第2届全国周培源大学生力学竞赛试题及答案

第章》1.填空题(每题3分)(1)对牛顿万有引力定律和开普勒行星运动定律有两种说法。第一种说法是：牛顿从开普勒行星运动定律导出万有引力定律；第二种说法是：开普勒从牛顿的万有引力定律和运动定律导出行星运动定律。根据历史事实，第()种说法是正确的。(2)中国科学院力学研究所是我国规模最大的综合性力学研究单位。它是于1956年由著名科学家()创建的，他于1991年10月被授予“国家杰出贡献科学家”荣誉称号。(3)图2-1所示曲线为一旋轮线，其参数R为已知。图中M点处的曲率半径为()。(4)图2-2所示匀质细杆AB,A端借助无重滑轮可沿倾角为θ的轨道滑动。如不计摩擦，杆在自重作用下，从静止进入运动。为使杆的运动为平动，则初瞬时杆与铅垂线的夹角α必须等于()。(5)如图2-3所示，AB是半径为R的一段均质细圆弧，可绕其中点的水平轴0转动。此圆弧绕转轴微幅摆动的周期应为()。受受2.是非判断题(每题3分)(1)一均质球在重力作用下沿粗糙斜面纯滚动，则质心的轨迹或为直(2)一个非平衡的空间力系总可简化为一个合力或者两个不相交的(3)图2-4所示细直杆AB,重为P,其一端A靠在光滑的铅垂墙上，同时又被一光滑棱C支承于图示位置(OA与墙面垂直，OC⊥AB,且它们同时与重力P的作用线交于0点)。则此时杆处于稳定平衡位置。()全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版(4)六棱四面体受空间任意力系作用而平衡，则该力系分别对其六个棱边之主矩为零必是六个独立的(5)如点的切向加速度和法向加速度的大小均为常值，则该点的运动方向在时间t内转过的角度为Aln(6)半径为R的圆轮在铅直面内沿水平直线轨道纯滚动。若轮心速度为v,则圆轮边缘上一点运动到(7)任意三角形ABC在自身平面内作平面运动，则在任意瞬时，三角形的形心E点和三角形三顶点(8)均质正五边形薄板挖去一正方形，正方形中心与五边形中心重合。不论正方形的边是沿什么方向，被挖去后的薄板对板上过中心的任意轴之转动惯量均相等。()(9)一质点只在一平行于x轴的力作用下在x0y平面内运动，且运动轨迹曲线为则此力的大小与(1+x)(1+y)-²成比例。()(10)如图2-5所示，矩形薄板以匀角速度w绕图示铅垂轴z转动，其对转轴z的转动惯量为J。另一质量为m的质点可沿平板上的直槽运动。直槽与转轴z相交于0点，且夹角为。设质点距0点的距离为r,当忽略各处摩擦时，由机械能守恒定律有积分(11)一质点在平面上运动，所受约束为y=xt,则其实位移不是虚位移中的一个。()在图2-6所示平行四边形机构中，,已知O₁A以匀角速度w转动，并通过AB上套筒C带动CD杆在铅垂槽内平动。如以O₁A杆为动参考系，在图示位置时0₁A、O₂B为铅垂，AB为水平，C在AB之中点，试分析此瞬时套筒上销钉C点的运动(每题4分)。(1)C点的牵连速度的大小为()(2)C点的相对速度的大小为()(3)C点的牵连加速度的大小为()(4)C点的相对加速度的大小为()(5)C点的科氏(Coriolis)加速度的大小为()4.综合分析题(B)如图2-7所示，质量为m、长为l的匀质细杆AB静止于光滑的水平桌面上，其中点C恰好位于桌子边缘。另一质量亦为m的质点D从高为h处自由落下，正好与AB杆的端点B相碰撞，设恢复因数e=0。试分析碰撞结束时的运动(每题4分)。(1)AB杆端点A的速度大小为()(2)系统的总动能为()(3)系统的总动量之大小为()(4)系统对B点之动量矩的大小为()在碰撞结束后，AB杆将继续运动。试分析它在继续运动的初瞬时下列各有关物理量。(答案填在答案纸上相应题号的答案栏内。填对每空得4分，填错或不填不得分)(5)AB杆的角加速度ε的大小为()(6)AB杆中点C的加速度ac的大小为()(7)桌面对AB杆的约束力F的大小为()(8)质点D的加速度ao的大小为()Bi1.