黑龙江省某校2025届高三年级上册期末数学试卷（含答案）

黑龙江省某校2025届高三上学期期末数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列关系正确的是()

A.0《NB.73eQ

C.ZEQD.{1,2}={幻％2-3刀+2=0}

2.若sin。=—乎且tan。=1同时成立，贝1］。是()

A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角

3.若向量落行满足|之一石|=1,|2+2同=避，a,3的夹角为则囚=()

A.1B.坐C.|D.平

4.下列不等关系中。<b的充分条件是()

3

A.log03a<10go.3bB.a=(-1.4)3；b=(-1.5)

C.a=1/3；也=0.9D/og64a=-|；济=8

5.在正方体ABC。—&8道必中，点E和点尸分别在&D和&C上，且&E=乳。/尸=、4C,贝lj()

A.EF与BDi异面B.EF与和垂直

C.EF与BDi相交D.EF至多与&D和AC两者之一垂直

6.已知正项等差数列{&J满足EN*),则要=()

A.2B,2024C,1012D,4048

7.函数/'(%)=2避cos(3久—?.cos3x—2sin23x+1图象如图所示，若函数f(x)在1m，/］单调增，则小的取

71_87rTI\87r7i\

rD.

4>~9~V

8.一只蜜蜂从蜂房4出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房4只能爬到1号

或2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用品表示蜜蜂爬到n号蜂房的方法数，则

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。2025被7除的余数为（）

A.2B.1C.3D.6

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知圆C:N+y2-4x-4y+7=0,点P（a,6）为圆上一点，点。为坐标原点，则下列叙述正确的有（）

A.点。在圆外B.|PO|的最小值为々―1

C.a+6的最小值为4-/D.《的最小值为理产

10.已知复数z,则下列说法正确的是（）

A.若|z|=2,贝ijz=±2B.若z+2ieR,贝收的虚部为一2

C.若z2>0,则zeRD.若|z|=1,则lW|z-2|<3

11.已知抛物线C：*2=4y的焦点为凡C上不同两点2（巧,月），B（x2,y2）,以4B为切点的切线P4PB相交

于点P,4、B、M（2,2）三点共线.下列说法正确的有（）

A.•|8M|最小值为4B.\PF\的最小值为方

C.使得|4B|=4也的直线有两条D.NP凡4=LPFB

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2

12.直线久=1与双曲线X2=1的两条渐近线分别交于48两点，则阿|=

13.已知正方体28CD-4止心。1的棱长为2,P为底面4BCD内（包括边界）的动点，若。/1名。，贝叶点在

正方形底面4BCD内的运动轨迹长为

14.若过点（2,m）可作出曲线/（x）=疗一3%的三条切线，则机的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（本小题12分）

在锐角A4BC中，AB=3,BC=",sinC=皂啰

14

（1）求乙4；

（2）若。为4C的中点，求C0S4D8C.

16.（本小题12分）

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已知在平面直角坐标系xOy中，两定点4(-3,0),5(3,0),直线M4MB相交于点M,且它们的斜率之积是

4

-9,

(1)求点”的轨迹方程r,并指出「的形状.

(2)若直线2:y=心比-1)与点M的轨迹交于P,Q两点，求证：直线2P与直线BQ的交点G在定直线x=9上.

17.(本小题12分)

函数/'(%)=a\nx+^x2—(a+l)x,(aGR)

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)若不等式监与警<a-2对任意的打，久26(0,+8)恒成立，求a的取值范围.

18.(本小题12分)

如图，三棱锥P-ABC中，PA，平面A8C,平面P4B_L平面P8C,PA=6,AB=2避，BC=6.

BC

(1)求三棱锥P-力BC的体积；

(2)在线段P4上试确定一点M,使得平面M8C,经过三棱锥P-28C内切球的球心，并求浅的值.

19.(本小题12分)

对于一个有穷整数列Q：ai，a2,…，an,对正整数meN*,若对于任意的n6{1,2,…,小},有穷数列Q中总

存在a”ai+1,…，ai+j,自然数/20使得见+%+i+…+七+)=九，则称该数列为1到6连续可表数列,即

1到机中的每个数可由Q中的一个或连续若干项表示，而m+1不可由Q中连续若干项表示.例如数列2,1,

3则Cl?=1,Cl]=2,GI3=3,0.2+—4,而+0,2丰5,0.2+丰5,Cl]+O,2+CZ3丁5,所以数列2,

1,3是1到4连续可表数列.

