湖北省十一校2025届高三年级上册第一次联考（一模）数学试题（含答案与解析）

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2025届高三湖北省十一校第一次联考

数学试题

（考试时间：120分钟试卷满分:150分）

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在

答题卡上的指定位置.

2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在

试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答

题卡上的非答题区域均无效.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

］若集合A={T，_2，_3},B={x+y\x&A,yeA},则AB=（）

A.{-2}B.{-3}

C.{-2,-3}D.{-1,-2,-3）

z+1—i

2.若复数z满足-----=l+2i,则z=（）

z

11.11.

A.----------1B.——+—1C.-1+iD.-1-i

2222

3.己知非零向量a=（0j）,b=（l,T）,若向量办在公方向上的投影向量为2a，则,=（）

A.-2B.-4C.2D.4

4.某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度（单位：厘米），将测量数据分成6组，整理得到如图所

示频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过。厘米，根据直方图估计，下列最接近a的数是（）

A.93.5B.94.1

C.94.7D.95.5

5.下列选项中，与tan55。不相等的是()

1+sin20。11-tan10°

B.-tan125°C.------D.---------

cos20°tan3501+tan10°

6.已知直三棱柱ABC—A耳G中，AB=AC=2,ABAC=—,C点到直线A片的距离为则

三棱柱ABC-a与G的外接球表面积为()

4

C.2071D.24兀

7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为

“蒙日圆”.已知椭圆C：土+乙=1的焦点在X轴上，为椭圆上任意两点，动点尸在直线

m3

x——6=0上.若/APB恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为()

8.已知函数/(尤),g(x)的定义域为R,g'(x)是g(x)的导数,且/(x)+g〈x)=5,

15

/(x-l)+g'(5-x)=5,若g(x)为偶函数，则()

攵二1

A.80B.75C.70D.65

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数〃%）=2sin3%—E,下列说法正确的是（）

B.函数/（%）的图象关于点表,0中心对称

C.将〃力的图象向左平移;个单位长度，可得到g（x）=2sin3x的图象

6

D.函数八％）在区间（0图上单调递增

10.已知函数/（x）=lnx-l---------,定义域为D，则下列结论正确的是（）

X—1

A.若a,b&Da<bt则f（a）<f（/?）

B.已知a,bwD且a^b,则“ab=l”是"/(a)+/(Z?)=0”的充分条件

C.方程f(f(x))=0有4个不同实数解

D.若tze(l,2),则

11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值

的艺术美.双纽线的图形轮廓像“8”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中,

耳（—2,0）,耳（2,0）,满足|尸周尸耳|=4的动点p的轨迹为曲线C.则下列结论正确的是（）

A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形

B.曲线C上满足\PF^\PF2\的点尸有2个

C.\OP\<2sf2

D,曲线C上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列｛4｝是等差数列，且其前〃项和为若邑=9,其=36,则4=.

13.若直线y=2尤为曲线丁=6"+，的一条切线，则ab的最大值为.

14.克罗狄・托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几

何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边

形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形ABCD是圆。的内接四边形，且

AC=6BD,/ADC=2/BAD,若A5•CD+BC-AD=46，则（1）圆。的半径是

，(2)四边形ABCD面积的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱ABC—A31G中，VA3C是边长为2的正三角形，|A4j=3,O为AC中点，点E

在棱上，且CE=XCG，0<2<l.

2

(1)当4=一时，求证：平面BQE；

3

(2)当;1=工时，求直线与平面石所成角的正弦值.

3

16.已知双曲线C：=_与=1(a>0,b>0)的左顶点为A,右焦点,为F,动点3在双曲线C上,

a2b2

当面工钎时，忸耳=仙耳.

(1)求C的离心率;

(2)已知a=l,M,N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若"B=23N，求

的面积.

17.2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和

内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观蓝色外观

棕色内饰128

米色内饰23

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件3为小明取到棕

色内饰的模型，求尸(台)和P(B|A),并判断事件A和事件8是否独立；

(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，

给出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内

饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

18.己知函数/z(x)=2x+cosx,g(x)=eT-ax2+1.

