2025版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算讲义理含解析

PAGEPAGE12第四章平面对量第1讲平面对量的概念及线性运算[考纲解读]1.了解向量的实际背景，理解平面对量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示．2.驾驭向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点)3.驾驭向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点)[考向预料]从近三年高考状况来看，本讲一般不干脆考查．预料2024年高考中，平面对量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题.1．向量的有关概念2．向量的线性运算3．共线向量定理向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得eq\o(□,\s\up5(01))b＝λa.1．概念辨析(1)在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，则eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))．()(2)若a∥b，b∥c，则a∥c.()(3)向量eq\o(AB,\s\up16(→))与向量eq\o(CD,\s\up16(→))是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．()(4)当两个非零向量a，b共线时，肯定有b＝λa，反之成立．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．小题热身(1)下列命题正确的是()A．若|a|＝|b|，则a＝b B．若|a|>|b|，则a>bC．若a＝b，则a∥b D．若|a|＝0，则a＝0答案C解析A错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B错误，向量不能比较大小；C正确，若a＝b，则a与b方向相同，故a∥b；D错误，若|a|＝0，则a＝0.(2)如图，设P，Q两点把线段AB三等分，则下列向量表达式错误的是()A.eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→)) B.eq\o(AQ,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))C.eq\o(BP,\s\up16(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→)) D.eq\o(AQ,\s\up16(→))＝eq\o(BP,\s\up16(→))答案D解析由题意得，eq\o(AQ,\s\up16(→))＝－eq\o(BP,\s\up16(→))，故D错误．(3)设a，b是不共线的两个向量，已知eq\o(BA,\s\up16(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up16(→))＝4a－4b，eq\o(CD,\s\up16(→))＝－a＋2b，则()A．A，B，D三点共线 B．A，C，D三点共线C．A，B，C三点共线 D．B，C，D三点共线答案B解析因为eq\o(BA,\s\up16(→))＝a＋2b，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＝－a－2b，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝(－a－2b)＋(4a－4b)＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3eq\o(CD,\s\up16(→)).所以eq\o(AC,\s\up16(→))∥eq\o(CD,\s\up16(→))，所以A，C，D三点共线．(4)已知▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，则eq\o(DC,\s\up16(→))＝________，eq\o(BC,\s\up16(→))＝________(用a，b表示)．答案b－a－a－b解析因为四边形ABCD是平行四边形，所以eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(OC,\s\up16(→))＝－eq\o(OA,\s\up16(→))＝－a，所以eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))＝b－a，eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝－a－b.题型eq\a\vs4\al(一)平面对量的基本概念1．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案D解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不肯定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种状况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.2．下列叙述错误的是________(填序号)．①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同；②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；④eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0；⑤若λa＝λb，则a＝b.答案①②③④⑤解析对于①，当a＋b＝0时，其方向随意，它与a，b的方向都不相同．对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于③，当a＝0且b＝0时，λ有多数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．对于④，由于两个向量之和仍是一个向量，所以eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BA,\s\up16(→))＝0.对于⑤，当λ＝0时，无论a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不肯定有a＝b.故①②③④⑤均错误．有关平面对量概念的六个留意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．(4)非零向量a与eq\f(a,|a|)的关系：eq\f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq\f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．(5)两个向量不能比较大小，只可以推断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．(6)表示两平行向量的有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．1．给出下列说法：①若A，B，C，D是不共线的四个点，则eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(DC,\s\up16(→))是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(BA,\s\up16(→))相等；④若a＝b，b＝c，则a＝c.其中正确说法的序号是()A．①④B．③④C．②③D．①②答案A解析①④正确；②错误，因为a，b的方向不肯定相同；③错误，eq\o(AB,\s\up16(→))＝－eq\o(BA,\s\up16(→)).2．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，肯定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中正确命题的序号为________．答案②解析①错误，例如△ABC中，eq\o(AB,\s\up16(→))与eq\o(CB,\s\up16(→))有公共终点，但不是共线向量；②正确；③错误，若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0或a＝0；④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，但a与b不肯定共线．题型eq\a\vs4\al(二)向量的线性运算1．下列四个结论：①eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＋eq\o(CA,\s\up16(→))＝0；②eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＝0；③eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝0；④eq\o(NQ,\s\up16(→))＋eq\o(QP,\s\up16(→))＋eq\o(MN,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→))＝0.其中肯定正确的结论个数是()A．1B．2C．3D．4答案C解析①正确；②错误，eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(BO,\s\up16(→))＋eq\o(OM,\s\up16(→))＋eq\o(MB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))≠0；③正确，eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(BD,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→))＝(eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＋(eq\o(BD,\s\up16(→))＋eq\o(DC,\s\up16(→)))＝eq\o(CB,\s\up16(→))＋eq\o(BC,\s\up16(→))＝0，④正确，eq\o(NQ,\s\up16(→))＋eq\o(QP,\s\up16(→))＋eq\o(MN,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→))＝(eq\o(NQ,\s\up16(→))＋eq\o(QP,\s\up16(→)))＋(eq\o(MN,\s\up16(→))－eq\o(MP,\s\up16(→)))＝eq\o(NP,\s\up16(→))＋eq\o(PN,\s\up16(→))＝0.2．