第3届全国周培源大学生力学竞赛试题及答案

章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛3.1理论力学试题1.是非题(共5题，每题3分，请在答案纸的相应题号括弧内填“是”或“非”)(1)一空间力系，若各力作用线与某一固定直线相平行，则其独立的平衡方程只有5个。()(2)牵连运动为定轴转动时，不一定有科氏加速度。()(3)平动刚体各点的动量对一轴的动量矩之和可以用作用于质心的刚体动量对该轴的动量矩表示。(4)平面运动刚体上惯性力系的合力必作用在刚体的质心上。()(5)第二类拉格朗日方程的适用范围是完整，理想约束，而动力学普遍方程则没有这些限制。()2.选择题(共5题，每题5分，请将答案的序号填入答案纸的相应题号括弧内)(1)已知一正方体，如图3-1所示，各边长为a,沿对角线BH作用一个力F,则该力在x,轴上的投影①0;②F/√2;③F/√6;(2)如图3-2所示，三角形楔块B置于楔块A的斜面上，若A块以vA=3m/s的速度向左运动，α=30°,则B块的速度vʙ=()m/s。(3)在图3-3所示系统中，滑块A以匀速度vᴀ=1m/s向下运动，杆CD长1m,当α=45°且杆CD水平(4)一刚度系数为k的弹簧下挂一质量为m的物体，如图3-4所示。若物体从静平衡位置(设静伸长全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版为8)下降△距离，则弹性力所做的功为()。(5)图3-5所示系统中主动力作用点C、D、B的虚位移大小的3.填空题(共6题，第(1)~(4)题每题5分，第(5)、(6)题每题10分。请将答案填入答案纸的相应题号括弧内)(1)如图3-6所示，半径为r,重为W的均质圆柱体置于半径为R的圆槽底部，接触面间的摩擦因数为f。在圆柱体边缘缠绕一不计重量的柔绳，端部悬挂重量为P的物体，则平衡时圆柱体的中心可以升高，OC连线的最大偏角θ可达()。(2)重物A的质量为m,悬挂在刚度系数为K的铅垂弹簧上，如图3-7所示。若将弹簧截去一半，则系统的固有频率为()。(3)如图3-8所示，质量为m,的物体上刻有半径为r的半圆槽，放在光滑水平面上，原处于静止状态，有一质量为m₂的小球自A处无初速地沿光滑半圆槽下滑，若m₁=3m2,则小球滑至B处时，小球相对于物体的速度为()。(4)质量为m的方块沿倾斜的光滑斜面滑下，质量为m,半径为r的薄圆环沿倾角相同的粗糙斜面无确定，这个海洋环流处于()半球，纬度为()度。(1)圆盘的运动微分方程式(以转角φ表示)是()。(2)甲虫M的绝对运动微分方程式(以OM连线的转角θ表示)是()。(3)圆盘沿切线方向给甲虫的作用力是()。(4)甲虫能升高到与0点相同高度的条件是()。图3-10图3-11(1)系统的自由度数是()。(2)系统质心作()运动，其速度大小为()。全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版(3)在随系统质心运动的平动坐标系中观察，方盘作()运动，其质心0的轨迹是(),速度大小为()。(4)在上述平动坐标系中观察，小球B作()运动，速度大小为()。(5)方盘对小球的作用力大小为(),方向()。3.2材料力学试题1.(10分)如图3-12所示结构，各杆的抗拉(压)刚度均为EA,杆BG、DG、GE、CE长度均为l,在E处作用力F。求各杆的轴力F:(i=1,2,3,4)。2.(10分)一结构如图3-13所示，AB轴的抗扭刚度Glp、杆CD和FG的抗拉刚度EA、尺寸a及外力偶M皆已知。圆轴与横梁牢固结合，垂直相交，立杆与横梁铰接，也垂直相交，横梁可视为刚体。试求杆的轴力FN及圆轴所受的扭矩T。3.(10分)如图3-14所示，等截面悬臂梁抗弯刚度EI已知，梁下有一曲面，方程为y=-Ax³。欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力),问梁的自由端应施加什么载荷，即求力F与力矩M的值。4.(10分)图3-15所示刚性杆，由弹簧支持，弹簧刚度系数为K,试导出它的临界载荷F。5.(10分)图3-16所示圆杆，d=200mm,F=200πkN,E=200×10³MPa,μ=0.3,[σ]=170MPa,在杆表面上K点处的84s。