⑴当。=1时，判断函数g(x)的单调性；

(2)对任意的时，g'(x)之//(%)恒成立，求实数。的取值范围；

⑶记〃x)=/z(x)—If,若/(%)=/(%2)，且0<%1<%<兀，求证：/'广(参考

公式：cosO-cos夕=-2sin乡sin"产)

19.已知数列｛叫的前〃项和为%若对每一个〃eN*，有且仅有一个meN*，使得与<%<5,用，则

称｛4｝为“*数列”.记/=£+1-4，〃€d，称数列也｝为｛。“｝的“余项数列”.

(1)若｛%｝前四项依次为0,1,-1,2,试判断｛%｝是否为“X数列”，并说明理由；

(2)若5“=2向，证明｛4｝为“X数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；

(3)已知％=1的正项数列｛4｝为“X数列”，且｛4｝的“余项数列”为等差数列，证明S"<l+2"-2.

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1,若集合人={一1，-2,-3},B={x+y\x^A,yeA},则B=(

A.{-2}B-卜3}

C.{-2,-3}D.{-1,-2,-3}

【答案】C

【解析】

【分析】利用集合交集的知识求解即可.

【详解】B={x+y\x&A,yeA}={-2,-3,-4,-5,-6},则Ac5={-2,-3}.

故选：C.

z+1—i

2.若复数z满足------=l+2i,则z=()

11.11.

A.-------—1B.——十—1c.-1+iD.-1-i

2222

【答案】A

【解析】

【分析】由复数的运算化简即可；

由£±k2i2i,贝u1-z)日n1—iL。—D1+i11.

【详解】=+——=21,，即z==-=—_______1_1

ZZ2i2ii-222

故选：A.

3.已知非零向量a=(Oj),b=(l,T),若向量方在£方向上的投影向量为2a，则/=()

A-2B.-4C.2D.4

【答案】A

【解析】

a»bc1c

【分析】利用投影向量的定义可得仃1=2。，代入坐标计算可求得九

\a\\c1

a・bci-4rci-4t—4

【详解】向量b在。方向上的投影向量为--r—।,#77=—a二—a—2a

HnnMift,

所以心=2,解得『=—2.

t

故选：A.

4.某工厂生产了500件产品，质检人员测量其长度(单位：厘米)，将测量数据分成6组，整理得到如图所

示的频率分布直方图.如果要让90%的产品长度不超过。厘米，根据直方图估计，下列最接近。的数是()

A.93.5B.94.1

C.94.7D.95.5

【答案】C

【解析】

【详解】根据给定的频率分布直方图，结合第90百分位数求出a.

［解答］观察频率分布直方图，得1—0.05x1=0.95,1-(0.05+0.15)xl=0.80,0.80<0,9<0.95,

贝心(94,95),(a-94)x0.15+0.8=0.9,所以a=94.67,与94.67最接近的数为94.7.

故选：C

5.下列选项中，与tan55°不相等的是（）

1+sin20°1-tan10°

A.---------------B.—tan125°

cos20°tan35°1+tan10°

【答案】D

【解析】

【分析】根据正余弦的二倍角公式，弦化切，正切的和角公式可判断A；根据正切的诱导公式可判断BC,

根据正切的和角公式可判断D.

1+sin20°_(sinl0°+cosl00)2sin100+cos10°tanl00+l

详解】=tan(45°+10°)=tan55°

cos20°(cos100-sin10°)(cos10°+sin10°)cos100-sin10°1-tan10°

故A正确;

-tan125°=tan(180°-125°)=tan55°,故B正确;

1

=tan(90°-35°)=tan55°,故C正确;

tan35°

1—tan10°

=tan(45°-10°)=tan35°,故D错误.

l+tanl0°

故选：D

27r

6.已知直三棱柱ABC—A4cl中，AB=AC=2,ZBAC=—,C点到直线A片的距离为近，则

三棱柱ABC-A4G的外接球表面积为（）

A.12兀B.16兀C.2071D.24兀

【答案】C

【解析】

【分析】根据点到直线的距离可得三棱柱的高，确定外接球球心，结合勾股定理可得外接球半径与外接球表

面积.