(2024·全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满意|a＋b|＝|a－b|，则()A．a⊥bB．|a|＝|b|C．a∥bD．|a|>|b|答案A解析解法一：∵|a＋b|＝|a－b|，∴|a＋b|2＝|a－b|2.∴a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2－2a·b.∴a·b＝0.∴a⊥b.故选A.解法二：利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD中，设eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AD,\s\up16(→))＝b，由|a＋b|＝|a－b|知|eq\o(AC,\s\up16(→))|＝|eq\o(DB,\s\up16(→))|，从而四边形ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.故选A.3．(2024·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则eq\o(EB,\s\up16(→))＝()A.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))B.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up16(→))C.eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))D.eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AC,\s\up16(→))答案A解析依据向量的运算法则，可得eq\o(EB,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，故选A.条件探究1把举例说明3的条件改为“点D在BC边上且CD＝2DB，点E在AD边上，且AD＝3AE”，试用eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))表示eq\o(CE,\s\up16(→)).解由平面对量的三角形法则及向量共线的性质可得eq\o(CE,\s\up16(→))＝eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(BC,\s\up16(→))))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up16(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up16(→))－\o(AB,\s\up16(→))))－eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(8,9)eq\o(AC,\s\up16(→)).条件探究2把举例说明3的条件改为“D为AB的中点，点E满意2eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝0”，试用eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(CD,\s\up16(→))表示eq\o(AE,\s\up16(→)).解因为D为AB的中点，所以eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(CA,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\o(CD,\s\up16(→)).又因为2eq\o(CE,\s\up16(→))＋eq\o(BE,\s\up16(→))＝0，所以2(eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AC,\s\up16(→)))＋(eq\o(AE,\s\up16(→))－eq\o(AB,\s\up16(→)))＝0，所以3eq\o(AE,\s\up16(→))＝2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up16(→))－\o(CD,\s\up16(→))))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up16(→))－eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up16(→)).1．平面对量的线性运算技巧(1)不含图形的状况：可干脆运用相应运算法则求解．(2)含图形的状况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．向量线性运算的两个常用结论(1)在△ABC中，D是BC的中点，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→)))，如举例说明3.(2)O为△ABC的重心的充要条件是eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))＝0.1．已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝0，则向量eq\o(OC,\s\up16(→))等于()A.eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up16(→)) B．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up16(→))C．2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→)) D．－eq\o(OA,\s\up16(→))＋2eq\o(OB,\s\up16(→))答案C解析因为eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(CB,\s\up16(→))＝eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，所以2eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CB,\s\up16(→))＝2(eq\o(OC,\s\up16(→))－eq\o(OA,\s\up16(→)))＋(eq\o(OB,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→)))＝eq\o(OC,\s\up16(→))－2eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OB,\s\up16(→))＝0，所以eq\o(OC,\s\up16(→))＝2eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))，故选C.2．如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，则eq\o(AD,\s\up16(→))＝()A．a－eq\f(1,2)bB.eq\f(1,2)a－bC．a＋eq\f(1,2)bD.eq\f(1,2)a＋b答案D解析连接CD，OC，由题意得∠CDA＝∠BAD＝∠CAD，所以CD∥AB，CD＝AC，易证△AOC为等边三角形，所以AC＝eq\f(1,2)AB，所以eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))，所以eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\o(CD,\s\up16(→))＝eq\o(AC,\s\up16(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up16(→))＝b＋eq\f(1,2)a＝eq\f(1,2)a＋b.题型eq\a\vs4\al(三)共线向量定理的应用角度1证明向量共线或三点共线1．已知平面内一点P及△ABC，若eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))，则点P与△ABC的位置关系是()A．点P在线段AB上B．点P在线段BC上C．点P在线段AC上D．点P在△ABC外部答案C解析因为eq\o(PA,\s\up16(→))＋eq\o(PB,\s\up16(→))＋eq\o(PC,\s\up16(→))＝eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(PB,\s\up16(→))－eq\o(PA,\s\up16(→))，所以eq\o(PC,\s\up16(→))＝－2eq\o(PA,\s\up16(→))，所以A，P，C三点共线，且P是线段AC的三等分点(靠近A)．角度2由向量共线求参数的值2．(2024·贵州适应性测试)已知向量e1与e2不共线，且向量eq\o(AB,\s\up16(→))＝e1＋me2，eq\o(AC,\s\up16(→))＝ne1＋e2，若A，B，C三点共线，则实数m，n满意的条件是()A．mn＝1 B．mn＝－1C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1答案A解析因为A，B，C三点共线，所以肯定存在一个确定的实数λ，使得eq\o(AB,\s\up16(→))＝λeq\o(AC,\s\up16(→))，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝nλ，,m＝λ，))所以mn＝1.求解向量共线问题的留意事项(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，留意待定系数法和方程思想的运用．如举例说明2.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应留意向量共线与三点共线的区分与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.(4)直线的向量式参数方程，A，P，B三点共线⇔eq\o(OP,\s\up16(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up16(→))＋teq\o(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．(5)eq\o(OA,\s\u