河南省新乡市2024-2025学年高一年级上册期末测试数学试卷

河南省新乡市2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.2cos（-840。）=（）

A.—\/3B.—1C.1D.A/3

2.已知集合4={也”川，5={x|3-x>2},则—5=（）

A.{x\x>1}B.{x|0<x<1}

C.{x\x<0}D.{x|-l<x<0}

3.若扇形043的圆心角TT为面积为27r弓，则该扇形的弧长是（）

33

4兀一2兀兀

A.—B.兀C.—D.一

333

4.若塞函数/（无）=（苏+加-1）—十1是偶函数，则机=（）

A.-2B.3C.1D.1或3

5.已知。=log32,6=（；产，c=9"则°，b,c的大小关系是（）

A.c>b>aB.c>a>bC.b>c>aD.a>c>b

6.将函数〃x)=2sin[2x+3图象上的所有点向右平移今个单位长度，得到函数g(x)的图

象，则()

A.g(无)是奇函数

B.

C.g(x)的图象关于点[-jo]中心对称

D.g(x)的图象关于直线x=-£对称

6

7.已知。>0,且awl,贝lj“3<a<2”是“函数=+2'X一0,在R上单调递

2[JC-(a-2)x+2a,x>0

增”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

试卷第1页，共4页

充分也不必要条件

8.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血

液中酒精含量(单位：mg)在［20,80)内的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒

驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量为Img/mL,如果停止喝酒后,

他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，经过，小时后，该驾驶员可以驾驶车辆，

那么整数I的最小值是(参考数据：lg2BS301)()

A.6B.7C.8D.9

二、多选题

9.已知a>l>6>0,则下列不等式一定成立的是()

A.a—\>bB.ab>ba

C.Ina>lnZ>D.a1-a>ab-b

10.对于函数/(无)，存在％,使得=我们称/(x)为“不动点”函数.下列函数中，

是"不动点''函数的是()

A./(x)=x2+3x+2

B./(尤)=2x+」-3

x

C./(x)=log2x+2-x

卜2+4X+2,X>°,

')［3\x<0

11.纯音是指单一频率的声音，纯音的数学模型是函数g(x)=/sins.我们在日常生活中听

到的声音，几乎都是复合音，而复合音是由多个频率不同的纯音组成的.已知某声音的函数

是/(x)=4sinx+sin3x,则()

A./(X)的最小正周期为2万

B.7(x)的最大值为5

C./(x)的图象关于直线x=1^对称

D.方程/(同=3在［-2万,2句内的所有实根之和为一3万

试卷第2页，共4页

三、填空题

12.函数〃x)=5tan(2x-£|的最小正周期是.

13.已知f(x)是R上的奇函数，且当x>0时，/(X)=X2-1-2,则不等式(X-1)/(X)<0

的解集是.

14.已知a>0,b>0,且工+2=1,则二一+学的最小值是________.

aba-1b

四、解答题

15.已知集合4={x|x2-6x-7<,jg={x|a-2<x<a+3}.

(1)当。=一1时，求/UB；

(2)若ZAB=0,求。的取值范围.

16.已知V^sin(夕++2cos］夕一j二0.

⑴求tan。的值；

⑵求tan(。+三)的值；

(3)求2sin29-cos2。的值.

17.已知函数/(2x—1)二二元.

⑴求“X)的解析式；

(2)判断/'(x)在㈠收)上的单调性并根据定义加以证明；

⑶若函数g(x)=bg/(x)在11,2］上的最小值是T,求。的值.

18.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可

以从高处俯瞰四周景色.某市的摩天轮最高点距离地面的高度为160m,转盘直径为152m,

设有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速转动，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱,

转一周约需要30min.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动ftnin后，距离地面的高度为Mn.

(1)在转动一周的过程中，求H关于/的函数关系式；

(2)求游客甲在开始转动25min后距离地面的高度；

(3)当游客距离地面的高度不低于122m时，可以俯瞰该市的全景，求游客甲在摩天轮转动一

试卷第3页，共4页

周的过程中能俯瞰该市全景的时长.