【详解】

过点c作c。，44于点。，连接

因为三棱柱ABC-\B]Ci为直三棱柱,

CQ，平面4百。1，

又-4耳＜=平面4耳£,

CQ±44,

CCX,CDu,平面CG。，且CD=C,

：.\BX，平面CG。，

GDu平面CG。，

A^BX±C\D,

2兀

易知NB]A1cl=ZBAC=y,44=AG=AB=AC=2,

:.C[D=6,BC=273-

:.CD="C；+G02=Jy+3=屿，

则Cq=2,

设VA3C外接圆圆心为。],△ABG外接圆圆心为02,

20八_BCj

则1./兀，即。m=2,

sinZ——

3

且三棱柱外接球球心。为中点，

则外接球半径R=OA=卜闱+&00J=卡，

表面积为4兀尺2=207i,

故选：C.

7.蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为

蒙日圆”.已知椭圆C:三+乙=1的焦点在x轴上，A3为椭圆上任意两点，动点尸在直线

m3

x-JIy-6=0上.若/APS恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆C的离心率的取值范围为（）

【答案】B

【解析】

【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆C的蒙日圆方程，根据ZAPS为锐角可知直线x--6=0与蒙日圆

相离，根据直线与圆位置关系可求得加范围，进而得到离心率的取值范围.

【详解】椭圆C的焦点在x轴上，.,.根＞3,

直线x=±J/，y=±百与椭圆C都相切，

__22

:.x=±而,y=±百所围成矩形的外接圆好+＞2=3+机即为椭圆C：土+2L=1的蒙日圆，

m3

22

A§为椭圆C:L+乙=1上任意两个动点，动点尸满足ZAPB为锐角，

m3

•・•点P在圆/+/=3+机外，又动点p在直线X—0〉—6=0上，二直线x——6=0与圆

X?+y?=3+冽相离，-1-L〉＜3+tn,解得：m＜9＞

V1+2

又加＞3,「.3〈相＜9；

8.已知函数〃x),g(x)的定义域为R,g'(x)是g(x)的导数，且/(x)+g'(£)=5,

15

/(x—l)+g'(5—x)=5,若g(x)为偶函数，则工/(左)=()

k=l

A.80B.75C.70D.65

【答案】B

【解析】

【分析】根据偶函数的定义结合导数可得g'(x)=—g'(f),结合题意可得〃x)=/(4—x),

/(x)+/(x+4)=10,进而可得/(x)=/(x+8),且"0)=5,即可得结果.

【详解】因为g(x)为偶函数,则g(x)=g(-X),求导可得/(x)=V(—%),

因为/(x)+g'(x)=5，f(x-l)+g(5-^)=5,

则/(4-x)+g[x)=5,可得/(x)=〃4-x),

且/(x-l)-g'(x-5)=5,则/(x+4)—g'(x)=5,可得/(X)+/(1+4)=10,

即/(x+4)+/(x+8)=10,可得〃x)=/(x+8),可知8为八％)的一个周期，

8_

且£〃左）=［/（1）+/（5）］+［〃2）+〃6）卜［/（3）+〃7）卜［〃4）+八8）］=40,

k=\

对于/（x）=/（4—%）,/（x）+/（x+4）=10,

令x=0,可得〃0）=〃4），/（0）+/（4）=10,可得〃0）=/（4）=5,

15158

所以X"左）=£＞（左）—"0）=22/（4）一5=75.

k=lk=0k=\

故选：B.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根

据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知函数/（x）=2sinl3%-^-,下列说法正确的是()

B.函数/(%)的图象关于点A，0中心对称

C.将〃龙)的图象向左平移二个单位长度，可得到g(x)=2sin3x的图象

6

D.函数八％)在区间(0,总上单调递增

【答案】AB

【解析】

【分析】根据正弦函数的周期即可判断A；根据正弦函数的对称性即可判断B；根据左右平移的原则即可判

断C；根据正弦函数的单调性即可判断D.

27r

【详解】对于A,"%)的周期T=(,所以A正确;

对于B,因为了2sin0=0

所以函数/(%)的图象关于点中心对称,故B正确;

对于C,将/(%)图象向左平移四个单位长度，

6

得到/[X+弓〔=2sin13x+的图象，故C错误；

对于D中，因为所以3x—，

所以了⑴在(0,。上不单调，故D错误.

故选：AB.