图2-8所示一等截面直梁，其左端固支，而右端铰支，并在跨度中点承受集中载荷F,载荷F作用于梁的对称面内，材料服从胡克定律，且弹性模量为E,许用应力[σ]、梁的跨长1、截面惯性矩I与抗弯截面系数W均为已知。(1)试确定铰支端约束力FB。(2分)(2)试确定梁危险截面的弯矩M。(3分)(3)试确定许用载荷[F]。(3分)(4)试移动铰支座在铅垂方向的位置，使许用载荷[F]为最大。试求此时铰支座B在铅垂方向的位移△B(4分)与最大许用载荷[F]m(4分)。2.图2-9所示一副双杠，它的每一根横梁系由两根立柱支撑，设两柱之间的跨长为l;每一横梁具有两个外伸段，设每一外伸段长度均为a。假定运动员在双杠上做动作时，在每一根横梁上只有一个力的作值，该比值使横梁重量为最轻，横梁与立柱的连接为铰接。(8分)3.图2-10所示一等截面直梁的横截面，它是Z字形的。该梁受纯弯曲，材料服从胡克定律，且截面的惯性矩I与I,以及惯性积I均为已知。假定形心轴垂直于截面的腹板，即与x轴相重合，试确定弯矩矢量M与x轴之夹角θ。(8分)4.图2-11所示一均质、等厚矩形板，承受一对集中载荷F,材料服从胡克定律，弹性模量E与泊松比5.为了在图2-12所示A与B两个固定点之间产生张力，人们常在这两点之间绷上两根绳子，然后从图2-11(2)试求该拉力F的极大值Fm。(4分)7.图2-14所示两端固定的圆截面杆，其AB段为实心杆，BC段为空心杆，即圆管。两段杆材料相(1)梁的固有频率w。(3分)第2章1992年第二届全国青年力学竞赛(2)在梁振动任意时间t时x截面的弯矩M(x,t)。(3分)(3)在梁振动时，如果有一个位置η(图2-15),当沙粒坐标ξ>η时，沙粒将跳离该梁，试写出确定η的条件。(如由方程确定，可不解方程，只作说明)(3分)(4)梁上总有沙粒跳离该梁的条件是δ>8",δ"=?(3分)9.图2-16所示由铅垂刚性杆和两根钢丝绳组成的结构，刚性杆上端受铅垂压力F,钢丝绳的横截面面积为A。弹性模量为E,钢丝绳的初拉力为零。设结构不能在垂直于图面方向运动。试求该结构的临界载10.图2-17所示由五根等直杆与刚性粱AB组成的平面结构。各杆的弹性模量E,横截面面积A,长度l与间距b均相同，且已知。在刚性梁上距杆1为a(<2b)处作用一铅垂载荷F,今欲通过电测方法测定(1)试给出最佳贴片方案：应变片的片数。(2分)应变片各贴在何处。(2分)(2)试给出F和a与测得的应变值e;(i为杆的编号)的关系式。2.3理论力学试题参考答案及详细解答1.填空题(1)第一种说法，(2)钱学森，(3)2√2R,(4)θ,(5)(1)是，(2)是，(3)非，(4)是，(5)非，(6)非，(7)非，(8)是，(9)是，(10)非，(11)非(1)√2lw,(2)√2lw,(3)√2lw²,(4)√5lw(1),(2),(3),(4),(5),(6)全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版2.是非判断题见试题点评部分。3.综合分析题(A)解：在运动学分析中，牵连运动总是比较简单，在匀角速度情况下，有因此，v。=loco=√2lo,本题相对运动稍难分析，因为相对运动的大小和方向未知，同时绝对运动的大小也未知。因此先求绝对运动的大小。以AB杆为动系，C为动点。由于AB杆该瞬时作平动，牵连速度方向水平，相对速度方向水平，而绝对速度方向应垂直AB杆，因此得到C点的绝对速度零，即v。=0。又AB杆该瞬时作平动，牵连加速度方向垂直AB杆，a。=lo²,相对加速度方向水平，绝对加速度方向水平，因此有a=lo²,方向垂直AB杆向上。再回到O₁A杆的动参考系中，由D=v。+D₂=0,因此相对运动的大小等于牵连运动v,=√2lo,方向相反。由加速度公式有a=a。+a,+ac,而由ac=2w×0,,得ac=2√2lo²,方向沿O₁C指向C点。