函数模型及其应用（原卷版）

专题13函数模型及其应用

【考点预测】

1.几种常见的函数模型:

函数模型函数解析式

一次函数模型f(x)=ax+b(a,。为常数且。。0)

反比例函数模型k

/(%)=—+优左，6为常数且4工。)

二次函数模型/(%)=ax2+bx+c(a,b,c为常数且〃wO)

指数函数模型/(x)=bax+c(a,b,。为常数，bwO,a>0,awl)

对数函数模型

f(x)=b\ogax+c(a,b,c为常数，6w。，a>0,awl)

幕函数模型/(x)=axn+b(a,Z?为常数，

2.解函数应用问题的步骤：

(1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型;

⑶解模：求解数学模型，得出结论；

⑷还原：将数学问题还原为实际问题.

【题型归纳目录】

题型一：二次函数模型，分段函数模型

题型二：对勾函数模型

题型三：指数函数、对数函数模型

【典例例题】

题型一：二次函数模型，分段函数模型

例1.（2022.黑龙江•哈尔滨三中三模（理））如图为某小区七人足球场的平面示意图，为球门，在某次

小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的尸点处接球，此时tanZAM=W，假设甲沿着平行

边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度（即NAQ3最大），则射门时甲离上

方端线的距离为（）

C.10A/2D.106

例2.（2022・甘肃酒泉•模拟预测（文））如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,。是A8的中点，点P

沿着边BC、C。与"运动，记=将钻的面积表示为关于x的函数f（x）,则〃x）=

（）

A.当时，/(x)=2tanx

八23兀

B.当尤i|o,—w,/(x)=-tanx

一3九\

C.当工£时，/(x)=-tanx

D.当xw彳,》)时，/(x)=tanx

例3.（2022.上海交大附中高三开学考试）2020年11月5日至10日，第三届中国国际进口博览会在上海

举行，经过三年发展，进博会让展品变商品，让展商变投资商，交流创意和理念，联通中国和世界，国际

采购、投资促进、人文交流，开放合作四大平台作用不断凸显，成为全球共享的国际公共产品.在消费品展

区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场.已知该产品年固定研发成本为150万

元，每生产1万台需另投入380万元.设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为

500-2x,0<x<20

R（x）万元,且尺（九）=\"214062502.

370+.................-,x>20

、xx

（1）写出年利润S（万元）关于年产量X（万台）的函数解析式；（利润=销售收入一成本）

（2）当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大？并求出最大年利润.

例4.（2022.全国•高三专题练习）某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固

定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数

,、400X--X2,（0<X<400）

刈无尸2I',其中x是“玉兔”的月产量.

80000,（x>400）

（1）将利润Hx）表示为月产量尤的函数；

（2）当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？（总收益=总成本+利润）

例5.（2022.河北.模拟预测）劳动实践是大学生学习知识、锻炼才干的有效途径，更是大学生服务社会、回

报社会的一种良好形式某大学生去一服装厂参加劳动实践，了解到当该服装厂生产的一种衣服日产量为x

件时，售价为s元/件，且满足s=820-2x,每天的成本合计为600+20x元，请你帮他计算日产量为

件时，获得的日利润最大，最大利润为万元.

【方法技巧与总结】

1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别

找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.

2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏.

题型二：对勾函数模型

例6.（2022.全国•高三专题练习）某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，

此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一

年增加2万元.为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为（）

A.8B.10C.12D.13

例7.（2022.全国•高三专题练习）迷你K7V是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电

话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎.如图是某间迷你K7V的横截面示意

3

图，其中A8=AE=],ZA=ZB=ZE=90°,曲线段8是圆心角为90。的圆弧，设该迷你K7V横截面的

面积为S,周长为乙则^的最大值为.（本题中取"=3进行计算）

例8.（2022•全国•高三专题练习）如图所示，设矩形438（钻＞4。）的周长为20加，把ABC沿AC折

叠，4?折过去后交。C于点P,设AB=xcm,AD-ycm.

B'

（1）建立变量y与x之间的函数关系式y=/（%）,并写出函数y=/（%）的定义域;

（2）求△ADP的最大面积以及此时的X的值.

