河南省濮阳市2025届高三年级下册一模数学试卷（解析版）

河南省濮阳市2025届高三下学期一模数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合4={尤1y=J—*+2x+15},3={x|y=ln(x2—x—6)},则AB=

()

A.[-3,-2)0(3,5]B,[-3,5]

C.RD.(TO,-2)U(3,4<O)

【答案】A

【解析】由—必+2%+1520,f#x2-2x-15<0,得—3WxW5,得4=[—3,5],

由6>0，得xv—2或x>3,得5=(-00,—2)u(3,+8),

所以AB=[-3,-2)o(3,5],

故选：A.

2.若i(l+z)=l,则z—z=()

A.-2B.0C.2iD.-2i

【答案】D

【解析】因为i(l+z)=l,所以1+z=：=77=—i,z=—1—i,所以z=-1+i，

z—z=-1—i—(—l+i)=-2i,

故选：D.

3.已知圆。：炉+/=2与抛物线C：y2=2px(p>0)的准线相切，则p的值为()

A.也B.2-J2C.2D.4

【答案】B

【解析】由题意可知，圆。是圆心为原点，半径为夜的圆，抛物线C的准线方程为

x=_g由于抛物线。的准线方程与圆。相切，则言=应，解得°=2近.

故选：B.

4.我国古代《洛书》中记载着一种三阶幻方：将1-9九个数字填入一个3x3的正方形方

格，满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相同(如图).已知数列{。/(”eN*)

的通项公式为4=2"+2,现将该数列的前16项填入一个4x4的正方形方格，使其满足

四阶幻方，则此四阶幻方中每一行的数字之和为()

4K

A.60B.72C.76D.80

【答案】C

【解析】由等差数列的性质得，四阶幻方所有数字之和为C.34）x16=38x数

2

xS

由于每行、每列、每条对角线上的数字之和都相等，所以每行的数字之和为二£=76.

4

故选：C.

5.在《ABC中，BC=3,sinB+sinC=《"sinA，且一A3C的面积为工sinA,则

32

A=（）

兀兀兀2兀

A.-B.-C.-D.—

6433

【答案】D

【解析】设ABC中角A,5,C所对的边分别为a,b,c,

因为sin3+sinC=@^sinA，所以由正弦定理可得b+c=巫。=痴，

33

又SABc=gbcsinA=gsinA解得/?c=l,

所以由余弦定理可得COSA=/2+/叽0+心2-/」29=

2bc2bc22

因为4«0,兀）,所以A=W，

故选：D.

22

6.已知椭圆。：三+与=1（。〉人〉0）的左顶点、上顶点分别为4B,右焦点为尸，过

ab

厂且与X轴垂直的直线与直线AB交于点E,若直线AB的斜率小于巫，。为坐标原

4

点，则直线A5的斜率与直线0£的斜率之比值的取值范围是（）

B.，

【答案】D

b

【解析】由已知得，直线A5的方程为y=—X+。,

a

be

设椭圆的焦距为2c（c>0）,由题意设点E（c,%）），则为=—+b,BPE\c,—+b\,

aa

h+bb(a+c),又］^上〈姮,

所以

a4

即Le<l,

所以

44

设直线AB的斜率与直线0E的斜率之比值为加，

b

ace.L111

贝朋二砸工广大=；n=i-7TT又片e<i，所以.7”天

故选:D.

7.截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面

是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个

多边形.已知正三棱锥O—A5C,满足=点p在

VA5C内部（含边界）运动，且|OP|=«,则点尸的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度

为（）

D.---------------

2

【答案】A

【解析】

B

由题意可知，正三棱锥O—ABC,^^OA±OB,OB±OC,OA±OC,OA^3,

可得。4_L平面OBC,得底面正VA5C的边长为3挺，设正VA5C的中心为E,

由七棱锥。-ABC=V三棱锥A-OBC,即^*]*。*^）xsin,xOE=§XQ><3><3X3,

得QE=G，又EP=SP、E0>2=6,

点尸在VABC内部（含边界）运动，且|OP|=&,

所以点P的轨迹是以。为球心，半径为指的球面与VA5C内部（含边界）包含的平面相

交所得的弧，

即点尸的轨迹是以E为圆心，EP=J^为半径的圆在VA5C内部（含边界）的弧，

如图，作石于。，圆与AB交点为G、H,则EG=E〃=JL

V6

____/-JTJT

所以“口八ED2-2,则NGED=—,所以NGE"=—,

cos/GAD=----=-^T=-=------4?

EG&2

7171

则点尸的轨迹在VA5C内部（含边界）的弧所对的圆心角为2兀—3x—=—,

22

则弧长为巴乂石=叵，

22

即点P的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为叵.