因为a=a-a。-ac,而a、a、ac的大小方向均已知，易求出水平分量为lo²,铅垂分量为2lo²,因此a,=√5lw²。解：根据机械能守恒定律求质点D在碰撞前具有的速度由于恢复因数为零，碰撞后质点D粘在AB杆上，如图2-18所示。在碰撞系统的总能量为系统的总动量为,方向向下。系统对B点的动量矩为碰撞后，利用系统对固定点C的动量矩定理，有 第2章1992年第二届全国青年力学竞赛2.4材料力学试题参考答案及详细解答10.(1)应变片的片数为2;最佳贴片位置：杆1、杆5;1.解：(1)如图2-19所示，解除约束B,代以全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版(2)画弯矩图，知危险截面在固定端A(3)由强度条件得(4)根据工程等强度原则，当A、C两截面弯矩绝对值相等时，许用载荷最大。设支座B抬高△B,相应支座约束力为F₆,由2.解：横杠的力学模型可抽象为图2-20所示外伸梁，当运动员的作用力F作用于梁端A时，截面B由工程等强度原则，当M|₈|=M时，横梁重量最轻 第2章1992年第二届全国青年力学竞赛4.解：取板另一四边承受均布拉伸载荷q的状态。由广义胡克定律，此板的沿各方向的正应变相在对应于原一对集中载荷F的作用点的相对位移又设原一对集中载荷作用的板沿边界外法线方向的位移为8(s),其中s为沿板边界的坐标，由功的互5.解：两绳的绞紧可以看作绕初始接触直线缠绕，绳的伸长量可以由图2-21所示直角三角形计算AL=√I²+(2nπr)²-l由于2nπr<l,仅需取根式展开式两项6.解：(1)由杆拉伸体积不变的假定在F的极大值处有,即故全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版(2)拉力的极大7.解法1:如图2-22所示，解除C端约束，设约束力偶为Mc,由φc=0得当杆表面有一点切应力达到许用值[r]时，外扭力图2-22同理，对BC段设杆空心段内外径之比,得将式(2-1)、式(2-2)和式(2-4)代入式(2-3),可求得解法2:设在外扭力偶M作用下，B截面转角为φ,圆杆半径为r,AB、BC两段表面切应变分别为γ₁和y₂,切应力分别为r₁和T₂,如图2-23所示，则即得出8.解：(1)梁的固有频率又,k为刚度系数，故(2)梁的弯矩方程为又F=my,y为集中质量m的加速度，故集中质量的运动方程为第2章1992年第二届全国青年力学竞赛(3)x处的挠度为,设小沙粒的质量为m',则m'y≥m'g时跳离，因得到η的条件：(4)x=l时，则,得到9.解：如图2-24所示，设在失稳临界状态，C端水平位移为所受拉力另一绳不受力(不能承受压力),由刚性杆OBC平衡10.解：(1)应变片的片数为2,最佳贴片位置：杆1和杆5。(2)将外载荷分解为图2-25所示对称与反对称两部分。(a)计算杆1和杆5的对称载荷应变(b)计算杆1和杆5的反对称载荷应变全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版刚性横梁绕中心0转动，故F(2)=2F(2)=-2F(2)=-F(2),F(c)计算杆1和杆5的总应变(d)F和a与测得的应变值e₁和es之间的关系由式(2-5)+式(2-6)得将式(2-7)代人式(2-5)有根据首届竞赛的反馈意见，为了吸引更多的学生参赛，从第二届开始，竞赛内容精简为理论力学和材料力学两门理工科大学的核心技术基础课。为了保证公平竞赛，采用了闭卷形式，在全国各竞赛点同一时间用统一试卷竞赛。总体来说，本次理论力学竞赛比较容易。虽然其中有一些题目要求概念很清楚，难度较大，但是其对应的分值不大，经过加权后，试卷的难度系数评估为3.93(详见附录A)。填空题中有两问是常识问题，有两问涉及较多的数学计算，只有第(4)问设计得很巧妙：概念清楚判断题很灵活，难度较大，需要很清楚概念才不会犯错。