例9.（2022•全国•高三专题练习）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、

气韵生动、极富书卷气.如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形3S所得部分.已知扇环

周长=300cm,大扇形半径OZ）=100cm,设小扇形半径Q4=xcm,=6弧度，贝！]

①。关于尤的函数关系式8（尤）=.

②若雕刻费用关于X的解析式为以x）=10x+1700,则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为

【方法技巧与总结】

1.解决此类问题一定要注意函数定义域；

2.利用模型/（%）=ax+b巳求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件.

x

题型三：指数函数、对数函数模型

例10.（2022・全国•模拟预测）天文学上用绝对星等衡量天体的发光强度，用目视星等衡量观测者看到的天

体亮度，可用加=相-51gq■近似表示绝对星等“、目视星等机和观测距离d（单位：光年）之间的关

系.已知织女星的绝对星等为0.58,目视星等为0.04,大角星的绝对星等为-0.38,目视星等为-0.06,则

观测者与织女星和大角星间的距离的比值约为（）

A.10幺2B.10。172c.IO-0044D.1O-0172

例11.（2022.河南•模拟预测（文））金针菇采摘后会很快失去新鲜度，甚至腐烂，所以超市销售金针菇时

需要采取保鲜膜封闭保存.已知金针菇失去的新鲜度场与其采摘后时间f（天）满足的函数解析式为

〃=加ln«+a）,（a>0）.若采摘后1天，金针菇失去的新鲜度为40%,采摘后3天，金针菇失去的新鲜度

为80%.那么若不及时处理，采摘下来的金针菇在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知左。1.414,结

果取一位小数）（）

A.4.0天B.4.3天C.4.7天D.5.1天

例12.（2022.陕西西安•三模（理））2022年4月16日，神舟十二号3名航天员告别了工作生活183天的

中国空间站，安全返回地球中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得

速度增量的公式刈=匕比%，其中为火箭的速度增量，匕为喷流相对于火箭的速度，砥和%分别代

表发动机开启和关闭时火箭的质量，在未来，假设人类设计的某火箭以达到5公里/秒」，从100提高到

mx

600,则速度增量增加的百分比约为（）（参考数据：1112=0.7,ln3~l.l,ln5~1.6

A.15%B.30%C.35%D.39%

例13.（2022.贵州・模拟预测（理））生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地

的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖，繁殖间隔T为相

邻两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型K5）=21n〃（4为常数）来描述该物种累

计繁殖数量〃与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且。=；+1,在物种入侵初期，基于现有数据

得出Q=6,7=50.据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加11倍所需要的时间为

（ln2«0.69,ln3~1.10）（）

A.22.0天B.13.8天C.24.8天D.17.9天

例14.（2022.四川省泸县第二中学模拟预测（理））2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘

帽，脱贫攻坚取得重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号

召，积极参与帮扶活动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补

贴10万元.若要实现2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为（参考值：

VL82«1.22,1.2）（）

A.10%B.20%C.22%D.32%

例15.（2022・广西•模拟预测（理））异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系

通常以基函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率,与其体重x满足＞=履"，其中人和a为正常数，

该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状

态的8倍，则&为（）

A.-B.1C.-D.-

4234

例16.（2022・贵州贵阳•二模（理））2021年11月24日，贵阳市修文县发生了4.6级地震，所幸的是没有

人员伤亡和较大财产损失，在抗震分析中，某结构工程师提出：由于实测地震记录的缺乏，且考虑到强震

记录数量的有限性和地震动的不可重复性，在抗震分析中还需要人工合成符合某些指定统计特征的非平稳

地震波时程，其中地震动时程强度包络函数/（。=L（单位：秒）分别为控制强震

1

平稳段的首末时刻；f,（单位：秒）表示地震动总持时；。是衰减因子，控制下降段衰减的快慢.在一次

抗震分析中，地震动总持时是20秒，控制强震平稳段的首末时刻分别是5秒和10秒，衰减因子是0.2,

则当/=15秒时，地震动时程强度包络函数值是（）

A.e-B.1C.9D.e-2

【方法技巧与总结】

1.在解题时，要合理选择模型，指数函数模型是增长速度越来越快（底数大于1）的一类函数模型，与增长率、

银行利率有关的问题都属于指数模型.

2.在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像求

解最值问题.

