湖北省鄂南某中学2024-2025学年高二年级上册期末数学试题（解析版）

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.抛物线y=2》2的焦点坐标是()

A.(0,1)B.(09C.(0,1)D.(1,0)

【答案】C

【解析】

【分析】化抛物线方程为标准形式，再求出其焦点坐标.

【详解】抛物线y=2/化为：X2=-V,其焦点坐标为(0」).

28

故选：C

2.已知直线2x+y-2=0与直线4x—叼—3=0平行，则它们之间的距离是()

【答案】A

【解析】

【分析】由条件可得加，然后利用平行线间的距离公式可算出答案.

【详解】已知直线2x+y-2=0与直线4x--阳一3=0平行，则4=一2加，解得加=一2.

直线2x+y-2=0化为4x+2y-4=0；直:线4x-町—3=0为直线4x+2j-3=0.

它们之间的距离为d=''，=—.

"2+2210

故选：A.

22

3.双曲线上—土=1的渐近线方程是

49

,3,2,9,4

A.y=+—xB.y=±—xC.y=±—xD.y=+—x

2349

【答案】B

【解析】

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【详解】

【分析】由双曲线标准方程可知，。=2力=3,且焦点在x轴上，所以双曲线的渐近线方程为y=±gx,

故选B.

4.点P（l,2）可以向圆好+/+2%—4y+"2=0引两条切线，则左的取值范围为（）

A.左<7B.k>3C.3（左<7D.0<k<1

【答案】C

【解析】

【分析】由方程表示圆及点在圆外构造不等式求解即可；

【详解】由题意可知：Y+y2+2x—4歹+左—2=0表示圆，

可得：4+16-4（左-2）〉0,

解得：左<7,

又尸（1,2）在圆外，所以俨+22+2—4义2+后一2>0,得：k>3,

所以后的取值范围为3（上<7,

故选：C

5.设各项均为正数的等比数列｛4｝满足%•%（）=2%，则log2…%4%5）等于（）

A.214B.215C.14D.15

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用等比数列性质，结合对数运算计算得解.

【详解】正项等比数列｛6,｝中，a6a8=。4%0=2%,解得%=2,

因止匕…％4%5=）•（。2%4）（a7a9）,=（4）7,=20，

15

所以log?®%…%4%5）=1。822=15.

故选：D

22

6.设厂是椭圆.+《=1的右焦点,P是椭圆上的动点，，是直线x+gj-12=0上的动点，则

的最小值为（)

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【答案】A

【解析】

【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可.

22__________

【详解】—+=1=>。=2,/?=-73=>c=y/a2—b2=1,

43

设。为该椭圆的左焦点，Q（TO），

所以+|「石=2a=4,

于是|上41TpF|=归/|—（4—卢。|）=|P4|+\PQ\-4,

显然当。,P,Z三点共线，且H4与x+J^y-12=0垂直时,

[12|

|夫/|-|尸典有最小值，最小值为

7.若数列｛%｝满足q=1,%=1，4=4T+%-2（〃23,〃为正整数），则称数列｛%｝为斐波那契数

列，又称黄金分割数列.在现代物理、准晶体结构、化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用.设J是数列

｛4｝的前"项和，则下列结论成立的是（）

A.。8=13B.%+。3+。5----------。2023=。2024

C.07=54D.

。2+&+&------+。2024一^2025

【答案】B

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【解析】

【分析】按照斐波那契数列的概念，找出规律,得出数列的性质后逐个验证即可.

【详解】解析：按照规律有q=1,a2=l,a3=2,%=3,«5=5,a6=8,a7=13,a8=21,57=33,

A、C错;an+2=an+i+an=an+an_x+an_x+an_2=an+an_x+an_2+an_3+an_3+an_4=…=+1,

则@2024=,^2022+1=1+%+出--'+&02。=1+%+%-l----+%023=%+%+%+'''+°2023'B对；

CL?+Q4+。6+…•+。2024=。2+。2+。3+。4+。5+'''+。2022+。2023

+CL?+"3++。5+.••+。2022+〃2023*^2023—〃2025］，D车曰•

故选：B

8.已知厂为抛物线了2=4x的焦点，斜率为g的直线与抛物线交于4,8两点，且位于x轴的两侧（/在x

轴的上方），OAOB=0（其中。为坐标原点），则好也=（）

1△AOF

A.4：1B.5：1C.5：2D.7：2

【答案】B

【解析】

【分析】设出直线方程，直曲联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式

求出面积可解.