(1)数列Q1：1，1，1，1，1是否为1到5连续可表数列？若数列Q2：2,1,4是一个1到小连续可表数列，求小

的值.

(2)若有穷数列Q：的,a2,…，a„其调整顺序后为一个等比数列，则该数列称为准等比整数列(等比数列本

身也可看作准等比数列)，调整后的公比称为该数列公比,若准等比整数列内,a2,…，所为1到5连续可表

数列，且公比q为整数，求数列的公比q的值.

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1

(3)对正整数n,gGN*(g>2),存在唯一的数列的，…，。机使得，n=a1-g°+a2-g+■■■+am-

7n11

gt,且满足a7n羊0,0<a；<g-1,i=1,2,3...加数列£1「9°,a2-g,■■■,a」•g"一】称为正整数n的

g进制残片.记事件“随机挑选区间［1力内的整数&为大于等于2的正整数)，该数的g进制残片调整顺序后能

成为1至U5连续可表数列”的概率为Pg(r),求Pg(r)的表达式.

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参考答案

1.D

2.B

3.0

4.D

5.B

6.C

7.C

8.D

9.AC

1Q.BCD

11.ACD

12.273

13.2#

14.(-6,2)

15.⑴

•••AB=3,BC=",sinC=宜红

14

由正弦定理得：照=盥＞.,.嘉=当，sinA=乎

sinesmAsmZ2

TT

又因为4为锐角，・,・a=§.

(2)

在U8C中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB-XCcosJ

AC2-3AC+2=0,AC=2或AC=1

若4C=1,则cosC==1＜0，贝UC为钝角，舍去

Z/IC-DC；第/

AC=2,因为。为中点，AD=1

•••在"8。中，BD2=AB2+AD2-2AB-AD-COSA=9+1-2xlx3x-=7

BD2+BC2-DC27+7-1

••・在△BCD中，cos乙DBC=

2BD-BC2xaxa-14

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16.⑴

设点M的坐标为(x,y),

因为力(一3,0),所以直线力M的斜率为膜时=*0不一3),

因为B(3,0),所以斜率为版时=告(乂H3),

由已知得备x嗨=肯，整理得普+?=1。不±3),

故形状为焦点在x轴上，长轴长为6,焦距为2"，除去4(-3,0),B(3,0)的椭圆.

(2)

+比=1

联立94-,消去y整理得：(9H+4)*2—I8k2x+9/c2-36=0,

{y=卜。一1)

18k29fc2-36

X1%2

如图，设M(X1，%),^(X2,y2),%1+%2=9N+4'=9fc2+4

而尤62=9N；4+9-9=^7^—9=5(X1+X2)-9,

直线4P:y=7^(%+3),直线BQ:y=竟、(工一3),

联立两直线得到云治(久+3)=台0-3),

敕平田球曰_2(%2-1)(为1+3)+(%1-1)(%213)_2+冗2-2%1_Q6%2+3-1—9_

定理付％=3(汽2_1)(为1+3)-3_1)(冗2-3)=3X2%2+%1-3=3X2%2+X1-3=''

故直线4P与直线BQ的交点G在定直线x=9上.

17.⑴

/⑴=?+x-(a+1)=(x>0)

所以/'(%)>0<=>(%—a)(%—1)>0,(%>0),

当a>1时,(%)>0<=>x>a或0V%<1；/'(%)<0=1<%<a,

所以此时/(%)在(0,1)上单调递增，在(1")上单调递减，在a+8)上单调递增,

当0<a<1时/(%)>00%>1或0V%Va；/'(%)<00a<%<1,

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所以此时下(久)在(0,a)上单调递增，在(a,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增,

当a=1时1(久)20恒成立，所以此时九久)在(0,+8)上单调递增，

当a<。时尸(x)>0,>1；f'(x)<0<=>0<x<1,

所以此时f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增.

(2)

由告尹2<a-2对VX1，应e(0,+8)恒成立，不妨设句〈久2,则整理得：

alnxi+聂弓-3%i<alnx2+品2-3%2，

设9(%)=aln%+-^x2—3x,

有g(%i)<g(%2)，所以g(%)单调递增，即g'(%)>o恒成立，

即，+%—320，其中%>o,

所以a2x(3-久)，又%(3-%)3佟萼=)2=7,当且仅当x=|时等号成立，

同时a=弓时，g(%)=aln%+#—3%不是常函数，所以a之年.