【过关测试】

一、单选题

1.（2022•辽宁葫芦岛•二模）某生物兴趣小组为研究一种红铃虫的产卵数y与温度x（单位：℃）的关系.现

收集了7组观测数据（%,y）［=l,2,L,7）得到下面的散点图：

350

300

250

200

150

100

50

?02224262830323436

温度/°C

由此散点图，在20℃至36℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为红铃虫产卵数y和温度x的回归方

程类型的是（）

b

A.y=a+bxB.y=a+—C.y=a+bexD.y=a+blnx

x

2.（2022.全国.模拟预测）影响租金的因素有设备的价格、融资的利息和费用、税金、租赁保证金、运

费、各种费用的支付时间、租金的计算方法等，而租金的计算方法有附加率法和年金法等，其中附加率法

每期租金R的表达式为R=+（其中尸为租赁资产的价格；N为租赁期数，可按月、季、半

N

年、年计；i为折现率；r为附加率）.某小型企业拟租赁一台生产设备，租金按附加率法计算，每年年末

支付，已知设备的价格为84万元，折现率为8%,附加率为4%,若每年年末应付租金为24.08万元，则

该设备的租期为（）

A.4年B.5年C.6年D.7年

3.（2022・全国•模拟预测）随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频

繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量

损耗满足传输公式：£=32.44+201g£>+201gF,其中。为传输距离，单位是km,P为载波频率，单位是

MHz,L为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若载波频率增加了1倍，传输损耗增加了18dB,则传输距

离增加了约（参考数据：怆2。0.3,34。0.6）（）

A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍

4.（2022•全国•模拟预测）施工企业承包工程，一般实行包工包料，需要有一定数量的备料周转金，由建

设单位在开工前拨给施工企业一定数额的预付备料款，构成施工企业为该承包工程储备和准备主要材料、

结构件所需的流动资金.确定工程预付款起扣点的依据是：未完施工工程所需主要材料和构件的费用等于

工程预付款的数额.计算公式为：7=尸-三（r：工程预付款起扣点，尸：承包工程合同总额，M：工

N

程预付款数额，N：主要材料及构件所占比重）.某施工企业承接了一个合同总额为208万元的新工程，

该工程预付款起扣点为160万元，主要材料及构件所占比重为65%,则建设单位应预付给施工企业的金额

为合同总额的（）

A.12%B.15%C.18%D.21%

5.（2022.北京.二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）

与时间单位：h）间的关系为尸=4片,其中玲，人是正的常数.如果在前10h污染物减少19%,那么

再过5h后污染物还剩余（）

A.40.5%B.54%C.65.6%D.72.9%

6.（2022・全国•模拟预测）某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药

剂后，药剂的浓度C（单位：mg/m3）随时间单位：h）的变化关系可近似的用函数

100(7+1)

c。＞0）刻画.由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过

(0=/+41+19

)

A.3hB.4hC.5hD.6h

7.（2022・云南曲靖.二模（文））某大型家电商场，在一周内，计划销售A、8两种电器，已知这两种电器

每台的进价都是1万元，若厂家规定，一家商场进货B的台数不高于A的台数的2倍，且进货8至少2台，

而销售A、8的售价分别为12000元/台和12500元/台，若该家电商场每周可以用来进货A、8的总资金为

6万元，所进电器都能销售出去，则该商场在一个周内销售A、B电器的总利润（利润=售价一进价）的

最大值为（）

A.1.2万元B.2.8万元C.1.6万元D.1.4万元

8.（2022・全国•高三专题练习）基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一

个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以

用指数模型：/«）="描述累计感染病例数/«）随时间f（单位：天）的变化规律，指数增长率厂与4,T

近似满足&=1+".有学者基于已有数据估计出&=3.28,7=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计

感染病例数增加3倍需要的时间约为（ln2,0.69）（）

A.3.6天B.3.0天C.2.4天D.1.8天

二、多选题

9.（2022•全国•高三专题练习（理））某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km（不超过

3km按起步价付费）；超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km时，超过部分

按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（）

A.出租车行驶2km,乘客需付费8元

B.出租车行驶4km,乘客需付费9.6元

C.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元

D.某人两次乘出租车均行驶5km的费用之和超过他乘出租车行驶10km一次的费用

10.（2022・全国•高三专题练习）某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注

射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间f（小时）之间的关系近似满足如图所示的曲

线.据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则（）

B.注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时

C.注射该药物1小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克

O

、_31

D.注射一次治疗该病的有效时间长度为5鱼时

11.（2022•全国•高三专题练习）“双H”购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总

额满一定额度，可以给与优惠：（1）如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；（2）如果购物总额超过