【详解】在抛物线V=4x中，焦点厂的坐标为（1,0）.

2

设直线48的方程为y=§x+掰，/（占,％）,8（X2，%）

.2

y=­x+m2•,

联立直线与抛物线方程「3,将了=—x+加代入/=4x,

=4x'

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44yii

展开并整理得一/+(——4)x+加2=0.需满足A〉o；

93

加4

3m9m

由韦达定理可得占+x,=49-3m,玉/=彳=丁

-

99

2242m

贝!］必%-(~X1+m)(—x2+加)=§再'2+%2)+加2.

9m2

将玉+々=9—3加，%马=学代入上式可得:

=x_2222

yxy2~~~~+~~(93m)+m=m+6m-2m+m=6m.

_____»-------------------------------9nl2-------------------------------------8

因为方•砺=0，所以再12+%先=0，即+6加=0，解得加=0或加二一一.

43

Q

因为A、8位于X轴两侧，所以为/<0，则加=-3，满足A〉0,

由y=|~x一~|可得x=3'；&,代入了2=4%得了之=4x=6y+16,

解得弘=8,%=—2.

当％=8时，x=i=—=16；当为=-2时，K=(zZt=i

144244

所以/(16,8),5(1,-2).

S“°B=；x4|%-81=；x4x10=20.

S.AOF=1x|<9F|xj；1=1xlx8=4

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知数列｛%｝的前“项和为S“，若a“+i=%-3,且%+生=4,则下列说法正确的是()

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A.数列的首项为正数B.-2025是｛%｝中的项

C.｛%｝是递减的等差数列D.S,的最大值是26

【答案】ACD

【解析】

【分析】本题可先根据已知条件判断数列｛%｝的类型，再求出数列的首项、通项公式和前〃项和公式，最

后据此逐一分析选项.

【详解】已知%+1=%—3,移项可得4+1-%=-3.

根据等差数列的定义：可知数列｛%｝是公差d=-3的等差数列，且公差为负，所以｛2｝是递减的等差数列，

故C选项正确.

根据等差数列通项公式，可得%=%+2d,%=%+41.

已知名+。5=4,将%=%+21,%=%+44代入可得：

%+2d+%+4d—4,即2q+6d=4.

把d=-3代入2%+6d=4,可得2°]+6x(—3)=4,

2%—18=4,2%=22,解得4=n,首项为正数，故A选项正确.

由等差数列通项公式，把q=11,d=-3代入可得：

4=H+(〃—1)x(—3)=11—3〃+3=14—3〃,

2039

令4=14—3〃=—2025,则3〃=14+2025=2039,解得〃=-^—WN+，

所以-2025不是｛4｝中的项，故B选项错误.

14

令=14—30,则3〃〈14,解得〃士4.67.

因为〃eN+,所以当〃=4时，%还大于0,当〃=5时，%<0.

根据等差数列前〃项和公式，可得$4=4义(11+143><4)=26,即S1,的最大值是26,故D选项正确.

故选：ACD.

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10.已知椭圆工+黄=1的左右焦点分别为片，R,直线/交椭圆于P,。两点，则（）

4

A.|尸图的取值范围为［1,3］

B.若直线I经过点耳，则归。|的最小值是1

7T

C.当/耳笔=§时，片的面积为G

D.若线段尸。中点为［1,；］,则直线/的方程为x+2y—2=0

【答案】BD

【解析】

【分析】选项A,户耳|的取值范围为［a-ga+c］进而可得；

选项B,直线轴时，忸。取得最小值，即求椭圆的通径即可；

选项C,根据求焦点三角形的面积方法可得；

选项D,由中点弦的求法可得.