2

故选：A.

8.「x]表示大于或者等于x的最小整数，[无」表示小于或者等于x的最大整数.已知函数

/(%)=-+3(+。，)V。，且〃尤)满足：对％,方eR有(%-%)(7(丈1)--(9))<0,

则a的可能取值是()

114

A.----B.0C.—D.一

939

【答案】C

【解析】由(%-%)(/(%)一/(%))V0得fix)在R上单调递减,

当x>0时，/(x)=e-Te(O,l),

当xWO时，/(%)=「尤2+3ax+a]要递减，且/(%)=「『+3ax+a]21,

对于A,当〃=---时，

9

2

—当>/(0)=—!1=0<1,不合题意，故A错

f(x)=X2-—X——

393699

误；

对于B,当a=0时，/(尤)耳龙2]N/(O)=「O]=O<I,不合题意，故B错误；

2

1「，111

对于C,当a=§时，/(x)=x+x+~二1,符合

1212

题意，故C正确；

4「，44x+|j>/(-|)=^<1,不合题

对于D,当&=一时，/(%)=x~+—x+—

939

意，故D错误；

故选：C.

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列结论正确的有()

A.若随机变量。〃满足〃=24+1,则£)(〃)=2£)C)+1

B.若随机变量4〜N(3,〃)，且P(J<6)=0.84，则尸(3<4<6)=0.34

C.若样本数据=，〃)线性相关，则用最小二乘估计得到的经验回归直线

经过该组数据的中心点叵，田

D.根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到％2=4.712.依据。=0.05的独立性

检验（鼠.05=3.841）,可判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05

【答案】BCD

【解析】对A,由方差的性质可知，若随机变量。〃满足〃=24+1,则

DS）=22D/）=4D（小，故A错误；

对B,根据正态分布的图象对称性可得P（3<J<6）=P（J<6）—0.5=0.34,故B正确;

对C,根据回归直线过样本中心点可知C正确；

对D,由/=4.712〉3.841可知判断X与Y有关且犯错误的概率不超过0.05,故D正

确

故选：BCD.

10.已知c>0,且2"=3〃=5°，则（）

A.a>b>cB.ac<b2

C.—+—>—D.^a+c=ac,则6=log310

abc

【答案】ACD

【解析】因为c>0,设2"=3〃=5'=左

对A,知女>1,易知a>/?〉c.选项A正确.

对C,因为a=log,k,b=log3k,c=log5k,所以工=logk2,-=log^3,

ab

』=log*5,于是［+,=108人,2+1。8左3=108*6>log«5=—,选项C正确.

cabc

对D,若a+c=ac,则一+工=1,即108/2+108*5=1（^10=1,贝”=10.

ac

由于=10知6=log310.选项D正确.

2

对B,取左=3,则/=1，由310g32=log38<2知Iog32<§,

2

310g53=log527>2知log53>§,所以logs2<logs3,gplog32-log35<1,

—=log2-log5<1=—z-,此时ac>b2>选项B错误.

ac3~3o

故选：ACD.

11.若函数/（x）的图象连续不断，且存在常数几，使得〃尤+4+X”尤）=0对于任意实

数x恒成立，则称/（九）为“学步”函数.下列命题正确的是（）

A./(x)=x是“学步”函数

B.f(x)=a(。为非零常数)为“学步”函数的充要条件是;1=—1

“学步”函数，且xe0,113

C.若/⑴是x=时，/(x)=,则x£-2

4-4%29

4

时,/(%)=

5-2x

D.若〃力是4=2的“学步”函数，则/(%)在［0,2024］上至少有1012个零点

【答案】BCD

【解析】对于A,7(x)=x是定义在R上的连续函数,

/(x+2)+2/(x)=x+2+2x=(l+2)x+2,

不存在X(X£R),使得/(x+；l)+2/(x)=0,故A错误;

对于B,函数/(x)=a(。为非零常数)是定义在R上的连续函数，且

/(x+2)+X/(x)=Q+XQ=(1+2)Q,

当之=—1时，〃苫+彳)+几〃同=0对于任意的实数*恒成立,

若“尤+为+彳”》)=0对任意实数x恒成立，则(l+2)a=0,解得：2=-1,

故函数/(尤)=。(。为非零常数)为“学步”函数的充要条件是;1=—1,故B正确;

对于C,若"％)是2=-1■的“学步”函数，则/

即〃x)=2/

因为xe0,；1

时,〃x)=

4-4x

11

当xe:2),3og，

x——e4—4卜一;10-4x，

2

，即/'［尤-］

又因为/(尤)=2/2/(x-l),gp/(x-l)=2/

4

所以/(可=8/8x―-,故c正确;

10-4%5-2%

对于D,由题意得：/(x+2)+2/(x)=0,

令x=0得：令2)+2/(0)=0,所以/⑵与/(0)异号，即/⑵•/(0)<0,

由零点存在性定理得：/(%)在(0,2)上至少存在一个零点，

同理可得：/(X)在区间(2.4),(4,6),(6,8)(2022,2024)上均至少有一个零点，

所以/(x)在［0,2024］上至少有1012个零点，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.向量。力在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则以向量。力为邻边的平行四

边形的面积是.