19.若函数/(x)满足对任意的x2e(O,+»),都有/(再)>0,/5)>0,且

/(Xl)+/(X2)<1(玉+迎),则称［(X)为''超加性倾向函数

⑴若函数〃x)=log3(x+4),试判断了(X)是否是“超加性倾向函数”，并说明理由.

(2)证明：函数g(x)=2"+"-1(a>0)是“超加性倾向函数”.

⑶若函数“尤)=4川-机-2是“超加性倾向函数”，求机的值.

试卷第4页，共4页

《河南省新乡市2024-2025学年高一上学期期末测试数学试卷》参考答案

题号12345678910

答案BBCCADACBCDBC

题号11

答案ACD

1.B

【分析】利用诱导公式求解即可

【详解】2cos(-840°)=2cos8400=2cos(360°x2+120°)=2cosl20°=-1.

2.B

【分析】解不等式求得集合B,结合交集的定义可求得/c8.

【详解】由题意可得/=何2-1}=何2-2°}=何x>0},

又8={x|x<l},所以/={x|0<x<1}.

故选：B.

3.C

【分析】根据扇形的弧长和面积公式列式运算求解.

【详解】设扇形的半径为「，弧长为/,

故选：C.

4.C

【分析】根据幕函数的定义得到方程，求出加=1或机=-2,结合函数奇偶性排除m=-2,

得到答案.

【详解】因为/(X)是幕函数，所以加+加-1=1,解得加=1或机=-2.

当加=1时，/卜)=，是偶函数，符合题意；

当〃?=-2时，〃x)=xT是奇函数，不符合题意.

故选：C

5.A

【分析】利用指数函数、对数函数的性质比较大小.

答案第1页，共10页

121

330<i6

【详解】a=log32<log33=l,c=9=3>3=(-)^=b>\,

所以。，b,c的大小关系是c>6>a.

故选：A

6.D

【分析】利用正弦型函数的性质进行判断即可.

【详解】由题意可得g(x)=2sin=2sm2x.因为g(O)=：THO,所以g(x)

不是奇函数，则A错误;

g[j=2sin^2j=1^3,则B错误；

令2'-^=航(左eZ),得x=g+A优eZ),所以g(x)的图象的对称中心为

(^+鼻。,eZ),则C错误；

令2x-弓=Bt+](/eZ),得工=一+三出eZ),当〃=一1时，工=一：则D正确.

故选：D.

7.A

【分析】先由/(x)在R上单调递增求得。的取值范围，再利用充分条件，必要条件的定义

即得.

a>1

/7-23

【详解】由/(%)在R上单调递增，得丁40,解得:

22

2a>3

3

故、<。<2”是“函数/(x)在R上单调递增”的充分不必要条件.

2

故选：A.

8.C

【分析】利用题意列出不等式，再利用指对数转化，解不等式，然后用对数运算求值即可.

4।1

【详解】由题意可得(1-20%丫<0.2,则1g<lg-»

l-lg2

Bx(l4-lg5)<-l5,所以x>=

Pgg1gl-31g2-

Ig21-0.301

因为lg2。0.301,所以=—~7.206

l-31g21-3x0.30197

答案第2页，共10页

则整数力的最小值是8.

故选：C.

9.BCD

【分析】利用赋值法可判断A；由题意可得，>1，/<1,可判断B；利用对数函数的单调

性可判断C；利用不等式的性质可判断D.

【详解】当。=:，6=:时，a-l=b,则A错误.

因为”>1>6>0,所以/>i，ba<1,所以/>6",则B正确.

因为y=lnx在(0,+e)上单调递增，因为。>6>0,所以lna>ln6,则C正确.

因为。>1>6>0,所以。>b,。-1>0,所以。所以/一则D

正确.

故选：BCD.

10.BC

【分析】将函数是否为“不动点”函数，转化为方程是否有解，根据方程判别式的符号判断

AB；根据x=l是方程1。82苫+2工-2苫=0的一个解判断©；分两种情况讨论分别判断方程是

否有解即可判断D.

【详解】令Y+3X+2=X,即f+2x+2=0.