2

【详解】选项A：由椭圆的方程土+j?=1可得椭圆的长半轴。=2,短半轴6=1,

4

设半焦距为C,则°="2一〃=百，

因P在椭圆上，贝ij|尸图的取值范围为［a—ga+c］,即［2—百,2+百］,故A错误；

选项B设？（玉，弘）,。（尤2，%），

由题意公「月,0）,则|PQ|的最小值时，直线/_Lx轴，

211］（］\

当X=一百时，由二+夕2=1可得%=—,%=,故|尸-一二=1,故B正确；

422212J

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由椭圆的定义可得|P£|+|Pg|=2a=4,

故（|「公|+|产乙『=16,即|产片『+归=16一2|「闻归鸟|

222

在APFE中由余弦定理可得\PF1|+\PF2f-2|P^||P^|cosj=\FF21=（2c）=12,

得16-3附|附|=12,即附归闾=；

故S«唳=；附|尸阊si吟=gx：x*=乎,故C错误；

选项D：因P,0在椭圆［+/=1上，故］+y；=l，1_+尺=1,

r2-2、、y,-yx,+x1

两式相减可得*/r+2一；=0,可得」_2~2r=一不，

4/2再―马4（%+%）2

故直线/的斜率为-g,又直线过点［1,；］,

故直线/的方程为y—；=—g（x—1）,即x+2y—2=0,故D正确，

故选：BD

11.已知双曲线C：：—0=1伍〉0）的左、右焦点分别为々（-c,0）,F2（c,o）,P为双曲线C右支上的

动点，则（）

A.若不到渐近线的距离为1,则c=百

B.当点尸异于顶点时，月的内切圆的圆心总在定直线x=J5上

C.若/原典=90。，则点尸的纵坐标为土生

C

D.过点P作双曲线的切线交渐近线于48两点，若S.OAB=6，则曲线的渐近线方程为y=±瓜

【答案】ABC

【解析】

【分析】选项A,根据题意6=1,进而可得；

选项B,由双曲线的定义和内切圆的性质，可得|S片|=。+。，即得|OSj=a=&,进而可得；

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22

选项C,设P（%,%），由彳•哥=x；—=0,联立当年=1可得;

选项D,当尸点坐标为（亚,0）时，由S.°AB=应得b=苧,进而可判断错误.

72

【详解】选项A：因鸟到渐近线的距离为1,故6=1,故c==也，故A正确;

选项B：

如图，APG用的内切圆的圆心为分别与助¥鸟,片片切于点7,。,5,

则|PT|=|PQ|,闺T|=|片S|,优0|=优斗

由双曲线的定义可得\PF\-\PF^=2a,故（归刀+|7胤）—（|PQ|+\QF2\）=2a,

故|巧|-|。闾=2a,即|回珥|=2a,

又|S片|+|距|=2°,故|SG|=a+c,故|OSj=a=&,

故AP3的内切圆的圆心总在定直线％=后上，故B正确；

选项C：

设？（工0，%），则字—条=L4P=（*0+G%），用P=（*0—c，%），

因/片Pg=90°,故辟.哥=x；—c?+就=o,故片=02—y；=2+〃—y；,

代可得七T=i得心三V得—，故。正确;

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选项D：

当P点坐标为(、汇,0)时，切线方程为x=0，双曲线的渐近线方程为丁=土+x，

x=^

联立＜b得联立《b得b)

尸正x、”一正x

故S“。AB=；x2bx』5得6=宏，此时渐近线方程为了=土等X，故D错误，

故选：ABC

【点睛】关键点点睛：本题选项B考虑到内切圆的性质，由双曲线的定义可得|0百|=。=J5,进而可判

断；选项D,先考虑特殊点，P点位于顶点时得到y=土二二x，可判断选项D错误.

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.在前〃项和为S”的等差数列｛%｝中，$3=6,S6=10,则Sg=.

【答案】12

【解析】

【分析】根据题意可知其，S3,及-$6为等差数列，结合等差中项运算求解即可.

【详解】因为数列｛4｝为等差数列，可知邑，艮-邑,及-£为等差数列，

则296—83)=53+(59—$6),即2(10—6)=6+39—10),解得§9=12.

故答案为：12.

13.已知曲线y=l+与直线y=x+b有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是.

【答案】［2,1+0)

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【解析】

【分析】画出曲线，数形结合求出直线与曲线有两个交点的b范围.

