可求解；

（3）用1000乘样本中C、D等级所占百分百之和即可求解.

23.【答案】（1）解：设A种型号节能灯的单价为x元，B种型号节能灯的单价为y元，

14

(x+2y=40

(2%+3y=70，

解得：忧工

答：4种型号节能灯的单价为20元，B种型号节能灯的单价为10元

(2)解：设购买4种型号节能灯m盏，B种型号节能灯n盏，

：•20m+10n=50,

因为根、n均为正整数,

・••共有两种购买方案，分别是：

方案①：购买/种型号节能灯1盏，B种型号节能灯3盏；

方案②：购买A种型号节能灯2盏，B种型号节能灯1盏.

24.【答案】(1)D；90；sin。

AK

/\E

⑵证明：过B作BELAC于E,如图：C/\b

HaC

•••在R"ABE中，*sin4

/.BE=c*sinA,

11

・•.S—3BE•AC--^bcsmA9

(3)解：由(1)、(2)可知会=sinZ,S=^bcsinAf

「17aabc

-S=2bc-2R=^R-

【解析】【解答］解：(1)连接BO2并延长交。02于点D,连接CD,

・・・NA=ND,ZBCD=90°,

・••玲=sinD=sinA,

工品=2七

故答案为：D；90；sinD.

15

【分析】(1)连接BO2并延长交。02于点D,连接CD,根据等弧所对的圆周角相等得到NA=/D,直径所对

的圆周角是直角可得/BCD=90。，根据正弦的定义得到看=s仇。=即可求解；

(2)过B作BELAC于E,根据正弦的定义得到BE=c”inA,利用三角形面积公式即可得到结论；

(3)根据(1)、(2)中的结论即可求解.

25.【答案】(1)解：依题可知32=以20—2a),即：a2-10a+16=0,

解得=2,=8,

当a=2时，20—2a=16>12,不符合题意，舍去，

•1•a=8.

⑵解:①S=a(20-2a),

'a>0

V20-2a>0,

.20—2a412

解得：4<a<10,

故S=a(20-2a)=-2a2+20a(4<a<10)；

@S=-2a2+20a=-2(a-5)2+50,

V-2<0,4<a<10,

.•.当a=5时，S有最大值，最大值为50.

(3)解：根据题意可得：2a+%>212a至，

a~ya

即2a+——>16,

a

当2a=%时，2a+%有最小值为16,

aa

解得：a=4或a=-4(舍去)，

.•.点P的坐标为(4,16),

又■>()且当M12,

解得：§4①

综上，当时，1随a的增大而减小.

26.【答案】(1)解：依题可知PD=4t,由折叠可知PQIE。，

在矩形力BCD中，^ADC=90°,AB=CD8,BC=AD=6,

AC=siAD2+DC2=V82+62=10,

又•••PQ//AC,

:.Z-ACD=Z-GPD,

.AD3.DG

••sinz.j4C/0DrA==耳=sinZ.GP£)=

16

312

DG=PD•smZ-GPD=4tx=-g-t.

(2)解：由折叠可知PQ垂直平分ED,

♦.•点E恰好落在线段AC±,

324

:・DE=CD•sin^ACD=8x[=学

・24,24

••亏”工

解得：t=1.

(3)解：连接0G

依题可知，。为EP的中点，G为ED的中点，PQ1ED,PD=PE=4t,即半径为23

•••0G||PD,

在矩形ABCD中，NABC=乙BCD=^ADC=90°,

XvPQ||AC,PQ1ED,"DC=90。，

•••Z-PDG-Z-CAD-Z.PQD,

34

・•.cosZ-PDG-cosZ-CAD=耳，sinZ-PDG=sinZ-CAD—耳；

①当