=-3×10-⁴。用第四强度理论校核强度。第3章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛6.(10分)图3-17所示两相同梁AB、CD,自由端间距当重为W的物体突然加于AB梁的B点时，求CD梁C点的挠度w。7.(10分)长为l的悬臂梁，在距固定端s处放一重量为W的重物，重物与梁之间有摩擦因数f,如图3-18所示。在自由端处作用力F。(1)什么条件下不加力F,重物就能滑动。(5分)(2)需加F才能滑动时求F的值。(5分)8.(10分)图3-19所示带铰的梁，在铰C处允许梁的转角不连续，试求转角间断值△θ。梁的抗弯刚度为EI。9.(10分)如图3-20所示，一半径为a、长l的弹性圆轴(弹性模量为E、泊松比为μ),套在一刚性厚管内，轴和管之间有初始间隙8,设轴受集中轴力F作用，当F=F₁时轴和刚性壁接触，求F,值。(4分)当F>F₁后，壁和轴之间有压力，记f为摩擦因数，这时轴能靠摩擦力来承受扭矩，当扭矩规定为T时，求对应的F值。(6分)10.(10分)相互夹角为120°的三片应变花，应变片1、2、3按逆时针编号，今测出8₁、E₂、E₃,并发现e₂=83,全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版11.(10分)如图3-21所示，高为h的直立圆柱只受自重作用，单位长度的重量为γ,若将其上、下端固定且保持柱的原长h不变，且柱材料抗拉弹性模量E₁不等于抗压弹性模量E₂,当σ=0时，z=c,试确定c值。12.(10分)图3-22所示的外伸梁受两个集中力F₁=F及F₂=F作用。F₁只允许作用在延伸段，(0≤x₁≤l/4),而F₂允许在支座间移动(0≤x₂≤1)。要使F₂在支座间任意位置时，梁的弯矩都不超过许用弯矩[M],并使F取最大值，求F₁作用点的最佳位置x₁及对应的最大F值。3.3理论力学试题参考答案及详细解答1.是非题(1)非；(2)是；(3)是；(4)非；(5)非2.选择题3.填空题(6)南半球；4.综合分析题(A)第3章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛5.综合分析题(B)(1)系统自由度数3+1=4。(2)系统动量守恒，系统质心C作等速直线运动；速度大小)(3)方盘作平动，0作圆周运动；速度大小(4)圆周运动；速度大小(5)向心力大小方向始终指向C点或0点3.填空题(3)解：如图3-23所示，由动能定理得得得(4)解：由动能定理方块下滑圆环下滚但(5)解：如图3-24所示，在矩形块运动的情况下，F=F₁+F得Fc=-mac=-m(22×v,)圆周运动,所以QQ解：(1)如图3-27所示，对0轴的动量矩定理第3章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛(3)如图3-28所示，有F-mgsinθ=mre得条件为解：(1)系统自由度数3+1=4。(2)如图3-29所示，系统动量守恒，系统质心C做匀速直线运动(3)方盘运动过程中只受小球B的作用力，此力通过方盘质心0,故方盘做平动，在随质心运动平动坐标系Cxy中观察，故0做圆周运动。如图3-30所示，质系动量矩守恒，用相对质心动量矩定理，有全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版所以方盘质心0的速度为(4)小球相对平动坐标系的运动(5)小球作匀速圆周运动，所受向心力大小为方向始终指向C点或0点。3.F=6AEI(向上),M=6EAIl(顺时针)第3章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛7.(1)当2EIf≤Ws²时，不需加力重物就能滑动；(2)加1.解：由对称性F=FN由载荷作用点E处微段的平衡由节点G的平衡2.解：对轴，力矩平衡对杆协调条件即由式(3-1)、式(3-2)解出比较之求得F=6AEI(向上，图3-31),M=6EAL(顺时针，图3-31)。4.解：如图3-32所示，往上移动δ后有力F₁=Kδ,约束力为当出现力矩不平衡，时即5252L5.解：由应变转轴公式故6.解：重物降下的位能V=W(w+8)变成两杆的应变能。