【详解】依题意，y=l+-X2x2+(y-1)2=l(j>1),

则曲线>=i+7i=7表示(0,1)为圆心，1为半径在直线v=l及上方的半圆，如图:

当直线歹=x+b为曲线的切线时，b>0,=1,解得6=1+夜令切线为/()，

当直线y=x+b过点(0,2)时，它还过点(-1,1),且这两点都在曲线上，止匕时6=2,令此直线为

当直线y=x+b在直线/0与/1之间(不含/。，含4)平行移动时，它与曲线始终有两个交点，

当直线由人向右平移时，该直线与曲线最多一个交点，

所以实数6的取值范围是[2,1+J5).

故答案为:[2,1+0)

14.加斯帕尔•蒙日是18〜19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线

的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆''.已知椭圆C：1+<=1仅2<9),

若直线/：4x-3y+20=0上存在点尸，过尸可作C的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是

【答案】0,：-

【解析】

【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据

直线与圆的位置关系列式即可求解。

【详解】由题可知，点尸在椭圆的蒙日圆上，又因为点尸在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共

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点.

由椭圆方程事+3=1,2<9),

如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为6和26,

其对角线长为14〃+36,因此蒙日圆半径为J1+9，所以蒙日圆方程为-+歹2=62+9,因此，需满

足圆心到直线4x-3y+20=0的距离不大于半径,

即次W〃2+9,所以所以椭圆离心率e?=l—所以o<eWY2.

5993

故答案为：^0,—

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知2(1,2)、8(3,6),动点P满足莎.丽=—1，设动点P的轨迹为曲线C

(1)求曲线C的标准方程；

(2)求过点M(4,0)且与曲线C相切的直线的方程.

【答案】(1)(X-2)2+(J-4)2=4

(2)x=4或3x+4y-12=0

【解析】

【分析】(1)由向量数量积的坐标表示即可求解；

(2)由圆心到直线的距离等于半径列出等式，求斜率即可；

【小问1详解】

设P(x,y),则苏=(1—x,2—y),PB=(3-x,6-y),

由方.而=(l-x)(3_x)+(2_y)(6_y)=_l,得(X-2)2+(J-4)2=4,

第12页/共20页

所以曲线C的标准方程为(x—2)2+(y—4)2=4.

【小问2详解】

曲线。是以(2,4)为圆心，2为半径的圆，

过点M(4,0)的直线若斜率不存在，直线方程为x=4,满足与圆。相切；

过点河(4,0)的切线若斜率存在，设切线方程为y=k(x—4),即日-了-4左=0,

|2左—4—4月3

由圆心到直线距离d=J~——1=2,解得左=——,

“2+14

则方程为3x+4y-12=0.

综上：过点M(4,0)且与曲线C相切的直线的方程为x=4或3x+4y-12=0

16.已知等差数列｛4｝的前“(〃eN*)项和为，且。2+/2=16,几=135.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)若〃=2"•外,设数列也｝的前〃项和为(，求&

【答案】(1)an=n+\,MeN+

n+l

(2)Tn=n-2

【解析】

a=8

【分析】(1)由等差数列的性质可得(7—进而可求解；

U=9

(2)由错位相减法求和即可；

【小问1详解】

由题意知a?+"12=2a7=16,S]5=15a&=135,

Q=8

所以《Lz易知公差d=l,

&=9

=%+(〃-8)d=〃+1,MeN+

【小问2详解】

”=(〃+l)2

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7；,=2X21+3X22+4X23+---+MX2,,4+(7?+1)X2H,①

27；,=2x22+3x23+4x24+---+wx2,!+(z?+l)x2,,+1,②

①一②，得—J；=4+22+23+.-+2"—(〃+1)><2"+1,

所以=4+4(；—；)_(〃+i)x2"+i

n+1

化简可得:Tn=n-2.

17.如图，在三棱柱45C—44G中，平面/4。1。，平面45。,45=/。=8。=24=1,

(1)证明：2。，平面4。8；

(2)求平面A.AB与平面ACCXAX夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵旦

5

【解析】

【分析】(1)通过证明80,小。，，ZQ可证明结论；

(2)如图建立空间直角坐标系，求出平面448与平面ZCG4法向量，后由空间向量知识可得答案.

【小问1详解】

证明：因为。为ZC的中点，且45=/C=5C=l,

向

所以在V48C中，有且区0=卫2，

第14页/共20页

又平面JCC；4，平面ABC,且平面ACC.A,A平面ABC=AC,

所以1平面ZCG4，

又4z)u平面ZCG4，则80,4。,

由AB=旦,BD=虫,得4。=立,

1222

10

因为AD=e，Z4=1，4。=寸

所以由勾股定理，得&£),

又4C上BD,AlDcBD=D,AlD,BDu平面AlDB,

所以ZCL平面.