10.己知函数/(x)=ln%-l------,定义域为D，则下列结论正确的是()

X-1

A若a,bwD且a<b,则

B.已知a,beD且awb,贝广ab=l,5是“f(a)+f(b)=0”的充分条件

C.方程/(7(x))=0有4个不同的实数解

D.若ae(l,2),则/(a-l)>/(a)

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用导数可得/(%)的单调递增区间为(0,1),(1,+。)，利用可判断A；计算得

可判断B;当XG(0,l)时，/(%)£(-00,4-00),当XG(l,+8)时，〃X)G(-8,+8)进

而可判断C,/(«-1)-/(«)=Ini1—11-21

(a2)(a1)'构造函数g(x)=班+——1,%e(0,1),求

导可得结论判断D.

2

【详解】由函数〃力=1皿—1-----的定义域为(o,i)u(i,+“)，

X-1

12

且小)丁而/°，所以“力的单调递增区间(0,1),。,+8),

对于A,令〃=工,

b=e,

e

得了(：］=—2+言>0,/(e)=--^/o,/(|j\/(e),所以A错误;

(］、22

对于B,由己知得/—+/(%)=-2+上1=0,充分性得证，所以B正确；

)x-1

对于C,当xe(o,l)时，y(x)e(-oo,+(x>),当xe(l,+oo)时，/(x)e(-oo,+oo),

所以/(九)有两个零点%,%,且0<为<1,19>1，

所以方程/(X)=%与/(x)=%分别有两个实数解，

故方程/(/(%))=。有4个不同的实数解，故C正确；

对于DM由/D，即/(aT)T(a)=UU(a"

4g(%)=ln%+--l,%e(O,l),可得g'(x)=L--y=^-^<0,

XXXX

所以g(x)在(0,1)为单调递减函数,所以g(x)>g⑴=0,即12」,

X

因aG(L2),可得1—G|0»—|,所以ln(l—|>1--------,

7a\2J\a)tz-l

得'"”小1一六一("2：("1)=("瑞—2)〉〉

所以，故D正确.

故选：BCD.

11.双纽线是卡西尼卵形线的一类分支，在数学曲线领域占有至关重要的地位，同时也具有特殊的有价值

的艺术美.双纽线的图形轮廓像“8”，是许多艺术家设计作品的主要几何元素.已知在平面直角坐标系中,

耳(—2,0),耳(2,0),满足|尸周尸耳|=4的动点p的轨迹为曲线C.则下列结论正确的是()

A.曲线C既是中心对称又是轴对称图形

B.曲线C上满足\PF^\PF2\的点尸有2个

C.\OP\<2sf2

D,曲线C上存在四个不同的点，使曲线在该点处切线的斜率为0

【答案】ACD

【解析】

【分析】由题意中等式结合两点间距离公式表示出曲线方程可得A正确；由|尸耳|=|%]=2可得这样的p

点只有1个，即为原点可得B错误；由曲线方程整理出店+凡=，一:)W8,可得C正确;由图象观察

X2+y

可得D正确；也可由导数的意义求出.

【详解】对于A,设P点坐标为(x,y)则曲线C«-2Y+y2.J(x+2『+y2=4,故A正确；

对于B,若归耳|=归阊，则|P^|=|P^|=2,这样的p点只有1个，即为原点，故B错误；

对于C,由&—2)1&+2)1=4得，](x—2)2+y2].[(x+2『+y2]=i6

整理得，(x2+y2)2=8(x2-/),所以Y+y2=±_<8,|(9P|<272，故C正确；

对于D,从双纽线的图形上，可以观察有四个点处切线的斜率为0,

____4%

222

另外，由(f+V)=8(彳2-丁)得y=4A/X+1-(x+4),则2y.y；=^^^_2x,

令y；=0nx=±g或0,经计算曲线C在原点处的切线方程为y=±2x,故D正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是能利用曲线方程整理O,P出两点间公式，再求出范围.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知数列｛4｝是等差数列，且其前〃项和为若邑=9,其=36,则4=.

【答案】1

【解析】

【分析】利用等差数列的下标性质与通项公式求解即可；

【详解】由S3=9,S6=36得4+出+%=3g=9,q+〃2+/+%+%+/=3(/+%)=36,

解得。2=3,a3+%=12,

即％+d+4+2d=12,解得d=2,

所以q=a2—d=1.

故答案为：1.

13.若直线y=2x为曲线y=e如+"的一条切线，则。人的最大值为.

2

【答案】##2e-2

e

【解析】

【分析】设/(x)=eQ+。切点为(%，e也+&),再根据导数的几何意义求出切线方程，再结合题意求出。力

的关系，再构造新的函数，利用导数求出最大值即可.