18.(1)

•••PA1平面ABC,AB,BCc平面48C,

•••PA1AB,PA1BC,

在RtAPTIB内过4作4。1PB,贝外异于P,8两点，

••・平面ABC_L平面PBC,且交线为PB,ADu平面P4B,

则4。1平面P8C,又BCc平面PBC,

AD1BC,又PACyAD=A,PA,ADu平面PAB,

BC1平面P4B,设三棱锥P-HBC的体积为匕

故U=力xS.PABxBC=|x|x2^3x6x6=1273(2)

由(1)BC_L平面P4B,ABu平面P4B,贝gC1AB.

又PA1平面ABC,过点B作平面48c的垂线BN,贝l]BN〃4P.

如图，分别以丽，瓦l丽所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系B-盯z,

则B(0,0,0),C(6,0,0)/(0,2^,0),P(0,2^,6),

内切球与平面PAB且与平面4BC相切，设内切球半径为r,

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可设内切球球心为。(r,t,r),又PB=^PA2+AB2=国+(2邓)2=40.

由，P-A3C=式+S”/c+S^PBC+S^ABC),R，

所以有12避=Ixx2^/3x6x2+1x6x44x2)r=12pr

解得r=1,则。

设平面P"的法向量为五=(%,y,z),AP=(0,0,6),前=(6-2^0),

故隈=(T令x=L解得V=居z=0,

则蔡=(1,避,。)为平面P4C的一个法向量，

由内切球球心性质得球心。到平面PAC的距离d等于半径1,

由而=(l,t—24,1),

则d=耳润=11+同~2⑸=i,解得t=7或土=4，

I川2V3

又专＞2々，不合题意，故舍去，

所以t=4，即球心。(1,避,1).

设平面80C的一个法向量为=(x0,y0,z0),

又打=(1,避,1),阮=(6,0,0),

故管二^yo+zo=O'令见=1，解得勾=0/0=-4，

则呈=(0,1,-4)为平面BOC的一个法向量.

若M在线段P力上，则可设M(0,2平加),0＜根＜6,前=(0,2*,zn),

若平面MBC经过三棱锥P-4BC内切球的球心0,即O,M,B,C四点共面，

贝U前11,故前i==0,解得爪=2,即4M=2,PM=4,

故当点M位于线段PA靠近点力的三等分点处，

平面MBC经过三棱锥P—力BC内切球的球心0,且言=2.

19.(1)

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依题意设数列Qi的通项为an,

则。1=1,a1+a2=2,a1+a2+a3=3,

Gt1+Q，2+…+=4,Cl1+Q，2+…++。5=5,

由于数列只有5项，不可能表示大于等于6的正整数，

故数列Qi为一个1到5连续可表数列，

对于数列Q2,设其通项为bn,直接计算可知，

该数列的历=1,b1=2,必+92=3,b3-4,62+63=5,

而6无法用连续的项表示出来，故该数列为1到5连续可表数列，得到爪=5.

(2)

当准等比数列公比为1,-1,2,-2时，

可以对应构造数列Qi：l,1,1,1,1,Q2：l,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,Q3：2,1,4Q4：8,

-4,-1,2,

其中由(1)可知Qi，Q2,Q3为1到5连续可表数列，

对于最后一个数列(?4，有1=一1+2,2=2,

3=8+(—4)+(—1),4=8+(—4),5=8+(—4)+(―1)+2,

而6不能连续若干项表示，故这数列也为1到5连续可表数列，

现在，假设qGZ,满足|q|23,

数列Q:%,a2,an为一个公比为q的1到5连续可表准等比数列,

则可以设%=a•qg(i=1,2,...ri),

其中mi，62，…叫为0,…，n一1的一个排列，

mimi+1n

则该数列的连续表出具有《+ai+1+...+ai+j=a-(q+q+...+q'，+<)的形式，

其绝对值不小于|a|,由于1可以被表出，有12|可，故a=l或a=-l,

m

如果a不参与表出1到5,则见+a(+i+...+&+j=a•(q，+严+工+...+严刊)不包含q0,

故可提出q,即七+七+1+…+/+/=a•q(qgT+qW+iT+…+q恤+厂1),

由于|a•q|23q7nLi+严"T+…+勺啊+厂1必是非零整数,

而|a'g(qm-1+qm；+i-