因为A=22—4X2<0,所以f+2x+2=0无解，

则/(x)=X?+3x+2不是“不动点”函数，A不正确；

令2xH-----3—x,即xH------3=0,Bpx2—3x+1=0.

xx

因为A=(-3)2-4>0,所以/-3x+l=0有两个不同的非零实根，

贝|1/卜)=2苫+'-3是"不动点”函数，B正确；

XX

log2^+2-x=x,BPlog2x+2-2x=0,

易知x=l是方程log2%+2"-2x=0的一个解，

贝iJ/(x)=log2X+2X—x是“不动点”函数，C正确；

当%>0时，令％2+4X+2=X,即/+3%+2=0,解得％=—1或x=-2,

则方程/+4%+2=%在(。+8)上无解;当)<0时,3*>0,

答案第3页，共10页

则方程3*=x在(-8,0)上无解.故/'(x)=；：；；2，">°，不是“不动点,,函数，口不正确;

故选：BC.

11.ACD

sinx=1

{sin3；=l，求解判断B；

由/(兀-尤)=/(x)可判断C；/(x)=7sinx-4sin3x,利用换元法可求得方程的所有实数根，

可判断D.

兀

【详解】因为y=4s%x的最小正周期为如，y=sin3x的最小正周期为2宁，

所以/'(无)的最小正周期为2兀，故A正确.

x-——F2kn,kGZ

若/(X)的最大值为5,则,所以xe0,故B错误.

x=—+—kTt.kGZ

因为/（兀一%）=4sin（兀-x）+sin3（兀一x）=4sinx+sin3x=/（x）,

所以/(x)的图象关于直线x=5对称，故C正确.

/(x)=4sinx+sinxcos2x+cosxsin2x=4sinx+sinx(^1-2sin2%^+2sinx(1-sin2x^

=7sinx-4sin3x.

设"sinx,则7£—4d=3,即4\一7J+3=0,

1Q

所以⑵f⑵+3)(I)=0,解得或或

当t=即sinx=1时，因为xe[-2兀,2兀],所以》=一个或x=-乂或x=£或》=多；

226666

3.3一

当/=—，即sinx=—时，xE0；

22

当1=1,即sinx=l时，因为-2兀,2句，所以x=-②或x=.

22

故方程/(X)=3在[一2兀,2可内的所有实根之和为一等+(—?]+[+等+[+^=—3兀,

故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换可求得/(X)=3的根，从而求得所有实根之和，换

答案第4页，共10页

元法是解决具有某一类公同特征的类型问题的一种常用思路和方法.

【分析】利用正切函数的周期公式求解.

【详解】由题意可得/(X)的最小正周期

故答案为：

2

13.{x|-2<x<0或l<x<2}

【分析】先得到f(x)在(0,+e)上单调递增，/(2)=0,从而得到1〈尤<2,再由函数的奇

偶性，得到/(x)在(-巩。)上单调递增，且〃-2)=0,当x<0时，需满足〃外>0,解得

-2Vx<0,从而得到不等式解集.

【详解】'=>=-2在(0,+s)上均单调递增，

故/(x)在(0,+8)上单调递增,又"2)=0,

故当x>l时，x-l>0,需满足/(x)<0,解得l<x<2,

当0<x<l时，x-l<0,由于此时/(x)<0,(x-i"(x)>o不合要求，

由于/'(可是R上的奇函数，故/(x)在(-叱0)上单调递增，且〃-2)=〃2)=0,

当x<0时，x-l<0,故需满足/(x)>0,解得-2<x<0,

综上，(x-l)/(x)<0的解集为卜|-2。<0或l<x<2},

故答案为：何-2<》<0或l<x<2}

14.4

【分析】由已知条件可得二7=2,代入所求式子，再根据基本不等式求解.

【详解】因为工+?=1,则3=1-所以工7=2,

abbaaa-\a

.24ab4a

所以~

a-\bab

因为。>0,b>0,所以—i-——4,

ab

当且仅当2即b=2〃=4时，等号成立，

ab

答案第5页，共10页

则2+半4Q的最小值是4・

a-1b

故答案为：4.

15.(1)ZD5=任|-3<%<7}

⑵(-°o,-4]U[9,+co).