其中的第(3)、(5)题需要很灵活的方法去处理，否则就会花费很多时间和篇幅，中间推导还容易出错。而灵活的方法基本上不需要计算，直接就能看出结论。第(6)和第(10)题设计得很好，陷阱很隐蔽，提醒我们“前提”与“结论”是关联的：不要忘了前提，在结论根本不成立时就不要再花时间辛苦地计算了。第(8)和第(11)题是关于基本概念的灵活运用问题，要注意一般情况下的结论，更要注意特殊情况下的结论，再次注意“前提”与“结论”填空题(1)考学生的基本常识。填空题(2)考学生对力学人物的了解。填空题(3)考运动学知识，表面上看需要了解曲线曲率半径的公式，但是实际上可以转换为运动学的问题：一个圆轮作纯滚动，边缘上点的轨迹就是旋轮线(与运动快慢无关)。不妨设圆轮作匀速直线运动，这时圆轮的速度、加速度都很好分析，利用公式p=v²/a。很容填空题(4)考学生的运动学和动力学的基础知识。A点的加速度沿斜面，AB杆平动时杆上各点加速度方向均沿斜面。后面有不同的处理方法，一种方法利用刚体平面运动微分方程，通过一些推导计算，可以得到结果；另一种方法不必计算：因为平动，所以AB杆的角角速度α=0,对质心列动量矩定理，有Jcα=rc×FN=0,rca,FM都不为零，因此有rca//FN,即杆与斜面垂直(图2-26)。第2章1992年第二届全国青年力学竞赛填空题(5)涉及转动惯量和振动周期的概念，一般来说这类问题的转动惯量要积分，重心位置也需要积分。但是本题有可能更简单地做出来。设质心为C,圆心为D。质心到悬挂点的距离为d。质量为m。转动惯量有Jo=mR²,J。=Jc+md²,Jo=Jc+m(R-d)²所以Jo=Jo-m(R-d)²+md²=2mRd本题要注意转动惯量的移轴定理的前提条件，这是学生很容易忽是非判断题(1)轨迹与初始条件有关，如果初始速度为零，轨迹是直线；如果初始速度不为零，方向任意，则轨迹是抛物线。(2)涉及力系的简化。最一般情况，力系简化为力螺旋。如果其中的力偶为零则退化为一个力，如果力偶不为零，就化为空间相异的两个力。(3)涉及平衡与稳定的问题。有不同的方法求解。解析的方法是：设间距宽为a,杆长为1,平衡时mg(lcosθ/2-a/cos²0),因为平衡时V'=0,因此有cos³θ=2a/l。再求导后并利用cos³θ=2a/l这一关系，有V'=-3mglsinθ/2<0,因此平衡不稳定。几何的方法是：设两接触力的交点为0,假设杆的角度受扰动增加了一个小量，A点位置会降低到A',因此0点位置比原平衡时偏右了到0'(图2-27b)。对0'点取矩，从图上看，重力矩将使角度进一步增加，所以系统不稳定。这样的分析不用计算很简单。(4)看似很明显的答案，并不好证明。如果六个轴不全平行，或不相交于同一点，就有这样的答案。(5)点的运动学。如果真的去积分，得到的结果是Aln(1+Bt),但是比较麻烦。不妨用特例来说明：以匀速圆周运动为例，切向加速度为零，法向加速度大小ro²为常数，这时运动方向在时间t内转过的角度为wt,不符合Aln(1+Bt²)的形式，因此答案是“非”。当然，这样做不是太严格，没有考虑退化的情况。如果时间t或参数B趋于零，会有什么结论?利用In(1+x)=x,可以知道在退化情况下Aln(1+Bt²)=ABt²,与时间平方成正比。因此看出，即使在退化情况下，答案仍是“非”,这就严格了。(6)这是点的运动问题，陷阱比较隐蔽。如果不注意，算出来的结果就是题目给出的答案。但是如果仔细看题目，注意到“法向加速度”,那么要问该点的运动轨迹是什么,应该是旋轮线。这时该点在旋轮线与地面接触的尖点上，“法向”与“切向”没有定义。(7)这是运动学问题，根据几何关系，有rg=(rA+rg+rc)/3,该关系式在运动过程中一直成立，因此求导后有vE=(VA+Vg+Vc)/3。全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版(8)涉及惯性主轴和惯性椭球的概念。