【详解】设〃x)=e"+:则/'(x)=ae»，

设切点为(x0,e曲”)，则/'(x0)=ae叽+〃，

则切线方程为y—e叽+"=ae'%+〃(x—%)，整理可得y=加%,+，;+(1—曲)e'%+〃,

所以卜U°卜2=°,解得％=士ae3=ae1+h=2,

ae0=2a

r\r\i

所以〃=F，所以。/?=F，

ee

设g(x)=W'则g'(x)=^^，

当xe(-oo,l)时,g'(x)>O,g(x)单调递增，

当xe(l,+oo)时,g'(x)<O,g(x)单调递减，

9

所以当x=l时，8(同取得最大值8(1)=石，

所以ab的最大值为4.

e

­,2

故答案为：F

e-

【点睛】关键点点睛：设出切点，根据直线y=2x为曲线y=e〃x+"的一条切线，求出。涉的关系，是解决

本题的关键.

14.克罗狄・托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定理是平面几

何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为:圆的内接四边

形中，两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和.已知四边形ABCD是圆。的内接四边形，且

AC=y/3BD,ZADC=2ZBAD,若+AD=46，贝1J。)圆。的半径是

,(2)四边形A3CD面积的取值范围是.

【答案】①.2②.出2吟

【解析】

【分析】根据题意可得BD=2,利用正弦定理可得sinNA£)C=J^sinN5W，即可得cos/BAD=乎，

即可得外接圆半径；分析可知AC=26，BD=2,取临界状态，分析可知点A在劣弧44或A4上，

且AC与班)的夹角ae，进而可求面积.

【详解】由托勒密定理，得AC-BD=AB-Cr>+BC-Ar)=46.

因为4。=出5。，所以%>=2.

设圆。的半径为R,由正弦定理，得———=———=27?.

sinZADCsmABAD

又AC=«BD，所以5桁/4。。=百5亩/明。.

因为ZADC=2ZBAD,所以2sinABADcosABAD=gsin/BAD，

因为0</84£><兀，所以sin/3AD>0,所以cos/B4D=3，

2

所以sin/BAD=J1—cos?/BAD=L则2R=———=4,故R=2.

2sinABAD

因为AC=2石，可知点0到直线AC的距离d=«—阴2=1,

可知直线AC为以。为圆心，半径为1的圆的切线，

JT

在△A3。中，可知3。=2,/54。=：,结合圆的性质可知点A在优弧BC上，

则43=2百；J^A4D1BD,则4。=26；

取&B=BD,则为。=26；^AiD=BD,则4^=26；

7171

可知点A在劣弧44或AA上，且AC与的夹角ae

6,2

所以四边形ABCD面积5^8=-^AC-BDsina=2y/3sinae^y/3,2y/3^.

故答案为：2；(A2^).

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，在直三棱柱ABC—A31G中，VA5C是边长为2的正三角形，|A4j=3,O为AC中点，点E

在棱CG上，MCE=ACq,0<2<l.

B

2

(1)当4=一时，求证：平面5DE；

3

(2)当4时，求直线与平面5DE所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

⑵变

4

【解析】

【分析】(1)根据已知条件建立空间直角坐坐标系，利用向量证明线面垂直即可;

(2)利用空间向量法可求得直线4片与平面5DE所成角的正弦值.

【小问1详解】

取AG的中点2,连接。2，

因为三棱柱ABC-451G为直棱柱，且VA3C为正三角形,

以DB、DC、所在直线分别为X轴、y轴、Z轴建立如图所示空间直角坐标系,

根据已知条件得。(0,0,0)、网、瓦0,0)、4(0,-1,3)>c(o,i,o),q(0,1,3),

27

当4=3时，CE=gCG，则£(0,1,2),

所以AE=(O,2,-L),DB=(73,0,0),DE=(0,1,2),

所以AE-D6=0,AE-DE=0+2—2=0，

所以AELBD,^EIDE,

又DBcDE=D,BD、OEu平面BZJE，所以4E，平面5DE.