【答案】3

【解析】根据题意，将两个向量平移至相同的起点，以起点为原点建立坐标系如下所示:

则a=(2,1)3=(1,2),

/.\a-b2+24

又两向量的夹角为锐角，

故sinQG=［,

则该平行四边形的面积为5=同,卜加(。力)=J^x«xg=3.

故答案为：3.

13.椭球面镜具有改变光路的方向、使光束会聚的作用，它经常被用来制作精密的光学仪

器的部件.椭球面镜是以椭圆的长轴为旋转轴，把椭圆转动180形成的立体图形，其内表

面全部做成反射面，中空，椭球面镜可以将从某个焦点发出的光线全部反射到另一个焦点

处.从椭球面镜的焦点鸟射出的两条光线，经椭球面镜上的A3两点反射后汇聚于焦点

F2,若3M=285,且|A团=2a闾，则椭球面镜的轴截面椭圆的离心率为.

【答案】也或上出

55

【解析】

设椭圆的长轴长为2a,焦距为2c,短轴长为2可钻|=2/,

则|四|=2|A闾=4,忸阊=3九

由椭圆的定义得|M|+|初|=2a=6/,忸耳|+|陷|=2a=61,

所以忸周=31,因为|明|=牝忸周=34AB|=|伤|+|巡|=5/,所以A耳，3%

又忸耳|=|即|=3f,所以B为椭圆的短轴端点.

\BE\3,

设。为椭圆的中心，因为cosN[55=上3=1=1-25111NOBF,,

\AB\5

所以sin/OBB=^,又在RtZXOBg中，OB±OF2.\OB\=b.\OF2\=c,

所以忸闾=J。?+J=a,所以sinNOBg=,

故答案为：昱

5

14.用一张A4纸围绕半径为厂的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两

7T

段，如图①所示•设圆柱体母线与截面的夹角为a0＜。＜—),如图②将其中一段圆柱体

2

外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲

线是正弦型曲线，如图③建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为

/(%)=Asin(y%(A＞0,。＞0).若/'(X)的最小正周期为2兀，贝什=,此时，若

再有A=2,则sine=.

①②③

【答案】1叵

5

【解析】因为/（尤）的最小正周期为2兀，所以2兀厂=2兀，r=l；

若A=2,则八x）的最大值是2，最小值是—2，

则切口的最高点和最低点的竖直方向的距离为4，

所以tan6=2=L,。是锐角，所以sin6=@.

425

故答案为1；昱

5

四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.中国古代数学著作《九章算术》中记载了一种被称为“曲池”的几何体.该几何体是上、

下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.在如图所示的“曲池”中，

明，平面4月。12,延长4A，8c相交于点。-

2兀

,E为弧4用的中点.

（2）若A4=4AD,求直线CE与平面DEB1所成角的正弦值.

（1）证明：连接。山，OXE,因为E为弧4片的中点,

JT

则/4。1石=§,△das为正三角形，于是

因为招，平面A]B]G2，则有，平面4月孰2,

又平面A]BIG2,于是而DiEcDDi=D-

u平面DD]E,因此A，，平面DQE,又DEu平面D°E,

所以42，DE.

（2）解：以2为坐标原点，D01为无轴，QE为y轴，为z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系。-盯z,

则E（O,Q,O）,-A0（0,0,T）,B,（2,AO）,

（22J

则CE/-：,*,，，DE=（0,A4）,04=（2,64）,

I22J

/、DE-m-6y+42=0

设平面。的法向量为机=（x,y,z）,则《厂

DB]-m=2%+J3y+42=0

令Z=G得，=（0,-4,g,

设直线CE与平面DEB1所成角为6,则

sin8=cos^CE,m

故直线CE与平面DEB1所成角的正弦值为笠.