第3章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛即由题δ=Wc,代人后得即7.解：在0≤x≤s段tan|θ,l≈10,l≥f即Ws²+Fs(2l-s)≥2EIf8.解：研究组合梁CB,可知CB段不受力，ADC段为悬臂梁如图3-33所示。(2)F>F₁后，记△F全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版可求出即即而10.解：设最大主应变ε方向按逆时针转过θ角后为e的方向，由应变莫尔圆则有E₁=80+rcos20(8。为圆心坐标，r为半径)可见sin20=0,可取θ=0,则e,即为最大主应变&₁=8o+r,另一主应变为En=Eo-r。由于θ=0,故,解出11.解：设顶部应力为σB,则应力分布为第3章1996年第三届全国周培源大学生力学竞赛Mg=-由于x₁给定后，x₂可以变，求x₂变时最大的Mc,即代入Mc得Fx₁≤[M]从式(3-3)、式(3-4)两式求x₁使F最大(但x₁不得超过l/4),可令两式相等时达到，即满足要求，由式(3-4)可得F=[M]/x₁从第三届起，竞赛改名为全国周培源大学生力学竞赛，以纪念我国著名力学家周培源先竞赛发展的历史告诉我们，不应当局限于竞赛自身来看待发展，因为它与所处的时代的科技发展水平与需求相关，同时也与当时的教育理念与教育形势紧密相关。第三届竞赛的时间正值教育部基础力学课程教学指导分委员会组织完成考试题库建设，根据有关方面建议，有50%的竞赛题选自题库。这在配合教育部基础力学课程指导分委员会的工作，宣传和应用试题库方面发挥了积极的作用。另一方面，大学生科技活动和竞赛的灵魂是创新，只有从当代科技前沿、国家建设重大和关键技术问题，从常规工程和日常生活细微之处提炼基础力学问题，才能保持竞赛的活力，不断发展，真正起到配合高校力学教育和校园文化建总体来看，本次竞赛试题难度是历届最低的一次，特别是和第一届相比难度有大幅度的下降，基本没全国周培源大学生力学竞赛赛题详解及点评2021版选择题在考查概念的同时，需要少量的计算，当概念清楚时很可能不通过计算就能看出答案。填空题实际上是计算题，第(4)、(5)、(6)题有一定的计算量。最容易出错的是第(5)题，题目综合分析题以质点动力学为主，解题时没有特别需要注意的地方，是常规的作业题。选择题需要简单的计算，第(1)题中x₁垂直于BHE平面，所以x₁垂直于F。第(2)题利用运动的分解很简单得到结果。第(3)题中找AB杆瞬心，很快可以得到结果，在第2问中，以AB杆为动系，C点为动点，则牵连速度和相对速度都沿AB杆方向，但绝对速度又要垂直于CD杆，只能是速度为零，不需要计算。第(4)题要注意弹簧力做的功等于前后两位置的弹性势能差，同时要从原长处开始计算弹性势能。第(5)题注意AB杆作瞬时平动就能看出答案。填空题也需要简单的计算。其中第(1)题是平衡与摩擦角的问题，需注意平衡时圆柱体的受力为三个平行力，其中两圆接触处的力在临界状态下，沿摩擦角的边缘，因此有arctanu。第(2)题考查弹簧的串并联关系，在相同的载荷下，弹簧截去一半后变形也只有一半，因此短弹簧的刚度系数为原弹簧的两倍。第(3)题利用动能定理和动量定理，即可得到结果。需要注意的是，本题的动能和动量都与绝对速度有关。第(4)题有两种方法求解：一种是利用动能定理列出系统动能和重力做的功，求导后得到加速度。另一种是对圆环利用动量和动量矩求加速度，对方块直接进行受力分析得出加速度。两种方法的工作量差不多。第(5)题容易“欺骗”学生，因为通常人们认为向前加力，会使物体向前倒下，其实这是不自觉地假设作用力的位置比较高。要注意，当作用力的位置比较低时，因为惯性力的作用，物体是向后倒下的。因此，本题是动力学问题而不是静力学问题。如果考虑到这一点，本题做起来并不难，否则还会以为题目出错了呢!第(6)题是非惯性系问题，只要概念清楚，计算量并不大。综合分析题(A)涉及动量矩、质心运动定理，还要进行积分。本题的几个小问题环环相扣，难度不大，但解题时仍要格外小心。第(1)题直接利用动量矩定理，第(2)题不必另外做，只需要对(1)题的结果作参数变换。第(3)题直接利用质心运动定理，并把第(2)题的关系式代入。第(4)题是对第(2)题的结果进