【小问2详解】

易知4(G,0,3),则A4=(G/,o)，

当4=g时，点E(0』,l),DB=(73,0,0),DE=(0,1,1),

,、m-DB=6x=0

设平面BQE的法向量为加=(%,y,z),贝吗

m-DE=y+z=0

取y=l,可得机=(0,1,T),

m-A[Bii

所以cosm,AxBx

I用H而行x2—4

1万

故当X=§时，求直线$与与平面以汨所成角的正弦值为?.

16.已知双曲线C：=1(a>0,Z?>0)的左顶点为A,右焦点、为F,动点、B在双曲线C上,

a2b2

当3产上钎时，忸耳=区耳.

(1)求C的离心率;

（2）已知a=l,M,N两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限.若Affi=23N，求

△MQV的面积.

【答案】（1）2；（2）

8

【解析】

【分析】（1）根据条件求出产时8的坐标，根据/=|”|,列出关于a,瓦c的齐次等式，即可求

离心率；

（2）先求出双曲线方程与渐近线方程，通过MB=2BN找出M，N,3坐标之间关系，用M,N坐标表示

9

8的坐标，代入双曲线方程得到玉%=3,再用项,々表示出△MQV的面积，整体代入即可.

8

【小问1详解】

设4G0）,将x=c代入双曲线方程得y=土生，此时忸同=|AF|,

a

-b2

所以一二a+。，即c?一,2a2+ac—c1=0，

a

则2+e—/=0，所以e=2（负值舍去），

故C的离心率为2.

【小问2详解】

因为a=l,由（1）知。=2,Z?=A/3,

2

双曲线方程为：4=1,渐近线方程为'=±岛，

设〃（石,瓜J,N（X2,-V3X2）,B（x0,%）,

则Affi=（Xo%-百不）=2邸^=2（%-的一血/一为）,

2X2+玉

-3-

所以《

43xl-2Gx2

%=

3

又5（%,%）在双曲线上，所以（2%+者）-_（百/-2A2）2=],整理得：2,

9278

2JT

由渐近线方程为y=土®得ZMON=y,

所以/\MON的面积为-sinZMON

=；Jx；+3x；.Jx；+3x；.sin§=G%%

2Jo

17.2023年6月7日，21世纪汽车博览会在上海举行，已知某汽车模型公司共有25个汽车模型，其外观和

内饰的颜色分布如下表所示：

红色外观蓝色外观

棕色内饰128

米色内饰23

(1)若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A为小明取到红色外观的模型，事件3为小明取到棕

色内饰的模型，求尸伊)和P(B|A),并判断事件A和事件B是否独立；

(2)该公司举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这些模型中拿两个汽车模型，

给出以下假设：

假设1：拿到的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰都异色、以及仅外观或仅内

饰同色；

假设2：按结果的可能性大小，概率越小奖项越高；

假设3：该抽奖活动的奖金额为：一等奖600元，二等奖300元、三等奖150元；

请你分析奖项对应的结果，设X为奖金额，写出X的分布列并求出X的数学期望.

46

【答案】(1)P(B\A)=-,事件A和事件B不独立.

(2)分布列见解析，£(X)=277

【解析】

【分析】（1）根据古典概型概率公式和事件的独立性定义即可得出.

（2）分别求出三种结果对应的概率，比较大小，确定X对应的概率，求出分布列，利用期望公式进行计算

即可.

【小问1详解】

17+?14

若红色外观的模型，则分棕色内饰12个，米色内饰2个，则对应的概率尸（4）=三己=:，

若小明取到棕色内饰，分红色外观12个，蓝色外观8个，则对应的概率P（B）=詈=||=。

取到红色外观的模型同时是棕色内饰的有12个，即尸（AB）=^,

12

25二」26

则尸(B|A)=

P(A)-14-14-7

25

尸⑷尸（8）=小：=鸿斐，••尸⑷尸（小尸网）,

即事件A和事件B不独立.

【小问2详解】

由题意知X=600,300,150,

C2+C2+C2+C2_66+28+3+198_49

则外观和内饰均为同色的概率P=-~~-

300-300-150

。25

C1C1+C1C152

外观和内饰都异色的概率P=二28二

仅外观或仅内饰同色的概率尸=1-言49-益52=：1,

14913

->--->—,

215075

1984913

...P(X=150)=—,P(X=300)=——=——,P(X=600)=——，

230015075

则X的分布列为:

X150300600

4913

P

215075

14913

则£（X）二150x-+300x——+600x—=277(元).

2150