16.假设在数字通信中传送信号0与1的概率为0.8和02由于随机干扰，当传送信号0

时，接收到信号为0的概率为0.8,当传送信号1时，接收到信号为1的概率为0.9.求：

（1）当接收到信号0时，传送的信号是0的概率；

（2）在信息传送过程中，当第一个人接收到信息后，将信息发送给第二个人，这样依次传

递下去，在n次传递中，0出现的次数为X,求E（X）.

解：（1）记&="传送信号0"，A="传送信号1"，B="接收信号0”.

可知产（4）=0.8,P（A）=0.2,尸（314）=0.8,P（B|4）=0.1,

由贝叶斯公式得所求的概率为：

汽⑶=P（4）P（例4）=0.8X0.8=32

I》'P（4）P（5|4）+P（A）P（B|A）0.8x0.8+0.2x0.133,

即当接收到信号0时，传送的信号是0的概率为一.

33

（2）在一次传送中，接收到。的概率为

P=P（4）P（6|4）+P（A）P（6|A）=0-8X0.8+0.2X0.1=0.66,

每次传送都有相同的传送概率和接收概率，则有X〜6（〃,0.66）,

所以E（X）=0.66%

17.已知椭圆C：^+y2=1（67>1）离心率为子，椭圆C的动弦AB过椭圆C的右

焦点F,当AB垂直x轴时，椭圆C在A,B处的两条切线的交点为M.

（1）求点M的坐标.

（2）若直线AB的斜率为工，过点M作x轴的垂线1,点N为1上一点，且点N的纵坐

m

m11

标为-二，直线NV与椭圆C交于P,Q两点，证明：7石+万方为定值.

（1）解：e

解得片=5,所以椭圆方程—+y2=l,

5

又02=/—〃=5—1=4,所以右焦点尸（2,0）,

当A5垂直x轴时，不妨设A2,，根据对称性可知点M在无轴上,

且直线的斜率存在,

设直线的方程为〉=左（》-2）+g，

y=k(x-2)+^-

联立2

X21

—+V-=1

I5,

消去y得:

-4x5f--2^

左2)=

IJ(1+50,

化简得上2+芷左+±=0,解得上=一述，

555

所以直线M4的方程为y=-冬5》+石，

5

令y=。，解得x='|,故点AI的坐标为['l，。

m

所以左NF='y=一根，故直线M7与AB垂直，

2--

2

[x2+5y2=5/\

联立《，消去工得：9+5)3?9+4的?一1二0,

x=my+2'7

则%+%-22,<，

m+5m+5

所以

心J16加+4（疗+5）275（m2+1）

AB|=Vl+m2\y-y\=>ll+m2•+%『一幻%=

12m2+5m2+5

..+2国l+“）

同理，PQ=—尹一」——~

X,s1+5冽

m2十。

2

11_病+51+5病_6（l+m）_375

P\AB\1PQ_2V5（m2+l）12百（1+/）―2应1+加2厂5，

11

故14川+1n川为定值•

18.随着大数据时代来临，数据传输安全问题引起了人们的高度关注，国际上常用的数据

加密算法通常有AES、DES、RSA等，不同算法密钥长度也不同，其中RSA的密钥长度

较长，用于传输敏感数据.在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是

在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数，若p,q的最大公约数是1,则称p,q

互素.对于任意正整数n,欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为

⑴试求。⑴+0（9）,0⑺+0（21）的值；

（2）设p,q是两个不同的素数，试用p,k表示。（p*）（左eN*），并探究O（pq）与

和W（q）的关系；

（3）设数列｛%｝的通项公式为册=」/0（3"'）（meN*），求该数列的前m项的和

Tm.

解：（1）易得0。）=1,

不超过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则0（9）=6,

不超过7且与7互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则0（7）=6,

不超过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,贝U

研21）=12,

所以。⑴+0（9）=7,0（7）+奴21）=18.

（2）在不大于//的正整数中，只有p的倍数不与互素，而p的倍数有2I个，

因此0（p*）=pJpJ=（夕T）〃i.

由p，q是两个不同的素数，得夕（0）=2一1,"（q）=q—1,

在不超过夕4—1的正整数中，P的倍数有4-1个，q的倍数有0-1个，

于是0（pq）=pq_l_（p_l）—（q—l）=pq_p—q+l=（p_l）（q_l）,

所以0（pq）=0（p）v（q）.

（3）根据⑵得/=（5根—3）x3%'

所以7；=2x3°+7x3+12x32+，+（5rn-3）-3m-1,

3图=2x3+7x32+12x33++（5m-3）-3ffl,

两式相减，得—2图=2+5x3+5x3~++5-3"'】—（5机—3>3”',

15(1-3m-1)

所以-2北=-(5rn-3)-3m+2-

1-3

E115m11

•3m.