50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；（3）如果购物总额超过100元但不超过300元，则按标

价给予9折优惠；（4）如果购物总额超过300元，其中300元内的按第（3）条给予优惠，超过300元的部

分给予8折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法正确的是（）

A.如果购物总额为78元，则应付款为73元

B.如果购物总额为228元，则应付款为205.2元

C.如果购物总额为368元，则应付款为294.4元

D.如果购物时一次性全部付款442.8元，则购物总额为516元

2

12.（2022•全国•高三专题练习）某一池清里浮萍面积了（单位：m）与时间r（单位：月）的关系为

y=2"下列说法中正确的说法是（）

A.浮萍每月增长率为1

B.第5个月时，浮萍面积就会超过30m2

C.浮萍每月增加的面积都相等

D.若浮萍蔓延到2m2,Bn?,6m?所经过时间分别为6,则

三、填空题

13.（2022.全国•模拟预测）一种药在病人血液中的量保持lOOOmg以上才有疗效，而低于500mg病人就有

危险.现给某病人静脉注射了这种药2000mg,如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥

药物的利用价值，那么从现在起经过小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.（附：

lg2«0.3010,lg3«0.4771,精确至iJO.lh）

14.（2022.辽宁丹东•模拟预测）某公司2021年实现利润100万元，计划在以后5年中每年比上一年利润

增长4%,则2026年的利润是万元.（结果精确到1万元）

15.（2022・北京•二模）某公司通过统计分析发现，工人工作效率E与工作年限厂（厂>0）,劳累程度

HO<T<1）,劳动动机仪1<6<5）相关,并建立了数学模型E=10-10T为如".

己知甲、乙为该公司的员工，给出下列四个结论:

①甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作年限长,劳累程度弱，则甲比乙工作效率高;

②甲与乙劳累程度相同，且甲比乙工作年限长,劳动动机高，则甲比乙工作效率高;

③甲与乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，劳动动机低，则甲比乙劳累程度强:

④甲与乙劳动动机相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短.则甲比乙劳累程度弱.

其中所有正确结论的序号是

16.（2022・全国•高三专题练习）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了

重要的防洪减灾效益.每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量

的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数=（水库实际蓄水量）-（水库总蓄水量）X100）来

衡量每座水库的水位情况.假设某次联合调度要求如下：

（i）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间［。,100］;

（ii）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（iii）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变.

记彳为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

①,=一万厂+6%；®y=lOyfx；③y=而；@y=lOOsin——x.

乙U乙uu

则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是.

四、解答题

17.（2022・上海交大附中高三期中）“跳台滑雪”是冬奥会中的一个比赛项目，俗称“勇敢者的游戏”，观赏

性和挑战性极强.如图：一个运动员从起滑门点A出发，沿着助滑道曲线〃尤）=-相二，（-6《尤40）滑

到台端点8起跳，然后在空中沿抛物线g（x）=62-20④->（尤>0）飞行一段时间后在点C着陆，线段BC

的长度称作运动员的飞行距离，计入最终成绩.已知8（力=加-206在区间［0,30］上的最大值为

-30,最小值为-70.

/（起滑门）

助滑道

7、、空中飞翔

8（台端）\

。（着陆点）

⑴求实数。，6的值及助滑道曲线A8的长度.

（2）若运动员某次比赛中着陆点C与起滑门点A的高度差为120米，求他的飞行距离（精确到米,

75«2.236）.

18.（2022.上海市建平中学高三阶段练习）有一条长为120米的步行道。4,A是垃圾投放点?，以。为

原点，为x轴正半轴建立直角坐标系.设点以x,0）,现要建设另一座垃圾投放点e&0）,函数£（x）

表示与点B距离最近的垃圾投放点的距离.

⑴若7=60,求启。0）、江（80）、启（95）的值，并写出启⑺的函数解析式；

（2）若可以通过f（x）与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利.问：垃圾投放点？

建在何处才能比建在中点时更加便利？

19.（2022•上海市松江二中高三开学考试）某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立

了一个预测该市一天中的大气污染指标与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：

“f）=g（t）+g