【分析】(1)利用一元二次不等式的解法化简集合4当。=-1时求出集合3,再求并集即;

(2)根据/口8=0,列不等式即可求。的取值范围.

【详解】(1)因为/={x|X2-6X-7<0}={X|-1<X<7}.

当”=一1时，B={x\-3<x<2\,

则4u5={x|-3<x<7}.

(2)因为4={x|-l<x<7},5={x|a-2<x<a-^-3}f

且4nN=0,

所以。-2之7或〃+3«-1,

解得〃29或a«-4,

即a的取值范围是(-巩-4]。[9,+8).

16.(1)tan^=——

2

(2)-373

八、86_4

(-7-

【分析】(1)根据诱导公式化简条件式，结合商数关系求解；

(2)利用两角和的正切公式求解；

(3)利用二倍角公式和平方关系，将原式化为齐次式，再将弦化切计算可得.

【详解】(1)因为Gsin,+gJ+2cos,-；1=0,所以-Gcos8+2sin0=0,

所以2sin0=V3cos0>

c兀

/、tan”+tan一

(2)tan|6^+—|=...................—

I3J1_tanaan—

3

答案第6页，共10页

4sin0cos^-cos2^

(3)2sin20-cos2^=

sin20+cos2^

4tan8-12_8/3-4

tan26>+l-(百丫一7

4-x

17.(l)/(x)=

4+x

（2）/（x）在（-4,+⑹上单调递减，证明见解析

（3）a=［或a=3.

【分析】（1）利用换元法可求函数1（司的解析式;

（2）利用单调性的定义可证/（x）在（-4,+向上单调递减;

（3）分a>1两种情况求得g（x）的最小值，再结合已知求得。的值.

【详解】（1）设/=2x-l,得工=罟，

.£+1

5—2x---.

则&)=2_

4-x

故/（无）=

4+x

（2）/（X）在（-4,”）上单调递减.

证明如下:

任取再,％2€（-4,+<»）,且再<工2,

（4-3）（4+）2）-（4-々）©+3）

则/（匹）-/卜2）=

0+再）9+%）

8伍一占）

（4+XJ（4+X2）

因为再,％2£4,+oo),且王<%2，所以4+再>0,4+x2>0,x2-xl>0,

答案第7页，共10页

所以(4+；(4；l)>°，所以小)“(％)，

则f(x)在(-4,+00)上单调递减.

(3)当0<。<1时，V=log“x是(0,+司上的减函数，

由(2)可知函数/(x)是［T2］上的减函数,

所以g(x)是［T2］上的增函数，

53

所以g(x)min=g(T)=l°ga］=T，解得。=1.

当时，y=log“x是(0,+e)上的增函数,

由(2)可知函数/(X)是［T2］上的减函数,

则g(x)是［-1,2］上的减函数,

所以g(x)m,n=g⑵=bg0；=T，解得。=3.

3

综上，或4=3.

___,.।7T71।.

18.(l)/f=76sin—+84,0<?<30.

⑵46m.

⑶10分钟

【分析】(1)设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点P,以摩天轮的轴心。为原点,

与地面平行的直线为无轴建立平面直角坐标系，依据题意建立三角函数模型，求出“⑺即

可；

(2)将"25代入〃(。，根据特殊角的三角函数值求解即可；

(3)根据正弦函数的图象和性质解不等式即可.

【详解】(1)设游客甲乘坐的座舱距离地面最近的位置为点P,以摩天轮的轴心。为原点,

与地面平行的直线为无轴建立平面直角坐标系，

答案第8页，共10页

当仁0时，H=8,此时尸(0,-76),以。尸为终边的角是-

27rir

因为该摩天轮转一周约需要30min,该摩天轮的角速度约为元=jjrad/min,

所以》=76sin|^|/-|^+84,0<Z<30.

(2)当"25时，H=76sin25-1^|+84=46,

即游客甲在开始转动25min后距离地面的高度约为46m.

(3)由题意可得76sin[A7-T)+84N122,即sin[N.

因为0V/W30,所以一工4正，一二W型，

21522

所以2Ks解得104M20,

则游客甲在摩天轮转动一周的过程中能俯瞰该市全景的时长为20-10=