一般情况下，物体存在惯性椭球，有三个相互垂直的主轴方向。但是对于正多边形，惯性椭球退化为圆。因此过面内中心的任意轴都是主轴，不必花时间计算了。(9)这是点的运动学问题，更多涉及的是公式变换和技巧，比较复杂。对xy+x+y=0求导数，有xy+xy+x+j=0,即x(1+y)+j(1+x)=0,再求一次导数，有x(1+y)+2xy+j(1+x)=0。注意到题目应有mx=F,my=0,(10)关于能量积分的问题，看起来给出的答案正确，但是要注意机械能守恒的“前提条件”是什么?该系统要保持匀速转动，必须要有外力维持，可以想象该力与质点的位置和速度有关，因此不是有势力。(11)很容易出错的虚位移问题。一般情况下，当约束是非定常约束时，(无限小的)真实位移不是虚位移中的一个，如图2-28所示。但是在特定的非定常约束的情况下，如果约束所限制的运动平行于虚位移所在的平面时，(无限小的)真实位移可以是虚位移中的一个，如图2-29所示。综合分析题(A)是本次竞赛中比较简单的题目，涉及点的复合运动，且动点、动系已经指定好了。本题的关键是要对牵连运动判断正确：是跟随0₁A杆转动，还是跟随AB杆平动?这里是学生容易出错的地方。另一个关键是：相对运动的大小和方向均未知，同时绝对运动的大小也未知，需要另外建立动系把综合分析题(B)是关于碰撞的问题，要判断在碰撞前后什么物理量守恒。例如(1)小题中，是机械动能、动量计算没有什么问题。在动量矩计算中，利用对质心的动量矩和对任意点动量矩的关系，很最后的几个问题需要统一考虑。可以利用质心运动定理求出约束力FN,然后利用运动学关系，求出加第二届材料力学竞赛题总体新颖有趣，难度适中，简明又富于启发性。几道从实践中提炼的赛题，如双杠合理强度设计的第2题和由绞紧绳获得张力的第5题，是本届竞赛题设计的亮点。第1、2、7题都是围绕工程等强度设计原则来命题的，这是一个重要的结构合理强度设计的原则，即 第2章1992年第二届全国青年力学竞赛第1题.知识点：梁的内力与强度条件、超静定结构、工程等强度设计原则。本题共4小题，前3小题考查基本知识，第4小题为工程等强度设计原则的应用。第2题.知识点：梁的内力、工程等强度设计原则。这是一道理论与实践相结合的好题。根据体育器材设计标准(范元；体育大辞典——场地与器材的标准，1998),横杠a=60cm,l=230cm。如果按等强度设计，应当a=(230/4)cm=57.5cm,为什么a会设计得稍长一点呢?可以从数据取整的角度理解。但是应当看到，由于运动员手掌的合力作用点，不会完全到端截面的，而是应当稍稍向内移动一点。可见，体育器材的力学性能设计是非常精细的。工程等强度设计原则得到广泛应用。例如，图2-30a所示汽车和火车中起减振作用的叠板弹簧，它的力学原型应该是图2-30b所示的三点弯曲等强菱形梁。为应用方便和考虑端点切应力强度，并降低刚度，将菱形梁沿虚线剪开，做成若干矩形条，然后叠放固定。a)又如图2-30c所示，两个钢管由一个套管连接，如何设计套管尺寸?设钢管和套管的屈服应力分别为σ,和σ',钢管和套管横截面面积分别为A和A'。根据等强度设计思想，我们有o.A=σ'A'由上式容易确定套管的横截面面积A'。第3题.知识点：一般非对称弯曲。当前材料力学教学已经不再要求记忆一般非对称弯曲正应力公式(也称为广义弯曲公式)。第4题.知识点：功的互等定理。参见首届竞赛第2题点评。我们在评卷中发现，许多参赛选手将集中力等效为端面的均布力，由拉压杆公式也得出了正确的结果。请同学们想一想为什么。第5题.知识点：拉压应力与变形。饶有趣味，原来力学就在我们身边。本题求解的关键：①理解绞紧过程是两绳绕初始接触线缠绕；②绳的抗弯刚度可以忽略。第6题.知识点：拉压杆塑性变形。虽然超出材料力学学习的范围，但应用材料力学知识不难解决这个问题。本题启发我们如何扩展所学的知