2024年高考数学考纲解读与热点难点突破专题09平面向量及其应用热点难点突破文含解析

PAGEPAGE1平面对量及其应用1．在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,4)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,3)，则eq\o(DA,\s\up6(→))＝()A．(2,4) B．(3,5)C．(1,1) D．(－1，－1)【答案】C【解析】eq\o(DA,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)．2．在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D.eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))【答案】B【解析】因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选B.3．已知向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，则∠ABC＝()A．30° B．45°C．60° D．120°【答案】A【解析】因为eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，所以eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2).又因为eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝|eq\o(BA,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝eq\f(\r(3),2).又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故选A.4．将eq\o(OA,\s\up6(→))＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到eq\o(OB,\s\up6(→))，则eq\o(OB,\s\up6(→))＝()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1－\r(3),2)，\f(－1＋\r(3),2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－1＋\r(3),2)，\f(－1－\r(3),2)))5．△ABC外接圆的半径等于1，其圆心O满意eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，则向量eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影等于()A．－eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(3,2) D．3【答案】C【解析】由eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))可知O是BC的中点，即BC为外接圆的直径，所以|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|.又因为|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝1，故△OAC为等边三角形，即∠AOC＝60°，由圆周角定理可知∠ABC＝30°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，所以eq\o(BA,\s\up6(→))在eq\o(BC,\s\up6(→))方向上的投影为|eq\o(BA,\s\up6(→))|·cos∠ABC＝eq\r(3)×cos30°＝eq\f(3,2)，故选C.6．已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段AB交于点D，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是()A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)] D．(－1,0)【答案】B【解析】由题意可得eq\o(OD,\s\up6(→))＝keq\o(OC,\s\up6(→))＝kλeq\o(OA,\s\up6(→))＋kμeq\o(OB,\s\up6(→))(0<k<1)，又A，D，B三点共线可得kλ＋kμ＝1，则λ＋μ＝eq\f(1,k)>1，即λ＋μ的取值范围是(1，＋∞)，故选B.7．已知非零向量m，n满意4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝eq\f(1,3)，若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为()A．4 B．－4C.eq\f(9,4) D．－eq\f(9,4)【答案】B【解析】∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋|n|2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0.又4|m|＝3|n|，∴t×eq\f(3,4)|n|2×eq\f(1,3)＋|n|2＝0，解得t＝－4.故选B.8．如图3­3，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，则eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))等于()图3­3A．－eq\f(3,4) B．－eq\f(8,9)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(4,9)【答案】B【解析】∵eq\o(BF,\s\up6(→))＝2eq\o(FO,\s\up6(→))，圆O的半径为1，∴|eq\o(FO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)，∴eq\o(FD,\s\up6(→))·eq\o(FE,\s\up6(→))＝(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))·(eq\o(FO,\s\up6(→))＋eq\o(OE,\s\up6(→)))＝eq\o(FO,\s\up6(→))2＋eq\o(FO,\s\up6(→))·(eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→)))＋eq\o(OD,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＋0－1＝－eq\f(8,9).9．设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2)．已知向量m＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))，点P在y＝cosx的图象上运动，点Q在y＝f(x)的图象上运动，且满意eq\o(OQ,\s\up6(→))＝m⊗OP＋n(其中O为坐标原点)，则y＝f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值是()A．4 B．2C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)【答案】A【解析】因为点P在y＝cosx的图象上运动，所以设点P的坐标为(x0，cosx0)，设Q点的坐标为(x，y)，则eq\o(OQ,\s\up6(→))＝m⊗eq\o(OP,\s\up6(→))＋n⇒(x，y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))⊗(x0，cosx0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0))⇒(x，y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x0＋\f(π,6)，4cosx0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)x0＋\f(π,6)，,y＝4cosx0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，,y＝4cosx0))⇒y＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，即f(x)＝4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))时，由eq\f(π,6)≤x≤eq\f(π,3)⇒eq\f(π,3)≤2x≤eq\f(2π,3)⇒0≤2x－eq\f(π,3)≤eq\f(π,3)，所以eq\f(1,2)≤coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤1⇒2≤4coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))≤4，所以函数y＝f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))上的最大值是4，故选A.10．已知平面对量a与b的夹角为eq\f(π,3)，a＝(1，eq\r(3))，|a－2b|＝2eq\r(3)，则|b|＝__________.【答案】2【解析】由题意得|a|＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，则|a－2b|2＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉＋4|b|2＝22－4×2coseq\f(π,3)|b|＋4|b|2＝12，解得|b|＝2(负舍)．11．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))满意eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0,且|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，点D是△ABC中BC边的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝________.12．在如图3­2所示的方格纸中，向量a，b，c的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若c与xa＋yb(x，y为非零实数)共线，则eq\f(x,y)的值为________．图3­2【答案】eq\f(6,5)【解析】设e1，e2为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c＝e1－2e2，a＝2e1＋e2，b＝－2e1－2e2，由c与xa＋yb共线，得c＝λ(xa＋yb)，∴e1－2e2＝2λ(x－y)e1＋λ(x－2y)e2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ2x－2y＝1，,λx－2y＝－2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(3,λ)，,y＝\f(5,2λ)，))则eq\f(x,y)的值为eq\f(6,5).13．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2.若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，则实数λ的值为________．【答案】eq\f(7,12)【解析】∵eq\o(AP,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(λeq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－λeq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0.∵向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AC,\s\up6(→))的夹角为120°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2，∴(λ－1)×3×2×cos120°－9λ＋4＝0，解得λ＝eq\f(7,12).14．已知点O是边长为1的正三角形ABC的中心，则eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝__________.【答案】－eq\f(1,6)【解析】∵△ABC是正三角形，O是其中心，其边长AB＝BC＝AC＝1，∴AO是∠BAC的平分线，且AO＝eq\f(\r(3),3)，∴eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))2＝1×1×cos60°－eq\f(\r(3),3)×1×cos30°－eq\f(\r(3),3)×1×cos30°＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2＝－eq\f(1,6).15．设向量a＝(eq\r(3)sinx，sinx)，b＝(cosx，sinx)，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．[解](1)由|a|2＝(eq\r(3)sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，|b|2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.4分又x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，从而sinx＝eq\f(1,2)，所以x＝eq\f(π,6).6分(2)f(x)＝a·b＝eq\r(3)sinx·cosx＋sin2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，9分当x＝eq\f(π,3)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\