【小问2详解】

如图所示，以。为原点，建立空间直角坐标系。-xyz,

可得七1，。，。，4。，。噌5吟,0,

22

77

/

1n④市（16曾

所以44=-2,0,Tr-2^5°r

22

77

设平面的法向量为方=(x,y,z),

1V3「

心44二—

2；,令X=B得y=l,z=l,所以为=（百,1,1）.

由＜

元,AB=——x+——y=0

22

由(1)知，AD1平面/CG4,

一

所以平面NCC/的一个法向量为30=rG),

\7

记平面AXAB与平面ACCXAX的夹角为a

|呼\_出

贝Ucosa二

同♦瓯6X近5

2

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22

18.已知椭圆G、+4=i（a〉b〉0）,点片，鸟分别是椭圆C短轴的端点，椭圆C的焦点厂也是抛物

ab、

线y2=4x的焦点，且EB].过点少且斜率不为0的直线交椭圆C于A,3两点.

（1）求椭圆。的方程；

（2）X轴上是否存在定点尸，使得乙4PF=NBPF?若存在,求出点尸的坐标；若不存在，说明理由;

（3）若点M是定直线/:x=2上任意一点，求证：三条直线Z/,FM,5M的斜率成等差数列.

【答案】（1）—+v2=l;

2-

（2）存在，尸（2,0）；

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）通过已知条件求出椭圆的参数。和6,进而可求出椭圆的方程；

（2）设定点P（%,0）,通过几何关系和代数计算判断是否存在定点P,并求出其坐标；

（3）设河（2,加），直线,FM,BM的斜率成等差数列，只需证3〃+kBM=2kFM,通过直线与椭

圆的联立，经过代数运算之后，可得结论.

【小问1详解】

V椭圆C的焦点E也是抛物线/=4%的焦点

：.C=1,又用i，q2,.•“用酒2是等腰直角三角形

b=c=l,a2=b2+c2=2

2

所以椭圆C的方程为：—+/=1.

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【小问2详解】

假设x轴上存在定点p，使得ZAPF=ZBPF，

设/（石,％）,B（x2,y2）,直线48的方程为x=（y+l,

将直线4B与椭圆C方程联立，消去x整理得到：I+2）/+2勿-1=0,

二…二‘乂%=悬’

由题意，NAPF=NBPF,则直线尸/,尸2的倾斜角互补，所以4"+心》=0,

设P（%,0）,则既kpB=」^,

\/xx-x0x2-x0

-^+^=0,

X］-x0x2-x0

2fp.y,+（1-x„Wy,+y,）

将项=%+1,%=勿2+1代入上式，整理得：/,、/<=0,

（M+1—%）（优+1-/）

20V2+（1-%）（%+%）=0

将弘+%=3菖，乂刈二苒万，代入上式整理得：2/（玉）-2）=0,

由于上式对任意实数了都成立，所以为=2,

即存在点P（2,0）使得ZAPF=NBPF.

【小问3详解】

证明：设M（2,加），要证直线ZW,FM,8"的斜率成等差数列，

y,-m以一m八

只需证幻“+演M=2原“，只需证1V+J^=2加，

/一/4―/

只需证（乂一加）（仇一1）+（%-加乂功-1）=2加侬-1）（仇一1）

只需证2%%-加/（%+）2）一（乃+歹2）+2加=2加/为外-2mt（yl+必）+2加

只需证20M-加/（M+必）—（乃+必）+2加=2加/为外—2mt（乃+y2）+2m

只需证2（加,-1）为歹2=（加/—。（凹+%），

只需证（皿-1）［2%％一（％+%）］=°，只需证2%外一（乃+%）=0

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由(2)可知，y+y=-——，yy,=-——，代入上式显然成立，故原命题得证.

-12户+212「+2

19.已知数列…，即)0满足为<4<…<%，集合S={%+aJw/V100}.设S中有小个

元素，从小到大排列依次为配&，…也“

(1)若a“=〃，，请直接与出m,b[,b1n•

(2)若a“=2